2025屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)《用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值》練習(xí)（附答案）

2025屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：壓軸好題專項(用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值)練習(xí)

1.(2024屆廣東省深圳市南頭中學(xué)高三上學(xué)期第一次月考)已知/(x)="-hw,aeR.

⑴討論了(x)的單調(diào)性和極值；

⑵若無e(0,e]時,/'(尤)<3有解，求。的取值范圍.

2.(2024屆山西省呂梁市高三上學(xué)期質(zhì)量檢測)已知函數(shù)-%(aeR).

X

(1)討論“X)的單調(diào)性；

⑵若/(X)的兩個極值點分別為X],X2,證明："5)_/(X2)|<,2-16/.

2a

3.(2024屆寧夏銀川一中高三上學(xué)期月考)已知函數(shù)/(%)=。/(工-3)(〃。0).

⑴求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵當(dāng)〃=-1時,求函數(shù)g(x)=/(x)+，一4x的極值.

4.(2024屆遼寧省遼東十一所重點高中聯(lián)合教研體高三第一次摸底)已知函數(shù)

/(%)=--+兀/-ax,g(x)=2cosx.

(1)當(dāng)x20時，求證g(x)22—-；

⑵令尸(x)=/(x)-g(x)，若尸(X)的兩個極值點分別為〃)，求證：〃-加W(。+2)—.

1—71

5.(2024屆江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高三上學(xué)期學(xué)情檢測)已知函數(shù)/(x)=lnx+辦-5g(x)=xlnx+g-l)x+1.

⑴當(dāng)a=-2時，判斷/(無)的單調(diào)性；

⑵當(dāng)。>1時，記“X)的零點為％,g(x)的極小值點為4,判斷％與4的大小關(guān)系,并說明理由.

6.(2024屆湖南省衡陽市高三上學(xué)期8月測試)已知〃x)=alnx-Lg(x)=2--.

(1)證明：當(dāng)ae(-oo,-e)j=有且只有2個零點；

(2)討論是否存在"0使/(x)g(x)有極小值？并說明理由.(注：討論過程要完整，有明確的結(jié)論)

7.(2024屆河南省洛陽市等三地部分名校高三上學(xué)期開學(xué)聯(lián)考)已知函數(shù)/(x)=cosx+axsinx

⑴若“=1,求曲線了=/(x)在點(71，〃兀))處的切線方程；

(2)若x=0是/(x)的極大值點，求a的取值范圍.

8.(2023屆西藏昌都市第一高級中學(xué)高三高考全真仿真考試)已知函數(shù)/(x)=lnx-ax+l,aeR.

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若看為函數(shù)g(x)=x"(x)+lnx-2］的極值點,求證：2ax；<ex0-1.

9.(2023屆四川省綿陽市測試)已知函數(shù)/(幻=；/+=，一x+：.

(1)若在(；,2)上存在單調(diào)減區(qū)間，求實數(shù)加的取值范圍；

(2)若/(x)在區(qū)間(見+8)上有極小值,求實數(shù)m的取值范圍.

10.(2024屆廣東省華南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期開學(xué)測數(shù))已知函數(shù)/(x)=e，-asirw+6xg>0)-

(l)當(dāng)b=0時，函數(shù)/(x)在(o，m上有極小值,求實數(shù)a的取值范圍

⑵若6<0,g(x)=+asinx，證明g(x)>61n(-

11.(2024屆湖北省騰云聯(lián)盟高三上學(xué)期8月聯(lián)考)已知函數(shù)/(x)=(x-4)lnx+x2+ax-2.

(1)證明：/(x)有唯一的極值點；

(2)若/(力20恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

12.(2024屆貴州省高三上學(xué)期入學(xué)考試)定義函數(shù)/(x)=(x-a)sinx,其中xeR.

⑴當(dāng)a=今時,求曲線V=/(x)在點［,o1處的切線方程；

(2)證明：在區(qū)間,宗段［上,/(x)有且只有兩個不同的極值點.

參考答案

1.(2024屆廣東省深圳市南頭中學(xué)高三上學(xué)期第一次月考)已知/(x)="-hw,aeR.

⑴討論了(x)的單調(diào)性和極值；

⑵若xe(0,e］吐/'(尤)<3有解，求。的取值范圍.

