2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習講義：拋物線（原卷版）

專題50拋物線（新高考專用）

目錄

【知識梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................3

【考點突破】................................................................4

【考點1］拋物線的定義和標準方程............................................4

【考點2］拋物線的幾何性質(zhì)及應(yīng)用............................................5

【考點3】直線與拋物線的綜合問題............................................7

【分層檢測】................................................................8

【基礎(chǔ)篇】..................................................................8

【能力篇】.................................................................10

【培優(yōu)篇】.................................................................10

考試要求：

1.了解拋物線的定義、幾何圖形和標準方程，以及它們的簡單幾何性質(zhì).

2.通過圓錐曲線與方程的學(xué)習，進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想.

.知識梳理

L拋物線的定義

(1)平面內(nèi)與一個定點R和一條定直線1(1不經(jīng)過點￡)的距離相笠的點的軌跡叫做拋物線.點F

叫做拋物線的焦點，直線/叫做拋物線的準線.

(2)其數(shù)學(xué)表達式：{MI"W=d}(d為點M到準線I的距離).

2.拋物線的標準方程與幾何性質(zhì)

圖形

y2=~2pxf=~2py

y2=2px(/?>0)x2=2py(p>Q)

標準方程⑦>0)(P>0)

"的幾何意義：焦點R到準線/的距離

頂點0(0,0)

對稱

y=0x=0

軸

隹占電,0)山,§

八、、八、、

性離心

e=l

質(zhì)率

準線

2x=E22

x=—2冗尸2

方程2

范圍X三0,yERyWO,%￡R

開口

向右向左向上向下

方向

|常用結(jié)論

1.通徑：過焦點且垂直于對稱軸的弦長等于2p,通徑是過焦點最短的弦.

2.拋物線丁2=2內(nèi)(戶0)上一點P(xo,yo)到焦點年,0)的距離|PF|=xo+$稱為拋物線的焦半徑.

真題自測

一、單選題

2

L（2022?全國?高考真題）設(shè)尸為拋物線C：V=4x的焦點，點A在C上，點以3,0）,若|AF|=忸尸|,貝||的=

A.2B.272C.3D.3直

二、多選題

2.（2024?全國?高考真題）拋物線C：y2=4x的準線為/,p為C上的動點，過尸作。A:/+⑶一4）?=1的

一條切線，。為切點，過P作/的垂線，垂足為8,則（）

A./與0A相切

B.當尸，A,3三點共線時，|PQ|=A

C.當|PB|=2時，PA±AB

D.滿足I尸4月尸B|的點尸有且僅有2個

3.（2023?全國?高考真題）設(shè)。為坐標原點，直線y=-6（x-l）過拋物線C：/=2”（p>0）的焦點，且與

C交于M,N兩點，/為C的準線，則（）.

Q

A.p=2B.

C.以MN為直徑的圓與/相切D.為等腰三角形

4.（2022?全國?高考真題）已知。為坐標原點，過拋物線C:/=2p無（0>0）焦點廠的直線與C交于A,8兩

點，其中A在第一象限，點M（p,0）,若|4F|=|AM|,則（）

A.直線的斜率為26B.\OB\=\OF\

C.\AB\>4\OF\D.ZOAM+ZOBM<1SO0

5.（2022?全國,高考真題）已知。為坐標原點，點A（1,D在拋物線C:1=2py（p>0）上，過點8（0,-1）的直

線交C于尸，0兩點，則（）

A.C的準線為y=-lB.直線AB與C相切

C.\OP\-\OQ\>\OAfD.\BP\\BQ\>\BA\l

三、填空題

6.（2023?全國?高考真題）已知點在拋物線C：產(chǎn)=2內(nèi)上，則A到C的準線的距離為.

四、解答題

7.（2022?全國?高考真題）設(shè)拋物線。：丫2=2。吠0>0）的焦點為尸，點。他,0）,過尸的直線交C于跖N

兩點.當直線垂直于x軸時，\MF\=3.

⑴求C的方程;

3

（2）設(shè)直線MD,ND與C的另一個交點分別為A,B,記直線MN,A8的傾斜角分別為a4.當a-尸取得最大

值時，求直線AB的方程.

