2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：正弦定理和余弦定理（原卷版）

專題26正弦定理和余弦定理（新高考專用）

目錄

【知識(shí)梳理】................................................................2

【真題自測(cè)】................................................................3

【考點(diǎn)突破】................................................................5

【考點(diǎn)1】利用正、余弦定理解三角形..........................................5

【考點(diǎn)2】判斷三角形的形狀..................................................6

【考點(diǎn)3】和三角形面積有關(guān)的問題............................................7

【分層檢測(cè)】................................................................8

【基礎(chǔ)篇】..................................................................8

【能力篇】.................................................................10

【培優(yōu)篇】.................................................................11

考試要求：

掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問題.

知識(shí)梳理

1.正'余弦定理

在△ABC中，若角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,R為△ABC外接圓半徑，則

定理余弦定理正弦定理

—22CCOSA；

a_____b_____c___

公式〃=/+/_2cacosB；

sinAsinBsinC

/=〃2+/—2〃bcosC

⑴〃=2HsinA,Z?=27?sinB,c=

Z?2+.2—〃227?sinC；

cosA—&；a

/c\?..nb.廠c

(2)smA—2H，smsm^~2R;

常見變4十次―序

cosB—2ac；

形(3)a：b：c=

6z2+Z?2—c2sinA'sinB：sinC；

3s「lab

(4)asinB=Z?sinA,Z?sinC=csinB,

asmC=csinA

2.在△ABC中，已知a,6和A時(shí)，解的情況如下:

A為銳角A為鈍角或直角

ccc

圖形

AB；…BA…….吐

ARAB

關(guān)系式a=bsinAZ?sinA<a<ba^ba>baWb

解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解無解

3.三角形常用面積公式

(l)S=：a?瓦(瓦表示a邊上的高).

111dbc

(2)S=]absinC=/acsin3=/Z?csinA=4H.

⑶S=J(a+b+c)(r為內(nèi)切圓半徑).

|常用結(jié)論

1.三角形中的三角函數(shù)關(guān)系

(l)sin(A+B)=sinC；

2

(2)cos(A+B)=—cosC；

A+BC

(3)sin~~2-=cosy；

A+BC

(4)cos-2—=sin].

2.三角形中的射影定理

在△ABC中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=Z?cosA+acosB.

3.在△ABC中,兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊,A>5u>a>b=sinA>sin50cosA<cos

B.

.真題自測(cè)

一、單選題

1.（2023?全國(guó)?高考真題）已知四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，PC=PD=3,ZPCA=45°,

則APBC的面積為（）

A.2A/2B.3亞C.4V2D.672

2.（2023?全國(guó)?高考真題）已知AABC為等腰直角三角形，為斜邊，△ABD為等邊三角形，若二面角

C-AB-O為150。，則直線與平面A2C所成角的正切值為（）

A.-B.—C.—D.-

5555

二、多選題

3.（2022?全國(guó)?高考真題）雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為斗鳥，以C的實(shí)軸為直徑的圓記為過耳作。的切線

3

與。交于M,N兩點(diǎn)，且cosN片NK=g,則。的禺心率為（）

A&R2c屈D如

2222

三、填空題

4.（2023?全國(guó),高考真題）在AABC中，NBAC=60。,AB=2,BC=娓，/5AC的角平分線交BC于。，則

AD=.

AT

5.（2022?全國(guó),高考真題）已知44BC中，點(diǎn)。在邊上，NAD8=120。,AO=2,8=28。.當(dāng)士取得

AB

最小值時(shí)，BD=.

四、解答題

6.（2023?全國(guó),高考真題）在“1BC中，已知N&1C=12O。，AB=2,AC=l.

⑴求sinNABC；

⑵若。為BC上一點(diǎn)，且44。=90。，求△ADC的面積.

3

7.（2023?全國(guó)考真題）已知在AABC中，A+5=3C,2sin（A—C）=sin5.

⑴求sinA；

⑵設(shè)AB=5,求A3邊上的高.

