2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（原卷版）

專題10指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（新高考專用）

目錄

【知識(shí)梳理】................................................................2

【真題自測(cè)】................................................................3

【考點(diǎn)突破】................................................................4

【考點(diǎn)1】指數(shù)累的運(yùn)算......................................................4

【考點(diǎn)2】指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用..............................................5

【考點(diǎn)3】指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用...............................................7

【分層檢測(cè)】................................................................9

【基礎(chǔ)篇】..................................................................9

【能力篇】.................................................................11

【培優(yōu)篇】.................................................................12

考試要求：

1.理解有理數(shù)指數(shù)嘉的含義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)嘉的意義，掌握指數(shù)嘉的運(yùn)算性質(zhì).

2.通過實(shí)例，了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義，能用描點(diǎn)法或借助計(jì)算工具畫出指數(shù)函數(shù)的圖象.

3.理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，特殊點(diǎn)等性質(zhì)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.

知識(shí)梳理

1.根式的概念及性質(zhì)

n

⑴概念：式子、打叫做根式,這里〃叫做根指數(shù)，。叫做被開方數(shù).

⑵①負(fù)數(shù)沒有偶次方根.

n

②0的任何次方根都是0,記作訴=。.

n

③(g)"=W(〃GN*,且〃>1).

④為大于1的奇數(shù)）.

n._[a,

⑤而=|a|=《八（〃為大于1的偶數(shù)）.

—g,〃<0

2.分?jǐn)?shù)指數(shù)幕

m打?----

規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)累的意義是"=應(yīng)（。>0,m,"GN*,且〃>1）；正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)

m1

易的意義是相:=’~（。>0,m,〃GN*,且〃>1）；0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)易等于0；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)累

沒有意義.

3.指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)

實(shí)數(shù)指數(shù)累的運(yùn)算性質(zhì)：aras=ar+s-,（陵）$=貯；（abY=a'br,其中a>0,b>0,r,s@R.

4.指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

⑴概念：函數(shù)y=〃（a>0,且aWl）叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R.

（2）指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>\0<a<l

二】

圖象

二

i左

定義域R

值域(0,+8)

過定點(diǎn)（0,1）,即x=0時(shí)，y=l

性質(zhì)

當(dāng)x>0時(shí)，y>l；當(dāng)x<0時(shí)，y>l；

2

當(dāng)x<0時(shí)，0<y<l當(dāng)x>0時(shí)，0<y<l

在（一8,+8）上是增函數(shù)在（一8,+8）上是減函數(shù)

丁=〃與的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

常用結(jié)論

1.畫指數(shù)函數(shù)y=〃（a>0,且aWl）的圖象，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：（1,a）,（0,1）,f-1,\

2.指數(shù)函數(shù)丁=爐3>0,且。#1）的圖象和性質(zhì)跟。的取值有關(guān)，要特別注意應(yīng)分。>1與0<a<l

來研究.

3.在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)丁=〃3>0,且aWl）的圖象越高，底數(shù)越大.

*真題自測(cè)

一、單選題

1.（2023?全國(guó)?高考真題）設(shè)函數(shù)〃%）=2+甸在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（）

A.(-00,-2]B.[-2,0)

C.(0,2]D.[2,+co)

已知,叱為是偶函數(shù)’則）

2.（2023?全國(guó)?高考真題）

A.-2B.-1C.1D.2

已知函數(shù)/（））記。=/座、

3.（2023,全國(guó)考真題）■x=e-g2.2J,b=I2J，貝IJ()

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

4.（2022?全國(guó)?|Wj考真題）已知9加=10,〃=10加一ll,b=8”一9,貝！J)

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

5.（2022?全國(guó)?高考真題）設(shè)Q=0.1e°i/c=—ln0.9,則(

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

6.（2021?全國(guó)?高考真題）下列函數(shù)中最小值為4的是（）

?.?4

A.=x2+2x+4B.

