2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：空間直線、平面的垂直（（解析版））

專題39空間直線、平面的垂直（新高考專用）

目錄

【知識梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................3

【考點突破】...............................................................18

【考點1】直線、平面垂直的判定與性質(zhì)........................................18

【考點2］平面與平面垂直的判定與性質(zhì)........................................25

【考點3】平行、垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用..........................................35

【分層檢測】...............................................................44

【基礎(chǔ)篇】.................................................................44

【能力篇】.................................................................56

【培優(yōu)篇】.................................................................62

考試要求：

從定義和基本事實出發(fā)，借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與直線、直線與平面、

平面與平面的垂直關(guān)系.

知識梳理

1.直線與平面垂直

(1)直線和平面垂直的定義

如果直線/與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說直線I與平面a互相垂直.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號表示

如果一條直線與一個l±a、

l±b

判定定平面內(nèi)的兩條相交直

aC\b=O>n/_La

理線垂直，那么該直線

7aua

與此平面垂直bua>

b

性質(zhì)定垂直于同一個平面的a.La\

\=>a//b

理兩條直線平行b-La)

2.直線和平面所成的角

⑴定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角叫做這條直線和這個平面所成的角，

一條直線垂直于平面，則它們所成的角是繆；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成

的角是0°.

⑵范圍：0)|.

3.二面角

⑴定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.

⑵二面角的平面角

若有①②OAua,OBuB；③04，/,OBU,則二面角a—/一用的平聲反、

面角是NAOB

⑶二面角的平面角a的范圍：0°^a<180°.

4.平面與平面垂直

(1)平面與平面垂直的定義

兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個平面互相垂直.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號表示

2

如果一個平面過另一個

b7/_La1

判定定理平面的垂線,那么這兩個

平面垂直L6

兩個平面垂直，如果一個

a邛]

平面內(nèi)有一直線垂直于

baCB=a

性質(zhì)定理這兩個平面的交線,那么>o/_La

4l-La

這條直線與另一個平面1

lu8J

垂直

I常用結(jié)論

1.三個重要結(jié)論

⑴若兩平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面.

⑵若一條直線垂直于一個平面，則它垂直于這個平面內(nèi)的任何一條直線（證明線線垂直的一個

重要方法）.

⑶垂直于同一條直線的兩個平面平行.

2.三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化

判定定理判定定理

線線垂直彳士線面垂直彳面面垂直

性質(zhì)性質(zhì)定理

.真題自測

一、單選題

1.（2024?北京,高考真題）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形，PA=PB=4,

PC=PD=26，該棱錐的高為（）.

A.1B.2C.72D.目

52..

2.（2024?全國?[Wj考真題）已知正二棱臺ABC-4耳。1的體積為耳，AB=6,4月=2,則AA與平面A3C

所成角的正切值為（）

A.；B.1C.2D.3

3.（2023?北京?高考真題）坡屋頂是我國傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊含著豐富的數(shù)學(xué)元素.安裝燈帶可以勾勒出

3

建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美.如圖，某坡屋頂可視為一個五面體，其中兩個面是全等的等腰梯形，兩個面是

全等的等腰三角形.若AB=25m,3c=AD=10m,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平面

ABCD的夾角的正切值均為正，則該五面體的所有棱長之和為（）

5

C.117mD.125m

19

4.（2023?天津?高考真題）在三棱錐尸—ABC中，點MN分別在棱尸。，尸3上，S.PM=-PC,PN=-PB,

則三棱錐尸和三棱錐尸-ABC的體積之比為（）

1214

A.-B.-C.-D.一

9939

二、解答題

5.（2024?北京?高考真題）如圖，在四棱錐P-ABCD中，BC//AD,AB=BC=1,4D=3,點E在AD上,

S.PEJ.AD,PE=DE=2.

⑴若尸為線段PE中點，求證：3P〃平面PC。.

⑵若AB人平面PAD,求平面HLB與平面PCD夾角的余弦值.

