《第12章 證明》試卷及答案-初中數(shù)學(xué)七年級下冊-蘇科版-2024-2025學(xué)年

《第12章證明》試卷(答案在后面)一、選擇題（本大題有10小題，每小題3分，共30分）1、下列命題中，屬于真命題的是：A.若a>b，則a2>b2B.若a+b=0，則a=bC.若a=b，則a2=b2D.若a2=b2，則a=b或a=-b2、已知直角三角形ABC中，∠C為直角，AB=5cm，BC=3cm，則AC的長度是：A.4cmB.5cmC.3cmD.2cm3、下列命題中，正確的是（）A.如果兩個角相等，那么這兩個角是同位角B.如果一條直線垂直于平面內(nèi)的一條直線，那么這條直線垂直于這個平面C.如果兩條直線平行，那么它們的同位角相等D.如果兩個三角形的對應(yīng)邊長成比例，那么這兩個三角形相似4、在等腰三角形ABC中，底邊BC的長度為6cm，腰AB=AC的長度為8cm。如果從頂點A向底邊BC作垂線AD，那么垂線AD的長度是（）A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm5、在△ABC中，已知∠A=60°，∠B=45°，則∠C的度數(shù)是（）A.60°B.75°C.105°D.120°6、下列命題中，正確的是（）A.如果a>b，那么a2>b2B.如果a>b，那么a-b>0C.如果a>b，那么a-c>b-c（c為任意實數(shù)）D.如果a2>b2，那么a>b7、已知：在等腰三角形ABC中，AB=AC，D為BC的中點。問題：如果角BAC的度數(shù)是60°，則角ABC的度數(shù)是（）A.30°B.60°C.70°D.80°8、已知：在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠B=30°。問題：如果AB=6cm，那么BC的長度是（）A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm9、下列命題中，不屬于真命題的是：A.如果a>b，那么a-b>0B.如果a=b，那么a^2=b^2C.如果a^2+b^2=c^2，那么a、b、c構(gòu)成直角三角形D.如果x+y=0，那么x=-y10、在平面直角坐標(biāo)系中，點P的坐標(biāo)是（-2，3），點Q在x軸上，且PQ的長度是5，那么點Q的坐標(biāo)是：A.（-7，0）B.（3，0）C.（-2，0）D.（-2，-3）二、計算題（本大題有3小題，每小題5分，共15分）第一題：已知：在三角形ABC中，AB=AC，點D是邊BC上的一個點，且BD=CD。求證：∠ADB=∠ADC。第二題：已知在直角坐標(biāo)系中，點A(2,3)和B(-1,5)是直線AB上的兩點，C點在AB的延長線上，且AC的長度是AB長度的2倍。求點C的坐標(biāo)。第三題：已知：在三角形ABC中，點D是邊AB上的一個點，且AD=DB。點E是邊AC上的一個點，且AE=EC。連接DE。求證：DE平分∠BAC。（1）由于AB=AD+DB，而AD=DB，所以AB=2AD，同理AB=2EC。（2）由于EF平行于AB，根據(jù)平行線分線段成比例定理，有AE/EC=AF/AB。（3）由于AE=EC，所以AF=AB。（4）因為AD=DB，且AF=AB，所以三角形ADF和三角形BDF是全等三角形（SAS準(zhǔn)則）。（5）由于三角形ADF和三角形BDF全等，所以∠ADF=∠BDF。（6）因為EF平行于AB，所以∠ADF和∠BAC是對頂角，所以∠ADF=∠BAC。（7）由于∠ADF=∠BDF且∠ADF=∠BAC，所以∠BDF=∠BAC。（8）因此，DE平分∠BAC。三、解答題（本大題有7小題，第1小題7分，后面每小題8分，共55分）第一題：已知在三角形ABC中，角A、角B、角C的對邊分別為a、b、c，且a=5，b=7，∠A=45°，∠B=60°。（1）求∠C的大?。唬?）若邊b上的高AD等于a的長度，求三角形ABC的面積。第二題：證明題在△ABC中，已知∠B=45°，∠C=90°，AB=AC=4cm。求證：△ABC是等腰直角三角形，并求出BC的長度。第三題：已知直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm?，F(xiàn)有一條直線DE平行于AB，且DE與AC相交于點D，與BC相交于點E。（1）求證：△ADE∽△BAC。（2）若DE=12cm，求證：△CDE∥△ABC。第四題：已知在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=10cm，點D是BC邊上的中點，E是AC邊上的高AD與BC的交點。（1）求證：BE=EC；（2）若BE=6cm，求三角形ABC的周長。第五題：已知：在△ABC中，AB=AC，點D在BC邊上，且AD=AE。求證：∠B=∠C。第六題：已知在三角形ABC中，AB=AC，D為BC邊上的一個點，且AD⊥BC。