【過程詳解】(1)r(x)=a-l=—,(%>0),

XX

當(dāng)aW0時,/''(X)<0恒成立，函數(shù)在區(qū)間(0,+司上單調(diào)遞減，無極值;

當(dāng)a>0時，令/(x)=0,得x=—

((無)<0,得0<x<匕函數(shù)在區(qū)間(0」〕上單調(diào)遞減，

a\a)

/4工)>0,得工>：,函數(shù)在區(qū)間［：,+8］上單調(diào)遞增，

當(dāng)X=L函數(shù)取得極小值dn=l+lna,

a\aJ

綜上可知,a<0時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,+。),無增區(qū)間，無極值；

?>0時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間(0。1，極小值1+Ina，無極大值.

(2)由題意可知,ax-lnxW3,xe(0,e］時有解，

則也，在xe(O,e］時有解，即見3戶e(0,e］,

XX\Xymax

設(shè)g(x)=3+g,xe(O,e］,

XX

，/、31-Inx-2-Inx

g(x)=_7+x'=--，

令g'a)=。,得x=2,

當(dāng)0<x<［時,g］x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

e

當(dāng)［cWe時,g'(x)<0,g(無)單調(diào)遞減，

e

22

所以g(X)的最大值為g^=e,gpa<e,

所以實數(shù)”的取值范圍是(-s,e2］

2.(2024屆山西省呂梁市高三上學(xué)期質(zhì)量檢測)已知函數(shù)/(x)=ax-lnx-網(wǎng)(aeR).

（1）討論/（X）的單調(diào)性;

⑵若"X）的兩個極值點分別為4,4,證明：應(yīng).

2a

【過程詳解】（1）依題意/（x）=a」+當(dāng)—―：+2。（尤>o）,

XXX

當(dāng)aW0時,/'（X）<0,所以/（%）在（0,+功上單調(diào)遞減；

當(dāng)0<°<也時，令-x）>0,解得o<x<l一次一即？或%>1+川-8/,令/口）<0,解得

42a2a

<X<1+&-8/，所以/⑴在@1一加-8/）上單調(diào)遞增，在（1<8儲,1+a8〃）

2a2a2a2a2a

上單調(diào)遞減，在（1+比--2,收）上單調(diào)遞增；

2a

當(dāng)a2時,/'（x）之0,所以八x）在（0,+8）上單調(diào)遞增.

4

（2）不妨設(shè)0<再<X2,由（1）知，當(dāng)o<°<?時J（x）在（0,x,）上單調(diào)遞增，在（占,々）上單調(diào)遞減，在（％，+°°）上

單調(diào)遞增，

所以為是/⑴的極大值點,巧是"X）的極小值點，所以/&）>/（9）,所以I/區(qū)）-/每）I=/（玉）-/（乙）.

由（1）知=2,X]+尤2=一，貝!1工2—X]=J（X]+x?）2_4再工2=」―――-

aa

要證|/（再）_/（%）|<'I，"，只需證/（^）-/（%2）<（x2-xj.

因為-x1)-/(x1)+/(x2)=^-(x2―石)+〃(工2—+2tz-―—―

22項xxx2

2(%2X|)

2a(x2-x,)+—(x2-^)-111^="+^^-ln^-

2$演+%2，玉％2X1

設(shè)'寸>1透（/）=*+“一、2.

411

所以g'(f)=11

{t+1)2--24---2t-\[tt(f+1)22t。t

所以g（o在a,+8）上單調(diào)遞增，所以g（。>g⑴=o.

B5

所以/（石）+/（%2）>0,即得/（%）-/&2）<下-（工2-%）成立?

所以原不等式成立.

3.(2024屆寧夏銀川一中高三上學(xué)期月考)已知函數(shù)/(x)=ae%x-3)(a/0).

⑴求〃x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)a=-1時,求函數(shù)g(x)=f(x)+x2-4x的極值.

【過程詳解】(1)/'(x)=ae”(x-2),

若a>0,由，(x)<0,得x<2；由/心)>0,得x>2,

\/(x)的遞減區(qū)間為(-*2),遞增區(qū)間為(2,+8).

若a<0,由/'(X)窿0,得x>2；由小尤)>0,得無<2,

\/(x)的遞減區(qū)間為(2,+8),遞增區(qū)間為(-8,2).

(2)當(dāng)。=-1時,g(jc)=f(x)+x2—Ax=—ex(x-3)+x2—4x,

g(x)=-e1(x-2)+2x-4=-(x-2乂e*-2).

由8。)=0,得》=2或》=1112.

當(dāng)x變化時,g'(x)與g(x)的變化情況如下表：

X(-oo,In2)In2(In2,2)2(2,+8)

g'(x)-0+0-

g(x)遞減極小值遞增極大值遞減

g(x)極小值=gdn2)=(In2)2-61n2+6,

g(x)極大值=8出=看-4.