6.（2024?全國?高考真題）如圖，平面四邊形A8CD中，AB^8,CD=3,AD=5s/3,ZADC=90",ZBAD=30",

點、E,F滿足通=二而，AF=-AB,將尸沿EE翻折至！PEF,使得PC=4A/L

⑴證明：EFLPD；

4

(2)求平面PCD與平面所成的二面角的正弦值.

7.(2024?全國?高考真題)如圖，四棱錐尸―ASCD中，“，底面ABC。，PA^AC=2,BC=1,AB=^3.

B

(1)若ADLPB,證明：AD〃平面PBC；

(2)若ADLOC,且二面角A—CP—O的正弦值為叵，求AD.

7

8.(2023?北京?高考真題)如圖，在三棱錐尸-ABC中，24,平面ABC,PA=AB=BC=1,PC=B

P

B

⑴求證：平面B48；

(2)求二面角A—PC—3的大小.

9.(2023?全國?高考真題)如圖，在三棱錐尸—ABC中，AB1BC,AB=2,BC=20,PB=PC=?

3尸,AP,3c的中點分別為，及O,點尸在AC上，BFLAO.

⑴求證：EF〃平面AZJO；

(2)若/PO尸=120。，求三棱錐P-43C的體積.

5

10.（2023?全國?高考真題）如圖，在三棱柱ABC-A4G中，AC，底面ABC,ZACB=90°,=2,人到

平面3CC內(nèi)的距離為1.

⑵已知M與BB］的距離為2,求破與平面BCC國所成角的正弦值.

參考答案：

1.D

【分析】取點作輔助線，根據(jù)題意分析可知平面PEF,平面A5CD,可知尸01平面ABCD,利用等體積法

求點到面的距離.

【詳解】如圖，底面45co為正方形，

當(dāng)相鄰的棱長相等時，不妨設(shè)PA=PB=AB=4,PC=PD=20,

分別取AB,CD的中點E,尸，連接PE,PF,EF,

則PE_LAB,EFJ_AB,且PEcEF=E,PE,EFu平面PEF,

可知ABI平面尸EF,且ABu平面A5CD,

所以平面PEF±平面ABCD,

過戶作的垂線，垂足為。，即POJ_￡F,

由平面PEF（"I平面ABCD=跖，POu平面PEF,

所以平面ABC。，

由題意可得：PE=25PF=2,EF=4,貝lj尸石?+尸尸？=石尸2,即尸石，「尸,

11PFPFr-

則一=—尸。?跖，可得尸。=------=6,

22EF

所以四棱錐的高為石.

6

當(dāng)相對的棱長相等時，不妨設(shè)m=PC=4,PB=PD=2也,

因為BD=40=P8+Pr），此時不能形成三角形PB￡＞，與題意不符，這樣情況不存在.

故選：D.

2.B

【分析】解法一：根據(jù)臺體的體積公式可得三棱臺的高/?=勺8,做輔助線，結(jié)合正三棱臺的結(jié)構(gòu)特征求得

3

4加=怨，進而根據(jù)線面夾角的定義分析求解；解法二：將正三棱臺A2C-44。補成正三棱錐尸-A5C,

4A與平面ABC所成角即為由與平面ABC所成角，根據(jù)比例關(guān)系可得修3c=18,進而可求正三棱錐

P-ABC的高，即可得結(jié)果.

【詳解】解法一：分別取BC,4G的中點2，則AD=36，AR=6,

可知sABC=LX6X6X亞=9右,SAB.C=—x2x-\/3=^3，

△ABC.22▼，2

設(shè)正三棱臺43。-4月￡的為心

則V-=?9』+石+也氐烏〃吾,解得〃=乎,

如圖，分別過A，2作底面垂線，垂足為M,N,設(shè)W=x,

貝I」明=y^AM'+A^M-=^x2+y,DN=AD-AM-MN=2也-x,

可得DDt=+D\N2，=J（27§-X『+苗,

結(jié)合等腰梯形BCCH可得BB；=j+DD；,

B|Jx2+y=（273-x）2+y+4,解得方=孚，

所以AA與平面ABC所成角的正切值為tan?AAD翌=1；

AM

解法二：將正三棱臺ABC-A耳G補成正三棱錐尸-ABC，

7

p

則4A與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角,

尸444_1則=J_

因為

'Vp-ABC27

=

可知1G27ABC=，則％ABC=18,

設(shè)正三棱錐P—ABC的高為d,則/ABC='dx』x6x6x3=18,解得1=2外,

P-ABC322

取底面ABC的中心為。，則P?！沟酌鍭BC,且AO=2若，

PO

所以B4與平面A3C所成角的正切值tanNB40=K=l.