若∠BAC=60°，求證：BD=CD。第七題：已知直角坐標(biāo)系中，點A（-2，3）和點B（4，-1）是直線上的兩點，點C是該直線的另一點，且∠ACB=90°。求點C的坐標(biāo)?！兜?2章證明》試卷及答案一、選擇題（本大題有10小題，每小題3分，共30分）1、下列命題中，屬于真命題的是：A.若a>b，則a2>b2B.若a+b=0，則a=bC.若a=b，則a2=b2D.若a2=b2，則a=b或a=-b答案：C解析：選項A中，如果a和b都是負數(shù)，那么a2和b2都是正數(shù)，但a2不大于b2；選項B中，a和b可以是互為相反數(shù)的任意兩個數(shù)；選項C中，如果a等于b，那么它們的平方也必然相等，這是真命題；選項D中，a2=b2并不意味著a一定等于b，a也可以等于-b。因此，正確答案是C。2、已知直角三角形ABC中，∠C為直角，AB=5cm，BC=3cm，則AC的長度是：A.4cmB.5cmC.3cmD.2cm答案：A解析：根據(jù)勾股定理，直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。即AC2=AB2-BC2。代入已知數(shù)據(jù)得AC2=52-32=25-9=16。因此，AC=√16=4cm。所以正確答案是A。3、下列命題中，正確的是（）A.如果兩個角相等，那么這兩個角是同位角B.如果一條直線垂直于平面內(nèi)的一條直線，那么這條直線垂直于這個平面C.如果兩條直線平行，那么它們的同位角相等D.如果兩個三角形的對應(yīng)邊長成比例，那么這兩個三角形相似答案：C解析：選項A錯誤，因為兩個角相等不一定在同一直線上；選項B錯誤，因為直線垂直于平面內(nèi)的直線并不意味著它垂直于整個平面；選項C正確，根據(jù)平行線的性質(zhì)，同位角相等；選項D錯誤，對應(yīng)邊長成比例只是三角形相似的必要條件之一，還需要滿足角度條件。因此，正確答案是C。4、在等腰三角形ABC中，底邊BC的長度為6cm，腰AB=AC的長度為8cm。如果從頂點A向底邊BC作垂線AD，那么垂線AD的長度是（）A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm答案：C解析：在等腰三角形中，頂角的垂線也是底邊的中線，因此AD將底邊BC平分。所以，BD=DC=BC/2=6cm/2=3cm。根據(jù)勾股定理，在直角三角形ABD中，AB^2=AD^2+BD2，代入已知數(shù)值，得82=AD^2+32，解得AD2=64-9=55，因此AD=√55。但選項中沒有√55，所以需要檢查計算。實際上，這里應(yīng)該是AD^2=8^2-3^2=64-9=55，所以AD=√55，但是選項C的4cm并不是正確的答案。這里應(yīng)該是一個錯誤，正確的答案應(yīng)該是選項D的5cm，因為8^2=64，而5^2=25，所以AD=5cm。正確答案是D。5、在△ABC中，已知∠A=60°，∠B=45°，則∠C的度數(shù)是（）A.60°B.75°C.105°D.120°答案：C解析：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，三角形內(nèi)角和為180°。因此，∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°。所以正確答案是C。6、下列命題中，正確的是（）A.如果a>b，那么a2>b2B.如果a>b，那么a-b>0C.如果a>b，那么a-c>b-c（c為任意實數(shù)）D.如果a2>b2，那么a>b答案：B解析：選項A不正確，因為如果a和b都是負數(shù)，a>b，但a2<b2。選項B正確，因為如果a>b，那么a-b的結(jié)果必然是一個正數(shù)。選項C不正確，因為如果c為負數(shù)，那么a-c可能會小于b-c。選項D不正確，因為如果a和b都是負數(shù)，a2>b2，但a<b。因此，正確答案是B。7、已知：在等腰三角形ABC中，AB=AC，D為BC的中點。問題：如果角BAC的度數(shù)是60°，則角ABC的度數(shù)是（）A.30°B.60°C.70°D.80°答案：B解析：因為AB=AC，所以三角形ABC是等腰三角形，那么底角相等，即角ABC=角ACB。又因為三角形內(nèi)角和為180°，所以角BAC+角ABC+角ACB=180°。將角BAC的度數(shù)代入，得60°+角ABC+角ABC=180°，即2*角ABC=120°，所以角ABC=60°。因此，正確答案是B。8、已知：在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠B=30°。問題：如果AB=6cm，那么BC的長度是（）A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm答案：A解析：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。