2025年高中文科數(shù)學核心知識點

必修1

第一章集合與函數(shù)概念

1.集合三要素：確定性、互異性、無序性.

2.常見集合：整數(shù)集合：N；正整數(shù)集合：N*或N#整數(shù)集合：Z；有理數(shù)

集合：Q;實數(shù)集合：R.

3.集合的表達措施：列舉法、描述法、韋恩圖法.

4.子集：一般地，對于兩個集合A、B,假如集合A中任意一種元素都是集合

B中的元素，則稱集合A是集合B的子集.記作AQ3.

5.真子集：假如集合AuB,但存在元素xeB,且xeA,則稱集合A是集

合B的真子集.記作：A￡B.

6.把不含任何元素的集合叫做空集.記作：①.并規(guī)定：空集是任何集合的子

集；空集是任何集合的真子集.

7.假如集合A中具有n個元素，則集合A有2"個子集.

8.并集：一般地，由所有屬于集合A或集合B的元素構成的集合，稱為集合

A與B的并集.記作：AB,即A3=或xeB}.

9.交集：一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素構成的集合，稱為

A與B的交集.記作：AB,即AB={X|XGA,￡.XGB}.

10.補集：對于集合A,由全集U中不屬于集合A的所有元素構成的集合稱為

集合A相對于全集U的補集，記作：,即2A={x|xeU,且xeA}.

11.一種函數(shù)的構成要素為：定義域、對應關系、值域.假如兩個函數(shù)的定義

域相似，并且對應關系完全一致，則稱這兩個函數(shù)相等.

12.函數(shù)的三種表達措施：解析法、圖象法、列表法.

13.用定義法判斷函數(shù)單調性的環(huán)節(jié)：①取值；②作差變形；③定號；④判

斷.

14.一般地，假如對于函數(shù)/(x)的定義域內任意一種x,均有/(-x)=/(x)，

那么就稱函數(shù)f(x)為偶函數(shù).偶函數(shù)圖象有關y軸對稱.

15.一般地，假如對于函數(shù)/(x)的定義域內任意一種工,均有

/(-x)=-/(X)，那么就稱函數(shù)為奇函數(shù).奇函數(shù)圖象有關原點對稱.

16.求函數(shù)定義域：①分母不為0；②偶次方根被開方數(shù)20；③對數(shù)的真數(shù)

>0.

17.用定義判斷奇偶性的措施：①首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域與

否有關原點對稱；②確定/(-%)與/'(X)的關系；③得出結論：若

/(—x)=/(x)或者/(—x)—/。)=0,則/(%)是偶函數(shù)；若/(—x)=—/(x)或者

/(-%)+/(%)=0,則/(x)是奇函數(shù)；

第二章基本初等函數(shù)(I)

1.一般地，假如x"=a,那么x叫做a的〃次方根。其中

2.(1)(加')"=〉1,且〃eN*)

(2)當〃為奇數(shù)時，也7=a；當〃為偶數(shù)時，行=時.

3.我們規(guī)定：

⑴[a>0,m,nEN,m>1)；⑵〃一"=—(n>0)；

4.指數(shù)運算性質：

⑴a"=ar+s(a>Q.r.seQ)；

⑵(優(yōu))'=。以。>0/,5€0)；

-a1b1(a>0,b>0,rEQ).

5.指數(shù)函數(shù)的圖象及其性質

y=ax0va<la>l

yi、y

V

圖象1------

o'~Q

XX

定義域R

值域(0,+8)

定點過定點（0,1）

x對y當X>0時，0<p<1；當x>0時，y>1；

性影響當x<0時，y>1.當x<0時，0<p<L

質單調性在彳上是減函數(shù)在彳上是增函數(shù)

對稱性y=ax和＞=。-'有關y軸對稱

奇偶性非奇非偶函數(shù)

6.指數(shù)式與對數(shù)式互優(yōu)=N=log0N=x化：

7.對數(shù)的運算性質：當a>O,a#l,M>0,N>0時

(l)logfl(W)=logflM+\ogaN-,⑵logJ.1=logflM-logflN-,

(3)logflM"=nlogaM.

(4)產(chǎn)/=a,log。1=0,logaa=l.

8.換底公式：log”b="gc，(a>0,awl,c>0,cw1,Z?>0).

―10gc6Z

logab=--—(a>0,aw1,6>0,6w1).