AO

故選：B.

3.C

【分析】先根據(jù)線面角的定義求得tanNEMO=tanNEGO=半，從而依次求E。，EG,EB,EF,再把所有

棱長相加即可得解.

【詳解】如圖，過E做EOL平面A3CD,垂足為。，過E分別做EGLBC,EM_LAB,垂足分別為G,M,

連接OG,OM,

由題意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面與底面夾角分別為N￡MO和/EGO,

所以tanAEMO=tanZEGO=半.

因為EO_L平面ABC。，BCu平面TWCD,所以EO_L3C,

因為EG_L3C,EO,EGu平面EOG,EOcEG=E,

所以3cl平面EOG,因為OGu平面EOG,所以BC_LOG,.

8

同理：OMIBM,又BMLBG,故四邊形OMBG是矩形，

所以由3c=10得OM=5,所以=所以O(shè)G=5,

所以在直角三角形EOG中，EG=JE。+OG?=，（何2+52=國

在直角三角形EBG中，BG=OM=5,EB=VEG2+BG2=+52=8,

又因為所=鉆-5-5=25-5-5=15,

所有棱長之和為2x25+2xl0+15+4x8=117m.

故選:C

4.B

【分析】分別過MC作肱113以,4」以,垂足分別為“,。'.過8作班上平面外。，垂足為B'，連接

尸3',過N作MV'_LP8',垂足為M冼證MV'J■平面PAC,貝?？傻弥?J8B'//MV'，再證MW'〃CC'.由三角形相

似得到嘿=；，*再由*2=即可求出體積比.

CC3BB,3%ABC^B-PAC

【詳解】如圖，分別過",c作MM'LPA,cdLPA，垂足分別為MU.過8作加J_平面PAC,垂足為B，

連接P3',過N作NN'1P3',垂足為N,.

因為38'平面PAC，BB，u平面PBB，，所以平面_L平面玄。.

又因為平面PBB'Pl平面尸4C=PB'，NN'±PB'-NN'u平面PBB'，所以MV'，平面PAC，&BB'MNN’?

PMMM'1

在△PCC中,因為MM'_LPA,CC'_LX4，所以M“〃CC'，所以=77=-r=；，

PCCC3

在△PBB'中，因為BB'HNN'，所以竺■=理-=2,

PBBB'3

9

1，1(

1s.NN---PA-MM'、NN'2

%—AMNVvo°AM/v/va、2>

所以N-PAMJD\

^P-ABC

VB"ISBB11.9

3PACAr3*cc]-BB'

故選：B

5.⑴證明見解析

⑵警

【分析】（1）取尸。的中點為s,接防,SC,可證四邊形SFBC為平行四邊形，由線面平行的判定定理可得BFH

平面PCD.

（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面APB和平面尸C。的法向量后可求夾角的余弦值.

【詳解】（1）取尸￡＞的中點為S,接SF,SC,則SF//ED,SF;ED=1,

而ED〃BC,ED=2BC,板SFHBJSF=BC,故四邊形SFBC為平行四邊形，

故班7/SC,而平面PCD,SCu平面PCD,

所以5尸〃平面PCD

因為￡0=2,故AE=1,故AEHBC,AE=BC,

故四邊形AECB為平行四邊形，故慮〃AB,所以CEL平面PAD,

而尸耳￡Du平面PAD,故CE工PE,CE工ED,而P￡J_￡D,

故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A（0,-l,0）,5（1,-1,O）,C（1,0,0）,0（0,2,0）,P（0,0,2）,