因此，如果∠B=30°，那么BC（30°角所對的直角邊）等于AB（斜邊）的一半。由于AB=6cm，那么BC=AB/2=6cm/2=3cm。因此，正確答案是A。9、下列命題中，不屬于真命題的是：A.如果a>b，那么a-b>0B.如果a=b，那么a^2=b^2C.如果a^2+b^2=c^2，那么a、b、c構(gòu)成直角三角形D.如果x+y=0，那么x=-y答案：D解析：選項A、B、C都是數(shù)學(xué)中的基本真命題。選項D中的命題實際上是正確的，因為如果x+y=0，那么根據(jù)等式的性質(zhì)，可以得出x=-y。因此，D選項描述的命題是真命題，但題目要求選擇不屬于真命題的選項，故答案為D。10、在平面直角坐標(biāo)系中，點P的坐標(biāo)是（-2，3），點Q在x軸上，且PQ的長度是5，那么點Q的坐標(biāo)是：A.（-7，0）B.（3，0）C.（-2，0）D.（-2，-3）答案：A解析：點P的坐標(biāo)是（-2，3），點Q在x軸上，所以Q的y坐標(biāo)為0。PQ的長度為5，根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中的距離公式，我們有：|Qx-Px|=PQ的長度|Qx-(-2)|=5解這個絕對值方程，我們得到兩個可能的解：Qx-(-2)=5或Qx-(-2)=-5Qx=3或Qx=-3因此，點Q的坐標(biāo)可能是（3，0）或（-3，0）。但題目要求PQ的長度是5，所以點Q不能在P的左邊，因此排除（-3，0），點Q的坐標(biāo)是（3，0）。選項A（-7，0）不滿足條件，因此正確答案是A（-7，0）是錯誤的，正確答案應(yīng)該是B（3，0）。這里提供的答案A有誤，正確答案應(yīng)為B。二、計算題（本大題有3小題，每小題5分，共15分）第一題：已知：在三角形ABC中，AB=AC，點D是邊BC上的一個點，且BD=CD。求證：∠ADB=∠ADC。答案：證明：由于AB=AC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，底邊上的高、中線、角平分線相互重合，因此AD是∠BAC的角平分線。又因為BD=CD，所以AD不僅是角平分線，同時也是BC邊的中線。在等腰三角形ABD和ACD中，有：AB=AC（已知）AD=AD（公共邊）BD=CD（已知）根據(jù)SAS（邊-角-邊）全等條件，三角形ABD和三角形ACD全等。因此，對應(yīng)角相等，即∠ADB=∠ADC。解析：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定條件。首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)確定AD是角平分線，然后利用BD=CD的信息，結(jié)合全等三角形的SAS判定條件，得出結(jié)論∠ADB=∠ADC。第二題：已知在直角坐標(biāo)系中，點A(2,3)和B(-1,5)是直線AB上的兩點，C點在AB的延長線上，且AC的長度是AB長度的2倍。求點C的坐標(biāo)。答案：點C的坐標(biāo)為(-5,7)。解析：首先計算AB的長度，根據(jù)兩點之間的距離公式，有：AB=xB?xA由于AC的長度是AB長度的2倍，所以AC的長度為2×因為C點在AB的延長線上，所以C點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別比B點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)大或小相同的量，這個量就是AC長度的一部分。假設(shè)C點的坐標(biāo)為(x,y)，則根據(jù)C在AB的延長線上，有：解上述方程組，得到：代入A和B的坐標(biāo)，得到：因此，點C的坐標(biāo)應(yīng)該是(5,1)，但這個結(jié)果與題目中的答案不符。我們需要重新檢查計算過程。仍然得到C點的坐標(biāo)為(5,1)，這與答案(-5,7)不符。這里可能是題目中的答案有誤，或者我們在解題過程中有理解上的偏差。為了確保答案的正確性，我們再次檢查計算過程。根據(jù)題目描述，C點在AB的延長線上，且AC是AB的兩倍長度。因此，我們應(yīng)該有：代入A和B的坐標(biāo)，得到：重新檢查題目，發(fā)現(xiàn)我們可能在理解題意上出現(xiàn)了錯誤。題目中提到AC的長度是AB長度的兩倍，這意味著C點應(yīng)該在B點的反方向延長線上，而不是A點的反方向延長線上。因此，我們應(yīng)該計算C點相對于B點的坐標(biāo)，然后從B點坐標(biāo)中減去這個值：根據(jù)上述計算，點C的坐標(biāo)應(yīng)該是(-7,9)。但是這個結(jié)果仍然與題目中的答案(-5,7)不符。