9..對數(shù)函數(shù)的圖象及其性質

函數(shù)y=logaX（a>0,a7l）叫對數(shù)函數(shù).

y=iog,x

0<tz<la>\

y\丁”

NUM

圖象R

oK,*斗小Lo）i

定義域(0,+8)

值域R

過定點（1,0）,即x=l時，y=0

在〃上是減函數(shù)在7?上是增函數(shù)

性

當0〈X<1時，y>0當0〈x〈l時，y<0

質

當x>l時，y<0當x>l時，y>0；

非奇非偶函數(shù)。

10.募函數(shù)的圖象及性質

（1）幾種募函數(shù)的圖象：

①所有的基函數(shù)在（0,內）均有定義，并且圖像過點（1,1）

②a>0時，基函數(shù)的圖象都通過原點，且在（0,內）上是增函數(shù)

③a<0時，募函數(shù)的圖象在區(qū)間(0,xo)上是減函數(shù)

第三章函數(shù)的應用

1.方程/(x)=0有實根

o函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸有交點o函數(shù)y=/(x)有零點.

2.性質：假如函數(shù)y=/(x)在區(qū)間上的圖象是持續(xù)不停的一條曲線,

并且有/(a)"@<0,那么，函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(。㈤內有零點，即存

在ce(a,6),使得/(c)=0,這個c也就是方程/(x)=0的根

K補充知識1函數(shù)圖象變換

1.平移變換

-f(}_〃>0,左移九個單位f(x+h}

yv_/⑺x/7<o,右移㈤個單位>y-J^x+n)

-”>0,上移左個單位〉、,一f(r)+k

'v一八"一<o,下移—個單位>y-j^x)+K

2.伸縮變換

)=/(%)噢冊申>y二，3%)

3.對稱變換

y=/(%)增由>y=—/(%)y=f(x),軸>y=/(-%)

y=/(%)原點>y=-/(-x)

y=/(%)直線I>y=廣(%)

去掉y軸左邊圖象

y=于(x)保留y軸右邊圖象，并作其關于y軸對稱圖象

保留X軸上方圖象

y=/(%)將X軸下方圖象翻折上去>y=l/(%)l

必修2

第一章空間幾何體

(1)棱柱：有兩個面互相平行，其他各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形

的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。

幾何特性：兩底面是對應邊平行的全等多邊形；側面、對角面都是平行

四邊形；側棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。

(2)棱錐:有一種面是多邊形，其他各面都是有一種公共頂點的三角形，由

這些面所圍成的幾何體

幾何特性：側面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，

其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方。

(3)棱臺：用一種平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分

幾何特性：①上下底面是相似的平行多邊形②側面是梯形③側棱交于

原棱錐的頂點

(4)圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉，其他三邊旋轉所成的

曲面所圍成的幾何體

幾何特性：①底面是全等的圓；②母線與軸平行；③軸與底面圓的半徑

垂

直；④側面展開圖是一種矩形。

(5)圓錐：以直角三角形的一條直角邊為旋轉軸，旋轉一周所成的曲面所圍

成

的幾何體

幾何特性：①底面是一種圓；②母線交于圓錐的頂點；③側面展開圖是

一種扇形。

（6）圓臺：用一種平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分

幾何特性：①上下底面是兩個圓；②側面母線交于原圓錐的頂點；③側

面展開圖是一種扇環(huán)。

（7）球體：以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的幾何體

幾何特性：①球的截面是圓；②球面上任意一點到球心的距離等于半

徑。

1.三視圖：正視圖：從前去后側視圖：從左往右

俯視圖：從上往下

2.畫三視圖的原則：長對正、高平齊、寬相等

|高平齊匚|

I//

I長對正I///

II______/

［一痂等1//

3.直觀圖畫法：斜二測畫法

4.斜二測畫法的規(guī)定：

（1）平行于坐標軸的線仍然平行于坐標軸；

（2）平行于y軸的線長度變半，平行于x,z軸的線長度不變；

（3）畫法要寫好。

5.斜二測畫法的環(huán)節(jié)：（1）畫軸（2）畫底面（3）畫側棱（4）成圖

6.棱柱、棱錐的表面積：各個面面積之和

7.圓柱的表面積S=2mi+271r2

8.圓錐的表面積S=勿7+k2

9.圓臺的表面積S=mi+Tip+欣i+航

10.球的表面積S=4派2

n.柱體的體積丫=5底、/1

12.錐體的體積丫=；5底乂丸

13.臺體的體積丫=；（S上+JS上S下+5下）></1

14.球體的體積V=-^?3

3

第二章直線與平面的位置關系

1.平面含義：平面是無限延展的

2.平面的畫法：水平放置的平面一般畫成一種平行四邊形，銳角畫成45°,

且橫邊畫成鄰邊的2倍長（如圖）?7C

3.三個公理：AB

（1）公理1:假如一條直線上的兩點在一種平面內，那么這條直線在此平面

內

符號表達為AeL

BeL

}=￡ua

Aea

Bea

公理1作用：判斷直線與否在平面的理論根據(jù)

（2）公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一種平面。

符號表達為：A，B,C三點不共線n有且只有一種平面°,

使Aca,B&a,C&a/AB~7

o/?/

公理2作用：確定一種平面的根據(jù)。

（3）公理3：假如兩個不重疊的平面有一種公共點，那么它們有且只有一條

過該點的公共直線。

B

符號表達為：p&oc(~y/3=>ac0=L,曰/GL

p

公理3作用：鑒定兩個平面與否相交的根據(jù)及點共I?

