2024-2025學(xué)年廣東省東莞市五校高二上學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年廣東省東莞市五校高二上學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.直線3x+3y?m=0的傾斜角為(

)A.30° B.60° C.2.若直線2x+y?1=0是圓x?a2+y2=1A.12 B.?12 C.13.拋物線y=4x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(

)A.1,0 B.0,1 C.0,116 4.若空間中三個點(diǎn)A?1,0,0,B0,1,?1,C?2,?1,2，則直線AB與直線A.?223 B.225.由直線x?y+4=0上的點(diǎn)向圓(x?1)2+(y?1)A.3 B.7 C.226.已知兩條直線l1:x?3y+2=0與l2:x?3y+6=0A.2π B.3π C.4π D.5π7.已知橢圓C:x29+y25=1的右焦點(diǎn)為A.9+21 B.14 C.7+28.如圖所示，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)，過F1的直線與CA.2 B.15 C.13 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.過點(diǎn)M(?2,1)且與A(?1,2),B(3,0)兩點(diǎn)距離相等的直線方程

(

)A.x?2y=0 B.x+2y=0 C.y=1 D.x=110.已知圓C:x2+yA.圓心坐標(biāo)為(2,1)

B.圓C與圓O:x2+y2=8有三條公切線

C.直線l:x+y?1=0與圓C相交所得的弦長為8

D.若圓C上恰有三個點(diǎn)到直線y=x+b11.人教A版選擇性必修第一冊在橢圓章節(jié)的最后《用信息技術(shù)探究點(diǎn)的軌跡：橢圓》中探究得出橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上動點(diǎn)P到左焦點(diǎn)F(?c,0)的距離和動點(diǎn)P到直線x=?a2c的距離之比是常數(shù)ca.已知橢圓C：x24+y23=1，F(xiàn)為左焦點(diǎn)，直線l：x=?4與x軸相交于點(diǎn)M，過F的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)A.|AA1|=2|AF| B.|MA|·|BF|=|MB|·|AF|

C.直線MA與橢圓相切時，|AB|=4三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>013.已知空間向量a=λ+1,2λ,1,b=6,2,2?μ，且a//14.如圖所示，橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點(diǎn)．已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P為橢圓上不與頂點(diǎn)重合的任一點(diǎn)，I為?PF1F2的內(nèi)心，記直線OP，PI(O四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)已知?ABC的頂點(diǎn)A(1,3)，邊AB上的中線CM所在直線方程為x+y?1=0，邊AC上的高BH所在直線方程為y=2x+1．(1)求頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)求直線BC的方程．16.(本小題12分)如圖，在斜三棱柱ABC?A1B1C1中，側(cè)面A1ACC1是菱形，(1)求證：面A1ACC(2)求直線AB與平面A1BC所成角的正弦值．

17.(本小題12分)已知A1,0,B?2,3，動點(diǎn)Px,y滿足到A,B兩點(diǎn)的距離之比為12(1)求曲線C的方程；(2)若直線l:2m+1x?m?1y?m?2=0與曲線C交于M,N18.(本小題12分)已知點(diǎn)A(2,1)是離心率為22(1)求橢圓C的方程；(2)點(diǎn)P在橢圓上，點(diǎn)A關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為B，直線AP和BP的斜率都存在且不為0，試問直線AP和BP的斜率之積是否為定值？若是，求此定值;若不是，請說明理由；(3)斜率為22的直線l交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，求?AMN面積的最大值，并求此時直線l19.(本小題12分)直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體，例如y=kx+1k∈R表示過點(diǎn)0,1的直線族(不包括直線y軸)(1)圓M:x2+(y?3)2(2)若點(diǎn)Nx0,y0不在直線族Ω:y=tx?t2(3)在(2)的條件下，過直線x?4y?4=0上的動點(diǎn)P作曲線E的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B，求原點(diǎn)O到直線AB的距離d的最大值．

參考答案1.D

2.A

3.C

4.B

5.B

6.A

7.B

8.C

9.BC

10.ACD

11.ABD

12.x213.?1414.315.解：(1)由題知，BH⊥AC，C在直線CM上，設(shè)Cm,n則2×n?3m?1即點(diǎn)C坐標(biāo)為?5,6．(2)設(shè)Bx則x0+12+y所以直線BC的方程為y??1即7x+4y+11=0．

16.解：(1)證明：取AC的中點(diǎn)O，連接A1O，BO，

由勾股定理得：A1O=A1A2?AO2=3，BO=AO2+AB2=5，

∴A1B2=A1O2+BO2，∴A1O⊥BO，

∵A1O⊥AC，AC∩BO=O，AC、BO?面ABC，

∴A1O⊥面ABC，

∵A1O?面A1ACC1，

∴面A1ACC1⊥面ABC．

(2)過點(diǎn)A，作Az//A1O，所以Az⊥平面ABC，

分別以AB，AC，Az所在的直線為x，y17.解：(1)設(shè)P(x,y)，A1,0由題意可得2PA=PB故4x?12+故曲線C的方程為：x?22(2)直線l：2m+1x?m?1y?m?2=0令2x?y?1=0x+y?2=0，解得故直線過定點(diǎn)D1,1代入點(diǎn)D1,1到圓C的方程：1?2故點(diǎn)D1,1在圓C設(shè)圓心C到直線MN的距離為d，又C2,?1所以MN=2又因?yàn)閐≤CD=所以2r≥MN≥2故MN的取值范圍為：2

18.解：(1)e=ca=22,且a2=b2+c2，∴a=2b，

將A2,1代入橢圓方程得b2=2,a2=4，

所以橢圓C方程為x24+y22=1；

(2)依題意得B(?2,?1)在橢圓C上，

直線AP和BP的斜率kAB和kBP都存在且不為0，

設(shè)P(x,y)，所以y2=2?x22，

kAP=y?1x?2,kBP=y+1x+2，

kAB·kBP=y?1x?2×y+119.解：(1)由題可得，直線族mx+ny=1(m,n∈R)為圓M的切線，故滿足d=m?0+n?3?1所以m,n滿足5n(2)將點(diǎn)Nx0,y0代入y=tx?因?yàn)辄c(diǎn)Nx0,故方程t2所以Δ=x02?4y因?yàn)閰^(qū)域y0>x下證：x2=4y是證明：聯(lián)立直線y=tx?t2t∈R與x所以Δ=?4t故直線族Ω：y=tx?t2t∈R因此直線族Ω的包絡(luò)曲線E的方程為x2(3)由(2)得曲線E的方程為x2設(shè)Px0,則x0?4y設(shè)Ax易知直線PA的斜率存在，設(shè)直線PA的方程為y?y與x2=4y聯(lián)立，可得即x2因?yàn)橹本€PA與x2所以Δ=?4k2?4因?yàn)閥1=x124，所以所以直線PA的方程為y?x12同理可得直線PB