2025年高考數(shù)學(xué)二級結(jié)論篇（核心知識背記手冊）

高考數(shù)學(xué)二級結(jié)論篇

（核心二級結(jié)論背記手冊）

目錄

二級結(jié)論背記01集合................................................................3

1.德摩根公式.................................................................................3

2.容斥定理之集合中元素個數(shù)..................................................................3

二級結(jié)論背記02復(fù)數(shù)................................................................4

1.復(fù)數(shù)的模...................................................................................4

二級結(jié)論背記03平面向量............................................................4

1.爪子定理...................................................................................4

2.爪平面向量的系數(shù)和（等和線）（等值線）....................................................4

3.極化恒等式.................................................................................5

4.奔馳定理...................................................................................6

（1）奔馳定理的證明.......................................................................6

（2）奔馳定理的推論及四心問題.............................................................7

二級結(jié)論背記04不等式與基本不等式.................................................8

I.基本不等式鏈...............................................................................8

2.權(quán)方和不等式的二維形式....................................................................8

3.糖水不等式定理.............................................................................8

4.糖水不等式的倒數(shù)形式:......................................................................8

5.對數(shù)型糖水不等式..........................................................................8

二級結(jié)論背記05三角函數(shù)與三角恒等變換.............................................9

1.常見三角不等式.............................................................................9

2.半角公式...................................................................................9

3.萬能公式...................................................................................9

4.和差化積與積化和差公式....................................................................9

二級結(jié)論背記06解三角形...........................................................10

1.常見三角恒等式............................................................................10

2.常見平面幾何結(jié)論.........................................................................10

3.三角形中常見不等式.......................................................................10

4.內(nèi)切圓半徑................................................................................10

5.海倫-秦九韶公式...........................................................................10

6.海倫-秦九韶公式推廣.......................................................................11

7.三倍角公式................................................................................11

8.射影定理..................................................................................11

9.角平分線定理..............................................................................11

10.張角定理.................................................................................II

11.倍角定理.................................................................................11

12.中線長定理...............................................................................12

13.三角恒等式...............................................................................12

二級結(jié)論背記07函數(shù)的基本性質(zhì).....................................................13

I.周期性（差為常數(shù)有周期）.................................................................13

2.對稱性（和為常數(shù)有對稱軸）...............................................................13

（1）軸對稱...............................................................................13

(2)點對稱...............................................................................13

3.周期性對稱性綜合問題.....................................................................13

4.奇偶性對稱性綜合問題.....................................................................14

5.與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的奇函數(shù)和偶函數(shù)...........................................................14

6.與對數(shù)函數(shù)相關(guān)的奇函數(shù)和偶函數(shù)...........................................................14

7.奇函數(shù)+常函數(shù).............................................................................14

二級結(jié)論背記08導(dǎo)數(shù)......................................................................14

1.幾個常用極限..............................................................................14

2.兩個重要的極限............................................................................15

3.函數(shù)極限的四則運算法則...................................................................15

4.常用的近似計算公式.......................................................................15

5.二階導(dǎo)的定義..............................................................................15

6.函數(shù)極值的第二判定定理...................................................................15

7.曲線的凹凸性..............................................................................16

8.曲線的拐點................................................................................16

9.利用曲線的切線進(jìn)行放縮證明不等式.........................................................17

10.利用曲線的相切曲線進(jìn)行放縮證明不等式...................................................17

11.恒成立問題常見類型.......................................................................18

12.能成立(有解)問題常見類型..............................................................18

13.端點效應(yīng)的類型...........................................................................19

14.洛必達(dá)法則：.............................................................................19

15.常見的指對放縮...........................................................................19

16.常見的三角函數(shù)放縮......................................................................19

17.其他放縮.................................................................................19

18.放縮程度綜合............................................................................20

19.常見函數(shù)的泰勒展開式....................................................................21

20.常見函數(shù)的泰勒展開式的結(jié)論..............................................................21

21.極值點偏移的含義........................................................................22

22.極值點偏移問題的一般題設(shè)形式............................................................22

23.極值點偏移的判定定理....................................................................23

24.對數(shù)平均不等式..........................................................................24

25.拉格朗日(Lagrange)中值定理............................................................25

二級結(jié)論背記09數(shù)列......................................................................26

1.等差數(shù)列任意前n項和的關(guān)系...............................................................26

2.等比數(shù)列任意前n項和的關(guān)系...............................................................26

3.數(shù)列不動點................................................................................26

4.錯位相減一萬能公式求和...................................................................27

5.通項公式的構(gòu)造...........................................................................27

二級結(jié)論背記10立體幾何.................................................................27

1.內(nèi)切球體積................................................................................27

2.三垂線法求二面角.........................................................................28

3.垂面法求二面角...........................................................................28

4.射影面積法求二面角.......................................................................28

5.三余弦定理................................................................................28

6.三射線定理................................................................................28

7.空間兩點間的距離公式.....................................................................29

8.點。到直線/距離..........................................................................29

9.異面直線間的距離.........................................................................29

10.點8到平面a的距離......................................................................29

11.異面直線上兩點距離公式..................................................................29

12.歐拉定理（歐拉公式）.......................................................................29

13.球的組合體...............................................................................30