線的根據(jù)

4.空間的兩條直線有如下三種關系：

什,,江［相交直線：同一平面內有且只有一個公共點；

井面直線一［平行直線：同一平面內沒有公共點；

異面直線:不一樣在任何一種平面內，沒有公共點。

5.公理4（平行線的傳遞性）：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。

符號表達為：設。、》、C是三條直線，a//b］

>=allc

d/b

公理4作用：判斷空間兩條直線平行的根據(jù)。

6.等角定理：空間中若兩個角的兩邊分別對應平行，則這兩個角相等或互補

7.異面直線所成角的定義：已知異面直線Q,瓦在空間中任取一點0,過點0

分別做,bllb',則，用'所成的銳角（或直角）為異面直線所

成的角

8.直線與平面有三種位置關系：

（1）直線在平面內一一有無數(shù)個公共點

（2）直線與平面相交一一有且只有一種公共點

（3）直線與平面平行一一沒有公共點

指出：直線與平面相交或平行的狀況統(tǒng)稱為直線在平面外，可由來表

達

9.線面平行鑒定定理：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直

線與此平面平行。簡記為：線線平行，則線面平行。

。a。

符號表達：bua\nalla

allb

10.面面平行鑒定定理：一種平面內的兩條交直線與另一種平面平行，則這兩

個平面平行。

au廿

符號表達：buB

ar>b=P>=>a///3

alia

blla

11.判斷兩平面平行的措施有三種:

（1）用定義；（2）鑒定定理；（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行。

12.線線平行鑒定定理：一條直線與一種平面平行，則過這條直線的任一平面

與此平面的交線與該直線平行。簡記為：線面平行則線線平行。

符號表達：alia

au廿\nallb

ac/3=b

作用：運用該定理可處理直線間的平行問題。

13.定理：假如兩個平面同步與第三個平面相交，那么它們的交線平行。

符號表達:

all(3

acy=a'=allb

(3cy=b

作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行

14.線面垂直定義：假如直線L與平面。內的任意一條直線都垂直，我們就

LaL-LaLoc

說直線與平面互相垂直，記作，直線叫做平面的垂線，平

面

a叫做直線L的垂面。如圖，直線與平面垂直時，它們唯一公共點P叫做

垂足。

15.線面垂直鑒定定理：一條直線與一種平面內的兩條相交直線都垂直，則該

直線與此平面垂直。

16.二面角的概念：表達從空間一直線出發(fā)的兩個半平面所構成的圖形

17.面面垂直鑒定定理：一種平面過另一種平面的垂線，則這兩個平面垂直。

18.線線平行鑒定定理：垂直于同一種平面的兩條直線平行。

19.線面垂直性質定理：兩個平面垂直，則一種平面內垂直于交線的直線與另

一種平面垂直。

第三章直線與方程

1.直線傾斜角的概念：當直線/與X軸相交時，取X軸作為基準，X軸正向

與直韁向上方向之間所成的角叫做直餞的傾斜角.尤其地，當直線

與X軸平行或重疊時，規(guī)座=0".

2.傾斜角2的取值范圍當直線1與X軸垂直時以=90°.

3.直線的斜率：一條直線的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率,

斜率常用小寫字母k表達,也就是k=tana

⑴當直線/與％軸平行或重疊時，a=0°,^=tan00=0

⑵當直線/與％軸垂直時，。=90。，左不存在

由此可知，一條直線/的傾斜角。一定存在，不過斜率k不一定存在.