C.y=2"+22TD.y=lnx+—

Inx

7.（2023?北京?高考真題）下列函數(shù)中，在區(qū)間（0,y）上單調(diào)遞增的是()

3

A./（尤）=-lnxB.y（x）=：

c./（%）=--D./（X）=3M

尤

8.（2023?天津?高考真題）設(shè)。=1.01。5,6=1。1。6,。=0.6°5,則a,6,c的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

.考點(diǎn)突破

【考點(diǎn)1】指數(shù)幕的運(yùn)算

一、單選題

1.（2022?重慶九龍坡?模擬預(yù)測(cè)）雷達(dá)是利用電磁波探測(cè)目標(biāo)的電子設(shè)備.電磁波在大氣中大致沿直線傳

播.受地球表面曲率的影響，雷達(dá)所能發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的最大直視距離

L=｛（R+%y-R2+&R+生）_笛=8%+h；+個(gè)2甌+片（如圖），其中4為雷達(dá)天線架設(shè)高度，區(qū)為

探測(cè)目標(biāo)高度，R為地球半徑.考慮到電磁波的彎曲、折射等因素，R等效取8490km,故R遠(yuǎn)大于九，%.假

設(shè)某探測(cè)目標(biāo)高度為25m,為保護(hù)航母的安全，須在直視距離412km外探測(cè)到目標(biāo)，并發(fā)出預(yù)警，則艦載

預(yù)警機(jī)的巡航高度至少約為（）

（參考數(shù)據(jù)：,2x8.49合4.12）

雷達(dá)直視距離

A.6400mB.8100mC.9100mD.10000m

2.（2024?廣東深圳?一模）已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),在區(qū)間（0,+“）上單調(diào)遞增，且對(duì)任意為,三,

均有〃平成立，則下列函數(shù)中符合條件的是（）

A.'=1巾B.y=x3C.y=2忖D.J=|x|

二、多選題

3.（2023?云南曲靖?模擬預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)MV滿足2,+2>J1，則（）

4

A.xvO且yv-lB.x+y的最大值為-3

y-1

c.的最小值為7D.”<2

4.（22-23高一上?江蘇蘇州?階段練習(xí)）下列說法正確的是（）

A.若％,且％+y>4,則x,y至少有一個(gè)大于2

B.VxeR,正=x

C.若2Vbe4,貝?。菀?<%一/?<4

D.dx2+3+j2+3的最小值為2

三、填空題

3

5.（2023?黑龍江齊齊哈爾?一模）請(qǐng)寫出滿足方程3,-：=log5y的一組實(shí)數(shù)對(duì)（尤,y）：

______O3

6.（2023?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)。，6滿足4"+2a=3,log2^3^71+&=-,貝此+：6=

反思提升：

（1）指數(shù)露的運(yùn)算首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)幕統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕，以便利用法則計(jì)算，還應(yīng)注意：

①必須同底數(shù)幕相乘，指數(shù)才能相加.

②運(yùn)算的先后順序.

（2）當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，先確定符號(hào)，再把底數(shù)化為正數(shù).

（3）運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù).

【考點(diǎn)2】指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用

一、單選題

3無+3r

1.（23-24高三下?山東濟(jì)南?開學(xué)考試）函數(shù)=的圖象大致為（）

5

2.（23-24高一上?湖北?階段練習(xí)）函數(shù)y=log.無+4+2（4>0且中1）的圖象恒過定點(diǎn)小力），若

On+rn

m+n=b-k,n>0,則-----的最小值為（）

mn

95

A.9B.8C.—D.一

22

二、多選題

3.（20-21高一上?山東濟(jì)南?期中）下列四個(gè)結(jié)論中，正確的結(jié)論為（）

A.函數(shù)〃x）=x與函數(shù)g（x）=jm相等

B.若函數(shù)f（x）=優(yōu)-。（。>0且的圖象沒有經(jīng)過第二象限，貝必>1

C.當(dāng)x?l,2）時(shí)，關(guān)于x的不等式尤2+〃優(yōu)+4<0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為旭<-5

