概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(二)

精品文檔精品文檔內(nèi)容串講第一章隨機(jī)事件及其概率事件的關(guān)系與運(yùn)算必然事件：。一隨機(jī)試驗(yàn)全部結(jié)果構(gòu)成的集合。不可能事件：。一般事件A：OuAu。若A、B為兩事件若AuB，則其蘊(yùn)含：“A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生”。若AB=ACB=。，這表示A發(fā)生時，B必不發(fā)生，反之亦然。若A-B=A，貝AB="；若AB=A，則AuB；若AUB=A，則BuA。若A,A,…A為n個事件，由它們的運(yùn)算可產(chǎn)生諸多新事件，如12ncja,cKuvna等等。i=1 i=1 i=1 i=1例1事件Ua發(fā)生等于“A,A,…A至少有1個發(fā)生”。i 12ni=12．常用概率公式O<P(A)<1,P(。)=1,P(O)=0若AuB，則P(A)<P(B)P(AuB)=P(A)+P(B)—P(AB)；當(dāng)AB=O,則P(AuB)=P(A)+P(B)P(AuBuC)=P(A)+P(B)+P(C)—P(AB)—P(AC)—P(BC)+P(ABC)P(A)=1-P(A)(5)P(A-B)=P(A)-P(AB)

TOC\o"1-5"\h\z(6)若A,A，…A兩兩互不相容，則P(Ua)=2LP(A)12n i ii=1 i=1(7)若A,A，…A相互獨(dú)立，則12nP(Ua)=P(A)P(A).?.P(A)i 12 ni=1nP(UAi)=P(A1)P(A2)..?P(An)i=1例2設(shè)P(A)=0.2,P(B)=0.4,P(AB)=0.1則P(AuB)=1—P(AuB)=1—P(A)—P(B)+P(AB)=0.5P(AB)=P(A—B)=P(A)—P(AB)=0.13．古典概型古典概型：當(dāng)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果為有限個且諸結(jié)果等可能發(fā)生時，任一事件A的概率為A的樣本點(diǎn)個數(shù)

。的樣本點(diǎn)個數(shù)例3從五個球(其中兩個白球、三個紅球)中任取兩球，設(shè)A：取到兩個白球；B：一白一紅球，求P(A),P(B)(1)無放回抽樣：C210P(A)=一10C2

5C1C1P(B)=23C25(2)有放回抽樣：每次有放回的取一球，連取兩次P(A)=(2)223P(B)=C1(-)(-)25522從而22從而P(A)=P(X=2)=C22(-)1(1--)2-1［注］:若設(shè)X為兩次有放回取球中取到白球數(shù)，則X?B(2,5),4．條件概率(1)若尸⑻>0,則P(A⑻=白黑，其中A為任一事件。(2)乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(AB)P(ABC)=P(A)P(BA)P(CAB) (其中P(AB)>0)例4箱中有兩白球、三紅球，A表第，次取到白球，則iP“前兩次取到白球")10=P(AA)=P(A)P(AA)P“前兩次取到白球")10TOC\o"1-5"\h\z12 1 2Q.1 0.2 0.4 0.2 0.1(1)求各批產(chǎn)品通過的概率；(2)求通過檢查的各批產(chǎn)品中恰有iQ.1 0.2 0.4 0.2 0.1(1)求各批產(chǎn)品通過的概率；(2)求通過檢查的各批產(chǎn)品中恰有i個次品的概率。(i=1,2,3,4)解：(1)設(shè)事件B是恰有i個次品的一批產(chǎn)品(i=1,2,3,4)，則由題設(shè)P(B)=0.1,P(B)=0.2,P(B)=0.4,P(B)=0.2,P(B)=0.1