4.(2024屆遼寧省遼東十一所重點高中聯(lián)合教研體高三第一次摸底)已知函數(shù)

x3

“x)=F+/9g(x)=2cosx.

⑴當(dāng)x20時，求證g(x)〉2-x2；

(a+2)7l2jl3

⑵令b(x)=/(x)-g(x),若尸(X)的兩個極值點分別為件"(加<"),求證：n-m<；

1—71

【過程詳解】(1)令G(x)=g(x)—2+%2=2cosx—2+f.

貝ijG'(x)=2x-2sinx,

令H(x)=2x—2sinx，貝177z(x)=2-2cosx>0,

所以"(x)在[0,+司上單調(diào)遞增，則=⑼=0,

所以G(x)在[0,+旬上單調(diào)遞增，則G(x)>G(0)=0,所以g(x)>2-x2；

(2)由題可得=——+71X2—UX—2cosX,

貝UF'(x)=-x1+2TLX-Q+2sinx.令T(x)=-x2+2TLX-a+2sinx,

當(dāng)a=0時,T(x)=-x2+27rx+2sinx，則T'(x)=-2x+2兀+2cosx,

令S(%)=-2x+2兀+2cosx，則S'(x)=-2-2sinxW0,所以S(x)在R上單調(diào)遞減,

又S(0)=2兀+2>0,S(兀)=—2<0,

所以存在與￡(0㈤，使得S國)=0,

當(dāng)X￡(-8,%)時,7(%)=5(%)>0,7(%)單調(diào)遞增，

當(dāng)x￡(%,+00)時,7(x)=S(x)<0,T(x)單調(diào)遞減,

又7(0)=7(2兀)=0,所以冽=0,1=2兀,

因為T'(0)=2+2兀,T'(2K)=2—2兀,

所以曲線>=尸(%)在％=0處的切線方程為y=(2+2兀異，

在x=2兀處的切線方程為>=(2一2兀)工一4兀+4兀2.

令(=(2+2兀)％+、2-27tx一2sinx,

貝U邛⑺=2+2x-2cosx,

令％(x)=](x)，則%：(x)=2+2sinx>0,所以.(x)在R上單調(diào)遞增，

又％(0)=0,所以當(dāng)工￡(-叫。)時，邛(%)=%(%)<0,北⑺單調(diào)遞減，

當(dāng)工?0,+8)時，邛⑺=%(">0,工(“單調(diào)遞增，所以7](%”工(0)=0,

BP(2+27i)x>-x2+27rx+2sinx；

令心(x)=(2—2兀)、一4兀+4/+%2-2TLX-2sinX，則T；(x)=2—4兀+2x—2cosx,

令為(x)乜'(x),

則(x)=2+2sinX20,所以馬(X)在R上單調(diào)遞增，

又與(2兀)=0,所以當(dāng)xe(-co,2兀)時，磯x)=式力＜0/(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(2兀,+8)時,4(x)=芍(力＞0(x)單調(diào)遞增，所以,(2萬)=0,

艮［1(2—2兀)x—4兀+4兀2>-x2-27tx—2sinx.

所以當(dāng)a=0時，曲線＞二/(%)在％=加，%=〃處的切線＞=(2+2兀)%，尸(2-2兀)工-4兀+4兀2均不在

廣(%)=一%2+27rx+2sinx圖象的下方,

所以(2+2兀)加2—m2+271m+2sinm=a,

(2-2兀)?(及-2兀)>-n24-2Tm+2sin〃=a,

a,a_

得mN,n<--------+2兀.

2+2兀2—2兀

(°+2)兀一2兀3(a+2)兀一27?

所以〃一加W------F2兀---—,BPn-m<

2—2兀2+2兀1-7121-712

5.(2024屆江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高三上學(xué)期學(xué)情檢測)已知函數(shù)〃x)=lnx+ax-Lg(x)=xlnx+(a-l);ic+L

⑴當(dāng)a=-2時，判斷了⑺的單調(diào)性;

⑵當(dāng)。＞1時，記〃x)的零點為％,g(x)的極小值點為&判斷％與4的大小關(guān)系，并說明理由.

