數(shù)學課堂探究：概率的加法公式

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究互斥事件與對立事件的異同剖析：（1）從概念上區(qū)別：“互斥事件”和“對立事件”都是就兩個事件而言的，互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，而對立事件是其中必有一個發(fā)生的互斥事件．因此,對立事件必須是互斥事件,但互斥事件不一定是對立事件．“對立”是所研究的互斥事件中兩個事件的非此即彼的關系．對立事件的兩個必要條件是：①A與B互斥，②A與B在一次試驗中至少有一個發(fā)生．（2）從集合的角度區(qū)別：A和B互斥是指這兩個事件所含的結果組成的集合不相交，即A∩B＝，也就是沒有公共部分的基本事件．易知,必然事件與不可能事件是互斥的．如果事件A1，A2，…,An中的任何兩個都是互斥事件，那么我們就說,事件A1，A2，…,An彼此互斥．從集合角度看，n個事件彼此互斥，是指由各個事件所含的結果組成的集合彼此不相交．例如，從一堆產品（其中正品和次品都多于2個)中任取2件,其中：①“恰有一件次品和恰有兩件次品"就是互斥事件;②“至少一件次品和全是次品”就不是互斥事件；③“至少有一件次品和全是正品”也是互斥事件．事件A與事件B對立是指由事件B所含的結果組成的集合，是全集中由事件A所含的結果組成的集合的補集,即滿足條件A∩B＝且A∪B＝U。歸納總結互斥事件與對立事件都是兩個事件的關系，互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發(fā)生外，還要求二者之中必須有一個發(fā)生．因此,對立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情況，但互斥事件不一定是對立事件．題型一互斥事件與對立事件的判斷【例1】判斷下列各對事件是否為互斥事件，是否為對立事件，并說明理由．某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學去參加演講比賽，其中（1)“恰有1名男生"和“恰有2名男生”；(2）“至少有1名男生”和“至少有1名女生"；（3)“至少有1名男生”和“全是男生"；(4）“至少有1名男生"和“全是女生”．分析:判斷兩個事件是否互斥,就是研究代表兩個事件的集合有無公共部分,若有，則一定不互斥；若沒有，則一定互斥．互斥是對立的前提，若兩個事件互斥，且它們的集合互為補集，則兩個事件是對立事件,如果兩個事件不是互斥事件,則它們一定不是對立事件．解：（1）是互斥事件，但不是對立事件．理由是：所選的2名同學中，“恰有1名男生”實質選出的是“1名男生和1名女生”，它與“恰有2名男生”不可能同時發(fā)生，所以是一對互斥事件，同時，不能保證其中必有一個發(fā)生，因為還可能選出“恰有2名女生",因此二者不對立．（2）不是互斥事件，也不是對立事件．理由是“至少有1名男生"包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”兩種情況，“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”兩種情況，它們共同含有“1名男生、1名女生”，能夠同時發(fā)生,因此不互斥也不對立．（3）不是互斥事件，也不是對立事件．理由是：“至少有1名男生"包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”，這和“全是男生”能同時發(fā)生，因此不互斥也不對立．（4)是互斥事件，同時也是對立事件．理由是:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”兩種結果，它和“全是女生”不可能同時發(fā)生，但其中必有一個發(fā)生,故它們既是互斥的，又是對立的．從集合的角度來看，互斥事件就是交集為空集的事件，對立事件就是互補的事件，對立一定互斥,互斥不一定對立，不互斥一定不對立。題型二互斥事件、對立事件概率公式的應用【例2】一盒中裝有形狀大小相同的各色球12只,其中5只紅球、4只黑球、2只白球、1只綠球．從中隨機取出1球，求:(1）取出1球是紅球或黑球的概率；(2）取出的1球是紅球或黑球或白球的概率．分析：可按互斥事件和對立事件求概率的方法,利用公式求解．解法一:（1)從12只球中任取1球得紅球有5種取法，得黑球有4種取法，得紅球或黑球共有5＋4＝9種不同取法，任取1球有12種取法．∴任取1球得紅球或黑球的概率為P1＝eq\f(9，12）＝eq\f(3，4）.（2)從12只球中任取1球得紅球有5種取法，得黑球有4種取法，得白球有2種取法．從而得紅球或黑球或白球的概率為eq\f（5＋4＋2,12)＝eq\f（11,12）.解法二:（利用互斥事件求概率)記事件A1＝｛任取1球為紅球｝;A2＝｛任取1球為黑球}；A3＝｛任取1球為白球｝；A4＝{任取1球為綠球｝，則P(A1）＝eq\f（5，12），P（A2）＝eq\f(4,12）,P（A3）＝eq\f(2，12），P(A4）＝eq\f(1,12)。根據(jù)題意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件概率公式得（1）取出1球為紅球或黑球的概率為P(A1∪A2)＝P(A1）＋P（A2）＝eq\f(5,12）＋eq\f(4，12）＝eq\f(3,4).(2）取出1球為紅球或黑球或白球的概率為P（A1∪A2∪A3)＝P（A1）＋P（A2)＋P（A3）＝eq\f(5，12）＋eq\f(4,12）＋eq\f(2，12）＝eq\f（11,12).解法三：(利用對立事件求概率的方法)（1）由解法二知，取出1球為紅球或黑球的對立事件為取出一白球或綠球，即A1∪A2的對立事件為A3∪A4.所以取得紅球或黑球的概率為P（A1∪A2)＝1－P（A3∪A4)＝1－P(A3)－P（A4）＝1－eq\f（2,12）－eq\f(1,12)＝eq\f(9，12)＝eq\f(3，4）。（2）A1∪A2∪A3的對立事件為A4,所以P（A1∪A2∪A3）＝1－P（A4)＝1－eq\f(1，12）＝eq\f（11，12）.反思(1）解決此類問題，首先應結合互斥事件和對立事件的定義分析出是不是互斥事件和對立事件,再決定使用哪一公式,不要由于亂套公式而導致出錯．（2）要注意分類討論和等價轉化數(shù)學思想的運用．(3)對于分類情況較多的問題，可以利用“正難則反”的思想先求其對立事件的概率。題型三易錯辨析【例3】把10張卡片分別寫了數(shù)字0,1，2,3,4,5,6,7，8,9后，任意疊放在一起,從中任取一張，設“抽到大于3的奇數(shù)”為事件A，“抽到小于7的奇數(shù)”為事件B.試求P(A∪B）．錯解：因為P（A)＝eq\f（3，10）,P（B）＝eq\f(3，10），所以P(A∪B）＝P(A)＋P（B)＝eq\f(3,10）＋eq\f(3,10)＝eq\f(3,5）.錯因分析：A,B兩事件不是互斥事件，事件A包含抽到數(shù)字是