則麗=(O*T,-2),麗=(L-l,-2),定=(1,0,-2),麗=(0,2,-2),

設(shè)平面PAB的法向量為m=（x,y,z）,

m-PA=0—y—2z=0

則由《可得取沆=(O,-2,1),

m-PB=0x-y-2z=0

10

設(shè)平面PCD的法向量為n=(a,b,c),

n-PC^Q\a-2b^0z、

則由—可得°,°八，取為=(2,1,1),

n-PD=O[2b-2c=0

故cosm,n=「1「=,

布乂830

故平面PAB與平面PCD夾角的余弦值為叵

30

6.⑴證明見解析

e8旅

65

【分析】(1)由題意，根據(jù)余弦定理求得EF=2,利用勾股定理的逆定理可證得防工AD,則即，PE,EFYDE,

結(jié)合線面垂直的判定定理與性質(zhì)即可證明；

(2)由(1),根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)可證明PEJ_ED,建立如圖空間直角坐標(biāo)系E-孫z,利用

空間向量法求解面面角即可.

【詳解】(1)由AB=8,AT>=5百，荏=|而，麗=；亞，

得AE=2&,AF=4,又NBAD=30°,在△AEF中，

由余弦定理得EF=^AE2+AF2-2AE-AFcosABAD=J16+12-242&岑=2,

所以AE^+E7M=A尸2,則隹即防1AO,

所以EF_LPE,EF_LDE,又PERDE=E,PE、OEu平面尸￡>石，

所以EF工平面尸DE,又PDu平面PDE,

故EFJ.PD：

(2)連接CE,由ZADC=90°,ED=34,C?=3,貝!JCE2=ED。+CD?=36,

在APEC中，PC=4?PE=2瓜EC=6,EC2+PE2=PC2,

所以尸E_LEC,由(1)知PEJLEF,又ECnEF=E,EC、E尸u平面ABCO,

所以尸E_L平面ABCD,又￡Du平面A5CD,

所以PE_LED,則PEEEED兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系E-孫z,

則E(0,0,0),P(0,0,2我,。(0,36,0),C(3,36,0),尸(2,0,0),A(0,-273,0),

由尸是AB的中點，得8(4,2點0),

所以定=(3,373,-273),PD=(0,3耳-2&PB=(4,2石,-26),PF=(2,0,-2招)，

設(shè)平面PCZ)和平面PBF的一個法向量分別為n=(%,,_y1；Z1),m=(x,,y2,z2),

11

h?PC=3石+3百%—2括Z]=0m-PB=4x2+2^3y2-2^3￡2=0

則彳一?「r-，彳一?r-

n-PD=3yl_2近4=0[m-PF=2x2—2v3z2=0

令％=2,%2="^，得石=°，Z]=3,%=_1，Z2=1,

所以幾=(0,2,3),加=(石，-1,1),

1I恤?司1病

所以k°s沆小麗=；0r4，

2T8相

設(shè)平面尸CZ）和平面PBF所成角為。，則sin0=Vl-cos(7=-----------

65

即平面PCD和平面PBF所成角的正弦值為迤.

65

7.⑴證明見解析

(2)6

【分析】（1）先證出AD_L平面上4B,即可得由勾股定理逆定理可得3C_LAB,從而AD//BC,

再根據(jù)線面平行的判定定理即可證出；

（2）過點。作OE1AC于E,再過點石作瓦，。。于尸，連接D尸，根據(jù)三垂線法可知，NDEE即為二

面角A-CP-O的平面角，即可求得tan4>FE="，再分別用AZ）的長度表示出。瓦砂，即可解方程求出

AD.

【詳解】（1）（1）因為24_L平面45c。，而A￡>u平面ABCD,所以F4J_A￡）,

又ADLPB,PBC\PA=P,P3,PAu平面E4B,所以A￡）_L平面上4B,

而A8u平面所以AD上AB.

BC-+AB-=AC2,所以3C_LAB,根據(jù)平面知識可知A￡>/ABC,

又ADU平面PBC,BCu平面PBC,所以AD//平面P3C.

