突出數(shù)學(xué)本質(zhì) 重視研究過程 發(fā)展核心素養(yǎng)-高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)著重把握的幾個(gè)問題課件

突出數(shù)學(xué)本質(zhì)重視研究過程

發(fā)展核心素養(yǎng)

——高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)著重把握的幾個(gè)問題

引言（準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)——立德樹人的抓手）把握教材的整體結(jié)構(gòu)、研究路徑（一般觀念）突出內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)，滲透相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法注重研究過程，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

（重視數(shù)學(xué)對(duì)象的獲得過程、數(shù)學(xué)概念的形成過程，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；從“一般觀念”出發(fā)研究數(shù)學(xué)對(duì)象，體現(xiàn)研究方法的引導(dǎo)，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)；重視概念背景和知識(shí)應(yīng)用，發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)）問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)、訓(xùn)練系統(tǒng)（例、習(xí)題）有效性、信息技術(shù)和數(shù)學(xué)文化融合2022年義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)頒布新時(shí)代推進(jìn)普通高中育人方式改革的指導(dǎo)意見（2019）深化課堂教學(xué)改革。提高課堂教學(xué)效率，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)能力，促進(jìn)學(xué)生系統(tǒng)掌握各學(xué)科基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本方法。積極探索基于情境、問題導(dǎo)向的互動(dòng)式、啟發(fā)式、探究式、體驗(yàn)式等課堂教學(xué)，注重加強(qiáng)課題研究、項(xiàng)目設(shè)計(jì)、研究性學(xué)習(xí)等跨學(xué)科綜合性教學(xué)。提高作業(yè)設(shè)計(jì)質(zhì)量，精心設(shè)計(jì)基礎(chǔ)性作業(yè)，適當(dāng)增加探究性、實(shí)踐性、綜合性作業(yè)。深化考試命題改革?？荚嚸}要以普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)和高校人才選拔要求為依據(jù)，實(shí)施普通高中新課程的省份不再制定考試大綱。優(yōu)化考試內(nèi)容，突出立德樹人導(dǎo)向，重點(diǎn)考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力。創(chuàng)新試題形式，加強(qiáng)情境設(shè)計(jì)，注重聯(lián)系社會(huì)生活實(shí)際，增加綜合性、開放性、應(yīng)用性、探究性試題。把數(shù)學(xué)講好就是落實(shí)四基、培養(yǎng)四能、發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。要挖掘數(shù)學(xué)內(nèi)在的教育價(jià)值，并通過設(shè)計(jì)自然的過程，將它們體現(xiàn)在教材、教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)——加強(qiáng)兩個(gè)過程的合理性（

“數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展過程”和“學(xué)生思維過程”的合理性）首先：要深入理解、整體把握教學(xué)內(nèi)容，從數(shù)學(xué)學(xué)科的整體結(jié)構(gòu)、核心內(nèi)容和重要思想上整體把握和認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，完整地體現(xiàn)好數(shù)學(xué)的科學(xué)性、工具性、價(jià)值理性和人文性這些特質(zhì)，使數(shù)學(xué)教材成為一個(gè)融數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、方法、思想和精神于一體的整體。教給學(xué)生完整的數(shù)學(xué)，全面發(fā)揮數(shù)學(xué)的育人功能。教材、教學(xué)中如何落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)其次，要讓學(xué)生經(jīng)歷完整的學(xué)習(xí)過程。重視數(shù)學(xué)對(duì)象（包括概念）的獲得過程，要注重?cái)?shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的聯(lián)系，也要注重?cái)?shù)學(xué)內(nèi)在的前后邏輯，從現(xiàn)實(shí)或數(shù)學(xué)事實(shí)出發(fā)，讓學(xué)生經(jīng)歷歸納、概括事物本質(zhì)的過程，使學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地認(rèn)識(shí)問題，這就是用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，也就是落實(shí)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、直觀想象的素養(yǎng)。重視要讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)對(duì)象的研究過程，從數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律出發(fā)構(gòu)建研究問題的思路，重視以“一般觀念”為引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)規(guī)律、獲得猜想，證明結(jié)論，這就是用數(shù)學(xué)的思維思考世界，也是落實(shí)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)。二、把握符合數(shù)學(xué)邏輯和學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的教科書體系（整體結(jié)構(gòu)、研究路徑、一般觀念）順序性主要以數(shù)學(xué)知識(shí)的縱向關(guān)聯(lián)為內(nèi)容組織的邏輯依據(jù)，自然而然、水到渠成地引入和展開學(xué)習(xí)內(nèi)容。連續(xù)性是指圍繞數(shù)學(xué)課程中的核心概念及其反映的數(shù)學(xué)思想方法，構(gòu)建連貫的學(xué)習(xí)過程，促使學(xué)生通過持續(xù)的帶有探究性的數(shù)學(xué)活動(dòng)達(dá)成較高的理解水平。整合性是指數(shù)學(xué)課程中包含的各主題知識(shí)之間的聯(lián)系，注重把數(shù)學(xué)課程各主題的內(nèi)容緊密聯(lián)系起來，以使學(xué)生能從整體上理解數(shù)學(xué)知識(shí)，避免孤立地、零散地理解知識(shí)。關(guān)聯(lián)性指注重學(xué)科之間的聯(lián)系，特別是數(shù)學(xué)與物理、化學(xué)、生物等理科課程的聯(lián)系。函數(shù)一般到特殊：一般函數(shù)

基本初等函數(shù)；連續(xù)函數(shù)離散函數(shù)。研究路徑：運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象函數(shù)的概念、表示函數(shù)的圖象、性質(zhì)函數(shù)的應(yīng)用（整體與分段的幾個(gè)一般觀念）三角函數(shù)的處理課標(biāo)：強(qiáng)調(diào)整體性?！叭呛瘮?shù)”納入“函數(shù)”；“三角恒等變換”納入“三角函數(shù)”（可看作性質(zhì)）。教材：“事實(shí)（周期性現(xiàn)象）—角與弧度—數(shù)學(xué)對(duì)象（三角函數(shù)的概念）—圖象

與性質(zhì)（周期性、單調(diào)性、奇偶性、最值等）—三角恒等變換—聯(lián)系與拓展（y=Asin(ωx+φ)）—應(yīng)用”