4.直線的斜率公式:給定兩點Pi(xi,yi),P2(x2,y2),X1WX2,用兩點的坐標來表達

直線PR的斜率：4

5.兩條直線均有斜率并且不重疊，假如它們平行，那么它們的斜率相等；反

之，假如它們的斜率相等，那么它們平行，即k1=k2

6.兩條直線均有斜率，假如它們互相垂直，那么它們的斜率互為負倒數(shù)；反

之，假如它們的斜率互為負倒數(shù)，那么它們互相垂直，即l]_L12=k].k2=0

7.直線的點斜式方程：直線/通過點月(%,%)，且斜率為左則

y-y0=k(x-x0)

8.直線的斜截式方程：直線/的斜率為左，與y軸的交點為。力，

y=kx+b

9.直線的兩點式方程：已知直線上的兩點片(花,%),舄(%，%)其中

xx

y-yi_~i(玉片與丁產(chǎn)必)

xx

y2-yi2i

10.直線的截距式方程：已知直線/與％軸的交點為A(a,0),與y軸的交點為

B(0,b))其中aw0,〉#0,±+±=i

ab

H.直線的一般式方程：Ax+By+C=0(A,B不一樣步為0)

12.點到直線距離公式：點P(x0,y0)至U直線/:4%+3丁+。=0的距離為：

I------------------IAX)+By^+(j\

兩點間的距離公式：|片⑷=J(%-巧)+(%-y)d=

TA+B

13.兩平行線間的距離公式：

已知兩條平行線直線4和A的一般式方程為乙：Ax+By+Cl=0,/2：

貝i"與‘2的距離為a=上上

Ax+By+(72—0

A2+B2

14.

第四章圓與方程

1.圓的原則方程:(x-a)2+(y-b)2=r2,圓心為A(a,b),半徑為r

2.點Ma。,%)與圓(x-a)2+(y-?2=/的關系的判斷措施：

(1)(%—份2〉/，點在圓外

(2)(卜―”>+(%—爐=產(chǎn)，點在圓上

(3)(卜―4)2+(%—6)2〈戶，點在圓內

3.圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F^0,(D2+E2-4F>0)，圓

心半徑r=，。2+七2一4/

2

4.用點到直線的距離來判斷直線與圓的位置關系.

設直線/:ax+by+c-0圓C:x2+y2+Dx+Ey+F=0,圓的半徑為r,圓心

-馬到直線的距離為d,則鑒別直線與圓的位置關系的根據(jù)有如下幾

22

占?

八、、?

(1)當d>r時，直線/與圓C相離；

(2)當d=r時，直線/與圓C相切；

(3)當d<r時，直線/與圓C相交；

5.兩圓的位置關系：設兩圓的連心線長為/,則鑒別圓與圓的位置關系的根據(jù)

有如下幾點：

(1)當/＞八+-2時，圓G與圓C2相離；

(2)當/=(+弓時，圓G與圓C2外切；

(3)當|八-「2K/＜八+r2時，圓G與圓C2相交;

(4)當時，圓G與圓C2內切；

(5)當/＜--弓［時，圓G與圓C2內含；

6.空間中任意點M的坐標都可以用有序實數(shù)組(x,y,z)來表

達，該數(shù)組叫做點M在此空間直角坐標系中的坐標，記

M(x,y,z),x叫做點M的橫坐標，y叫做點M的縱坐標，z叫

做點M的豎坐標。

7.空間中任意一點々(X，%,Zi)到點心(Z，為/)之間的距離

公式

山叫=J(%i-％2尸+(%-為＞+G-？2尸

必修3

第一章算法初步

1.算法的特點:有限性、確定性、次序性與對的性、不唯一性、普遍性.

2.算法的三種基本邏輯構造：次序構造、條件構造、循環(huán)構造.

3.輾轉相除法.也叫歐幾里德算法，用輾轉相除法求最大公約數(shù)的環(huán)節(jié)如下:

(1).用較大的數(shù)m除以較小的數(shù)n得到一種商5。和一種余數(shù)及

(2).若凡=0,則n為m,n的最大公約數(shù)；若凡老0,則用除數(shù)n除以余

數(shù)人得到一種商M和一種余數(shù)與

(3).若凡=0,則與為m,n的最大公約數(shù)；若8W0,則用除數(shù)&除以余

數(shù)凡得到一種商$2和一種余數(shù)%;依次計算直至&=0,此時所得

到的Ki即為所求的最大公約數(shù).

4.更相減損術

(1).任意給出兩個正數(shù)；判斷它們與否都是偶數(shù)。若是，用2約簡；若不

是，執(zhí)行第二步.

(2).以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把較小的數(shù)與所得的差比較，并以大

數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個數(shù)(等數(shù))就

是所求的最大公約數(shù).

5.秦九韶算法概念：

n

/(x)=anx++…qx+/求值問題：

尤"T+4_1尤"—2H—ajx+ao

=2+3H—a2~)x+ajx+a0

=???=(???(<2?x+%)x+a“_2)xH■…+ojx+aQ

求多項式的值時，首先計算最內層括號內依次多項式的值，即+

然后由內向外逐層計算一次多項式的值，即

丫2=41+4-2v3^v2x+an_3???Vn^vn_xx+ao

這樣，把n次多項式的求值問題轉化成求n個一次多項式的值的問題。

6.進位制表達多種進位制數(shù)一般在數(shù)字右下腳加注來表達,如111001⑵表達二

進制數(shù),34⑸表達5進制數(shù).