（2）如圖所示，過點。作DE/AC于E,再過點E作EF_LCP于尸，連接DR,

因為PAL平面A3CD,所以平面上4CL平面ABCD,而平面PAC。平面ABCD=AC,

所以￡電1平面PAC,又EFLCP,所以CP_L平面DEF,

12

根據(jù)二面角的定義可知，NDEE即為二面角A-CP-D的平面角，

即sinNDFE=旦，即tan/￡>PE=m.

7

因為ADLDC,設(shè)A￡?=x,則CD=j4-0，由等面積法可得，DE=x“J,

又CE=J（4_Y）一/（1）=,而AEPC為等腰直角三角形，所以=

x^j4-x2

故tan/DFE=—2—=,解得x=^3，即AD=^3.

4-x

2A/2

8.⑴證明見解析

嗚

【分析】（工）先由線面垂直的性質(zhì)證得R4L8C,再利用勾股定理證得3CLP3,從而利用線面垂直的判

定定理即可得證；

（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面PAC與平面P3C的法向量，再利用空間向量

夾角余弦的坐標(biāo)表示即可得解.

【詳解】（1）因為R4L平面ABCBCu平面A3C,

所以同理

所以△HLB為直角三角形，

又因為尸8=JPA2+AB2=及，BC=1,PC=6,

所以尸/+8。2=尸。2,則APBC為直角三角形，故3CLPB,

又因為3C1R4,PA[}PB=P,

所以3C1平面F4B.

（2）由（1）3c人平面R4B,又/IBu平面mB,則3C_LAS,

13

以A為原點，A3為x軸，過A且與BC平行的直線為＞軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

則A(0,0,0),P(O,O,1),C(1,1,O),8(1,0,0),

所以Q=(0,0,1),AC=(1,1,0),BC=(0,1,0),PC=

m-AP=0Z]=0,

設(shè)平面PAC的法向量為〃［=zj,貝卜一，即

m-AC=0Xi+%=0,

令士=1，則%=T，所以5=（1,-1,0）,

n-BC=0%=o

設(shè)平面P3C的法向量為〃=（々，%/2），貝1b_，即

n-PC=0x2+y2-z2=0"

令無2=1,貝!!Z2=1,所以A=(1,0,1),

所以儂L佃一〃'"m麗,n=萬1言=51,

又因為二面角A-PC-3為銳二面角,

IT

所以二面角A-PC-3的大小為

9.⑴證明見解析

（2）偵

3

【分析】（1）根據(jù)給定條件，證明四邊形ODEF為平行四邊形，再利用線面平行的判定推理作答.

（2）作出并證明尸M為棱錐的高，利用三棱錐的體積公式直接可求體積.

【詳解】（1）連接DE,OR,設(shè)AF=/AC,則而=麗+荏=（1一力麗+f而，AO=-BA+^BC,BF1AO,

121----

貝［］喬=麗+/前］?（—麗+—前）=（/_1）明一+―/8。2=4?_1）+4，=0,

22

14

解得f=1,則/為AC的中點，由2E,O,尸分別為尸員PA,8C,AC的中點,

2

^-^DE!/AB,DE=-AB,OF/1AB,OF=-AB,即DE//OF,DE=OF,

22

則四邊形ODEF為平行四邊形，

EF//DO,EF=DO,又斯二平面A。。,DOu平面ADO,

所以EF〃平面相>O.

(2)過P作尸Af垂直P。的延長線交于點

因為P8=PC,O是8C中點，所以尸O13C,

在Rt△尸30中，PB=?BO=LBC=>H,

2

所以PO={PB2OB?=后二=2,

因為AB_LBC,O產(chǎn)//AB,

所以O(shè)F上BC,又POcOF=O,PO,OPu平面尸OP,

所以3C1平面尸0尸，又尸Mu平面尸。尸，

所以又3?？谏?0,BC,9u平面ABC,

所以PM_L平面ABC,

即三棱錐尸-ABC的高為尸M,

因為/PO尸=120。，所以NPOAf=60。，

所以PM=尸Osin60°=2*走=.,

2

又S人AR°=LAB-BC=LX2X2亞=2枝,

所以％TBC=；S^BC.PM=gx2^x6=^.