。突出三角函數(shù)作為刻畫周期運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型借助單位圓定義三角函數(shù)、研究三角函數(shù)三角恒等變換的和差角公式體現(xiàn)了圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性（推導(dǎo)公式時(shí)承上啟下）；y=Asin(ωx+φ)處理方式變化（刻畫一般勻速圓周運(yùn)動(dòng)），應(yīng)用時(shí)用一下三角變換。不出三角函數(shù)線解析幾何（統(tǒng)一到選擇性必修）直線和圓（確定圖形的幾何要素、建立方程、研究性質(zhì)和位置關(guān)系）圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）曲線與方程：按照課標(biāo)，不出一般概念，結(jié)合具體問題闡釋。直線l上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)一定滿足關(guān)系式y(tǒng)-y0=k(x-x0)，坐標(biāo)滿足關(guān)系式y(tǒng)-y0=k(x-x0)的點(diǎn)一定在直線l上，我們把方程y-y0=k(x-x0)稱為過點(diǎn)P0（x0，y0），斜率為k的直線l的方程。橢圓上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y）都滿足方程

⑥；反之，以方程⑥的解為坐標(biāo)的點(diǎn)（x，y）與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)（c，0），（-c，0）的距離之和為2a，即以方程⑥的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在橢圓上．我們稱方程⑥是橢圓的方程。充分體現(xiàn)坐標(biāo)法思想用向量統(tǒng)領(lǐng)幾何與代數(shù)主題——向量既是代數(shù)研究對(duì)象，也是幾何研究對(duì)象，是溝通幾何與代數(shù)的橋梁。平面向量：平面幾何中的向量方法；余弦定理、正弦定理、解三角形。復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)的幾何意義、三角表示；復(fù)數(shù)代數(shù)形式加減運(yùn)算，乘除運(yùn)算三角形式的幾何意義。立體幾何初步：用向量方法理解判定定理（例：線面垂直）。空間向量與立體幾何：空間直角坐標(biāo)系；證明判定定理；直線、平面間的位置關(guān)系；解決距離、夾角問題。解析幾何：傾斜角引入，斜率公式推導(dǎo)，兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)到直線距離公式。概率與統(tǒng)計(jì)整體安排概率在前，統(tǒng)計(jì)在后高中統(tǒng)計(jì)屬于推斷統(tǒng)計(jì)，在形式上這么安排可以體現(xiàn)概率的理論基礎(chǔ)作用。但由于概率知識(shí)不夠，沒有要求（也不可能）給統(tǒng)計(jì)的推斷結(jié)果用概率進(jìn)行刻畫，推斷的合理性主要是基于直觀或經(jīng)驗(yàn)，因此在內(nèi)容上高中概率作為統(tǒng)計(jì)的理論基礎(chǔ)體現(xiàn)得并不充分，在必修中更是如此。統(tǒng)計(jì)按處理數(shù)據(jù)的維數(shù)安排統(tǒng)計(jì)內(nèi)容數(shù)據(jù)的表示—數(shù)據(jù)的特征刻畫—直觀推斷數(shù)據(jù)的表示—數(shù)據(jù)的特征刻畫—直觀推斷或基于概率推斷一維數(shù)據(jù)成對(duì)數(shù)據(jù)必修

選擇性

必修概率必修——概率隨機(jī)事件與概率——事件的關(guān)系與運(yùn)算古典概型——概率的性質(zhì)事件的相互獨(dú)立性頻率與概率選擇性必修——隨機(jī)變量及其分布條件概率與全概率公式——計(jì)算復(fù)雜事件的概率離散型隨機(jī)變量——分布、數(shù)字特征（期望、方差）——二項(xiàng)分布與超幾何分布連續(xù)型隨機(jī)變量——正態(tài)分布數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)設(shè)置在與現(xiàn)實(shí)聯(lián)系緊密的函數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)等主題中，數(shù)學(xué)探究活動(dòng)設(shè)置在數(shù)學(xué)知識(shí)的交匯點(diǎn)上。數(shù)學(xué)文化不僅融入正文內(nèi)容之中，而且以“文獻(xiàn)閱讀與數(shù)學(xué)寫作”欄目為載體對(duì)數(shù)學(xué)文化提出具體的學(xué)習(xí)要求。函數(shù)的形成與發(fā)展；對(duì)數(shù)概念的形成與發(fā)展；幾何學(xué)的發(fā)展；解析幾何的形成與發(fā)展；微積分的創(chuàng)立與發(fā)展。正文的展開過程是主戰(zhàn)場必修第一冊(cè)數(shù)學(xué)建模