0 12 3 4設(shè)事件A是這批產(chǎn)品通過檢查，即抽樣檢查的10個產(chǎn)品都是合格品，則我們有P(AB)=1

1023 3P“第一次取到白球，第二次取到紅球”)"PAiA2)=PAJP(A2A"5.4=10(3)全概率公式：設(shè)B,B，…B是一完備事件組(或Q的一個劃分)，即：BB=。，i豐j,i,j=1,2,…,n(即1 2n ij諸B互不相容)且?B=。，則對任一事件A有P(A)=￡p(Ab)P(B)i i 1iii=1 i=1, P(B)P(AB)(4)Bayes公式P(BjA)=y1 K-K ￡p(B)P(AB)i ii=1例5某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品以100個為一批，在進(jìn)行抽樣檢查時，只從每批中抽取10個來檢查，如果發(fā)現(xiàn)其中有次品，則認(rèn)為這批產(chǎn)品是不合格的，設(shè)每批產(chǎn)品中的次品最多不超過4個，并且恰有i(i=1,2,3,4)個次品的概率如下裕排:廣而⑴的次M數(shù) 01234

P(A|B1)=i=0.900100P(AB)=C10/C1020.809TOC\o"1-5"\h\z12 98 100P(AB)=C10/C1020.72713 97 100P(AB)=C10/C1020.65214 96 100ii=0由全概率公式，即得P(A)=￡P(guān)(B)P(ABii=0(2)由Bayes公式，所求概率分別為P(B0|P(B0|A)=P(B11A)=P(B2|A)=P(B3|A)=P(B4|A)=0.1x1 仁0.1230.81420.2x0.9 您0.2210.81420.4x0.809 氏0.3970.81420.2x0.727 氏0.1790.81420.1X0.652x0.0800.81425．事件的獨(dú)立性(1)定義：A、B相互獨(dú)立等價(jià)于P(AB)=P(A)?P(B)(2)若A,A，…,A相互獨(dú)立，則有P(AA…A)=P(A)P(A P(A)1 2 n 12n 1 2 n(3)有放回抽樣中的諸事件是相互獨(dú)立的。例6袋中有3白球，2個紅球，今有放回的抽取3次，求先后抽到(白、紅、白)的概率323 27解：設(shè)A表第i次抽到的白球，則所求為P(AA2A)=P(A)P(A)P(A)=-----=—i 123 1 2 3 555125(4)在n重貝努利(Bernoulli)試驗(yàn)中，若每次試驗(yàn)事件A發(fā)生的概率為。，即P(A)=p(0<p<1)，則事件A發(fā)生K次的概率為P(k)=Ckpk(1-p)n-k,k=0,1,2，…,nnn例7一射手對同一目標(biāo)獨(dú)立射擊4次，每次射擊的命中率為0.8，求：(1)恰好命中兩次的概率；(2)至少命中一次的概率。解：由于每次射擊相互獨(dú)立，故本題可視為n=4的貝努利試驗(yàn)，其中p=0.8