15

【分析】（1）根據(jù)線面垂直，面面垂直的判定與性質(zhì)定理可得4。，平面BCC田，再由勾股定理求出。為

中點，即可得證；

（2）利用直角三角形求出A片的長及點A到面的距離，根據(jù)線面角定義直接可得正弦值.

【詳解】（1）如圖,

?.?AC，底面ABC,BCu面ABC,

.-.AC1BC,又3C_LAC,ACACu平面ACGA,ACcAC=C,

.,.3C_L平面ACC/A/,又3Cu平面BCC4,

平面ACQA，平面BCGB],

過4作A<9，CG交CG于O,又平面ACG4n平面BCC.B,=cq,AQU平面ACC^,

.??A。，平面BCQB]

?.?A到平面BCG比的距離為1,，AO=1，

在RtZkACG中，AC_LAGCG=e=2,

設(shè)CO=x,則C]O=2—x,

?.?△AOC,4AOG，^ACG為直角三角形，且cq=2,

co2+A<?2=AC2,AQ2+OC：=GA2,^c2+=qc2,

l+Y+1+(2—尤)2=4,解得x=l,

AC—A?！狝G=V2>

AiC=AC

(2)AC=AG.BC_LACBC_LAC,

RtAACB^RtAACB

BA=BA^,

過3作BZ〃A4,,交AA于。，則。為AA中點，

16

由直線AA］與8月距離為2,所以BD=2

VAtD=l,BD=2,:.AB=AB=E,

在RtAABC，；.BC=dAB。-AC?=5

延長AC,使AC=CM,連接GM,

由CM//A.Q,CM=AG知四邊形ACMCI為平行四邊形，

，GM〃AC,平面ABC,又AMu平面ABC,

CtM1AM

22

則在RtAAqM中，AM=2AC,C}M=AtC,AC,=y/(2AC)+A,C,

22

在RtZ\A4G中，ACt=7(2AC)+4C,BG=BC=6

222

ABt=7(2A/2)+(A/2)+(V3)=岳，

又A到平面BCQ與距離也為1,

所以AB{與平面BCC國所成角的正弦值為」=巫.

V1313

電考點突破

【考點11直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

一、單選題

1.（2024?陜西商洛?模擬預(yù)測）如圖，四邊形ABC。是圓柱的軸截面，E是底面圓周上異于A,3的一點,

則下面結(jié)論中錯誤的是（）

E

A.AE1CE

B.3C//平面ADE

C.平面AZ2E_L平面3CE

D.DE2平面8CE

17

2.（2024?遼寧大連?一模）已知直線a,b,c是三條不同的直線，平面a,夕，y是三個不同的平面，下列命

題正確的是（）

A.若a_Lc,b-Lc,貝！］a//b

B.若allb,alia,則blla

C.alia,blla,cLa,且c_L8,貝?。輈-La

D.若尸_La,y-La,且6r|7=a,則。_11

3.（23-24高三上?四川?階段練習(xí)）己知/，機是兩條不同的直線，a,尸是兩個不同的平面，則下列命題中

正確的是（）

A.若<z_L，，lea,mu。,貝!!/_!_相

B.若mL0,a1（3,則7〃〃打

C.若〃/%,/I?,mV/3,則a///

D.若a//￡,且/與a所成的角和山與尸所成的角相等，則〃/加

二、多選題

4.（2024?湖南邵陽?三模）如圖所示，點E為正方體形木料A8CD-ABCQ1上底面的動點，則下列結(jié)論正

確的有（）

A.三棱錐E-ABC的體積為定值

B.存在點E,使CEL平面

C.不存在點E,使CE//平面BDD4

D.經(jīng)過點E在上底面上畫一條直線/與CE垂直，若/與直線4A重合，則點E為上底面中心

三、解答題

5.（2024?天津河北?模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐尸-ASCD中，底面ABCD是正方形，24,平面ABCD,

PA=AB=1,M,N分別是上4,尸3的中點.