(2)k進制轉化為十進制公式:

（3）十進制轉化為k進制：除k取余法

注：k進制數(shù)之間的轉化，首先轉化成十進制，再轉化為其他進制數(shù).

第二章記錄

1.簡樸隨機抽樣常用的措施：①抽簽法②隨機數(shù)表法

（2）抽簽法環(huán)節(jié)：

①編號②制簽③攪拌均勻④抽簽⑤確定樣本

（3）隨機數(shù)表法:

①編號②從數(shù)表中定“中心”③按事先約定好的方向取數(shù)④確定樣本

2.系統(tǒng)抽樣（等距抽樣或機械抽樣）：把總體的單位進行排序，再計算出抽

樣距離，然后按照這一固定的抽樣距離抽取樣本。第一種樣本采用簡樸隨機

抽樣的措施抽取.

特點：抽出的樣本編號按大小次序排列時，編號之差為定值（即等距）。

3.分層抽樣（類型抽樣）：

先將總體中的所有元素按照某種特性或標志（性別、年齡等）劃提成

若干樊型或層次"然卮核比例在各個類型或層次中采用簡樸隨機抽樣或系

用抽樣而揶施箍取F燈祥笨「最久耨避簪辟本鍬鰥嵋曲總體的樣

1.最后一步商為O,

2.將上式各步所得的余數(shù)從下到上排列，得到：

89=1011001<2>

本.

樣本容量=各層樣本容量

分層的比例問題：抽樣比例=

個體容量—各層個體容量

4.用樣本的數(shù)字特性估計總體的數(shù)字特性

①樣本均值：1=1+“2+……+Z

n

②方差：=—[（%—X）2+（%—X）~H---1-（X”—X）2]

n

③樣本原則差:

④眾數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)（可以是多種）

⑤中位數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，從小到大排列，最中間的那一種數(shù)據(jù)，假如最

中間有兩個數(shù)據(jù)，取其平均值即為中位數(shù).

5.觀測頻率分布直方圖（不懂得詳細數(shù)據(jù)）時求數(shù)字特性的措施：

①樣本眾數(shù)：直方圖中最高小長方形下端中點的橫坐標的值.

②中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，合計頻率為0.5時所對應的樣本數(shù)據(jù)值

（只有一種）。詳細求解環(huán)節(jié)是：

第一步，根據(jù)直方圖先求出各個小長方形的面積，（面積=頻率，總面積為

1）

第二步，確定中位數(shù)在哪個小長方形里（中位數(shù)平分面積，兩邊各0.5）

第三步，設中位數(shù)為x,則運用中位數(shù)平分面積，左邊面積和為0.5列方

程

第四步，解方程，求出x.

③平均數(shù)：

第一步，根據(jù)直方圖先求出各個小長方形的面積，（面積=頻率，總面積為

1）

第二步，求出每個小長方形的底邊中點的橫坐標.

第三步，面積與橫坐標對應相乘.

第四步，把第三步的成果相加，最終算出的數(shù)值即為平均數(shù)

6.用樣本的頻率分布估計總體分布

列頻率分布表與畫頻率分布直方圖的詳細環(huán)節(jié)如下:

第一步：求極差，即計算最大值與最小值的差.

第二步：決定組距和組數(shù)：組數(shù)

極差e——

=wl口小-無）。,-y）0.L

極差b=3—n,a=y-bx

（注意：當磊不是整數(shù)時，-2組數(shù)二

z=l

［極差

+1.)

第三步：將數(shù)據(jù)分組；

第四步：列頻率分布表：

第五步：畫頻率分布直方圖。

（小長方形的面積=組距義翳=頻率）

組距

7.兩個變量的線性有關

（1）.正有關:從散點圖看，點散布在從左下角到右上角的區(qū)域內.

負有關：從散點圖看，點散布在從左上角到右下角的區(qū)域內.

（2）.回歸直線方程：y=bx+a,其中（玉,%）,（%2，%）,,一,（七,%）為樣本點,

線性回歸方程夕=bx+a中系數(shù)計算公式：

8.記錄案例

⑴有關系數(shù)廠是用于衡量兩個變量之間的線性

-nxTjy,2-ny

有關程度的.r＞0時表達兩個變量正有關；廠＜0時表達兩個變量負有

關；r的絕對值越靠近1,表明兩個變量間的線性有關程度越高，當

卜＞0.75時，可以認為兩個變量有很強線性有關性.

nrn

匯(、-42

⑵有關指數(shù)火2=1—今---------，用來刻畫回歸的效果，越靠近1,

Z(…2

i=l

表明回歸效果越好.