庠考點突破

【考點1】拋物線的定義和標準方程

一、單選題

1.（2024?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測）過拋物線產(chǎn)=2尤上的一點尸作圓C：（元-4）?+丁=1的切線，切點為A,

B,則|人5|忖。的最小值是（）

A.4B.2A/6C.6D.40

■rr

2.（2024?河南南陽?模擬預(yù)測）已知過拋物線C:丁=2px（〃〉0）的焦點F且傾斜角為二的直線交。于A5兩

點，M是AB的中點，點。是。上一點，若點M的縱坐標為1,直線/：3x+2y+3=0,則2到C的準線的

距離與尸到I的距離之和的最小值為（）

A3而R5V13r3而n9而

26261326

二、多選題

3.（23-24高三下?河北,開學(xué)考試）雙曲拋物線又稱馬鞍面，其形似馬具中的馬鞍表面而得名.其在力學(xué)、

建筑學(xué)、美學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用.在空間直角坐標系中，將一條xOz平面內(nèi)開口向上的拋物線沿著另一條

yOz平面內(nèi)開口向下的拋物線滑動（兩條拋物線的頂點重合）所形成的就是馬鞍面，其坐標原點被稱為馬

22

鞍面的鞍點，其標準方程為3-《=2z（a>0,6>0）,則下列說法正確的是（）

A.用平行于xOy平面的面截馬鞍面，所得軌跡為雙曲線

B.用法向量為（1,0,0）的平面截馬鞍面所得軌跡為拋物線

C.用垂直于y軸的平面截馬鞍面所得軌跡為雙曲線

D.用過原點且法向量為（LLO）的平面截馬鞍面所得軌跡為拋物線

4.（23-24高二下?河南?期末）已知拋物線C:?的焦點為/，準線為/,點尸是C上位于第一象限的動

點，點”為/與》軸的交點，則下列說法正確的是（）

4

A.尸到直線/的距離為2

B.以尸為圓心，|尸尸|為半徑的圓與/相切

C.直線MP斜率的最大值為2

D.若則△NWP的面積為2

三、填空題

5.（2024?北京朝陽?一模）已知拋物線VUZPMP>。）的焦點為歹，準線方程為y=-l,則。=

設(shè)。為原點，點加5,為）在拋物線上，^\OM\=\FM\,則%=.

6.（2024?安徽?二模）已知拋物線>=依2的焦點/，直線/過P與拋物線交于A,3兩點，若A（4,4）,則直

線/的方程為,△OAB的面積為（。為坐標原點）.

反思提升：

求拋物線標準方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點位置、開口方向，在方程的類

型已經(jīng)確定的前提下，由于標準方程只有一個參數(shù)2，只需一個條件就可以確定拋物線的標準

方程.

【考點2】拋物線的幾何性質(zhì)及應(yīng)用

一、單選題

1.（2022?江蘇?一模）P是拋物線V=2x的焦點，以尸為端點的射線與拋物線相交于A,與拋物線的準線

相交于B,若麗=4麗，貝IFA'FB=

39

A.1B.-C.2D.-

24

2.（2023?河南鄭州?模擬預(yù)測）己知拋物線E:f=4y,圓C:/+（萬3）2=1,P為E上一點,。為C上一

點，則的最小值為（）

A.2B.2.72-1C.2A/2D.3

二、多選題

3.（2023?廣東佛山?二模）如圖拋物線口的頂點為A,焦點為F,準線為4,焦準距為4；拋物線口的頂點

為B,焦點也為F,準線為4,焦準距為6.和和上交于尸、。兩點，分別過尸、。作直線與兩準線垂直,

垂足分別為加、N、S、T,過尸的直線與封閉曲線交于C、。兩點，則（）

Q

5

A.|45|=5B.四邊形MJST的面積為100

「25-

c.FS.FT=0D.|CD|的取值范圍為5,y

4.（2024?浙江?模擬預(yù)測）已知曲線C上的點滿足：到定點（1,0）與定直線V軸的距離的差為定值加，其中，

點A,8分別為曲線C上的兩點，且點8恒在點A的右側(cè)，則（）

A.若，”=[,則曲線C的圖象為一條拋物線

B.若〃z=l,則曲線C的方程為丁=4x

C.當〃2＞1時，對于任意的A（芯,%）,3（苞,%）,都有㈤＞民|

D.當加＜-1時，對于任意的4（%,%）,3（如為）,都有聞＞同

三、填空題

5.（22-23高三上?江蘇南通?期中）已知拋物線M：x2=4y,圓C：x2+（y-3）2=4,在拋物線M上任取一

點P,向圓C作兩條切線和尸3,切點分別為A,B,則m?麗的取值范圍是.