最后，我們再次審視題目，發(fā)現(xiàn)可能題目中的答案(-5,7)是正確的，而我們在解題過程中可能存在計算錯誤。為了驗證這一點，我們再次檢查題目和答案，確保沒有誤解。經(jīng)過仔細檢查，我們發(fā)現(xiàn)原來的計算過程是正確的，因此我們可以確定題目中的答案是正確的，而我們在解題過程中可能犯了一個錯誤。因此，根據(jù)題目的描述和正確的計算過程，點C的坐標(biāo)應(yīng)該是(-7,9)，而不是題目中給出的(-5,7)。這表明題目中的答案可能是錯誤的，或者我們對題目的理解有誤。第三題：已知：在三角形ABC中，點D是邊AB上的一個點，且AD=DB。點E是邊AC上的一個點，且AE=EC。連接DE。求證：DE平分∠BAC。答案：證明：過點E作EF平行于AB，交BC于點F。解析：（1）由于AB=AD+DB，而AD=DB，所以AB=2AD，同理AB=2EC。（2）由于EF平行于AB，根據(jù)平行線分線段成比例定理，有AE/EC=AF/AB。（3）由于AE=EC，所以AF=AB。（4）因為AD=DB，且AF=AB，所以三角形ADF和三角形BDF是全等三角形（SAS準(zhǔn)則）。（5）由于三角形ADF和三角形BDF全等，所以∠ADF=∠BDF。（6）因為EF平行于AB，所以∠ADF和∠BAC是對頂角，所以∠ADF=∠BAC。（7）由于∠ADF=∠BDF且∠ADF=∠BAC，所以∠BDF=∠BAC。（8）因此，DE平分∠BAC。答案：證明完畢。三、解答題（本大題有7小題，第1小題7分，后面每小題8分，共55分）第一題：已知在三角形ABC中，角A、角B、角C的對邊分別為a、b、c，且a=5，b=7，∠A=45°，∠B=60°。（1）求∠C的大小；（2）若邊b上的高AD等于a的長度，求三角形ABC的面積。答案：（1）∠C=75°解析：由三角形內(nèi)角和定理知，∠A+∠B+∠C=180°，代入已知條件得：45°+60°+∠C=180°∠C=180°-45°-60°∠C=75°（2）三角形ABC的面積為12.5解析：由三角形的面積公式S=1/2*底*高，代入已知條件得：S=1/2*a*AD由于AD=a，即AD=5，代入得：S=1/2*5*5S=12.5因此，三角形ABC的面積為12.5。第二題：證明題在△ABC中，已知∠B=45°，∠C=90°，AB=AC=4cm。求證：△ABC是等腰直角三角形，并求出BC的長度。答案：證明：因為∠B=45°，∠C=90°，所以△ABC是一個直角三角形。又因為AB=AC=4cm，所以△ABC的兩腰AB和AC相等。根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，如果一個三角形的兩腰相等，那么這個三角形是等腰三角形。因此，△ABC是一個等腰直角三角形。接下來，我們求出BC的長度。在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理，我們有：BC2=AB2+AC2將已知的AB和AC的長度代入，得：BC2=4cm2+4cm2BC2=16cm2+16cm2BC2=32cm2BC=√32cmBC=4√2cm所以，BC的長度為4√2cm。解析：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理。首先根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余的性質(zhì)，得出△ABC是直角三角形。然后利用等腰三角形的定義，證明△ABC是等腰直角三角形。最后，通過勾股定理計算出BC的長度。解題過程中，需要熟練掌握相關(guān)定理和性質(zhì)。第三題：已知直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm?，F(xiàn)有一條直線DE平行于AB，且DE與AC相交于點D，與BC相交于點E。（1）求證：△ADE∽△BAC。（2）若DE=12cm，求證：△CDE∥△ABC。答案：（1）證明：因為DE平行于AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)，∠BAC=∠DEA。又因為∠C=90°，所以∠ABC=90°。在直角三角形ABC中，∠C=90°，所以∠BAC+∠ABC=90°，即∠DEA+∠ABC=90°。因此，∠DEA=∠ABC。又因為∠BAC=∠DEA，且∠ABC=∠DEA，根據(jù)AA相似準(zhǔn)則，△ADE∽△BAC。（2）證明：由（1）知，△ADE∽△BAC，所以對應(yīng)邊成比例，即AD/AC=DE/AB。已知AC=6cm，DE=12cm，AB=AC+BC=6cm+8cm=14cm，代入比例關(guān)系得：AD/6=12/14AD/6=6/7AD=6*(6/7)AD=36/7cm在△CDE中，DE=12cm，CD=AC-AD=6cm-(36/7)cm=(42/7)cm-(36/7)cm=6/7cm。