建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題必修第二冊(cè)數(shù)學(xué)探究

用向量法研究三角形的性質(zhì)選擇性必修數(shù)學(xué)探究

楊輝三角的性質(zhì)與應(yīng)用選擇性必修數(shù)學(xué)建模

建立統(tǒng)計(jì)模型進(jìn)行預(yù)測三、突出內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)，滲透相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法教材重視“講數(shù)學(xué)”，通過展示數(shù)學(xué)概念、結(jié)論的形成過程，促使學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)；通過對(duì)學(xué)生進(jìn)行在數(shù)學(xué)形式下的思考和推理的訓(xùn)練，提高他們的數(shù)學(xué)思維能力，形成用數(shù)學(xué)的思想和方法來思考和處理問題的習(xí)慣，培育理性精神。教材重視以數(shù)學(xué)核心概念及其反映的基本思想為紐帶，加強(qiáng)內(nèi)容的縱橫聯(lián)系，通過類比、歸納、推廣、特殊化，使不同內(nèi)容相互溝通，從而加深對(duì)數(shù)學(xué)的整體性認(rèn)識(shí)，幫助學(xué)生建立結(jié)構(gòu)功能優(yōu)良、遷移能力強(qiáng)的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，體會(huì)數(shù)學(xué)的思維方式，提高對(duì)數(shù)學(xué)的整體認(rèn)識(shí)。案例：突出函數(shù)所刻畫的運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象的本質(zhì)，滲透研究函數(shù)的思想方法突出函數(shù)所刻畫的運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象的本質(zhì)特征數(shù)學(xué)研究的數(shù)量關(guān)系和空間形式是從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出來的，無論數(shù)量關(guān)系中還是空間形式中都充滿了運(yùn)動(dòng)變化的問題，函數(shù)就是對(duì)客觀事物從運(yùn)動(dòng)變化的角度進(jìn)行數(shù)量化研究的數(shù)學(xué)語言和工具。高中階段對(duì)于函數(shù)的認(rèn)識(shí)已經(jīng)從初中的“變量之間的單值對(duì)應(yīng)”提升到“數(shù)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系”，但其刻畫運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象的本質(zhì)特征沒有改變，變化與對(duì)應(yīng)也是研究函數(shù)的基本思想方法。函數(shù)刻畫了運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象，基本初等函數(shù)刻畫了某一類具體的運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象。一次函數(shù)——“勻速”變化指數(shù)函數(shù)——“指數(shù)爆炸”的變化對(duì)數(shù)函數(shù)——“對(duì)數(shù)增長”的變化三角函數(shù)——“周期往復(fù)”的變化分段函數(shù)——不同階段有不同變化二次函數(shù)——“勻變速”變化案例：三角函數(shù)的研究——突出三角函數(shù)作為描述周期變化的數(shù)學(xué)模型這一本質(zhì)刻畫循環(huán)往復(fù)、周而復(fù)始的規(guī)律——周期性（為什么選三角函數(shù)）最簡單——單位圓上的單位角速度勻速圓周運(yùn)動(dòng)用一個(gè)模型貫穿全章始終，串聯(lián)起不同的概念和內(nèi)容?？坍媹A周運(yùn)動(dòng)——任意角及性質(zhì)刻畫單位圓周運(yùn)動(dòng)——三角函數(shù)概念單位圓的對(duì)稱性——三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、三角恒等變換公式三角函數(shù)的單位圓定義——三角函數(shù)圖象與性質(zhì)筒車、摩天輪——函數(shù)y=Asin(ωx+φ)針對(duì)具體知識(shí)，利用模型的變化，設(shè)計(jì)更加貼切的情景。擴(kuò)大角的范圍實(shí)際上是刻畫運(yùn)動(dòng)規(guī)律（運(yùn)動(dòng)方程、位置函數(shù)）誘導(dǎo)公式——三角函數(shù)的性質(zhì)由于三角函數(shù)利用單位圓定義，因此利用單位圓的幾何性質(zhì)（對(duì)稱性），可以研究三角函數(shù)的性質(zhì)，從而得到三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式。利用定義，直接得出同角三角函數(shù)的關(guān)系周期性——誘導(dǎo)公式一：終邊相同角的同一三角函數(shù)值相等三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式利用圓的幾何性質(zhì)，得到了同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系。我們知道，圓的最重要的性質(zhì)是對(duì)稱性，而對(duì)稱性（如奇偶性）也是函數(shù)的重要性質(zhì)。由此想到，我們可以利用圓的對(duì)稱性，研究三角函數(shù)的對(duì)稱性。

——誘導(dǎo)公式的引導(dǎo)語二（π+α）三（?α）四（π?α）五（π/2?α）

三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)任意一點(diǎn)——體現(xiàn)函數(shù)圖象的本質(zhì)如何建立模型如何發(fā)現(xiàn)問題、提出數(shù)學(xué)問題——梳理已學(xué)知識(shí)，需要一般化為什么改標(biāo)題？體現(xiàn)什么？研究圖象的思想方法從何而來——梳理二次函數(shù)圖象的研究過程你認(rèn)為例1應(yīng)該怎么安排？其作用是什么？三角函數(shù)的應(yīng)用案例：概率與統(tǒng)計(jì)的數(shù)學(xué)理解關(guān)系與運(yùn)算分布與數(shù)字特征計(jì)算與性質(zhì)樣本空間隨機(jī)事件概率隨機(jī)變量概率空間建立的過程：X樣本空間可測空間概率空間導(dǎo)出空間按概率空間建立的過程安排概率內(nèi)容必修

選擇性

必修概率的變化來自于數(shù)學(xué)化和理論上的需要；統(tǒng)計(jì)的變化主要反映了“獲得”總體取值規(guī)律、大數(shù)據(jù)時(shí)代的需要。概率與統(tǒng)計(jì)內(nèi)容和要求的主要變化增加減少變化概率有限樣本空間、乘法公式、全概率公式等幾何概型頻率穩(wěn)定于概率作為確定概率的方法，不作為概率的定義統(tǒng)計(jì)分層隨機(jī)抽樣的均值和方差、百分位數(shù)、樣本相關(guān)系數(shù)系統(tǒng)抽樣變量的相關(guān)關(guān)系、事件的獨(dú)立性在必修和選擇性必修中位置互換（1）概率更加數(shù)學(xué)化，強(qiáng)調(diào)古典概型的作用。概念、性質(zhì)、法則等主要以古典概型為載體，推廣得到一般的結(jié)論。例如，樣本空間，事件的相互獨(dú)立性、條件概率、概率乘法公式、全概率公式，以及超幾何分布等。（2）統(tǒng)計(jì)突出統(tǒng)計(jì)學(xué)科的特點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)對(duì)統(tǒng)計(jì)含義的理解。例如，強(qiáng)調(diào)對(duì)概念和方法統(tǒng)計(jì)含義的理解，強(qiáng)調(diào)對(duì)統(tǒng)計(jì)思維與確定性思維差異的體會(huì)，重視統(tǒng)計(jì)方法的可操作性，更加強(qiáng)調(diào)統(tǒng)計(jì)方法的靈活性。