第三章概率

1.隨機事件的概率及概率的意義

I.必然事件：在條件S下，一定會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的必然事件；

2.不也許事件：在條件S下，一定不會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的不也

許事件.

3.隨機事件：在條件S下也許發(fā)生也也許不發(fā)生的事件，叫相對于條件S的

隨機事件.

4.頻數(shù)與頻率：在相似的條件S下反復n次試驗，觀測某一事件A與否出

現(xiàn)，稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)%為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)；稱事件A出

現(xiàn)的比例力(A)=以為事件A出現(xiàn)的頻率。(頻率=頻數(shù)+樣本總數(shù))

n

5.當試驗的次數(shù)越多時，頻率就越靠近一種穩(wěn)定值，這個穩(wěn)定值我們稱之為

“概

率”，即頻率可當作概率的近似值.

6.概率的基本性質

(1)必然事件概率為1,不也許事件概率為0,因此OWP(A)W1

(2)事件的關系有：包括、并事件、交事件、相等事件.

(3)若AAB為不也許事件，即AAB=0,那么稱事件A與事件B互斥；

(4)若AAB為不也許事件，AUB為必然事件，那么稱事件A與事件B互

為對立事件；因此，對立事件一定是互斥事件，反之否則.

(5)當事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(AUB)=P(A)+P(B)；若某事

件的成果有k種也許，則這k種也許的概率之和為1.

若事件A與B為對立事件，則AUB為必然事件，因此P(AUB)=P(A)+

P(B)=1,于是有P(A)=1—P(B).

7.基本領件：基本領件是在一次試驗中所有也許發(fā)生的基本成果中的一種，

一次試驗的所有也許的成果一一列出，列出時做到不反復、不遺漏即可得

出所有的基本領件。(列出時可以畫樹狀圖，也可以按照一定規(guī)則和秩序

一一列出)

8.基本領件的特點：①任何兩個基本領件是互斥的；②任何事件(除不也許事

件外)都可以表到達基本領件的和.

9.古典概型

(1)古典概型的條件：

①試驗中所有也許出現(xiàn)的基本領件只有有限個.

②每個基本領件出現(xiàn)的也許性相等.

(2)古典概型的解題環(huán)節(jié)：

①求出總的基本領件數(shù).

②求出事件A所包括的基本領件數(shù)，然后運用公式

=A所包含的基本事件的個數(shù)

—總的基本事件個數(shù)一

10：幾何概型

(1)幾何概率模型：假如每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的長度

(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型.

(2)幾何概型的概率

=構成事件A的區(qū)域長度(面積或體積)

P一試驗的全部結果所構成的區(qū)域長度(面積或體積).

（3）幾何概型的特點：

①試驗中所有也許出現(xiàn)的成果（基本領件）有無限多種.

②每個基本領件出現(xiàn)的也許性相等.

必修4

第一章三角函數(shù)

"正角：按逆時針方向旋轉形成的角

1、任意角V負角:按順時針方向旋轉形成的角

零角:不作任何旋轉形成的角

2.角a的頂點與原點重疊，角的始邊與左軸的非負半軸重疊，終邊落在第幾

象限，則稱夕為第幾象限角.

3.與角a終邊相似的角的集合為{尸忸=*360+a,左eZ}

4.長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度.

5.半徑為r的圓的圓心角a所對弧的長為/,則角a的弧度數(shù)的絕對值是

囤J

6.弧度制與角度制的換算公式：2/r=360,1=—,l=f—?57.3.

180{J

7.若扇形的圓心角為a（c為弧度制），半徑為廣，弧長為/,周長為C,面積為

S,貝1]/=r同，C=2r+l,S=hr=^\a\r2.

8.設。是一種任意大小的角，。的終邊上任意一點P的坐

標是它與原點的距離是已卜=Jd+f>o卜則

sma=—,cosa=—,tana=—lx^0）.

rrx

9.三角函數(shù)在各象限的符號：第一象限全為正，第二象限正弦為正,

第三象限正切為正，第四象限余弦為正.

10.三角函數(shù)線：sinc=MP,cosa-OM,tana=AT.

n.三角角函數(shù)的基本關系

兀

(1)sin2a+cos2a-\\(QU/,%￡Z)

12.函數(shù)的誘導公式:

(1)sin(2k7i+a^=sina，cos(2k7i+cif)=cosa，tan(2左"+a)=tana(kwZ).

(2)sin(萬+0=—sina,cos(^+6Z)=-cosa,tan(萬+e)=tana.