因為CD/AC=DE/AB，且CD/AC=(6/7)/6=1/7，DE/AB=12/14=6/7，所以CD/AC=DE/AB。根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，△CDE∽△ABC。解析：（1）通過平行線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，利用AA相似準(zhǔn)則證明了△ADE∽△BAC。（2）首先根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得出AD的長度，然后計算CD的長度。接著，利用相似三角形的性質(zhì)，證明了△CDE∥△ABC。第四題：已知在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=10cm，點D是BC邊上的中點，E是AC邊上的高AD與BC的交點。（1）求證：BE=EC；（2）若BE=6cm，求三角形ABC的周長。答案：（1）證明：因為點D是BC邊上的中點，所以BD=DC=5cm。又因為AD是三角形ABC的高，所以AD垂直于BC。在直角三角形ABD和ACD中，有：∠ADB=∠ADC=90°，AB=AC，所以根據(jù)HL（斜邊-直角邊）判定，三角形ABD≌三角形ACD。根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，對應(yīng)邊相等，所以BD=DC，即BE=EC。（2）解：因為BE=6cm，且BE=EC，所以EC=6cm。在直角三角形ABE中，根據(jù)勾股定理，有：AE2=AB2-BE2AE2=102-62AE2=100-36AE2=64AE=√64AE=8cm因為AD是三角形ABC的高，所以AD垂直于BC，且AD平分BC。所以AD=BD=5cm。在直角三角形ACD中，根據(jù)勾股定理，有：AC2=AD2+CD2AC2=52+52AC2=25+25AC2=50AC=√50AC=5√2cm所以三角形ABC的周長為AB+BC+AC=10+10+5√2cm=20+5√2cm。解析：（1）通過證明三角形ABD和ACD全等，利用全等三角形的性質(zhì)得出BE=EC。（2）通過勾股定理求出AE的長度，然后利用AD平分BC的性質(zhì)求出AC的長度，最后計算三角形ABC的周長。第五題：已知：在△ABC中，AB=AC，點D在BC邊上，且AD=AE。求證：∠B=∠C。答案：證明：步驟1：因為AB=AC，所以△ABC是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，底角相等，即∠B=∠C。步驟2：因為AD=AE，所以△ADE是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，底角相等，即∠DAE=∠DEA。步驟3：在△ABD和△ACE中，有：∠BAD=∠CAE（由步驟1得到）AD=AE（已知）∠DAE=∠DEA（由步驟2得到）步驟4：根據(jù)SAS（Side-Angle-Side）準(zhǔn)則，△ABD≌△ACE。步驟5：由于全等三角形的對應(yīng)角相等，所以∠ADB=∠AEC。步驟6：在△ABD中，∠ADB+∠B+∠BAD=180°（三角形內(nèi)角和定理）。步驟7：在△ACE中，∠AEC+∠C+∠CAE=180°（三角形內(nèi)角和定理）。步驟8：由步驟5和步驟6、步驟7可得∠B=∠C。解析：本題通過等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定方法來證明兩個底角相等。首先利用等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠C，然后通過證明△ABD≌△ACE，利用全等三角形的性質(zhì)得到∠ADB=∠AEC，最后結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，得到∠B=∠C。第六題：已知在三角形ABC中，AB=AC，D為BC邊上的一個點，且AD⊥BC。若∠BAC=60°，求證：BD=CD。答案：證明：連接AD。因為AB=AC，所以三角形ABC是等腰三角形。由等腰三角形的性質(zhì)可知，底邊上的高也是底邊的中線，即AD是BC的中線。因此，BD=CD。又因為AD⊥BC，所以三角形ABD和三角形ACD是兩個全等的直角三角形（HL全等條件，即斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等）。全等三角形的對應(yīng)邊相等，所以BD=CD。解析：首先，根據(jù)題目給出的條件，我們知道三角形ABC是等腰三角形，因為AB=AC。接著，利用等腰三角形的性質(zhì)，我們知道底邊上的高也是底邊的中線，因此AD不僅是BC的高，也是BC的中線。由于AD是BC的中線，所以BD=CD。最