D.若函數(shù)的最大值為最小值為機(jī)，則M+租=2

2

4.（2024?山東臨沂一模）已知函數(shù)〃x）=k：+a（aeR）,則（）

2—1

A.的定義域?yàn)椋╢,0）U（0,"）

B.〃尤）的值域?yàn)镽

C.當(dāng)a=l時(shí)，〃尤）為奇函數(shù)

D.當(dāng)a=2時(shí)，/（-x）+/（x）=2

三、填空題

5.（2024?云南曲靖?一模）如圖，在第一象限內(nèi)，矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)AB,C分別在函數(shù)

|的圖象上，且矩形的邊分別與兩坐標(biāo)軸平行，若A點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2,則D點(diǎn)的

11

6.（2023?上海浦東新?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)〃x）=x；2x-a+2.若函數(shù)y=〃力的定義域?yàn)椋ā?I）U（LE），則關(guān)

于x的不等式a-的解集為

反思提升：

6

L對(duì)于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、

對(duì)稱變換得到.特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)。與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類討論.

2.有關(guān)指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求解.

【考點(diǎn)3】指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

一、單選題

L（2024?黑龍江哈爾濱?一模）酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為.為了保障交通安全，根據(jù)國(guó)家有關(guān)規(guī)

定：100mL血液中酒精含量達(dá)到20?79mg的駕駛員即為酒后駕車，80mg及以上認(rèn)定為醉酒駕車.假設(shè)某

駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含

量會(huì)以每小時(shí)30%的速度減少，那么他至少經(jīng)過幾個(gè)小時(shí)才能駕駛？（）（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：

lg3?0.48,lg7^0.85）

A.1B.2C.3D.4

222024?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè)）如果a<x<6,記國(guó)為區(qū)間（哂內(nèi)的所有整數(shù).例如，如果2Vx<3.5,則［x］=3；

如果1.2<x<3.5,則國(guó)=2或3；如果2.3<x<2.7,貝打可不存在.已知丁=1+5+A+…+1

，則［r=

婀

()

A.36B.35C.34D.33

二、多選題

3.（2024?湖南?模擬預(yù)測(cè)）己知函數(shù)"力是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，g（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且

〃x）+g（x）=2e［函數(shù)*耳=/（2耳-2〃礦（同在［0,+8）上的最小值為_11,則下列結(jié)論正確的是（）

A./（力=6'+/B.g（x）在實(shí)數(shù)集R單調(diào)遞減

C.m=3D.根=—3.3或—

4

?>1

4.（2021?遼寧葫蘆島?二模）設(shè)函數(shù)〃司=r王手，則下列選項(xiàng)正確的是（）

A./（力為奇函數(shù)

B.“X）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0,1）對(duì)稱

C./（X）的最小值為e+1

則1-』<左<1+^，且左片1

D.若=上有兩個(gè)不等實(shí)根,

“尤)Tee

三、填空題

5.（2022?上海普陀?一模）由于疫情防控需要，某地鐵站每天都對(duì)站內(nèi)進(jìn)行消毒工作，設(shè)在藥物釋放過程中,

7

站內(nèi)空氣中的含藥量y（毫克/每立方米）與時(shí)間（小時(shí)）成正比.藥物釋放完畢后，y與x滿足

關(guān)系y=9"r（b常數(shù)，X?g）.據(jù)測(cè)定，空氣中每立方米的含藥量降低到g毫克以下時(shí)，乘客方可進(jìn)站，則

地鐵站應(yīng)安排工作人員至少提前分鐘進(jìn)行消毒工作.

6.（2021?上海松江?一模）從以下七個(gè)函數(shù)：>=羽>=',>=元2,'=2",'=108，%>=$也尤,、=8$》中選取兩

X

個(gè)函數(shù)記為了（X）和8（尤），構(gòu)成函數(shù)/（尤）=/（x）+g（x）,若尸（x）的圖像如圖所示，則尸（x）=___.

1.比較指數(shù)式的大小的方法是：（1）能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)幕，再利用單調(diào)性比較大小；

（2）不能化成同底數(shù)的，一般引入“0或1”等中間量比較大小.