(1)設(shè)A："4次射擊恰命中兩次”，則夕(A)=P(2)=C2(0.8)2(0.2)2=0.15362 2 4 4(2)設(shè)B："4次射擊中至少命中一次”，A表“4次皆未命中”，則oP(B)=P(A)=1-P(A)=1-P(0)=1-C0(0.8)0(0.2)4=0.99840 0 4 4第二章隨機(jī)變量及其概率分布.離散型隨機(jī)變量P(X=x)Zp=1KK-1CL22-1CL220^5，則c=1-0.5-0.2=0.3.常見離散型隨機(jī)變量X0—1分布：設(shè)X?B(1,P)，則~~^應(yīng)用背景：一次抽樣中，某事件A發(fā)生的次數(shù)X?B(1,p)，其中p=P(A)=P(X=1)=EX例2設(shè)某射手的命中率為口，X為其一次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)，則X?B(1,p)(2)二項(xiàng)分布：設(shè)X?B(n,p)，則P(X=k)=Ckpk(1-p)〃-k,k=0,1,2，…,nn應(yīng)用背景：n次獨(dú)立重復(fù)抽樣中某事件A發(fā)生的次數(shù)X?B(n,p)，其中p=P(A)為事件A在一次抽樣中發(fā)生的概率。例3某射手的命中率為0.8,X為其5次射擊中命中目標(biāo)的次數(shù)，則X取的可能值為0,1,…,5,P(X=k)=Ck0.8k0.25-k,即X?B(5,0.8)2記?。喝鬤?B(n,p)，則EX=np,DX=np(1-p)(3)泊松(Poisson)分布4K若尸(X=左)二丁6-入，左=0,1,2,…則稱X服從參數(shù)入的泊松分布，且EX='=OX,記X?BQ),X>0k!應(yīng)用背景：偶然性事件發(fā)生的次數(shù)X一般服從某個參數(shù)的泊松分布，如某地的降雨的次數(shù)，車禍發(fā)生的次數(shù)等等。另外，當(dāng)Y?B(n,p),且n很大，P很小時，令入=叩，則尸(丫=左)比7V一k\例4一個工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中的次品率0.005,任取1000件，計(jì)算解：設(shè)X表任取的1000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，貝IJX?8(100,0.005),由于n很大，P很小，令入=吶=55。 51貝U(1)P(X>2)=1-P(X=0)-P(X=1)?1-_e-5-_e-5=l-e-5-5e-5=l-6e-5P(X<5)?2Z^-e-5!k=0.隨機(jī)變量的分布函數(shù)：X的分布函數(shù)為F(X)=P(X<x),-co<x<+co一(%)的性質(zhì):?0<F(x)<lTOC\o"1-5"\h\z②若不<x,則)-F(x)>01 2 2 1③F(-oo)=0,尸(+8)=1④尸(X<b)=F伽,P(a<X<b)=F(b)~/(a),P(X>b)=l-F(Z?)?、a+be-^x>0 .例5設(shè)X的分布函數(shù)/。)= ,其中九〉。，則〃= b=0, x<0解：由/（+8）=1知〃=1（因?yàn)?（+8）=lim（。+反-標(biāo)）=a）xf+oo由b（一8）=0,及題設(shè)xV0時=0,故lim方（無）=（a+岳-嬴）=（1+。）=0X-0+綜上有下（%）=< ,即a=1,〃=一10,x<0Q x<1例6設(shè)X的分布函數(shù)F(x)=jlnx,1<x<e1, x>e求P(X<2),P(0<X<3),P(2<X<2.5)解：P(X<2)=F(2)=ln2P(0<X<3)=F(3)-F(0)=1-0=1P(2<X<2.5)=F(2.5)-F(2)=In2.5-ln2=ln1.254.連續(xù)型隨機(jī)變量若P(XG(a,b))=』bf(x)dx，其中a<b任意，則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量。a此時其中F(x)=Jxf(u)du；f(x)=F'(x)此時其中-8If(x)>0 IP>0f(x)為X的概率密度，滿足〈 (注意與分布律的性質(zhì)：<XP=1相對照)|J+8f(x)dx=1 IPk=11-8 IK設(shè)X設(shè)X的概率密度為f(x)=〈31，則c=0,1x|>1解：由解：由P8f(x)dx=1知J1cdx=2c=1,故c=1-8 -1 25.常見連續(xù)型隨機(jī)變量’-5.常見連續(xù)型隨機(jī)變量’-1-(1)均勻分布：設(shè)X?U(a,b)，則f(x)=<b-a0,a<x<b,其他0,x<a1,12例812例8設(shè)X?U(-a,a)，且P(X>1)=3，則a=解：易知a>1且1"/(x)dx=1,i 3解：易知a>1且1"/(x)dx=1,i 31,1 c即卜―dx=—解得a=312a 3（2）指數(shù)分布E（九）設(shè)X?E（九），則f(x)=九e-嬴,x>0 ,、,F(x)=0,x<01—e-入x,x>00,x<0EX=-,DX=—入 九2應(yīng)用背景：描述電子元件，某類動物的壽命，或服務(wù)時間等。例9設(shè)X為某類電子元件的壽命，求這類元件已經(jīng)使用t時，仍能正常工作的概率（設(shè)X?E（九））解：由題意所求為P（X>t）=』"九e-九xdx=e-入tt（3）正態(tài)分布N（從,o2），設(shè)X?N（從,o2），則… 1 ...f(x)=e-(x-M2/2o2,-s<x<+s、；2kgF(x)=Jxf(u)du,EX=H,DX=o2—81特別，當(dāng)X*?N（0,1）時，稱X*服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其密度函數(shù)記為叭x）=^=e-x2/2分布函數(shù)記為v2k0(x)=Jx叭u)du二8常用公式：①若X*?N(0,1)，則0(—x)=1—O(x),3—x)=3常用公式：①若X*>0)=P(X*<0)=0(0)=1^2>a)=2(1-0(a))<a)=20(a)-1>1.96)=0.975,P(X*>u)=a*a一, 、 _ _、 _,b—u、 _,a—H、②若X?N(H,o2)，則P(a<X<b)=0(一)—O(―)-)

