數(shù)學(xué)課堂探究：概率的加法公式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究互斥事件與對(duì)立事件的異同剖析：（1）從概念上區(qū)別：“互斥事件”和“對(duì)立事件”都是就兩個(gè)事件而言的，互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，而對(duì)立事件是其中必有一個(gè)發(fā)生的互斥事件．因此,對(duì)立事件必須是互斥事件,但互斥事件不一定是對(duì)立事件．“對(duì)立”是所研究的互斥事件中兩個(gè)事件的非此即彼的關(guān)系．對(duì)立事件的兩個(gè)必要條件是：①A與B互斥，②A與B在一次試驗(yàn)中至少有一個(gè)發(fā)生．（2）從集合的角度區(qū)別：A和B互斥是指這兩個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合不相交，即A∩B＝，也就是沒有公共部分的基本事件．易知,必然事件與不可能事件是互斥的．如果事件A1，A2，…,An中的任何兩個(gè)都是互斥事件，那么我們就說,事件A1，A2，…,An彼此互斥．從集合角度看，n個(gè)事件彼此互斥，是指由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合彼此不相交．例如，從一堆產(chǎn)品（其中正品和次品都多于2個(gè))中任取2件,其中：①“恰有一件次品和恰有兩件次品"就是互斥事件;②“至少一件次品和全是次品”就不是互斥事件；③“至少有一件次品和全是正品”也是互斥事件．事件A與事件B對(duì)立是指由事件B所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集,即滿足條件A∩B＝且A∪B＝U。歸納總結(jié)互斥事件與對(duì)立事件都是兩個(gè)事件的關(guān)系，互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，而對(duì)立事件除要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外，還要求二者之中必須有一個(gè)發(fā)生．因此,對(duì)立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情況，但互斥事件不一定是對(duì)立事件．題型一互斥事件與對(duì)立事件的判斷【例1】判斷下列各對(duì)事件是否為互斥事件，是否為對(duì)立事件，并說明理由．某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)去參加演講比賽，其中（1)“恰有1名男生"和“恰有2名男生”；(2）“至少有1名男生”和“至少有1名女生"；（3)“至少有1名男生”和“全是男生"；(4）“至少有1名男生"和“全是女生”．分析:判斷兩個(gè)事件是否互斥,就是研究代表兩個(gè)事件的集合有無公共部分,若有，則一定不互斥；若沒有，則一定互斥．互斥是對(duì)立的前提，若兩個(gè)事件互斥，且它們的集合互為補(bǔ)集，則兩個(gè)事件是對(duì)立事件,如果兩個(gè)事件不是互斥事件,則它們一定不是對(duì)立事件．解：（1）是互斥事件，但不是對(duì)立事件．理由是：所選的2名同學(xué)中，“恰有1名男生”實(shí)質(zhì)選出的是“1名男生和1名女生”，它與“恰有2名男生”不可能同時(shí)發(fā)生，所以是一對(duì)互斥事件，同時(shí)，不能保證其中必有一個(gè)發(fā)生，因?yàn)檫€可能選出“恰有2名女生",因此二者不對(duì)立．（2）不是互斥事件，也不是對(duì)立事件．理由是“至少有1名男生"包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”兩種情況，“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”兩種情況，它們共同含有“1名男生、1名女生”，能夠同時(shí)發(fā)生,因此不互斥也不對(duì)立．（3）不是互斥事件，也不是對(duì)立事件．理由是：“至少有1名男生"包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”，這和“全是男生”能同時(shí)發(fā)生，因此不互斥也不對(duì)立．（4)是互斥事件，同時(shí)也是對(duì)立事件．理由是:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”兩種結(jié)果，它和“全是女生”不可能同時(shí)發(fā)生，但其中必有一個(gè)發(fā)生,故它們既是互斥的，又是對(duì)立的．從集合的角度來看，互斥事件就是交集為空集的事件，對(duì)立事件就是互補(bǔ)的事件，對(duì)立一定互斥,互斥不一定對(duì)立，不互斥一定不對(duì)立。題型二互斥事件、對(duì)立事件概率公式的應(yīng)用【例2】一盒中裝有形狀大小相同的各色球12只,其中5只紅球、4只黑球、2只白球、1只綠球．從中隨機(jī)取出1球，求:(1）取出1球是紅球或黑球的概率；(2）取出的1球是紅球或黑球或白球的概率．分析：可按互斥事件和對(duì)立事件求概率的方法,利用公式求解．解法一:（1)從12只球中任取1球得紅球有5種取法，得黑球有4種取法，得紅球或黑球共有5＋4＝9種不同取法，任取1球有12種取法．∴任取1球得紅球或黑球的概率為P1＝eq\f(9，12）＝eq\f(3，4）.（2)從12只球中任取1球得紅球有5種取法，得黑球有4種取法，得白球有2種取法．從而得紅球或黑球或白球的概率為eq\f（5＋4＋2,12)＝eq\f（11,12）.解法二:（利用互斥事件求概率)記事件A1＝｛任取1球?yàn)榧t球｝;A2＝｛任取1球?yàn)楹谇騷；A3＝｛任取1球?yàn)榘浊颍?；A4＝{任取1球?yàn)榫G球｝，則P(A1）＝eq\f（5，12），P（A2）＝eq\f(4,12）,P（A3）＝eq\f(2，12），P(A4）＝eq\f(1,12)。根據(jù)題意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件概率公式得（1）取出1球?yàn)榧t球或黑球的概率為P(A1∪A2)＝P(A1）＋P（A2）＝eq\f(5,12）＋eq\f(4，12）＝eq\f(3,4).(2）取出1球?yàn)榧t球或黑球或白球的概率為P（A1∪A2∪A3)＝P（A1）＋P（A2)＋P（A3）＝eq\f(5，12）＋eq\f(4,12）＋eq\f(2，12）＝eq\f（11,12).解法三：(利用對(duì)立事件求概率的方法)（1）由解法二知，取出1球?yàn)榧t球或黑球的對(duì)立事件為取出一白球或綠球，即A1∪A2的對(duì)立事件為A3∪A4.所以取得紅球或黑球的概率為P（A1∪A2)＝1－P（A3∪A4)＝1－P(A3)－P（A4）＝1－eq\f（2,12）－eq\f(1,12)＝eq\f(9，12)＝eq\f(3，4）。（2）A1∪A2∪A3的對(duì)立事件為A4,所以P（A1∪A2∪A3）＝1－P（A4)＝1－eq\f(1，12）＝eq\f（11，12）.反思(1）解決此類問題，首先應(yīng)結(jié)合互斥事件和對(duì)立事件的定義分析出是不是互斥事件和對(duì)立事件,再?zèng)Q定使用哪一公式,不要由于亂套公式而導(dǎo)致出錯(cuò)．（2）要注意分類討論和等價(jià)轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用．(3)對(duì)于分類情況較多的問題，可以利用“正難則反”的思想先求其對(duì)立事件的概率。題型三易錯(cuò)辨析【例3】把10張卡片分別寫了數(shù)字0,1，2,3,4,5,6,7，8,9后，任意疊放在一起,從中任取一張，設(shè)“抽到大于3的奇數(shù)”為事件A，“抽到小于7的奇數(shù)”為事件B.試求P(A∪B）．錯(cuò)解：因?yàn)镻（A)＝eq\f（3，10）,P（B）＝eq\f(3，10），所以P(A∪B）＝P(A)＋P（B)＝eq\f(3,10）＋eq\f(3,10)＝eq\f(3,5）.錯(cuò)因分析：A,B兩事件不是互斥事件，事件A包含抽到數(shù)字是