【過程詳解】(1)當(dāng)"-2時,/(x)=lnx_2x-：J(x)的定義域為(0,+司,

所以/，(X)」_2+0=-2X：X+1=(2X+1)!-X+1),

XXXX

令八龍)>0,解得：0<x<l,令/'(x)<0,解得:X>1,

所以/(無)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+⑹上單調(diào)遞減.

aX+%+1

(2)因為/(x)=lnx+辦一工,則f\x)=-+a+\=2(%>0),

當(dāng)。>1時，則>0,故/a)在(0,+◎上單調(diào)遞增，

X/(l)=a-l>0,/^=-1lna<0,

(出，1］使/(%)=0,

所以存在唯一的X。G

因為g(x)=xIn%+(〃_l)x+L(x〉0)則g<x)=Inx--,

，XX

ii2

令k(x)=lnx——+Q(x〉0),則h\x)=—+—>0,

所以力(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，即g'(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

又g，(l)=a-l>=—Ma<0,

所以存在me,1；使g\m)=0,

則當(dāng)0<x<加時,g'(M<0；當(dāng)龍>加時,g\m)>0；

所以g(x)在(0,加)單調(diào)遞減，在(肛物)上單調(diào)遞增，

所以冽為gW的極小值點，故X]=m,

由g'(加)=0~^^\nxl--+a=0^a=--]nx^

1(1\1

所以/(%)=出玉+a/=Inx1+再1一—In演---=(1一玉)In再,

再(再)演

又再[，所以〃%)=(1-xJlnX]<0,

又因為/(無。)=0,且Ax)在(0,+s)上單調(diào)遞增,

所以%>看.

6.(2024屆湖南省衡陽市高三上學(xué)期8月測試)已知〃x)=alnx-±g(x)=2--牛7

⑴證明：當(dāng)〃e(-8,-e)j=/(x)有且只有2個零點；

(2)討論是否存在"0使〃x)g(x)有極小值？并說明理由.(注：討論過程要完整，有明確的結(jié)論)

【過程詳解】(1)因為〃x)=alnx」,所以/(x)定義域為(0,+。)/。)，+』=竺?，

XXXX

因為―(-叫-e),所以令/(x)=0得x=」,

a

當(dāng)o<x<4時,單調(diào)遞增，

當(dāng)X>,時J'(x)<oJ(X)單調(diào)遞減,

a

所以〃x)有最大值為+4=

因為ae(-?,-e)，所以In(-a)>1，所以/[一5]>°,

因為當(dāng)x>一:時,/(x)單調(diào)遞減且〃e)=°T<0,所以/(x)在卜，上只有一個零點;

因為當(dāng)0<x<-：時,/(x)單調(diào)遞增，且/=aIn-e"=-"一e“<0,

所以/(x)在上只有一個零點；

綜上，當(dāng)ae(-8,-e)j=/(x)有且只有2個零點.

(2)令，7(x)=/(x)g(x)=(alnx-L](2----=2alnx-見出

X

則萬⑺定義域為(0,+e),"(x)=lnx+1+2",

令加(x)=lnx+l+2ax，則m^x)=—+2a,

因為a〈0,所以令加(x)='+2a=0得％=—-—,

x2a

當(dāng)0<x<---時,m(x)>0,m(x)單調(diào)遞增，

2a

當(dāng)%>--—時,mr(x)<0,m(x)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x=V時Mx)取得最大值一曰+1+2彳-曰=+),

當(dāng)"一；]=1111_；卜0,即aW-，時,〃?(x)WO,即〃(x)40恒成立，

\,jI2^z)2

所以/z(x)單調(diào)遞減，此時不滿足題意；

當(dāng)>0,即_\<a<0時，

\2aJ\2aJ2

由于當(dāng)X.0時，加(x)-,當(dāng)％f+00時，加-—8,

所以〃2(X)=0有兩個解，即"(尤)=0有兩個解，且"(x)從口遞增到一個正數(shù),然后再遞減到F,

所以力(無)存在極小值，

即存在使得/(x)g(x)有極小值.

7.(2024屆河南省洛陽市等三地部分名校高三上學(xué)期開學(xué)聯(lián)考)已知函數(shù)/(x)=cos尤+axsinx

⑴若a=l,求曲線y=/(x)在點(兀，〃兀))處的切線方程；

(2)若x=0是〃x)的極大值點，求”的取值范圍.

【過程詳解】(1)當(dāng)Q=1時J(x)=cosx+xsinx^lj/'(x)=-sinx+sinx+xcosx=xcosx,

f(兀)=7icosTI=-7i，又f(7i)=cos兀+兀sin兀=一1,

=〃x)在點(兀,〃兀))處的切線為：y+l=F(X-7t)，即TOf+y-7T2+l=O.