18

p

⑴求證：MN//平面ABC。；

⑵求證：CD，平面上4￡）；

⑶求直線PC與平面PAO所成角的正弦值.

6.（2024?山東濟寧?三模）圖1是由正方形ABC。和兩個正三角形△">",△00戶組成的一個平面圖形，其

中AB=2,現(xiàn)將VADE沿AD折起使得平面ADEJ_平面ABCD,將KDF沿CD折起使得平面CDF，平面

ABCD,連接斯，BE,BF,如圖2.

⑴求證:跖〃平面ABCD；

（2）求平面ADE與平面3cp夾角的大小.

參考答案:

1.D

【分析】由條件，結(jié)合線面垂直判定定理證明招，平面BCE,再證明AE_LCE,判斷A,

由BC〃/ID,根據(jù)線面平行判定定證明〃平面ADE,判斷B,

由AE_L平面3CE,結(jié)合面面垂直判定定理證明平面ME_L平面BCE,判斷C,

設(shè)上平面3CE,結(jié)合線面垂直性質(zhì)可證￡>E〃AE,推出矛盾，判斷D.

【詳解】因為四邊形ABCD是圓柱的軸截面，則線段AB是直徑，BCAD都是母線.

又E是底面圓周上異于A2的一點，

于是得

而8cl平面ABE,AEu平面ABE,則3C_LAE.

因為3Cn3E=B，BCBEu平面BCE,

19

則AE_L平面3CE,

因為CEu平面BCE,因此得AELCE,A正確；

因為BC〃AD,BC（Z平面ADE,A￡>u平面ADE,

所以3C〃平面ADE,B正確；

因為AE_L平面BCE,而AEu平面ADE,

所以平面MEJ■平面BCE,C正確.

點。不在底面ABE內(nèi)，而直線AE在底面ABE內(nèi)，即AE,Z）E是兩條不同直線，

若￡>￡1/平面3CE,因AE_L平面BCE,

則與DEnAE=E矛盾，D不正確；

故選：D.

2.D

【分析】由空間中直線與平面的位置關(guān)系，對各項進行分析即可.

【詳解】若a，c，bVc,則a,6可以是平行，也可以是相交或異面，故A錯誤；

若a//b,alia,則b//a或bua,故B錯誤；

若。〃a,blla,<?_1_。且。_1_6,當(dāng)a〃〃時，不能證明cJLa,C選項錯誤；

若刀_Lc,7_!_（/,且/?口7=。，在。上取一點P,作尸。_Le,

由面面垂直的性質(zhì)定理可得PQu分且PQu7,既。與尸2重合，可得a_Le,故D正確.

故選：D

3.C

【分析】利用線面的位置關(guān)系，結(jié)合空間想象即可得解.

【詳解】若lua,mu/3,貝I"與m有可能平行，故A錯誤；

若〃7」月，aVp,則機可能在。內(nèi)，故B錯誤；

若IHm,ILa,則租」<2,又ml[3,則a//￡,故C正確；

若a//月，且/與a所成的角和”?與尸所成的角相等，貝I"與加有可能相交，故D錯誤.

故選：C.

4.AD

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合三棱錐的體積公式、正方體的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)以及線面平行的性質(zhì)，一一

判斷即可

【詳解】三棱錐E-ABC中，底面ABC的面積為定值，由平面A4G2〃平面ABCD可知，

平面44C2上任意一點到平面A3CD的距離都相等，

20

則可得三棱錐E-ABC的體積為定值.故A選項正確;

在正方體A3CD-A4CQ］中，AG-L耳2，AGiB四，

u平面BDQBi,且旦。1cB耳=耳，所以AG_L平面B￡>￡>4,

若存在點E使得CE，平面瓦，則CE與4G重合或平行，

顯然這樣的點E不存在，故B選項錯誤；

在正方體ABC。-A4clp中，CCJ/BB、,^用匚平面①）〃4,。。10平面2。2片,

所以CG〃平面BDR4,當(dāng)點E與G重合時，CE為CC、,

則存在點E使得CEH平面BDDe,故C選項錯誤；

因為正方體ABCD-A與GR中，cq1平面,

由題可得/U平面所以/，CG，

又因為/，CE,cqncE=c,CC|,CEu平面CGE,

所以平面CGE,GEu平面CGE,貝U/J_C|E.

