2025年高考數(shù)學一輪復習講義：向量法求空間角（原卷版）

專題41向量法求空間角（新高考專用）

目錄

【知識梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................3

【考點突破】................................................................5

【考點1】異面直線所成的角..................................................5

【考點2】直線與平面所成的角.................................................6

【考點3】平面與平面的夾角..................................................9

【分層檢測】...............................................................11

【基礎篇】.................................................................11

【能力篇】.................................................................14

【培優(yōu)篇】.................................................................15

考試要求：

1.掌握空間向量的應用.

2.會用空間向量求空間角和距離.

知識梳理

1.兩條異面直線所成的角

設異面直線/1,/2所成的角為仇其方向向量分別為"，P,

...|u-v|Izrol

則ncos6=|cos〈〃，?！凳瑋而尸面面

2.直線和平面所成的角

直線AB與平面a相交于3,設直線A3與平面a所成的角為仇直線A3的方向向量為〃，平

面a的法向量為〃，則sin6=|cos〈〃，n)尸|遍卜黑.

3.平面與平面的夾角

⑴兩平面的夾角：平面a與平面僅相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于90。

的二面角稱為平面a與平面少的夾角.

(2)兩平面夾角的計算：設平面a,4的法向量分別是"2,平面a與平面”的夾角為仇則

ni-ii2[nrnl

COS6=|COS〈〃7,"2〉I一2

\ni\\n2\

4.點尸到直線/的距離

設A>=a,u是直線I的單位方向向量,則向量輪在直線I上的投影向量恁=3〃)〃.在RtAAPQ

中，由勾股定理，得PO=V|#|2—I通2.

5.點尸到平面a的距離

若平面a的法向量為n,平面a內一點為A,則平面a外一點P到平面a的距離d=力?白=

如圖所不.

6.線面距離、面面距離都可以轉化為點到平面的距離.

|常用結論

2

1.線面角。的正弦值等于直線的方向向量a與平面的法向量〃所成角的余弦值的絕對值，即sin

O=|cos〈a,n)I，不要誤記為cos6=|cos〈a,n)|.

TT

2.二面角的范圍是[0,7i],兩個平面夾角的范圍是0,2.

-真題自測

一、解答題

L(2024?全國?高考真題)如圖，在以A,B,C,D,E,尸為頂點的五面體中，四邊形ABC。與四邊形所

AD=4,AB=BC=EF=2,ED=M,FB=26M為AD的中點.

⑴證明：氏0//平面0)￡；

⑵求二面角/-E的正弦值.

2.(2023?全國?高考真題)如圖，在正四棱柱AB。-A耳CQ中，AB=2,"=4.點人也?。分別在

棱AAi,BB{,CC\,DD］上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.

(2)點P在棱8月上，當二面角尸-旬4-2為150。時，求82P.

3.（2023?全國?高考真題）如圖，三棱錐A-3CD中，DA=DB=DC,BDLCD,ZADB=ZADC=60,

E為8C的中點.

3

AF

⑴證明：BC±DA；

⑵點尸滿足斯=D4，求二面角。-AB-/的正弦值.

4.（2022?全國?高考真題）如圖，尸。是三棱錐P-ABC的高，PA=PB,ABJ.AC,E是PB的中點.

(2)^ZABO=ZCBO=30°,尸0=3,PA=5,求二面角C-的正弦值.

5.(2022?全國?高考真題)如圖，四面體ABCD中，AD_LCD,AD=CD,ZADB=/BDC,E為AC的中點.

⑴證明：平面5ED_L平面AC￡＞；

（2）設A3=3。=2,/ACB=60。，點尸在8。上，當_AFC的面積最小時，求CP與平面A5D所成的角的正弦

值.

考點突破

【考點1］異面直線所成的角

一、單選題

1.（2024?陜西?模擬預測）在平行六面體A3c。-4片￡2中，已知48=42）=44,=1,

Z^AB=ZA.AD=ABAD=60°,則下列選項中錯誤的一項是（）

4

A.直線AC與8。所成的角為90°

B.線段AC的長度為亞

C.直線AC與B片所成的角為90。

D.直線AC與平面ABC。所成角的正弦值為逅

3

2.（2023?云南保山?二模）已知正方體。為上底面4耳CQ所在平面內的動點，當直線。。

與的所成角為45。時，點Q的軌跡為（）

A.圓B.直線C.拋物線D.橢圓

二、多選題

3.（2024?安徽合肥?模擬預測）如圖，在邊長為1的正方體A2CZ）-A4GR中，點尸為線段AC上的動點,

A.不存在點尸，使得APLCR

B.RPAP的最小值為一;