概率與統(tǒng)計(jì)內(nèi)容和要求的主要特點(diǎn)（3）對(duì)統(tǒng)計(jì)軟件明確提出了要求，尤其在成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析中。新教材在概率與統(tǒng)計(jì)中，特別注重：新概念、新原理引入的的必要性、合理性新概念、新原理的形成過程（結(jié)合實(shí)例（實(shí)際問題的解決過程）+適當(dāng)理論推導(dǎo)）概念、原理的應(yīng)用過程四、重視數(shù)學(xué)對(duì)象的獲得過程、數(shù)學(xué)概念的形成過程，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)數(shù)學(xué)源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象，數(shù)學(xué)研究對(duì)象是從數(shù)量和數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象得到的，數(shù)學(xué)對(duì)象的獲得過程蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的核心素養(yǎng)。問題情境（現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)、其他學(xué)科）——概念（必要性、合理性）例如，函數(shù)是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，因此對(duì)于函數(shù)及相關(guān)概念（基本初等函數(shù)、數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列、導(dǎo)數(shù)），都要從反映這些概念本質(zhì)特征的現(xiàn)實(shí)情境、數(shù)學(xué)情境、其他學(xué)科情境等問題情境出發(fā)，讓學(xué)生經(jīng)歷歸納其共同特征、概括其本質(zhì)屬性的過程，使學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地認(rèn)識(shí)問題，學(xué)會(huì)“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界”，從而發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的素養(yǎng)。初中函數(shù)概念分析在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量x與y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們稱x是自變量，y是x的函數(shù)。變量間的單值對(duì)應(yīng)關(guān)系，變量說在具體的變量背景上定義函數(shù)，有利于學(xué)生直觀認(rèn)識(shí)函數(shù)的本質(zhì)特征，但很難擺脫表達(dá)形式（表達(dá)式、表格、圖象）的束縛，因此很難一般地認(rèn)識(shí)函數(shù)，很難把握函數(shù)的本質(zhì)特征。根據(jù)這種定義很難判定兩個(gè)具有不同表達(dá)式的函數(shù)f（x）=1和g（x）=sin2x+cos2x是否相同；這種方式定義的函數(shù)，沒有明確函數(shù)的定義域，因此也很難研究函數(shù)的性質(zhì)。

函數(shù)概念教學(xué)中的重點(diǎn)加強(qiáng)背景，從典型實(shí)例出發(fā)引出函數(shù)概念，體現(xiàn)函數(shù)刻畫運(yùn)動(dòng)變化的本質(zhì)特征，體現(xiàn)“函數(shù)模型”思想，在學(xué)生頭腦中形成豐富的函數(shù)例證。加強(qiáng)概念形成過程，讓學(xué)生自己歸納概括函數(shù)的本質(zhì)：單值對(duì)應(yīng)（直觀語言）→數(shù)集之間的單值對(duì)應(yīng)（數(shù)學(xué)語言）；這個(gè)過程就是抽象素養(yǎng)落實(shí)的過程。感性具體理性具體理性一般

47教學(xué)中可以設(shè)問S是t的函數(shù)嗎？為什么？（用初中概念判斷）“根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系S=350t，這趟列車加速到350km∕h后，運(yùn)行1h就前進(jìn)了350km．”這個(gè)說法正確嗎？

（1）時(shí)間t的變化范圍是什么？相應(yīng)的，路程S的變化范圍是什么？

（2）能根據(jù)現(xiàn)有條件回答“0.6h時(shí)對(duì)應(yīng)的距離是多少”嗎？

你認(rèn)為應(yīng)該如何更準(zhǔn)確地描述S與t之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系？

對(duì)于數(shù)集中的任一時(shí)刻t，按照對(duì)應(yīng)關(guān)系s=350t，在數(shù)集中有唯一確定的路程s和它對(duì)應(yīng)。有解析式，提升點(diǎn)在于明確時(shí)間t和路程S的變化范圍．問題2：某電氣維修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超過6天．如果公司確定的工資標(biāo)準(zhǔn)是每人每天350元，而且每周付一次工資，那么你認(rèn)為該怎樣確定一個(gè)工人每周的工資？一個(gè)工人的工資w（單位：元）是他工作天數(shù)d的函數(shù)嗎？離散型函數(shù)與問題1相比，解析式相同，但定義域不同，是不同的函數(shù)。非連續(xù)，進(jìn)一步體會(huì)關(guān)注自變量取值范圍的重要性。

年份2006200720082009201020112012201320142015恩格爾系數(shù)36.6936.8138.1735.6935.1533.5333.8729.8929.3528.57歸納上述問題的共同特征（感性具體理性具體）上述問題1～問題4中的函數(shù)有哪些共同特征？由此你能概括出函數(shù)概念的本質(zhì)特征嗎？都包含兩個(gè)非空數(shù)集，用A，B來表示；都有一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系；盡管對(duì)應(yīng)關(guān)系的表示方法不同，但它們都有如下特性：對(duì)于數(shù)集A中的任意一個(gè)數(shù)x，按照對(duì)應(yīng)關(guān)系，在數(shù)集B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)．理性具體理性一般：給出函數(shù)定義辨析、鞏固（變化，直接關(guān)鍵點(diǎn)、難點(diǎn)——對(duì)應(yīng)關(guān)系）：用新定義描述一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)構(gòu)建問題情境，解釋函數(shù)y=x(10－x)的對(duì)應(yīng)關(guān)系兩個(gè)函數(shù)相同（變化）——定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系分別相同經(jīng)歷概念教學(xué)的基本環(huán)節(jié)概念的引入——從數(shù)學(xué)概念體系的發(fā)展過程或解決實(shí)際問題的需要引入概念；概念屬性的概括——提供典型豐富的具體例證，進(jìn)行屬性的分析、比較、綜合，概括共同本質(zhì)特征得到本質(zhì)屬性；概念的明確與表示——下定義，給出準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言描述（文字的、符號(hào)的）；概念的辨析——以實(shí)例為載體分析關(guān)鍵詞的含義（恰當(dāng)使用反例）；概念的鞏固應(yīng)用——用概念作判斷的具體事例，形成用概念作判斷的具體步驟；概念的精致化——建立與相關(guān)概念的聯(lián)系,納入概念系統(tǒng)。