(2)由題意知:/'(x)=(a-l)sinx+辦cosx,:./'(0)=0恒成立；

???x=0是〃x)的極大值點，

存在國e(0,+oo)，使得當(dāng)xe(一玉,0)時,>0；當(dāng)xe(0,占)時,/'(x)<0；

令g(x)=/'(x)=(Q-l)sinx+axcosx,

貝Ig'(x)=(2〃一l)cosx-〃xsinx,g'(0)=2a-l

①若g'(O)>0,即。；時，存在X2￡(0,+8)，使得當(dāng)x￡(0,/)時,g'(%)>0,

???/”)在(0戶2)上單調(diào)遞增,則當(dāng)工￡(0戶2)時/(力>/'(0)=0,

\/(x)在(0/2)上單調(diào)遞增，不合題意;

②若g'(0)=0,即Q=；時,g'(x)=—；xsinx；

令/z(x)=g'(x)=_；xsinx,貝°”(x)=-1.1=一；(sinx+xcosx),

—sinx——xcosx

22

.,.當(dāng)xe時,〃(x)>0；當(dāng)xe[ogj時,“(x)<0；

./(x)在1T，°]上單調(diào)遞增；在1°，?上單調(diào)遞減；又打⑼=。，

，當(dāng)X€[-第1時,〃(x)=g'(x)<0,.-.g(x)在[-第]上單調(diào)遞減，

??,g(O)=/'(。)=0當(dāng)Xe時,>0,當(dāng)xe]o,3時,/'(x)<0,

\/(x)在f-po"|上單調(diào)遞增，在(0,3上單調(diào)遞減，符合題意；

③若g'⑼<0,即。；時，存在/e(0,+co)，使得當(dāng)xe(-x3,x3)Ht,g'(x)<0,

g(x)在(-X3，w)上單調(diào)遞減,

，

??,g(O)=/(0)=0,.-.y|xe(-x3,o)時,>0；當(dāng)Xe(0,七)時,/(x)<0；

\/(尤)在(-%,0)上單調(diào)遞增，在(0,七)上單調(diào)遞減，符合題意;

綜上所述：實數(shù)。的取值范圍為「叱;.

8.(2023屆西藏昌都市第一高級中學(xué)高三高考全真仿真考試)已知函數(shù)〃x)=lnx-ax+l,aeR.

(1)討論函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若飛為函數(shù)g(x)=x"(x)+lnx-2]的極值點,求證：2由<e'。-1.

【過程詳解】(1)人>)=山￥--+1定義域為(0,+8),

mi,，/、1\-ax

則/'(》)=__a=----,

XX

①當(dāng)時,/'(x)〉o恒成立，

所以/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

②當(dāng)a>0時,/(x)〉0=0<x<,"'(X)<0nx>，，

aa

所以f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(0,-)，單調(diào)遞減區(qū)間為d,+8);

aa

綜述：①當(dāng)〃40時,/(')單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8);

②當(dāng)a>0時J。)單調(diào)遞增區(qū)間為(0一)，單調(diào)遞減區(qū)間為(L+8).

aa

(2)g(x)=x[f(x)+Inx-2]=2xInx-ax2-x(QER)

貝Ig'(x)=2Inx-2ax+1,

因為不是函數(shù)g(x)的極值點，

所以21nxo-2辦0+1=0,即：2Inx0+1=2axQ?

要證<ex°-1,

x

只需證2/Inx0+x0<e與T,即證:e°>2x0Inx0+x0+1,

]—x

令m(x)=Inx—x+1,則m\x)=----,

x

當(dāng)0<x<1時，加(x)〉0,m(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)工〉1時，加(x)<0,加㈤單調(diào)遞減；

所以m(x)<m(l)=0,即：lnx<x-l,

所以e"TNx,

所以e"Nx+l,

①當(dāng)0</<1時,

因為e"。>x0+1,2x0Inx0<0,

所以e"。>2/In%+x0+1.

②當(dāng)毛之1時，

因為InxWx-1,

所以/In/

所以2%In/?2%(%-1),

x

要證e°>2x0Inx0+x0+1,

只需證e*。>%o+l+2%o()o-l)=2%：-%o+l,

即證24一%+1<i對任意的％>1恒成立，

ex°

令心)=2——工+1(X21),

ex

貝I"(x)=-2—+5X-2=(x-2)(2x7),

exex

當(dāng)1<x<2時,h\x)>0,h(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x>2時,h\x)<0,h(x)單調(diào)遞減，

7

所以人(x)V〃(2)=1<l,

e

x

即當(dāng)后>10^,e°>2x0lnx0+x0+l^AZl.