2

C.當4尸二§4。時，D.PLAP

JT

D.若平面ABCD上的動點M滿足/加2。=:，則點M的軌跡是直線的一部分

6

4.（2025?甘肅張掖?模擬預測）如圖所示，四面體S-ABC的各棱長均為4,石尸分別為棱川,8。的中點，M

為棱■上異于頂點的點，則以下結論正確的為（）

5

s

M

??…匕今c

B

A.EF±SB

B.直線SE與BC所成角的余弦值為正

6

c.四面體S-ABC的外接球體積為86兀

D.平面￡7的截四面體所得的截面圖形的周長最小值為8

三、填空題

5.(2024?遼寧撫順?三模)在直三棱柱ABC-ABG中，AB1AC,AB=AC^4,AA1=6,E為CQ的中點,

點F滿足AF=2FAi,則異面直線EF,BCt所成角的余弦值為

6.(2023?河南開封?二模)已知矩形ABC。，CD=4AD=4y/3,過CO作平面a,使得平面ABCD，。，點

P在a內，且AP與CD所成的角為:，則點尸的軌跡為,成長度的最小值為.

反思提升：

用向量法求異面直線所成角的一般步驟：

(1)建立空間直角坐標系；

(2)用坐標表示兩異面直線的方向向量；

(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；

(4)注意兩異面直線所成角的范圍是(0,I,即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余

弦值的絕對值.

【考點2】直線與平面所成的角

一、解答題

1.(2024?江蘇南京?模擬預測)如圖，四棱錐P-A3CD中，24,底面ABC。，AD//BC,

筋=4)=4。=3,"=8。=4,","分別為線段42尸。上一點，AM=2MD.

6

⑴若N為PC的中點，證明：MN〃平面B4B；

⑵求直線AN與平面CMN所成角的正弦值的最大值.

2.(2024?山東淄博?二模)已知直角梯形ABC。，ZADC=90°,AB!/CD,AB=2CD=?AD<,M為

對角線AC與8。的交點.現(xiàn)以AC為折痕把ADC折起，使點。到達點尸的位置，點。為尸3的中點，如圖

所示:

(1)證明：AC_L平面PBM；

(2)求三棱錐P-ACQ體積的最大值；

⑶當三棱錐尸-ACQ的體積最大時，求直線4B與平面P3C所成角的正弦值.

3.(2024?新疆烏魯木齊?三模)由平行六面體ABC。-A4GR截去三棱錐耳-A8G后得到如圖所示的幾何

體，其體積為5,底面ABC。為菱形，AC與BD交于點、O,\B=BQ.

⑴證明A?！ㄆ矫?2。;

(2)證明平面平面A0G；

⑶若AB=2,IDAS=60。，AA與底面ABC。所成角為60。，求人4與平面所成角的余弦值.

4.(2024?貴州貴陽?二模)由正棱錐截得的棱臺稱為正棱臺.如圖，正四棱臺4BCD-A及G2中，瓦廠分別

為ARAB的中點，=四=4,側面38。夕與底面ABC。所成角為45。.

AFB

⑴求證：3￡>"/平面4￡：尸；

7

(2)線段AB上是否存在點使得直線口加與平面AEP所成的角的正弦值為遺，若存在，求出線段AM

10

的長；若不存在，請說明理由.

5.(2024?河南駐馬店?二模)在如圖①所示的平面圖形中，四邊形ACDE為菱形，現(xiàn)沿AC進行翻折，使得

平面ACDE,過點E作EF//AB,且跖4AB,連接FD,FB,BD,所得圖形如圖②所示，其中G為

⑴求證：FG_L平面

(2)若AC=AD=2,直線FG與平面所成角的正弦值為近，求A3的值.

7

6.(2024?新疆?三模)已知底面ABCD是平行四邊形，平面ABC。，PA//DQ,PA=3DQ=3,

(2)線段PC上是否存在點使得直線A"與平面PCQ所成角的正弦值是翅1.若存在，求出案的值；若

5產c

不存在，說明理由.

反思提升：

向量法求直線與平面所成角主要方法是：

(1)分別求出斜線和它在平面內的射影直線的方向向量，將題目轉化為求兩個方向向量的夾角

(或其補角)；(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或

鈍角的補角，取其余角就是斜線和平面所成的角.

【考點3】平面與平面的夾角

一、解答題

8

1.（2024?山西太原?一模）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABC。是直角梯形，AB//CD,447）=90。,

⑴點E在側棱尸3上，且PD//平面E4C,確定E在側棱尸3上的位置；

⑵若平面PAD,平面ABCD,且PA=PO=2應，求二面角的余弦值.

2.（2024?廣西南寧?三模）如圖，在11Aop中，OALOP,OA=2,OP=43.將dAOP繞OP旋轉60。得到

ABOP,D,E分別為線段OP,AP的中點.

⑴求點D到平面ABP的距離；

（2）求平面O3E與平面AB尸所成銳角的余弦值.

3.（2024?福建龍巖?三模）如圖，在四棱臺A3CO-ABC2中，底面四邊形ABC。為菱形,

ZABC=60°,AB=2AAi=2,抽_L平面ABCD.

⑴證明：BD±CQ；

（2）若M是棱BC上的點，且滿足整=],求二面角-。的余弦值.