2.指數(shù)方程（不等式）的求解主要利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

3.涉及指數(shù)函數(shù)的綜合問題，首先要掌握指數(shù)函數(shù)相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉

及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時(shí)，都栗借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷.

易錯(cuò)警示在研究指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，當(dāng)?shù)讛?shù)。與“1”的大小關(guān)系不確定時(shí)，要分類討論.

.分層檢測(cè)

【基礎(chǔ)篇】

一、單選題

1.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）在等差數(shù)列也,｝中，已知生與佝是方程2/-%+〃?=0的兩根，則

人當(dāng)兒等C.乎

8

2.(2。24?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知小)=二??；廣，是定義在R上的偶函數(shù)，則…二()

A.-4B.0C.2D.4

3.(2024?天津?二模)已知函數(shù)y=/(x)的部分圖象如圖所示，則〃x)的解析式可能為().

X

A.“止*B?小)=|三D./(%)=

4.(2。23?貴州畢節(jié)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)八")=￡,則對(duì)任意非零實(shí)數(shù)x,有()

A./(-x)-/(x)=OB.

C./(-x)+/(x)=lD./(-%)+/(%)=-!

二、多選題

5.(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))對(duì)函數(shù)〃尤)，g(x)公共定義域內(nèi)的任意無，若存在常數(shù)MeR,使得

，(x)-g(x)歸”恒成立，則稱和g⑺是"―伴侶函數(shù)，則下列說法正確的是()

A.存在常數(shù)"eR,使得〃x)=log2(5x)與g(x)=log］是伴侶函數(shù)

B.存在常數(shù)MeR,使得〃尤)=3可與g(x)=3i是加―伴侶函數(shù)

C.，(尤)=lnx與g(x)=x+2是1一伴侶函數(shù)

D.若/㈣=g(x),則存在常數(shù)MeR,使得與g(尤)是"-伴侶函數(shù)

6.(2023?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè))下歹［J是。>b>c(a,b,g0)的必要條件的是()

A.aobcB.(ac)2>0c)~

C.T~c>T~bD.7"b>代c

7.(2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))在下列四個(gè)圖形中，二次函數(shù)”蘇+法與指數(shù)函數(shù)y=的圖象可能是(

9

三、填空題

8.(2021?山東荷澤?二模)寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件的非常數(shù)函數(shù)

①當(dāng)占尤2?。時(shí)，/(x1+x2)=/(%1)/(x2)；②“X)為偶函數(shù)

9.(23-24高一上?江蘇宿遷?期末)若命題"he；,+8,2*-加＜0"是假命題，則加的取值范圍為.

10.(2024?寧夏銀川一模)已知定義在R上的偶函數(shù)滿足〃X)=/(2T),當(dāng)xe[0,l]時(shí)，f(x)=2x.

函數(shù)g(x)=(T＜尤＜3),則/(%)與g(尤)的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為.

四、解答題

11.(2021?四川遂寧?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)＞=/(%)定義在H上有/(r)=-/(%)恒成立，且當(dāng)時(shí)，

/W=-(1r+(|r.

(1)求〃-1)的值及函數(shù)/(X)的解析式；

(2)求函數(shù)/(x)的值域.

12.(21-22高一上?陜西銅川?期末)已知函數(shù)〃元)=(片-3°+3”，是指數(shù)函數(shù).

⑴求/(X)的解析式;

(2)若log.(l-x)＞log.(x+2),求尤的取值范圍.

【能力篇】

一、單選題

1.(2024?寧夏石嘴山三模)定義在R上的偶函數(shù)滿足〃l+x)=/(l-x),且當(dāng)xe[0,l]時(shí),〃x)=e，-l,

10

若關(guān)于X的方程〃x)=M(x+l)(加>0)恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為()

二、多選題

2.(22-23高三上?江蘇南通?開學(xué)考試)若實(shí)數(shù)x,>滿足2工+2川=1,m=x+y,〃=+gj，貝卜)

A.尤<0且y<TB.機(jī)的最小值為一3

C.〃的最小值為7D.n-2m<2

三、填空題