o o6.簡單隨機(jī)變量函婁的概率分布例10設(shè)，求y=例10設(shè)解：由題設(shè)，x的可能值為故X2的可能值為而尸「0)二尸(X2=0)=尸(x=o)VP(Y=1)=P(X2=1)=P((X=-1)u(X=1))—P(X=-1)+P(X=1)=-例11設(shè)X?N(0,1)，求Y=X2的分布密度函數(shù)解：先求丫的分布函數(shù)：孽y)=0,當(dāng)y<°；當(dāng)y>0時FJy)=P(X2<y)=P(-\5<X<y5)=①(%5)-①(-仃)再求Y的分布密度函數(shù)TOC\o"1-5"\h\z' i i-.fY(Y)=Fy(y)=(①(Jy)-①(-、/y))'一1 - 1二%y).k+叭-0).『2%；y 2%y1 - 1=,叭C)=e-y/2■v'y J2兀yI。，y<01 一, e-y/2,y>0口2兀y第三章多維隨機(jī)變量及其概率分布1.二維隨機(jī)變量(X,Y)(X,Y)的分布函數(shù)F(羽y)=P(X<x,Y<y)X的分布函數(shù)F(x)=limF(x,y)=F(x,+s)yf8Y的分布函數(shù)F(y)=limF(x,y)=F(+8,y)

limF(x,y)=0=limF(x,y)x告2.離散型(x,y)的分布律尸ij\P=P(X=x,Y=y)>Q fp>0Zip.1 ' (與比較)TOC\o"1-5"\h\z〔iJ 〔KP=P(X=x)=Epi i ijP=P(Y=y)=?pi i yi例1例1設(shè)(X,y)的分布律為 Q OJ0JQ.3 T0 PP1 Pcs P-331 0.25a0.25 1 Pn P：2 Pu求⑴a=?P(X=0)P(Y<2)P(X<1,7<2)解：（1）由ZZ。解：（1）由ZZ。二1知XX。U Uij i=U7=1TOC\o"1-5"\h\z=(P+P+P+P+P+P)=0.1+0.1+0.3+0.25+41+0.25=1

01 02 03 11 12 13解得〃=。(2)尸(X=0)=￡尸=P+P+P=0.1+0.1+0.3=0.5Oj01 02 03jT(3)p(r<2)=p(r=i)+p(r=2)=p+p=Ep+Sp=(o.i+0.25)+(0.1+0)=0.45

1 2 il z20 0(4)p(x<i,r<2)=p(x=o,r<2)=p(x=o,r=i)+p(x=o,r=2)=p+p=o.i+o.i=o.201 02P(x=Y)=P=0.25113.連續(xù)型（x,y）的分布密度

設(shè)D為平面上的區(qū)域，f(X,y)為(XI)的分布密度，則其滿足:P((X,Y)eD)=fff(X,y)dxdyD特別，f(u,v)dudvF(x,y)=P(X<x,Y<特別，f(u,v)dudv^2^二f(x，y)c.xdyy若x,y相互獨(dú)立，則有F(x,y)=F(x)?F(y),f(x,y)=f(x)?f(y)，其中F(x),f(x)分別為X的邊緣1 2 1 2 11分布函數(shù)和分布密度，F(xiàn)2(y)，f2(y)分別為Y的邊緣分布函數(shù)和分布密度。4．常見二維連續(xù)型分布⑴平面區(qū)域D⑴平面區(qū)域D上的均勻分布：設(shè)D的面積為S。,(X,Y)服從D的均勻分布，貝MX,Y)的分布密度為f(f(x,y)=應(yīng)0,(x,y)eD其他即D為xy平面上的單位園域，則SD=R，設(shè)(x,Y)服從D上的均勻分布,例2設(shè)D=1x即D為xy平面上的單位園域，則SD=R，設(shè)(x,Y)服從D上的均勻分布,TOC\o"1-5"\h\z1 八—,x2+y2<1<n *0,其他S解：設(shè)(X,Y)具有D上的均勻分布，A為平面上的某一區(qū)域，則P((X,Y)eA)=——，其中S 表示A與DS AcDD公共部分的面積。例3(續(xù)例2)求P(X>0,Y>0)兀解：P(X>0,Y>0)=工=1兀4⑵二隹正態(tài)分布N(「匕。J。J。*，設(shè)(X,Y)具有該分布，則其概率密度為1J1 .exp<