五、從“一般觀念”出發(fā)研究數(shù)學(xué)對(duì)象，體現(xiàn)研究方法的引導(dǎo)，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)概念——性質(zhì)——聯(lián)系——應(yīng)用（函數(shù)主題獲得研究對(duì)象）觀察——探索——抽象——概括（猜想）——論證例：研究函數(shù)性質(zhì)的一般觀念什么是性質(zhì)：性質(zhì)就是一類事物共有的特性什么是函數(shù)的性質(zhì)：變化之中保持的“不變性”就是性質(zhì)；變化過程中出現(xiàn)的規(guī)律性就是性質(zhì)。現(xiàn)實(shí)世界中的某些變化會(huì)隨著時(shí)間的推移而有增有減、有快有慢，有時(shí)達(dá)到最大值有時(shí)處于最小值……這些現(xiàn)象反映到數(shù)學(xué)中，就是函數(shù)值隨自變量的增加而增加還是減少、什么時(shí)候函數(shù)值最大、什么時(shí)候函數(shù)值最小……這就是我們要研究的函數(shù)性質(zhì)——“單調(diào)性”“最大值”“最小值”。等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式——更為合理地構(gòu)建研究思路，引出運(yùn)算、代數(shù)變換等思想方法，用數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式和性質(zhì)推導(dǎo)倒序相加法與上版教材比較：強(qiáng)化了基礎(chǔ)，進(jìn)一步加強(qiáng)了思想性和可操作性累加法、累乘法類似例：研究代數(shù)性質(zhì)的一般觀念引入一個(gè)對(duì)象就要研究其運(yùn)算與運(yùn)算律不等式、指數(shù)、對(duì)數(shù)向量——研究運(yùn)算及其運(yùn)算律，使得向量威力無窮；否則知識(shí)路標(biāo)復(fù)數(shù)：數(shù)系擴(kuò)充思想引導(dǎo)，向量方法統(tǒng)領(lǐng)例：幾何圖形性質(zhì)的研究（結(jié)合主題獲得研究對(duì)象）什么是幾何圖形的性質(zhì)？

要素和要素之間確定的關(guān)系（位置、數(shù)量）就是性質(zhì)怎么研究幾何圖形的性質(zhì)直觀感知（識(shí)圖）——操作確認(rèn)（畫圖）——度量計(jì)算（算圖）——推理論證（證圖）。直觀想象——邏輯推理一般到特殊；復(fù)雜

簡單；空間

平面研究平面與平面垂直的性質(zhì)，就是在兩個(gè)平面垂直的條件下，能推出哪些結(jié)論．這些結(jié)論又該從哪個(gè)角度提出呢？實(shí)際上就是要研究與這兩個(gè)互相垂直的平面有關(guān)的直線、平面之間的關(guān)系．接下來，根據(jù)以往的研究經(jīng)驗(yàn)（平面與平面的關(guān)系轉(zhuǎn)化為直線與平面的關(guān)系），我們可以研究其中一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面的位置關(guān)系．一般到特殊，一般情況是相交，考慮其中的特殊情況，一個(gè)平面內(nèi)的直線與交線平行時(shí)，這條直線和另一個(gè)平面平行（已研究），一個(gè)平面內(nèi)的直線與交線垂直時(shí)，這條直線和另一個(gè)平面有什么位置關(guān)系？證明得到平面與平面垂直的性質(zhì)定理“兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直”。對(duì)于兩個(gè)平面互相垂直的性質(zhì)，我們探究了一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面的特殊位置關(guān)系。如果直線不在兩個(gè)平面內(nèi)，或者把直線換成平面，你又能得到哪些結(jié)論？例如，已知平面α⊥平面β，

直線a⊥β，a

α，判斷a與α的位置關(guān)系．αβγ滲透了“位置關(guān)系的性質(zhì)”的研究的思想方法研究基本圖形的某種位置關(guān)系的性質(zhì)，就是探索在這種位置關(guān)系下的幾何圖形的組成元素之間以及與其他同類幾何圖形所形成的位置關(guān)系中出現(xiàn)的確定關(guān)系（不變性），具體方法是讓“其他幾何圖形”動(dòng)起來，看“變化中的不變性”。這就是落實(shí)“四基”“四能”的過程，也是直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地的過程。最終的目標(biāo)都聚焦在理性思維上，使學(xué)生逐步養(yǎng)成有結(jié)構(gòu)地、有邏輯地思考的習(xí)慣。解析幾何加強(qiáng)運(yùn)算能力的培養(yǎng)要把握解析幾何中運(yùn)算的特點(diǎn)。解析幾何中的運(yùn)算是建立在幾何背景下的代數(shù)運(yùn)算，所以先用幾何眼光觀察，分析清楚幾何圖形的要素及其基本關(guān)系，再用代數(shù)語言表達(dá)，而且在運(yùn)算過程中時(shí)刻注意利用圖形的幾何特征及圖形間的關(guān)系來簡化運(yùn)算，這是解析幾何教學(xué)中突破運(yùn)算難點(diǎn)的關(guān)鍵舉措。教學(xué)中，提高運(yùn)算能力不能僅從代數(shù)角度入手，還要努力提高學(xué)生的幾何圖形分析能力，也就是要在落實(shí)數(shù)形結(jié)合思想上下功夫。點(diǎn)到直線的距離公式點(diǎn)到直線的距離公式推導(dǎo)這個(gè)公式有多種方法.第一種方法是典型的坐標(biāo)法.它是解析幾何研究問題最基礎(chǔ)、最常用的方法，即把點(diǎn)到直線的距離問題轉(zhuǎn)化為已知點(diǎn)與交點(diǎn)之間的距離，交點(diǎn)的坐標(biāo)可以由兩條直線的方程得到，表示點(diǎn)到直線的距離的線段所在直線的方程可以由點(diǎn)斜式得到，其斜率可以由與它垂直的直線的斜率的負(fù)倒數(shù)求得.它完全通過代數(shù)運(yùn)算，中間過程都是帶字母系數(shù)的表達(dá)式，形式很復(fù)雜，得到最終結(jié)果需要較強(qiáng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，這對(duì)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)是有利的.根據(jù)直線PQ與已知直線l垂直，可以獲得直線PQ的斜率，進(jìn)而得到直線PQ的方程，由直線PQ和直線l的方程，可以求出它們的交點(diǎn)Q的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式，求出|PQ|是最常見的一種方法，也是基本方法.