8.（2023?全國(guó)?高考真題）記融。的內(nèi)角A5,C的對(duì)邊分別為已知AABC的面積為石，。為中

點(diǎn)，且AD=1.

TT

⑴若NAOC=,,求tan8；

⑵若。2+02=8,求瓦C.

9.（2022?全國(guó)?高考真題）記AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,分別以a,b,c為邊長(zhǎng)的三個(gè)

正三角形的面積依次為岳,邑,S3,已知凡-S2+S3=亭,sin8=g.

⑴求△ABC的面積；

（2）若sinAsinC=，求b.

3

10.（2022?全國(guó)?高考真題）記AABC的內(nèi)角的對(duì)邊分別為已知sinCsin（A-b）=sin3sin（C-A）.

⑴證明:2/=/+」2;

25

（2）若a=5,cosA=/，求△ABC的周長(zhǎng).

11.（2022?全國(guó)?高考真題）記“RC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知cosAsin2,.

1+sinAl+cos2B

⑴若c=q,求8

（2）求《42的最小值.

c

12.（2021?全國(guó),高考真題）在“BC中，角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為。、b、c,b^a+1,c=a+2..

（1）若2sinC=3sinA,求"IBC的面積；

（2）是否存在正整數(shù)。，使得AABC為鈍角三角形?若存在，求出。的值；若不存在，說明理由.

“考點(diǎn)突破

【考點(diǎn)1］利用正、余弦定理解三角形

一、單選題

1.（2024?山東棗莊?模擬預(yù)測(cè)）在AABC中,ZACB=l20o,BC=2AC,D為zABC內(nèi)一點(diǎn),,ADLCD,

ZBDC=120°,貝hanZACD=()

A.2A/2B.正C.76D.也

22

4

22

2.（2024?浙江金華?三模）已知橢圓C:子+3=1（4＞行），K、&分別為其左右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，且

NMFR=60。,若人嗎后的面積為亭，則。=（）

A.20B.3C.2石D.4

二、多選題

3.（2024?山東濟(jì)南?三模）已知AABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,外接圓半徑為R.若a=l,且

sinA-/;sinB=（c+/?）sinC,貝|（）

A.sinA=—B.AASC面積的最大值為更

24

C.R="D.BC邊上的高的最大值為遮

36

三、填空題

4.（2024?四川成都?三模）?SC的內(nèi)角A,&C的對(duì)邊分別為。,6,c,若=2ac且sinC=2sinA,則cosA的

值為______

四、解答題

5.（2024?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè)）在AABC中，角ABC的對(duì)邊分別是〃，4c,且4acos3-Z?cosC=ccosB

⑴求cos5的值；

⑵若44BC的面積為生叵,b=3&,求AABC的周長(zhǎng).

2

6.（2024?江西?模擬預(yù)測(cè)）在AABC中，內(nèi)角A,8,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,其外接圓的半徑為2百，且

73

bcosC=a-\-----csinB?

3

⑴求角8；

⑵若23的角平分線交AC于點(diǎn)。,8。=百，點(diǎn)E在線段AC上，EC=2EA,求△?￡電的面積.

反思提升：

（1）正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情況下求解其余元素，基本思想是

方程思想，即根據(jù)正弦定理、余弦定理列出關(guān)于未知元素的方程，通過解方程求得未知元素.

（2）正弦定理、余弦定理的另一個(gè)作用是實(shí)現(xiàn)三角形邊角關(guān)系的互化，解題時(shí)可以把已知條件

化為角的三角函數(shù)關(guān)系，也可以把已知條件化為三角形邊的關(guān)系.