2go1--p[2(1-p)12(x-nA"(x-N)(y-N)Jy-N)2

1——2P 1 2—+ 3—02 oo o21 12 2-s<x<+8,-s<y<+s,o>0,o>0,P<1,-s<N<+s,i=1,21 2 i- 1 ■，… 、 … …此時X的邊緣密度f(X)=—e-(x-s2/2o12,即x?N(N,o2)故EX=從,DX=o21 %.：2兀o 11 1 11Y的邊緣密度f(y)= —e-(y-N2)2/2o22，即Y?N(N,o2)，故EY=M,DY=o2v2兀o 22 2 22P為X,Y的相關(guān)系數(shù)，可知當(dāng)P=0時，f(x,y)=f(x)f(y)，即X,Y相互獨(dú)立，這是一個重要結(jié)論:1 2在正態(tài)分布的場合：不相關(guān)等價(jià)于相互獨(dú)立。另外，可知Gw(X,Y);P、D,、D=poo*12例4設(shè)X?N(0,4),Y?N(-1,1),兩者相互獨(dú)立，求(X,Y)的分布密度f(x,y)解：由X,Y相互獨(dú)立知(X,Y)?"x,y)=f/x)f2(y)1 1e-x2/(2x4)? e-(y+1)2/2J2兀1 %；2兀1(x2———2(4)+(y+1)2J第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征1.單個隨機(jī)變量的期望￡xP(X=x),X為離散型EX=if+sxf(x)dx,-sX-103p11244X為連續(xù)型例1設(shè)，貝UEX=-1x—+0x—+3X—=—2 4 44例2設(shè)X的分布密度為/(%)=2x,0<x<l f。，其他,則就Jr(x岫=Ji"(2x)dx=J*10 0X3Xxddx=2?—32.單個隨機(jī)變量函數(shù)的期望設(shè)X為隨機(jī)變量，y=g(x)是普通函數(shù)，則Y=g(X)是隨機(jī)變量，且Eg(X)=￡g(x)p(X=x),當(dāng)X為離散型i i'g(x)f(x)dx, 當(dāng)X為連續(xù)型，且X具有密度f(x)一g例3設(shè)X的分布如例1,求g(X)=X3的期望解：EX3=(-1)3X—+03X—2 425彳例4設(shè)X的分布密度f(x)如例2,求g(X)=J1的期望解：E葭:X)=-8=J'x-2xdx=2J1x3/2dx=2.當(dāng)g(x)=(x-N)2(其中EX=N)時，Eg(X)=E(X-N)2=DX，即為X的方差[￡(x-N)2P(X=x)TOC\o"1-5"\h\zIi iDX=E(X-N)2=EX2-n2=<fiIj+8(x-N)2f(x)dx-8-10wI~~2 2-10wI~~2 2EY=-10x1+10x1=02 2例4設(shè)下 一，戶2 2則UEX=(-1)x1+1x1=0,^2 ^2DX=EX2-(EX)2=EX2=(-1)2x1+12x1=12 2DY=(-10)2x1+(10)2x1=100(方差大者，取值分散)［注］:DX=EX2-(EX)2是重要常用公式