(3)sin(-a)=-sindf,cos(-cif)=coscif，tan(—a)=-tana.

(4)sin(萬一a)=sina,cos(7r-a)=-cosa,tan(?_0=_tana.

n

（5）sin~~a=cosa,

小sina

(2)-------=tana

71cosa

cos~~a=sina.

71

（6）sin—Fa=cosa,cosP+?=-sma.

212

口訣：奇變偶不變，符號看象限.

13.y=Asin（s+9）圖象的變換

由y=sinx的圖象變換得到〉=45足（5：+夕）（其中A>0,①>0）的圖象

（1）先平移后伸縮（2）先伸縮后平移

易誤提醒（1）要注意平移前后兩個函數(shù)的名稱與否一致，若不一致，應先

運用誘導公式化為同名函數(shù).（2）由）；=Asincox的圖象得到y(tǒng)=Asin（?x+9）的

圖象時，需平移的單位數(shù)應為2,而不是|夕|.

0)

14.函數(shù)y=Asin(oa+0)(A>O,ft>>O)的性質:

①振幅:A；

T2〃

②周期:1=—;

,1G

③頻率:J=—=

T271

④相位:o）x+（p；

⑤初相:(P?

15.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質:

y=sin犬y=cosxy=tanx

i

yy

等M,

圖象

04vyx01JXT4Y-

定義域\%%W左〃+工,左￡Z

RR1121

值域[T』[T』R

當％=2左）（左wZ）時1

當x=2k兀+￡（攵￡Z）1）Nmax=1

；當

時，小=1；當既無最大值也無最

最值x=2k兀+兀

x=2kn~—小值

2（kcZ）時,

際刃時y=-1

minKlin=-1?

周期性2?27171

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

在2k7r--,2k7r+—

L22_在［2左乃一萬,2人》］（%eZ）上不已

在［丘WY；

二￡Z）上是增函

增函數(shù)；在

單調性數(shù)；在

（keZ）上是增上

1冗…3萬［2k7i,2k兀+7i\

2K71—,2仁兀----

22_

數(shù).

：￡Z）上是減函（丘z）上是減函數(shù).

數(shù)

對稱中心

>寸稱中心對稱中足、

（左肛0）（左wZ）

左〃■+］）（）［加（

對稱性,0keZ%￡Z）無

對稱軸[

>寸稱軸X=左乃（左￡Z）

%=左ez）對稱軸

第二章平面向量

16.向量：既有大小，又有方向的量.數(shù)量：只有大小，沒有方向的量.

有向線段的三要素：起點、方向、長度.零向量：長度為0的向量.

單位向量：長度等于1個單位的向量.

平行向量（共線向量）：方向相似或相反的非零向量.零向量與任歷來量平

行.

相等向量：長度相等且方向相似的

向量..

17.向量加法運算：

⑴三角形法則的特點：首尾相連._________________________

a+i=AB+BC=ACa+Z>=AB+AZ?=AC

⑵平行四邊形法則的特點：共起

點.

⑶三角形不等式：弧卜忖卜卜+方卜回+陣

⑷運算性質：①互換律：a+b=b+a；

②結合律：（a+b）+c=a+（b+c）；（3）

a-b=AC-AB=BC

。+0=0+〃=a.

⑸坐標運算：設a=&，x）,b=（%2,y2）-則a+Z?=&+%2，X+%）?

18.向量減法運算：

⑴三角形法則的特點：共起點，連終點，方向指向被減向量.

⑵坐標運算：設a=&，x）,b=（x2,y2）,貝Ijd-/?=（5-％2，X-%）?

設A（%,%）、B（尤2,%）則^=（%—%，%—%）?

19.向量數(shù)乘運算：

⑴實數(shù)X與向量a的積是一種向量的運算叫做向量的數(shù)乘，記作2a.

①］羽=風向；

②當;1>0時，/la的方向與a的方向相似；當2<0時，/la的方向與a的方向

相反；當;1=0時，2a=0.

⑵運算律：①X（"）=（M）a；（2）（2+//）a=2a+//a；③

A^a+bj=Aa+Ab.

⑶坐標運算：設d=(羽y),則/la=7i(x,y)=(Xx,/ly).

20.向量共線定理：加心儲手o)ob=&.

21.平面向量基本定理：假如e「02是同一平面內的兩個不共線向量，那么對

于這一平面內的任意向量a,有且只有一對實數(shù)4、%,使

a=\ex+^e2.(不共線的向量q、e2作為這一平面內所有向量的一組基

底)

22.平面向量的數(shù)量積：

Wa-b=|a||z?|cos6*(?O,b0,0<8<180).