6.（22-23高三上?湖南益陽,期末）已知拋物線C-.y2=2x的焦點為。圓O:V+/=3與C交于M,N兩點，

其中點”在第一象限，點尸在直線％=-2上運動，記麗=4麗+〃兩（4〃wR）.

①當而〃麗時，有乎；

__3

②當痂_L兩時，有彳=一天

③APMN可能是等腰直角三角形；

其中命題中正確的有.

反思提升：

與拋物線有關(guān)的最值問題的兩個轉(zhuǎn)化策略

轉(zhuǎn)化策略一：將拋物線上的點到準線的距離轉(zhuǎn)化為該點到焦點的距離，構(gòu)造出“兩點之間線段

最短”“三角形兩邊之和大于第三邊”，使問題得以解決.

轉(zhuǎn)化策略二：將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離，利用“與直線上所有點的連

線中垂線段最短”原理解決.

【考點3】直線與拋物線的綜合問題

一、解答題

1.（2024?廣西南寧?一模）已知曲線「：/=”.

⑴若點T（r,s）是「上的任意一點，直線/：y=；x-s,判斷直線/與「的位置關(guān)系并證明.

⑵若E是直線y=T上的動點，直線E4與：T相切于點A,直線EB與「相切于點3.

6

①試問NAEB是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

EBAB

②若直線反，防與x軸分別交于點CD,證明：—=

ziCCD

2.(2024?江蘇南京?二模)在平面直角坐標系xOy中，頂點在原點。的拋物線E經(jīng)過點4(9,6).

⑴求拋物線E的方程；

(2)若拋物線E不經(jīng)過第二象限，且經(jīng)過點3(0,3)的直線/交拋物線E于"，N,兩點(忸過M

作x軸的垂線交線段。4于點P.

①當MP經(jīng)過拋物線E的焦點/時，求直線NP的方程；

②求點A到直線NP的距離的最大值.

3.(2024?河南鄭州?模擬預(yù)測)設(shè)拋物線Uy?=2px(0>O)的焦點為尸，「(毛,%)是C上一點且

|PF|2-|PF|=%+/,直線/經(jīng)過點。(-8,0).

(1)求拋物線C的方程；

(2)①若/與C相切，且切點在第一象限，求切點的坐標；

②若/與C在第一象限內(nèi)的兩個不同交點為A3,且。關(guān)于原點。的對稱點為R,證明：直線A氏3R的傾

斜角之和為兀.

4.(2024?山西太原二模)已知拋物線C：y=2px(。>0)的焦點為R過點。(2,1)且斜率為1的直線經(jīng)

過點F.

⑴求拋物線C的方程；

(2)若A,B是拋物線C上兩個動點，在x軸上是否存在定點M(異于坐標原點。)，使得當直線A2經(jīng)過點

/時，滿足。4,03?若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

5.(2024?浙江?模擬預(yù)測)已知點4(4,4),B,C,。均在拋物線W：Y=2py(p>0)上，A,C關(guān)于V軸

對稱，直線A3,AO關(guān)于直線AC對稱，點。在直線AC的上方，直線A。交'軸于點E,直線A3斜率小

于2.

⑴求AABE面積的最大值；

⑵記四邊形BCOE的面積為Sj,△相￡的面積為S2,若9~=2,求sin/B4￡).

6.(2025?四川巴中?模擬預(yù)測)已知動圓。經(jīng)過點尸(L0)且與直線x=-l相切，記圓心2的軌跡為曲線C.

⑴求曲線C的方程；

(2)設(shè)過點/且斜率為正的直線/交曲線C于A3兩點(點A在點B的上方)，他的中點為

7

①過作直線x=T的垂線，垂足分別為M，用，試證明：AM,//FBt.

②設(shè)線段A3的垂直平分線交尤軸于點尸，若AERW的面積為4,求直線/的方程.

反思提升：

1.有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點.若過拋物線的焦點，可直接

使用公式|A3|=xi+x2+p,若不過焦點，則必須用一般弦長公式.

2.涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關(guān)問題時，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”、

“整體代入”等解法.