1+x,-1<x<0例5設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度/(%)=<1—羽0<x<l,求DX0,其他解：因/(X)是分段函數(shù)，故求￡X,￡X2時也要隨之分段積分EX-xf{x}dx-1+x,-1<x<0例5設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度/(%)=<1—羽0<x<l,求DX0,其他解：因/(X)是分段函數(shù)，故求￡X,￡X2時也要隨之分段積分EX-xf{x}dx-f°x(l+x)dx+f1x(l-x)dx-0-CO-1EX2=J”X2f(x)dx=1。X2(1+x)dx+f1-co-1X2(1-X)dx=6于是DX=E(X2)—(EX)23.(XI)函數(shù)的期望設(shè)Z=g(x,y)是普通函數(shù)，則Z=g(X,Y)是隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望EZ等于EEg(x,y)P(X=x,Y=y)=￡￡g(x,y)P，當(dāng)(X,Y)為離散型EZ=Eg(x,y)=J+Jijg(x,y)f(x,y)dxdy,當(dāng)(X,Y)為連續(xù)型，且具有分布密度f(x,y)-8-8例6設(shè)(X,Y)分布律為 01 1/21/e則E(XY)=(0x0)P+(0x1)P+(1x0)P+(1x1)P=(1x1)P=1x1=100 01 10 11 11 6 6設(shè)(X,Y)的分布密度f(x,y)=2,0<x<1,0<y<x0,其他Eg(X,Y)=E(XY)=『J"xyf(x,y)dxdyJ1Jxxy-2dxdy00J12x(Jxydy)dx=x)dx0J1x3dx=0當(dāng)g(x,y)=(x-片)(y-四之)時，其中VEX，日2=EY，則Y的協(xié)方差，即E(g(x，Y))=Ekx一叩(Y-N2)］是X，Y的協(xié)方差，即Cov(X,Y)=E(X-^)(Y-^)1 2=E(XY)-EX?EY (重點(diǎn))/ 、 (x—u)(y—u)當(dāng)g(x,y)=-/時，其中EX=u,EY=u,DX=o2,DY=0200 121 22Cov(Cov(X,Y)=poo12*為X,Y的相關(guān)系數(shù)(X-u)(Y-u) 1 (oo1 12E(X-u)(Y-u)

1 2—

oo

12期望E(?)的重要性質(zhì)EC=c(常數(shù))(2)E(CX)=CEX(3)E(X+Y)=E(X)+E(Y)推廣：E(aX+bY+c)=aEX+bEY+c(4)若X，Y相互獨(dú)立，則E(XY)=EX?EY方差D(?)的重要性質(zhì)(1)D(c)=0D(X土c)=DX，其中c為常數(shù)(2)D(cX)=c2DX特別D(X)=D(-X)(3)若X，Y相互獨(dú)立，則D(X+Y)=DX+DYD(X±Y)=DX+DYD(aX+bY)=a2DX+b2DY(4)D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X,Y)例8設(shè)X,Y相互獨(dú)立，且DX=3,DY=4，則D(X-Y)=DX+DY=7