第三種方法是典型的向量法.用投影向量的模表示點(diǎn)到直線的距離，把求距離轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的運(yùn)算，而且把點(diǎn)到直線的距離這個(gè)點(diǎn)與已知直線上的點(diǎn)的距離的最小值，用已知點(diǎn)與已知直線上任意一點(diǎn)構(gòu)成的向量在與已知直線垂直的單位向量上的投影向量的模表示.這種方法構(gòu)造性強(qiáng)，需要較高的思維水平以及對(duì)向量的深入認(rèn)識(shí)，但是運(yùn)算較為簡便.這種用一般化的向量(參考向量)處理最特殊的距離（點(diǎn)到直線的距離）的思路給了解決此類問題的通性通法.在“空間向量與立體幾何”一章中，我們有過類似的方法.其他方法面積法等提升運(yùn)算求解能力六、重視背景和應(yīng)用，發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)課標(biāo)：通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能有意識(shí)地用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，發(fā)現(xiàn)和提出問題，感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的關(guān)聯(lián)；學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，積累數(shù)學(xué)實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)；認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)模型在科學(xué)、社會(huì)、工程技術(shù)諸多領(lǐng)域的作用，提升實(shí)踐能力，增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)和科學(xué)精神。一個(gè)數(shù)學(xué)概念的引入，總有它的現(xiàn)實(shí)或數(shù)學(xué)理論發(fā)展的需要。教材中任何一個(gè)新概念的引入，都強(qiáng)調(diào)它的現(xiàn)實(shí)背景、數(shù)學(xué)理論發(fā)展的背景或數(shù)學(xué)發(fā)展歷史上的背景，這樣才能使教材顯得自然、親切，讓學(xué)生感到知識(shí)的發(fā)展水到渠成而不是強(qiáng)加于人，也利于學(xué)生更好地理解其本質(zhì)。應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，可以幫助學(xué)生更深刻地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，加強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)提高數(shù)學(xué)創(chuàng)造力。教材千方百計(jì)地開發(fā)數(shù)學(xué)應(yīng)用的背景素材，通過解決具有真實(shí)背景的問題，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的作用、數(shù)學(xué)與生活及其他學(xué)科的聯(lián)系，發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力。例：重視函數(shù)相關(guān)概念產(chǎn)生的背景，體現(xiàn)函數(shù)是刻畫運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象的數(shù)學(xué)語言和工具函數(shù)是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，理解函數(shù)概念，必須需要相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)變化的背景作為支撐。一般的函數(shù)概念：“復(fù)興號(hào)”高鐵運(yùn)行、空調(diào)維修工人的工資、北京市某一天的空氣質(zhì)量、某市近十年的恩格爾系數(shù)四個(gè)問題，從“感性具體”到“理性具體再到“理性一般”，抽象得到函數(shù)概念。指數(shù)函數(shù)刻畫了呈現(xiàn)“指數(shù)增長”的運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象?，F(xiàn)實(shí)世界中，細(xì)胞分裂、人口增長、放射性物質(zhì)的衰減等呈現(xiàn)了這種運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律；通過某景區(qū)游客人數(shù)增長的問題和碳14含量的衰減的問題，引入指數(shù)函數(shù)的概念。三角函數(shù)刻畫周期運(yùn)動(dòng)。教科書在三角函數(shù)的開篇語中列舉了大量現(xiàn)實(shí)世界中的周期變化現(xiàn)象，如晝夜交替、四季交替、月亮圓缺、朝夕變化、勻速圓周運(yùn)動(dòng)的位置變化、簡諧振動(dòng)的位移變化、交變電流的變化等。在三角函數(shù)的概念、誘導(dǎo)公式、圖象、性質(zhì)的研究過程中，一以貫之的運(yùn)用勻速圓周運(yùn)動(dòng)這一最簡單的周期變化的背景，以加深學(xué)生對(duì)三角函數(shù)刻畫周期運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)的理解。例：重視應(yīng)用函數(shù)模型解決實(shí)際問題，發(fā)展學(xué)生應(yīng)用意識(shí)通過應(yīng)用函數(shù)解決實(shí)際問題，可以幫助學(xué)生更好地理解函數(shù)如何刻畫客觀世界事物的變化規(guī)律，逐漸掌握建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題的一般過程，體會(huì)函數(shù)的模型思想。函數(shù)的應(yīng)用（一）：個(gè)稅問題、汽車行駛中速率的變化問題。分段函數(shù)。函數(shù)的應(yīng)用（二）：馬爾薩斯人口模型、利用碳14推測良渚遺址年代、投資方案的選擇、獎(jiǎng)勵(lì)方案的制訂。既包括用已知模型解決實(shí)際問題，也包括選擇合適的模型解決實(shí)際問題。數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)：建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題數(shù)學(xué)建模活動(dòng)觀察實(shí)際情景，發(fā)現(xiàn)和提出問題中國茶文化博大精深．茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)．經(jīng)驗(yàn)表明，某種綠茶用85℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時(shí)飲用，可以產(chǎn)生最佳口感．那么在25℃室溫下，剛泡好的茶水大約需要放置多長時(shí)間才能達(dá)到最佳飲用口感？通過實(shí)測數(shù)據(jù)建立茶水水溫關(guān)于時(shí)間的函數(shù)模型，將該茶水溫度的實(shí)測過程轉(zhuǎn)變?yōu)闀r(shí)間估計(jì)的問題。使得不用時(shí)刻測試水溫，根據(jù)函數(shù)模型，通過簡單計(jì)算就可以知道大約需要放置多長時(shí)間才能達(dá)到最佳飲用口感．收集數(shù)據(jù)秒表、溫度計(jì)計(jì)算機(jī)、數(shù)據(jù)采集器、溫度傳感器等信息技術(shù)工具實(shí)驗(yàn)環(huán)境、容器形狀、不同茶葉等影響，數(shù)據(jù)可能與教科書不一致，不同小組也可能不一致．時(shí)間/min012345水溫/℃85.0079.1974.7571.1968.1965.10分析數(shù)據(jù)、畫散點(diǎn)圖散點(diǎn)圖的分布狀況呈遞減狀態(tài)，學(xué)生可能會(huì)提出各種遞減函數(shù)作為模型，結(jié)合幾類基本初等函數(shù)的變化特征，指導(dǎo)學(xué)生做出選擇．

y＝kax＋25為什么要加25？所選函數(shù)一般只能大致反應(yīng)茶水溫度變化的局部規(guī)律，難以做到準(zhǔn)確刻畫每一個(gè)具體數(shù)據(jù)，因此，建立模型之后需要對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn)．建立和求解模型利用已知數(shù)據(jù)求y＝kax＋25中的k，a。a如何計(jì)算？能否直接將一組數(shù)據(jù)代入求a？（用比的均值求a）檢驗(yàn)?zāi)Ｐ彤嫵鰕＝60×0.9227x＋25的圖象，檢驗(yàn)原始數(shù)據(jù)。求解問題將y＝60代入y＝60×0.9227x＋25，得x≈6.6997，所以泡制一杯最佳口感茶水所需時(shí)間大約是7min。自主開展建?；顒?dòng)選題應(yīng)在炒菜之前多長時(shí)間將冰箱里的肉拿出來解凍？用微波爐或電磁爐燒一壺開水，找到最省電的功率