綜述：原不等式成立.

9.（2023屆四川省綿陽市測試）已知函數(shù)/（》）=：》3+?，一》+〈.

（1）若/（X）在（；,2）上存在單調(diào)減區(qū)間，求實數(shù)加的取值范圍；

（2）若“X）在區(qū)間（見+8）上有極小值,求實數(shù)m的取值范圍.

【過程詳解】（1）函數(shù)/。）=1苫3+生尤2一尤+1,求導(dǎo)得/，（幻=必+.一1,

326

因為函數(shù)/（X）在（g,2）上存在單調(diào)減區(qū)間，則不等式/+皿-1<0在§,2）上有解，

即％<L-X在（：,2）上成立，而函數(shù)y=L-尤在（上2）上遞減，顯然不<，-x<j,于是用<4,

x2x22x22

所以實數(shù)加的取值范圍是，"<5?

（2）由⑴知J'（x）=0,即注+-1=0,解得再=一加一’/+±%,=一加+人工,

1222

當(dāng)x<可或%>無2時J'（x）>0,當(dāng)<%<%2時J'（x）<0,

即函數(shù)，(x)在(-8,X)M+8)上單調(diào)遞增，在(X“2)上單調(diào)遞減，因此函數(shù)/(X)在巧處取得極小值，

于是+m，即47喜>3m，當(dāng)"7w0時，不等式成立，當(dāng)機(jī)>0時廨得0<陞正，則加《巫，

222

所以實數(shù)加的取值范圍是拼《走.

2

10.(2024屆廣東省華南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期開學(xué)測數(shù))已知函數(shù)/(x)=e'-asinx+6x(a>0>

(1)當(dāng)6=0時，函數(shù)/(X)在(0,曰上有極小值,求實數(shù)a的取值范圍

⑵若b<0,g(x)=/(x)+asinx，證明g(x)>61n1-

【過程詳解】⑴題意知〃x)=e=asiiu在[o,?上有極小值，

則/'(x)=e*-acosx=0在[。?]有解，

故.=工,設(shè)g(x)=￡Qe[o(]],

cosxcosx(I2))

顯然g(無)=工在(0,外單調(diào)遞增，

COSXV

又g(o)=l,理g(x)=+8,所以"1.

2

當(dāng)a>1時/(尤)=e"-acosx在(0鼻)單調(diào)遞增，

又/(0)=1-.<0/13=3>0,

由零點存在定理可知mae]o，m，且/⑻=0,

此時當(dāng)xe(0,?)時J'(x)<0,當(dāng)xe時>0,

所以〃尤)在(0,々)上單調(diào)遞減，

/(x)在卜3上單調(diào)遞增，故在(0,2上有極小值點.

因此實數(shù)。的取值范圍。>1.

(2)由題得,g(x)=e*+bx,g'(x)=ex+b,b<0,

g'(x)在(-8,In(-6))上小于0,在(in(-6),+oo)上大于0.

g(x)在(-?,In(-/)))上單調(diào)遞減，在(In(-/>),+叫上單調(diào)遞增.

g(x)最小值為g(ln(-Z>))=-Z?+Mn(-Z))

只需證明一6+61n(-6)>4n，j,即一1+111(-6)<1111-￡|,即一1<山；，

因為e>2,

所以Ine-=-l<lng：該式子顯然成立，即g(x)>bin'j.

11.(2024屆湖北省騰云聯(lián)盟高三上學(xué)期8月聯(lián)考)已知函數(shù)/(x)=(x-4)lnx+/+ax-2.

(1)證明：/(x)有唯一的極值點；

⑵若/(“20恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

【過程詳解】(1)證明：/(X)定義域為(0,+8),

x—44

由/(x)=(x—4)Inx+—+a1-2,得/(%)=lux+----+2x+〃=lnx——+2X+Q+1,

xx

414

令""(x)=f(x)=lux---F2x+Q+1，貝{J3(%)=—I—+2〉0,

所以/'(X)在(0,+動上單調(diào)遞增，

因為lnx-±+〃+l,且(\nx--+a+\|￡R(x)>lnx+2x+a+l,且當(dāng)x￡(l,+oo)時，

X\XJ

(lnx+2x+a+l)e{a+3,+oo),

所以廣(x)的值域為R,

所以/'(x)有唯一的零點/€(0,+動,使得/'(%)=0,

當(dāng)相僅,為)時，八