當(dāng)/與8倒重合時，BRi工GE.

在正方形A4C4中AC,1B、D1,則可得E為AG與耳2的交點,

即為上底面的中心，故D選項正確.

故選：AD.

5.⑴證明見解析

（2）證明見解析

【分析】（1）根據(jù)VN〃口及線面平行的判斷定理，即可證明；

（2）根據(jù)線面垂直的判定定理，轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；

（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，求線面角，再根據(jù)幾何關(guān)系求解正弦值.

21

【詳解】(1)在ABR中，-：M,N分別是E4,PB的中點,

:.MN//AB,

又MNU平面ABC。,

ABu平面ABCD,

.?.北亞//平面458.

P

s.ADLCD,

又?.?24,平面ABC。，CDu平面A3CD,

:.PA±CD,

又RlcAD=A,且PA,A￡?u平面尸A。，

\CD入平面尸AO.

(3)由(2)知，CDJ_平面PAD,

，F(xiàn)D為斜線PC在平面上4。上的射影，NCPD為直線PC與平面PAD所成的角.

由題意，在RtAPCD中，PD=R,CD=1,

PC=VPD2+CD2=A/3，

CD1_V3

sinZCPD=

~PC~^3~^~

即直線PC與平面B4D所成角的正弦值為3.

3

6.(1)證明見解析；

嗚

【分析】(1)取CD,AD的中點O,尸，利用面面垂直的性質(zhì)，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)、線面平行的判定推理

即得.

(2)以。為原點建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面5CP的法向量，利用面面角的向量求法求解即得.

22

【詳解】(1)分別取棱CD,A。的中點O,P,連接

由AC"是邊長為2正三角形，得OFLCD,OF=5

又平面CDF_L平面ABC。，平面CDFc平面ABCD=DC,OFu平面CDF,

則ObJL平面A3CD,同理PE_L平面A8C￡>,尸E=g，

于■是OF"PE,OF=PE,即四邊形OPEF為平行四邊形，OP//EF,

而OPu平面ABCD,EF<z平面ABCD,

所以EF〃平面MCD

(2)取棱A3的中點。，連接。Q,由四邊形ABCD為正方形，得OQLC。，

以。為坐標(biāo)原點，而，說，礪的方向分別為x，%z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系,

則8(2,1,0),C(0,l,0),歹(0,0,有),0(0,-1,0),CB=(2,0,0),CF=(0,-1,回

ft-CB=2x=0「

設(shè)平面3cp的一個法向量為萬=(x,y,z),貝公一r令z=l,得為=(0,?l),

n-CF=-y+y/3z=0

由C￡)J_AD,平面ME_L平面ABCD,平面ADEPl平面A3CZ)=A￡),CDu平面ABCD,

得CD,平面ADE,則反=(0,2,0)為平面ADE的一個法向量，設(shè)平面ADE與平面8CF的夾角為夕

則"EM〈配㈤=寺=當(dāng)=》而?。會解得。吟

JT

所以平面ADE與平面BCF的夾角為二.

6

反思提升：

(1)證明線面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性；③面面垂直的性質(zhì).

(2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直，則需借助線面垂直的性質(zhì).

【考點2】平面與平面垂直的判定與性質(zhì)

一、單選題

1.(2024?四川成者B?三模)已知直線/、加、w與平面a、p,下列命題正確的是()

A.若/_L”,m±n,則/〃m

23

B.若1//P，則

C.若/_La,/_!_〃？，則根〃a

D.若<z_L￡,a[\P=m,ILm,貝

2.（2024?江西鷹潭?模擬預(yù)測）如圖，在長方形ABCD中，AB