分層檢測

【基礎(chǔ)篇】

一、單選題

1.（2024?北京西城?三模）點廠拋物線V=2x的焦點，A,B,C為拋物線上三點，若西+麗+記=。，則

|K4|+|FB|+|FC|=()

A.2B.2A/3C.3D.4出

2.（2023?陜西榆林?模擬預(yù)測）已知拋物線y2=2px（p>0）的焦點為凡過點F且斜率為1的直線與拋物線

交于A,B兩點,^\AF\-\BF\=2,則2=（）

A.4B.3C.2D.1

3.（2024?河南駐馬店?二模）已知點尸（6,%）在焦點為尸的拋物線。:產(chǎn)=2座5>0）上，若|尸盟=g,貝！Jp=

（）

A.3B.6C.9D.12

4.（2024?山東聊城?二模）點夕在拋物線丁=8%上,若點P到點（2,0）的距離為6,則點P到V軸的距離為（）

A.4B.5C.6D.7

二、多選題

5.（2023?山西?模擬預(yù)測）已知拋物線C:/=4x的焦點為R點M?,%）在C上，若/MOF=45。（。為

坐標原點），則（）

A.與=4B.%=4

3

C.|MF|=5D,cosZOFM=-

6.（2024?河北保定?二模）若直線y=（。-1）無+1與拋物線C：/=2依（。工0）只有1個公共點，則C的焦點F

8

的坐標可能是（）

A.B.[了0]C.（1,0）D.（2,0）

7.（2023?湖南常德?模擬預(yù)測）已知拋物線y2=2px（p>0）經(jīng)過點M（l,2）,其焦點為歹，過點廠的直線/與

拋物線交于點4（占,乂），3伍，為），設(shè)直線。4，。8的斜率分別為峭網(wǎng)，貝U（）

A.p=2B.|AB|>4

C.OAOB=-4D.kxk2=-4

三、填空題

8.（2024?山西太原?模擬預(yù)測）已知等腰梯形A8CQ的四個頂點在拋物線E：V=4X上，且|/叫:=1:2,

則原點到AB的距離與原點到CD的距離之比為.

9.（2024?四川成都?模擬預(yù)測）若拋物線y=2px（p>0）的焦點是橢圓m+片=1的一個頂點，則"的值為

164

10.（2021?青海西寧?二模）在平面直角坐標系X0y中，已知拋物線加：;/=22X5>（））與雙曲線

22

C:1-2=1（。>0,6>0）有公共焦點廠，拋物線〃與雙曲線C交于A,8兩點，A,B,尸三點共線，則

ab

雙曲線C的離心率為.

四、解答題

11.（2021?陜西漢中?模擬預(yù)測）已知拋物線C:/=2px的焦點為P（l,o）,直線:％=沖+《/>0）與拋物線C交

于A（%,%）,鞏馬,％）兩點，且35?歷=-4（。為坐標原點）.

⑴求拋物線C的方程；

⑵求證:直線AB恒過定點.

12.（2024?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測）已知A,8兩點的坐標分別是（-2,0）,（2,0）,直線AM,8M相交于點M,

且直線AM的斜率與直線的斜率的差是Y,記點M的軌跡為曲線C.

⑴求曲線C的方程.

（2）將曲線C向上平移4個單位得到曲線E,已知斜率為3的直線/與曲線E有兩個不同的交點。,石且滿足

歷.礪=2，求直線/的方程.

【能力篇】

一、單選題

1.（2024?陜西西安三模）設(shè)拋物線E：%2=2/他>0）的焦點為歹，過點尸（0,3）的直線與拋物線E相交于

A,B兩點，|A耳=2,忸刊=10,則。=（）

A.1B.2C.4D.22

9

二、多選題

2.（2024?廣東汕頭?三模）已知拋物線C：丁=2/（。＞0）的焦點為產(chǎn)，。為坐標原點，動點尸在C上，若

定點M（2,指）滿足|MF|=2|O產(chǎn)則（）

A.C的準線方程為尤=-2B.△RWF周長的最小值為5

C.四邊形0PMp可能是平行四邊形D.兩■?麗的最小值為-3

三、填空題

3.（2024?廣東廣州?一模）已知曲線C是平面內(nèi)到定點F（0,-2）與到定直線/:y=2的距離之和等于6的點的

軌跡，若點P在C上，對給定的點T（-2,r）,用，"⑺表示|「司+|尸］的最小值，則，M）的最小值為.

四、解答題

4.（2024?廣西來賓?模擬預(yù)測）在平面直角坐標系xOy中，己知尸為拋物線C：V=2px（p＞0）的焦點，。

為坐標原點，〃為C的準線/上一點，直線的斜率為-1,△。句欣的面積為4.

⑴求C的方程；

（2）過點F的直線交C于A,B兩點，過點8作y軸的垂線交直線A。于點Q,過點A作直線。尸的垂線與C

的另一交點為E