D(3X-4K)=32DX+(-4)2nr=91協(xié)方差Cov(-,-)的運(yùn)算性質(zhì):(i)Cov(x,y)=Cov(y,x)(2)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),其中a,b為常數(shù)(3)Cov(X+X,Y)=Cov(X,Y)+Cov(X,Y)(4)若X,Y相互獨(dú)立，則Cov(X,Y)=。，從而0=0,即X與Y不相關(guān)［注］:一般地，若X,Y獨(dú)立，則X,Y必不相關(guān)(即Cov(X,Y)=。)；反之不真，即X,Y不相關(guān)推不出X,Y獨(dú)立。重要特例是：若(XI)為正態(tài)分布，則X,Y獨(dú)立等價(jià)于X,Y不相關(guān)(即夕=。)\YX\例9設(shè)(x,y)的分布律為-1J 11/4 0,求EX,EY,DX,DY,Cov(X,Y),P解：易知X --R1/21/4X2Y2XY1P1122EY2=1x1=1xy“ 1.31 — 3-1 1故EX=(-1)x+1x-= EY=(-l)x-+lx=—4 42 4 4 2EX2=1x1=1DX=EX2—(EX)2=1—(1)23 “ 14,DY=1-(-2)2Cov(X,Y)=E(XY)—EXEY=PXY0.25dDXDDY <0.75v0.753例10設(shè)(X,Y)?N(1,1,4,9,1),則Cov(X,Y)=poo=1x2x3=3*2 122例11設(shè)(X,Y)為連續(xù)型，則X與Y不相關(guān)的充分必要條件是(選擇題)(A)X,Y獨(dú)立 (B)E(X+Y)=EX+EY (C)E(XY)=EX?EY⑴)(X,Y)?N四四之，。J。22，0)解法1(排除法)：排除(A),因X,Y獨(dú)立nX,Y不相關(guān)(故非充要條件)；排除(B),這一等式成立不需任何條件；排除(D),由(X,Y)服從正態(tài)分布及P=0知X，Y獨(dú)立，從而不相關(guān)，但并非正態(tài)場合才有這一結(jié)論n故選(C)解法2(直接證明)：當(dāng)E(XY)=EXEY時，Cov(X,Y)=E(XY)-EXEY=0，故X，Y不相關(guān)；反之亦然。第五章大數(shù)定律與中心極限定理1.貝努利大數(shù)定律_.、_〃 _._.n_貝努利大數(shù)定律：設(shè)P(A)=P，—為A在n次觀測中發(fā)生的頻率，則對任給的正數(shù)￡有l(wèi)imP(-—P<￡)=1

n nsn2.中心極限定理設(shè)Xi，X2,…相互獨(dú)立，同分布，從而它們有相同的期望N和相同的方差02limPn-8Ex-nNi4^1~= %no, <X=中(X)，其中①(X)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù))［注］:中心極限定理的含義是:大量隨機(jī)變量的和近似正態(tài)分布，即當(dāng)n很大時^^X近似某正態(tài)分布N(N,o2),

ii=1為了便于查表近似計(jì)算,將1Lx標(biāo)準(zhǔn)化(從而標(biāo)準(zhǔn)化后其近似分布N(0,1))ii=1、Di=1Ex-nNi4=1_- no(y故上述隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(X)氏①(X)n在應(yīng)用中心極限定理，大多用上式的形式更進(jìn)一步的特別場合為：若X1，X2,…相互獨(dú)立同B(1,P)分布時，上式化為￡x-np

1'T?——nppq這一式子在應(yīng)用也較為常用例1計(jì)算機(jī)進(jìn)行加法計(jì)算時，設(shè)所取整誤差是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X,X，…，且都服從u(-0.5,0.5)，求30012個數(shù)相加的誤差總和的絕對值小于10的概率。解：易知第i個加數(shù)的誤差X滿足：X?u(-0.5,0.5),EX=0,DX=-1,故i i i i1212=藝DX12ii=1故所P[I00Xi1i=1)<10J1,1300x.: 故所P[I00Xi1i=1)<10J1,1300x.: 1220(2)-1=0.9544第六章統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布.設(shè)總體X?F(x),f(X)則其樣本X,X，…,X相互獨(dú)立，同分布F(X),n為樣本容量1 2 n從而(x,X，…,X)?F(X,X，…,X)=

1 2 n 1 2 nHf(x)=F(x)???F(x)1ni=1?于(X1,X2,…,X)=Hf(X)=f(X(X)1ni=1 1例1設(shè)總體X?N(四,o2)，則f(X)=~^^e-(X-M2/2O2從而其樣本的聯(lián)合密度函數(shù)為

2兀o一 (1\n(X，…,X)?f(X，…,X)= ,—1n1n IJ2兀oJexp{--L2o2￡(X-^)2

ii=12．常見統(tǒng)計(jì)量常見統(tǒng)計(jì)量：設(shè)總體為X,X,x，…,x為其樣本，EX=從,DX=o212n不含任何未知參數(shù)的樣本(x，…,x)的函數(shù)稱為統(tǒng)計(jì)量1n(1)樣本均值(1)樣本均值x-1￡x,Ex-日，