設(shè)定方法；估計(jì)閱讀一本書所需要的時(shí)間．活動(dòng)過程指導(dǎo)撰寫活動(dòng)報(bào)告（樣例）交流展示七、重視問題引導(dǎo)，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力

問題是數(shù)學(xué)的心臟，問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)在知識(shí)形成過程的“關(guān)鍵點(diǎn)”上，在運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法產(chǎn)生解決問題策略的“關(guān)節(jié)點(diǎn)”上，在數(shù)學(xué)知識(shí)之間聯(lián)系的“聯(lián)結(jié)點(diǎn)”上，在數(shù)學(xué)問題變式的“發(fā)散點(diǎn)”上，在學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)，提出恰當(dāng)?shù)?、?duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維有適度啟發(fā)的問題，引導(dǎo)學(xué)生的思考和探索活動(dòng)，使他們經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、推理、交流、反思等理性思維的基本過程，體會(huì)數(shù)學(xué)研究方法、積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力。道而弗牽、強(qiáng)而弗抑、開而弗達(dá)八、訓(xùn)練系統(tǒng)（例、習(xí)題）的有效性構(gòu)建有助于學(xué)生鞏固知識(shí)、領(lǐng)悟思想、積累經(jīng)驗(yàn)、發(fā)展能力、提升核心素養(yǎng)的訓(xùn)練系統(tǒng)。例題是具有典型性、示范性，除了為說明知識(shí)應(yīng)用而設(shè)置的常規(guī)性例題外，根據(jù)內(nèi)容的需要，選取帶有開放性、探索性的題目以及實(shí)踐題（如，在學(xué)生先收集資料、實(shí)例進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)等的基礎(chǔ)上，再在課堂里進(jìn)行講解）習(xí)題具有針對(duì)性、層次性、開放性和探索性等將練習(xí)作為學(xué)生課內(nèi)學(xué)習(xí)活動(dòng)的一個(gè)組成部分，按課時(shí)安排，發(fā)揮其課內(nèi)鞏固所學(xué)內(nèi)容之用。習(xí)題按功能分為“復(fù)習(xí)鞏固”“綜合運(yùn)用”“拓廣探索”三個(gè)層次，發(fā)揮習(xí)題的鞏固知識(shí)、培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力、拓展知識(shí)、深化數(shù)學(xué)理解和應(yīng)用的功能，注重習(xí)題在培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力的重要作用，發(fā)揮習(xí)題和復(fù)習(xí)參考題在達(dá)成學(xué)業(yè)要求上的評(píng)價(jià)功能。注：上一版教材的習(xí)題量偏少，針對(duì)性、層次性等都需要改進(jìn)，特別是具有應(yīng)用性、開放性、探究性的問題偏少。例題、練習(xí)、習(xí)題、復(fù)習(xí)題針對(duì)性：抓住各章內(nèi)容的核心，促進(jìn)概念的理解和思想方法的生成。有效性：關(guān)注通性通法，抓住基本概念，不在技巧上做文章。創(chuàng)新性：題目具有一定新意，但不離開內(nèi)容本質(zhì)這個(gè)“根”，不在奇、特上做文章。應(yīng)用性：在函數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)等與現(xiàn)實(shí)聯(lián)系緊密的主題中，加強(qiáng)具有現(xiàn)實(shí)背景的問題，體現(xiàn)真正的應(yīng)用。探究性：通過欄目、邊空、遞進(jìn)式習(xí)題等，通過創(chuàng)設(shè)情境和問題，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。例題、練習(xí)、習(xí)題、復(fù)習(xí)題針對(duì)性：抓住各章內(nèi)容的核心，促進(jìn)概念的理解和思想方法的生成。有效性：關(guān)注通性通法，抓住基本概念，不在技巧上做文章。創(chuàng)新性：題目具有一定新意，但不離開內(nèi)容本質(zhì)這個(gè)“根”，不在奇、特上做文章。應(yīng)用性：在函數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)等與現(xiàn)實(shí)聯(lián)系緊密的主題中，加強(qiáng)具有現(xiàn)實(shí)背景的問題，體現(xiàn)真正的應(yīng)用。探究性：通過欄目、邊空、遞進(jìn)式習(xí)題等，通過創(chuàng)設(shè)情境和問題，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。層次性：通過“復(fù)習(xí)鞏固”“綜合運(yùn)用”“拓廣探索”體現(xiàn)習(xí)題的層次和梯度，體現(xiàn)教材有關(guān)習(xí)題的各部分、各欄目的要求，形成立體化的“四基”“四能”培養(yǎng)系統(tǒng)。系統(tǒng)性：在復(fù)習(xí)參考題的選擇和編排中，關(guān)注單元知識(shí)的系統(tǒng)性，幫助學(xué)生達(dá)到相應(yīng)單元的學(xué)業(yè)要求；同時(shí)還關(guān)注不同數(shù)學(xué)內(nèi)容主線之間的聯(lián)系性以及六個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之間的協(xié)調(diào)，幫助學(xué)生整體理解、系統(tǒng)掌握學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)，實(shí)現(xiàn)學(xué)業(yè)質(zhì)量的相應(yīng)要求。精確性：保證科學(xué)性和準(zhǔn)確性，確保所選例題具有典型性、示范性，所選習(xí)題達(dá)到能力培養(yǎng)效果。對(duì)練習(xí)、習(xí)題、復(fù)習(xí)題的處理每課時(shí)配備練習(xí)（3~5個(gè)）；每節(jié)配備習(xí)題（每課時(shí)3~5個(gè)）；每章配備復(fù)習(xí)題（每課時(shí)1~1.5個(gè)）?！皬?fù)習(xí)鞏固、綜合運(yùn)用、拓廣探索”，不是按難度分類，是按照習(xí)題功能分類，根據(jù)學(xué)生情況，結(jié)合教學(xué)功能使用。關(guān)注新題型用好教材的題目（配合、層次推進(jìn)、綜合應(yīng)用、體現(xiàn)發(fā)展性）不要把教輔作為教學(xué)依據(jù)圓錐曲線：根據(jù)圓錐曲線的方程，a，b，c，p，e等是決定圓錐曲線性質(zhì)的關(guān)鍵量。圓錐曲線的焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、軸、準(zhǔn)線、弦及其中點(diǎn)、切線、焦距、長（短）軸的長、焦半徑、面積、內(nèi)接圖形（特別是內(nèi)接三角形、內(nèi)截矩形等）、角（與焦點(diǎn)、中心等相關(guān)）等以及它們之間的相互關(guān)系，都可以用這些不變量來表示。對(duì)此展開一番研究，能極大地提升學(xué)生對(duì)圓錐曲線的認(rèn)識(shí)水平。先是把握?qǐng)A錐曲線的基本要素、不變量，然后從“相互關(guān)系”“相互轉(zhuǎn)化”等角度發(fā)現(xiàn)和提出問題、獲得性質(zhì)，然后再通過邏輯推理證明其正確性．在發(fā)現(xiàn)曲線性質(zhì)的過程中，運(yùn)算、距離、角度、斜率、不變量等核心概念提供了基本思路和方法．除正文研究簡單幾何性質(zhì)外，把那些通過不太復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算就能得出的性質(zhì)及其在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用設(shè)計(jì)為例題、習(xí)題，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)坐標(biāo)法的思想。從“角度”的關(guān)系反映性質(zhì)