【考點(diǎn)2】判斷三角形的形狀

一、單選題

1.（2024?四川成者B?模擬預(yù)測(cè)）已知AABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,c,面積為S,若

人+「

asin——=Z?sinA,6S=V3ABAC,則AABC的形狀是（）

5

A.等腰三角形B.直角三角形C.正三角形D.等腰直角三角形

2.（2024?河北秦皇島?三模）在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,且3=2C,b=42a，

則（）

A.AASC為直角三角形B."1SC為銳角三角形

C.AASC為鈍角三角形D.AASC的形狀無法確定

二、多選題

3.（2021?黑龍江雞西?模擬預(yù)測(cè)）在AABC中，有如下四個(gè)命題正確的有（）

A.若宓.通>0，則AABC為銳角三角形

B.若|麗+前|=|碼，則AABC的形狀為直角三角形

c.AABC內(nèi)一點(diǎn)G滿足礪+丸=0，則G是N4BC的重心

D.若麗.而=麗.正=正.而，則點(diǎn)尸必為AABC的外心

三、填空題

4.（2021?浙江寧波?模擬預(yù)測(cè)）在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,c,若

J^tzsinB+J豆sinA=2csinA,若a=b,則4=,三角形的形狀為.

四、解答題

5.（2024?上海寶山?二模）在AABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為。、b、c,已知

sin2A+sin2C=sin2B+sirL4sinC.

⑴求角8的大?。?/p>

（2）若AABC的面積為6,求的最小值，并判斷此時(shí)AABC的形狀.

6.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）在“BC中，內(nèi)角ABC的對(duì)邊分別為"c,tan信-李=匕言等.

<42）sm2B

⑴判斷AABC的形狀，并證明；

⑵求￡-一文的最小值.

c4ccosB

反思提升：

1.判定三角形形狀的途徑：（1）化邊為角，通過三角變換找出角之間的關(guān)系；（2）化角為邊，通過

代數(shù)變形找出邊之間的關(guān)系，正（余）弦定理是轉(zhuǎn)化的橋梁.

2.無論使用哪種方法，都不栗隨意約掉公因式，栗移項(xiàng)提取公因式，否則會(huì)有漏掉一種形狀的

可能.注意挖掘隱含條件，重視角的范圍對(duì)三角函數(shù)值的限制.

【考點(diǎn)3】和三角形面積有關(guān)的問題

一、單選題

Ojr

1.（2024?貴州畢節(jié)三模）在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,4=可，若點(diǎn)。滿足礪.通=。，

6

—.4?1—.b

^AD=-AC+-ABf則上=()

55c

11

A.-B.2C.-D.4

24

2.(2024?貴州遵義三模)在AABC中，角A氏C的對(duì)邊分別為風(fēng)或c,D為AC的中點(diǎn)，已知c=2,3。=也,

2

且acos_B+)cosA=-2ccosB,則AABC的面積為()

A.2.73B.2C.6D.記

22

二、多選題

3.(2024?江西?二模)已知&4BC中，AB=l,AC=4,/BAC=60。,AE為N54C的角平分線，交BC于點(diǎn)E,D

為AC中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是()

A.BE=—

5

B.AE=^-

5

C.AABE的面積為3

5

D.尸在的外接圓上，則+的最大值為近

三、填空題

4.(2024?山東,二模)在AABC中，內(nèi)角AB,C的對(duì)邊分別為a,b,c,V2^a~+b~—c2^=absinC,且c=l,

則AABC面積的最大值為.

四、解答題

5.(2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè))設(shè)AABC的內(nèi)角A5C所對(duì)的邊分別是a,6,c,且向量

m=(a,b),n=(-6cosA,sinB)滿足正//元.

⑴求A;

(2)若a=JiWb=3,求BC邊上的

6.(2024?安徽蚌埠?模擬預(yù)測(cè))己知a,b,c分別為AABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，a(sinB-A/3COSB)=A/3(^-c).

⑴求角A；

(2)若44BC的面積為百，周長(zhǎng)為6,求。.

反思提升：

與三角形面積有關(guān)問題的解題策略：

(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相關(guān)邊、角之后，直接求三角形的面積；

(2)把面積作為已知條件之一，與正弦、余弦定理結(jié)合求出三角形的其他量.