nii-1—a2DX-——，這結(jié)論對任何總體都成立。n進(jìn)一步的，若總體X?N(進(jìn)一步的，若總體X?N(N,a2)x—n—一

從而U= =?N(0,1)a/nn(2)樣本萬差S2-——-￡(x-x)2

n-1 ii-1n-1ES2-a2,ES2 a2nnS2-1￡(x-x)2

nnii-1(3)若總體X?N(從,a2)，則有x與s2相互獨(dú)立，且、(、(n-1)s2 1yx2--a2 a2i-1-2(x-x)?x2(n-1)ix-Nt =?t(n一1) *s/nn(4)若總體X與總體Y相互獨(dú)立x，…,x與r，(4)若總體X與總體Y相互獨(dú)立x，…,x與r，…,r分別為其樣本1n1mX?N(日,a2),y?N⑴,a2)1122s2-，￡1n-1i-1(x-x)2,S2-m-1i-1iy其中x-——xni

i-1-1￡iJ-yJ，則

mii-1U-(x一J)一(9一四2)~N(0,1)S2/a2F--1 」?F(n-1,m-1)S2/a222進(jìn)一步的,若ai2-a22，則有(x一J)-(N-N)t 1 2—?t(m+n-2)c1 1S+w\nm

其中S2(〃一1)S2其中S2 1 2—n+m-23.關(guān)于X21,b分布的密度曲線及分位數(shù)(1)分布X%141)若12?%2(〃)，貝ij&2=〃，0x2=2,,P(x2>x2(n))=a從而P(x2<x2(n))=1—aa而F分布的密度曲線與上圖相似。P(t>t(n))=aaTOC\o"1-5"\h\zt分布的密度曲線f(x)關(guān)于y軸對稱，故有—t(n)=t (n)a 1-a例2設(shè)總體X?U(-1,1),x是容量n的樣本均值，求E(x),D(x),,……c…22 1 八 1解：由總體X?U(—LD，知EX=0,DX=――=—, =0,o2=—JL1/3 11/3 1— —O2故Ex=a=0,DX=——

n例3設(shè)總體X?N(上。2),x「x2,…,xn為其樣本l=i(x—x)21=(n—1)o2證明：：￡(x—x)2?x2(n—1)O2i

i=1??????EiO2I i=1一2(x—x) =(n—1)i)(x-x) =(n-1)o2第七章參數(shù)估計(jì).矩法估計(jì)：矩估計(jì)的實(shí)質(zhì)是用樣本矩作為總體相應(yīng)矩的估計(jì)量設(shè)x為總體，設(shè)x為總體，ex=a,DX=02,x,x，…,x12為其樣本則a的矩估計(jì)a=xO2的矩估計(jì)02O2的矩估計(jì)02=S2n=1￡

ni=1例1設(shè)總體x?N(N,o2))x2,…,xn為其樣本,求N,。2的矩估計(jì)解：因?yàn)閑x=日,故a=xDX=02，故02=S2n例2設(shè)總體X?U(0,9),0>0未知，求0的矩估計(jì)0,,0解：因?yàn)镋X=-,故5=x(矩法方程)，由此解得0=2x，即為0的矩估計(jì)例3設(shè)總體X?B(1,P),其中0<P<1,未知x1，x2,…，xn為其樣本,求P的矩估計(jì)

_ 2 —解：由EX=P，故P的矩估計(jì)P=x.極大似然估計(jì)設(shè)總體X,具有概率密度函數(shù)f(X；0),0e@其中0為未知參數(shù)，其變化范圍為0則似然函數(shù)為L(0)=Hf(x；0)ii=1TOC\o"1-5"\h\z八 八 八若存在0使L(0)=max{L(0),0e0}，則稱0為0的極大似然估計(jì)L L L一般求法：①由題設(shè)，求出L(0)=Hf(x；0)的表達(dá)式ii=1②取對數(shù)：lnL(0)=Xlnf(x；0) *ii=1③求導(dǎo)并令其等于0，建立似然方程d0lnL(0)=0 *八④解之即得0的極大似然估計(jì)02例4設(shè)例4設(shè)x1，x之，…,xn是總體X的樣本10x-(0+1)x>1總體概率密度為f(X；0)=\ , ,I0,