如果一個(gè)動(dòng)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)連線的斜率之積是一個(gè)負(fù)（正）常數(shù)，那么它的軌跡是橢圓（雙曲線）。九、數(shù)學(xué)文化融入課程內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的眼光、思維方式、理性精神等

十、重視融合信息技術(shù)，改進(jìn)內(nèi)容呈現(xiàn)方式，促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì)

數(shù)學(xué)是自然的，它的概念、原理、法則、公式、性質(zhì)等，都有其內(nèi)在的邏輯必然性。在教學(xué)中，為了提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，需要我們突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，整體把握數(shù)學(xué)教學(xué)，以數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展過程的內(nèi)在邏輯為基礎(chǔ)，加強(qiáng)研究方法的引導(dǎo)（重要數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用），使學(xué)生不僅學(xué)會(huì)具體的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，更能學(xué)會(huì)如何發(fā)現(xiàn)和提出問題，如何思考解決問題的思路。這樣，數(shù)學(xué)的育人目標(biāo)才能更好地實(shí)現(xiàn)。讓我們共同努力！敬請(qǐng)批評(píng)指正李龍才lilc@

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)怎來的？數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是對(duì)影響數(shù)學(xué)發(fā)展的最重要的數(shù)學(xué)思想的提煉，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)

數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展所依賴的思想在本質(zhì)上有三個(gè)：抽象、推理、模型——通過抽象，從現(xiàn)實(shí)生活中得到數(shù)學(xué)的概念、原理、公理和運(yùn)算法則，通過推理得到數(shù)學(xué)的發(fā)展，然后通過模型建立數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系。Key

Laboratory

of

Applied

Statistics

of

MOE

NortheastNormalUniversity六個(gè)核心素養(yǎng)及其層次性：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象（伴隨）、數(shù)學(xué)運(yùn)算（特殊）和數(shù)據(jù)分析（特殊）三會(huì)（落實(shí)成學(xué)生的行為）：會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界——數(shù)學(xué)抽象+直觀想象（數(shù)學(xué)的第一個(gè)特征：一般性），會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界——邏輯推理+數(shù)學(xué)運(yùn)算+直觀想象（第二個(gè)特征：嚴(yán)謹(jǐn)性），會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界——數(shù)學(xué)建模+數(shù)據(jù)分析+直觀想象（第三個(gè)特征：應(yīng)用的廣泛性）（+學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)——義教新課標(biāo)新增）四基、四能以“四基”“四能”為載體

——過程的教學(xué)目標(biāo)不明確，等等義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）把雙基拓展為四基基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能+基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)（運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想和方法獲得）把兩能拓展為四能

運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法發(fā)現(xiàn)問題、提出問題+分析問題、解決問題希望：在數(shù)學(xué)教學(xué)的活動(dòng)中，引發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考、與他人交流，讓學(xué)生在掌握知識(shí)技能的同時(shí)，感悟數(shù)學(xué)的基本思想，積累思維的和實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)?；舅枷耄?/p>

數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展過程中必須依賴的思想；學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的人應(yīng)當(dāng)具備的基本思維特征。數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與四基、四能數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主線是三會(huì)，內(nèi)涵是數(shù)學(xué)思想

基礎(chǔ)是知識(shí)與技能，獲取方式是過程

是經(jīng)驗(yàn)的積累，是思維的習(xí)慣和做事的習(xí)慣

在這個(gè)意義上，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與四基是一致的。沒有改變的

雙基（包括數(shù)學(xué)思想方法）、三大能力是數(shù)學(xué)育人目標(biāo)的內(nèi)核——與時(shí)俱進(jìn)豐富內(nèi)涵，萬變不離其宗！數(shù)學(xué)核心素階段（等級(jí)）水平每個(gè)核心素養(yǎng)水平涉及四個(gè)方面（四個(gè)維度）：情境與問題、知識(shí)與技能、思維與表達(dá)、交流與反思情境與問題：情境主要是指現(xiàn)實(shí)情境、數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境，問題是指在情境中提出的數(shù)學(xué)問題；知識(shí)與技能：主要是指能夠幫助學(xué)生形成相應(yīng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的知識(shí)與技能；思維與表達(dá)：主要是指