BC3

4.（2024?新疆?二模）如圖，三棱錐A-BCD的所有棱長都是46，E為CD的中點，對〃8￡且人為八7的

中點.

9

⑴求證：平面ACDJ■平面AB產;

⑵若FG<2AB,平面ABC與平面DEG夾角的余弦值為g,求尸G的長.

5.(2024?江蘇泰州,模擬預測)如圖，直四棱柱ABCD-的底面是菱形，相=4,AB=2,ZBAD=60°,

E,N分別是8C,AQ的中點.

⑴若M是B4的中點，證明：平面AMD，平面

(2)若M是線段8片上的一動點，當二面角A-M4-N的余弦值為，時，求長度.

O

6.(2024?福建泉州?一模)如圖，已知四棱臺A8C。-A4GR的上、下底面分別是邊長為2和4的正方形,

平面平面ABC。，AA=RD=JF，點尸是棱的中點，點。在棱BC上.

(1)若BQ=3QC,證明：尸?！ㄆ矫鍭8qA;

(2)若二面角「-。。-A的正切值為5,求8。的長.

反思提升：

用法向量求兩平面的夾角：分別求出兩個法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到兩平

面夾角的大小.

10

分層檢測

【基礎篇】

一、單選題

1.直三棱柱ABC-A耳G中，ZBAC=120°,A3=AC=裕，則異面直線叫與AC所成角的余弦值為（）

33

A.-B.——D

44-f

2.直三棱柱中，底面VA5c是以A為直角的腰長為2的等腰直角三角形，側棱長為2，。為

上的點，若直線AC與直線0G所成角的余弦值為交，則8。長為（）

6

1加3

A.1B.-C.—D.-

222

3.已知正方體ABC。-A與C2的棱長為1,每條棱所在直線與平面。所成的角均為"平面。截此正方體

所得截面為圖形Q,下列說法錯誤的是（）

A.平面?？梢允瞧矫鍭C'B.cos0=——

3

C,圖形?？赡苁橇呅蜠.sin6>=—

3

4.在正三棱錐A-BCD中，底面28是邊長為2正三角形，E是BC的中點，若直線AE和平面BCD所成

的角為45。，則三棱錐外接球的表面積為（、師a3.16）（）

16

A.4兀B.—71

3

25

C.—兀D.1671

3

二、多選題

5.如圖，在棱長為1的正方體ABC。-A用￡2中，點M為線段82上的動點（含端點），則（）

11

A.存在點M,使得CM,平面

B.存在點M,使得CM回平面AQB

C.不存在點M,使得直線GM與平面所成的角為30。

D.存在點M,使得平面ACN與平面42M所成的銳角為45。

6.如圖，在棱長為2的正方體A8C￡>-4瓦^2中，點尸是正方體的上底面4瓦G，內（不含邊界）的動點,

點。是棱BC的中點，則以下命題正確的是（）

A.三棱錐PCD的體積是定值

B.存在點P,使得PQ與AA所成的角為60°

c.直線P。與平面AADR所成角的正弦值的取值范圍為［0,，］

D.若PD、=PQ,則尸的軌跡的長度為逆

4

7.在棱長為。的正方體ABCD-A瓦G2中，則（）

A.平面BC2

B.直線平面旦CR所成角為45°

C.三棱錐A-4CR的體積是正方體ABC。-4月G2體積的g

D.點C］到平面A8Q的距離為受a

2

三、填空題

8.在矩形ABCD中，AB=2,AD=2如,沿對角線AC將矩形折成一個大小為。的二面角3-AC-O,當點

B與點。之間的距離為3時cosO=.

12

TT

9.已知圓。所在平面。與平面夕所成的銳二面角為若圓。在平面4的正投影為橢圓O',則橢圓。’的

離心率為.

10.已知在正方體48a中，AM=^AD,平面ADG平面CG〃=/,則直線/與〃M所成角

的余弦值為.

四、解答題

11.在四棱錐尸-ABCD中，底面4BCZ)是邊長為2的正方形，PCLPD,PC=PD,。為C￡)的中點，二

面角48-尸為直二面角.

P

⑴求證：PBLPD；

⑵求直線PC與平面PAB所成角的正弦值;

⑶求平面POB與平面PAB夾角的余弦值.

12.如圖，在直三棱柱ABC-A4G中，括，AB±AC,。為4G的中點.

(1)證明：A耳，平面A0。；

(2)若二面角A-BC-O的余弦值為YZ,求點A到平面BCD的距離.

4

【能力篇】

一、解答題

1.(2024?遼寧沈陽,模擬預測)如圖，直線PD垂直于梯形A3C。所在的平面，ZADC=ZBAD=90°,F為

線段卓的中點，PD=C，AB=AD=^CD=l,四邊形PDCE為矩形.

13

(1)求證：AC〃平面￡>EF；

⑵求直線AE與平面3cp所成角的正弦值.

2.(2024?陜西西安?模擬預測)如圖，在直三棱柱ABC-A4G中，E是與A上的點，且平