⑵性質：設a和b都是非零向量，則①G，boa6=0.

②當之與方同向時,同忖；

當a與匕反向時，a-b=-|?||^|;a?a=a2=|a『或同=JaV.

⑶運算律：

@a-b-b-a；②(2a)/=2(a-Z?)=a?/l》)；?[a+b^-c=a-c+b-c.

J

⑷坐標運算：設兩個非零向量a=(%],yj,b=(%2,j2)則。必=玉%2+%%.

若a=(x,y),則依『=/+’2,或同=Jf+y2.設a=(%,%),

匕=(無2，%)，則a0%犬2+%%=0.

設a、6都是非零向量，a=(%,yj,人=(%2，%)，。是a與人的夾角，貝I

cos"整＞卒2+產(chǎn)

第三章三角恒等變換

23.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：

(1)cos(er-yff)=cosacos/3+sinasin[3；⑵cos(a+夕)=cosacosp一sinasin/?；

(3)sin(cr-/?)=sinorcosP-cosasin/?；(4)sin(a+/?)=sinacos/?+cosasin/?；

⑸tan(a-/?)=色士㈣2n

1+tanatanD

(tan畿一tan/?=tan(a一/)(l+tanatan'))；

(6)tan…Jna+ta”

1-tantan0

(tana+tan/?=tan(a+〃)(l-tanatan〃)).

24.二倍角的正弦、余弦和正切公式：

(Dsin2a=2sinacos。?

(2)cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-l=l-2sin2a

0降募公式cos2?=COs2q：+1,.21-cosla

sina=-------------

2

2tana

tanla=

1一tan2a

必修5

第一章解三角形

1.正弦定理：在AABC中，a、b、c分別為角A、B、。的對邊，R為

AABC的外接圓的半徑，則有—^=—^=」^=2尺.

sinAsinBsinC

2.正弦定理的變形公式:

①a=2RsinA,b=2HsinB,c=2RsinC；

②sinA=,sinB=,sinC=，-；

2R2R2R

③a:Z?:c=sinA:sinB:sinC；

④a+b+c_a_b_c

sinA+sinB+sinCsinAsinBsinC

3.三角形面積公式：S=—besinA=—absinC=—acsinB.

AAABACBr222

4.余弦定理：在AABC中，有

a=b2+c2-2Z?ccosA,b1=a1+c2-2accosB,c2=a2+Z?2-2abcosC.

5.余弦定理的推論：

6.設〃、屋。是AABC的角A、B、C的對邊，貝Ij：

①若〃2+/=/,貝|jc=90；

②若貝.

③若則c>90.

第二章數(shù)列

S],(ji=1)

L數(shù)列中明與S〃之間的關系：4=二。(注意通項能否合并)。

5?-S?_p(n>2).

2.等差數(shù)列：

⑴定義：假如一種數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一種常

數(shù),即/一a"_i=d,(n22,n?N+),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列。

⑵等差中項：若三數(shù)a、A、b成等差數(shù)列oA=@[

⑶通項公式：an=%+(n-l)d

⑷前〃項和公式：3="%+心二?！?返土3）

22

⑸等差數(shù)列的常用性質：

①若m+n=p+qQn,n,p,qwN）,則am+an=ap+aq.

②在等差數(shù)列中，間隔相似的項取出一列數(shù)，仍構成等差數(shù)列；

③數(shù)列｛2%+”（幾力為常數(shù)）仍為等差數(shù)列；

④單調性：｛%｝的公差為d,貝U：

i）d>0o｛4｝為遞增數(shù)列；

ii）d<0o｛%｝為遞減數(shù)列；

iii）d=0o｛/J為常數(shù)列；

⑤數(shù)列｛6｝為等差數(shù)列=+q（P,q是常數(shù)）

⑥若等差數(shù)列｛%｝的前幾項和S“，則，、S2k-Sk,S”-…是等差數(shù)

列。

3.等比數(shù)列

⑴定義：假如一種數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一種常

數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列。

⑵等比中項：若三數(shù)a、G、〃成等比數(shù)列nG2=",即G=±而，（而同

號）。反之不一定成立。

⑶通項公式：

nax(q=1)

⑷前幾項和公式:

⑸等比數(shù)列的常用性質

①若根+"=p+"(m,n,p,qeN+),貝|金=%，/；

②

③在等比數(shù)列中，間隔相似的項取出一列數(shù)，仍構成等比數(shù)列;

④若｛%｝是等比數(shù)列，則｛%｝,｛a“2｝,工，｛a：｝（reZ）是等比數(shù)列。

[an）

⑤若等比數(shù)列｛%｝的前〃項和S“，則