分層檢測(cè)

7

【基礎(chǔ)篇】

一、單選題

b,c,已知sin3sin[c—F）=

1.（2024?重慶?模擬預(yù)測(cè)）在AASC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,

（）?Rb

cosBsinC+g,b=2,sinB=-----則。的值為（）

7

也721

A.77B.rD.后

23

2.（2024?云南昆明?三模）已知44BC中,AB=3,BC=4,AC=5則AABC的面積等于（）

A.3B.而C.5D.2A/5

3.（2024?四川?模擬預(yù)測(cè)）已知弓，工分別為雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，過百的直線與雙曲線C的左支交于4

B兩點(diǎn)，若|A耳|=2閨同，|AB|=|騏則cosNK8^=（）

4.（2024?陜西渭南?三模）已知AABC中，角A,B,。所對(duì)的邊分別是〃，b,c,若Z?cosC+ccos3=b,且

a=ccosB,則AABC是（）

A.銳角三角形B.鈍角三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形

二、多選題

5.（21-22高一下?江蘇南京?期中）三角形△ABC中，角A,B,。的對(duì)邊分別為mb,c,下列條件能判斷

△ABC是鈍角三角形的有（）

A.a=2,b=3,c=4B.ABBC=-2a

sinA-sinBc

C.----------------=-------D.b1sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC

sinC+sinBa+b

6.（2022?吉林長(zhǎng)春?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示,設(shè)單位圓與無軸的正半軸相交于點(diǎn)4（1,0）,以x軸非負(fù)半軸為始

邊作銳角a,B,a-j3,它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)片，A，P,則下列說法正確的是（）

A.M|=|AP|

8

B.扇形。4片的面積為

C.閶斗=2sin/￡

D.當(dāng)a=1時(shí)，四邊形0蝴片的面積為:sin[p+5]

7.（2024?廣東肇慶?模擬預(yù)測(cè)）若AABC的三個(gè)內(nèi)角A,民C的正弦值為sinA,sin5,sinC,則（）

A.sinA,sin5,sinC一定能構(gòu)成三角形的三條邊

1____11

B.定能構(gòu)成三角形的三條邊

sinA'sinB'sinC

C.sin2AsiI?8,sin2c一定能構(gòu)成三角形的三條邊

D.JsinA,JsinB,JsinC一定能構(gòu)成三角形的三條邊

三、填空題

8.（2024?山東威海?二模）在"1SC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知a=",b+c=4,

cosC=-亞貝!JsinA=.

6

2兀

9.（23-24高三下?江西?階段練習(xí)）在AASC中，內(nèi)角A3,C的對(duì)邊分別是a,6,c,S.ZBAC=—,AD平分

NBAC交BC于D,AD=1,則AABC面積S的最小值為；若a=2&",則AABC的面積為

10.（2024?山東泰安?模擬預(yù)測(cè)）在AABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,3,C的對(duì)邊，若asinB+bsinA=4csinAsinB,

S.a2+b2-c2=4y/3,則AA6C的面積為.

四、解答題

11.（2024?河南?模擬預(yù)測(cè)）記AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,己知csin28-bsinC=0.

⑴求角8；

⑵若2〃=2c2+ac,求巴吆的值.

C

12.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面四邊形ABCD中，ABIICD,AD-sinD=V3AC-cosZACD,

—A4C的角平分線與BC相交于點(diǎn)E,且4￡=1,43=指.

⑴求NACZ）的大小;

（2）求BC的值.

【能力篇】

9

一、單選題

1.（2024?陜西?模擬預(yù)測(cè)）在"1BC中，角A,aC所對(duì)的邊分別為a,，,c,已知。=6,史史=出段，則AABC

sinAb

面積的最大值為（）

1921

A.—B.-C.12D.15.

22

2.（2024?陜西咸陽?三模）為了進(jìn)一步提升城市形象，滿足群眾就近健身和休閑的需求，2023年某市政府在

市區(qū)多地規(guī)劃建設(shè)了〃口袋公園〃.如圖，在扇形“口袋公園〃。尸。中，準(zhǔn)備修一條三角形健身步道Q4B,已知

TT

扇形的半徑。=3,圓心角