二級結(jié)論背記11解析幾何（直線與圓+圓錐曲線）...................................30

1.點關(guān)于線對稱的一般性結(jié)論.................................................................30

2.直徑端點圓的方程.........................................................................30

3.解析幾何中的切線方程.....................................................................30

4.解析結(jié)合中的切點弦方程...................................................................30

5.相切的條件................................................................................31

6.斜率關(guān)系..................................................................................31

7.常見不等式................................................................................31

8.橢球體積..................................................................................31

9.縱坐標(biāo)之和................................................................................31

10.漸近線圍成的四邊形面積..................................................................31

11.帕斯卡定理...............................................................................31

12.斜率定值.................................................................................32

13.橢圓和雙曲線的結(jié)論匯總..................................................................32

14.補(bǔ)充結(jié)論1...............................................................................................................................................................34

15.拋物線的結(jié)論............................................................................35

16.補(bǔ)充結(jié)論2...............................................................................................................................................................36

二級結(jié)論背記12排列組合、二項式定理、概率統(tǒng)計.....................................37

1.二項式系數(shù)的性質(zhì)..........................................................................37

2.二項式系數(shù)和..............................................................................37

3.單條件排列................................................................................37

4.分配問題..................................................................................38

5.“錯位問題”及其推廣........................................................................38

6.不定方程的解的個數(shù).......................................................................39

7.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)...........................................................................39

8.方差的性質(zhì)................................................................................39

9.方差與期望的關(guān)系.........................................................................39

10.正態(tài)分布密度函數(shù)........................................................................39

二級結(jié)論背記01集合

1.德摩根公式

Cu（znB）=（c/）u（c㈤

Cu（/U8）=（q/）n（c*）

2.容斥定理之集合中元素個數(shù)

card（4U5）=card（4）+card（5）-card（400

cardUBU。）=card（4）+card（B）+card（C）-card（4Cl5）-cardDC）

-card（5DC）+cardPl5DC）

二級結(jié)論背記02復(fù)數(shù)

1.復(fù)數(shù)的模

已知％=a+bi(a,beR),z2=c+di(c,d6即且匕之+/￡()),

〃(c2+d2

則五-N-G+w0)2222

㈤一后二()’|z)-z2|=|zj-|z2|=y/a+b-yjc+d

Z2

二級結(jié)論背記03平面向量

i.爪子定理

形如AD=xAB+yZC“爪”字型圖及性質(zhì):

⑴己知AB,AC為不共線的兩個向量,則對于向量AD,必存在x,y，使得

AD=xAB+yAC。則B,C,D三點共線ox+y=1

當(dāng)0<x+y<l,則。與Z位于8c同側(cè)，且。位于4與8c之間

當(dāng)x+y>l,則。與4位于8c兩側(cè)

x+y=l時，當(dāng)x>0,y>0,則。在線段8c上；當(dāng)孫<0,則。在線段8C延長線上

（2）已知。在線段8c上,且忸必：|。必=加：〃，則詬=‘一方+“一%

m+nm+n

2.爪平面向量的系數(shù)和（等和線）（等值線）

如圖，P為AA0B所在平面上一點，過0作直線///4B,由平面向量基本定理知:

存在X/EK,使得OP=X。/+yQ8

A

下面根據(jù)點P的位置分幾種情況來考慮系數(shù)和x+y的值

①若Pe/時，則射線0P與/無交點，由////B知，存在實數(shù)2,使得麗=4方

AB=OB-OA,所以。尸=208—20/,于是x+y=X-/i=0

②若Pe/時，

(i)如圖1,當(dāng)P在/右側(cè)時，過尸作C0//48,交射線0408于C,。兩點，則

△OCD?AOAB,不妨設(shè)NOCD與AOAB的相似比為k

由尸,C,。三點共線可知：存在NeR使得：

0P=WC+(l-A)0D=kAdA+k(l-A)dB

所以x+y=左幾+無(1-X)=左

(ii)當(dāng)尸在/左側(cè)時，射線OP的反向延長線與48有交點，如圖1作尸關(guān)于。的對稱點P,由(i)

的分析知：存在存在4eR使得：

OP'=20C+(l-A)0D=kA0A+(l-A)0B

所以而=_左義厲+_(1_X)礪

于是x+y=-kA+-^(1-2)=-k

綜合上面的討論可知：圖中方用力,礪線性表示時，其系數(shù)和x+y只與兩三角形的相似比有關(guān)。

我們知道相似比可以通過對應(yīng)高線、中線、角平分線、截線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑之比來刻畫。

因為三角形的高線相對比較容易把握，我們不妨用高線來刻畫相似比，在圖中，過O作48邊的垂線

10P'I

設(shè)點尸在/'上的射影為P,直線/'交直線48于點耳，則|刈=^^(左的符號由點尸的位置確定)，因此

只需求出|0尸'|的范圍便知x+y的范圍

3.極化恒等式

_廠(a+b)2-(a-bY

a.b—

4

恒等式右邊有很直觀的幾何意義:

向量的數(shù)量積可以表示為以這兩個向量為鄰邊的平行四邊形的，，和對角線，，與，，差對角線，，平方差的3

恒等式的作用在于向量的線性運算與數(shù)量積之間的聯(lián)系

如圖在平行四邊形ABCD中，AB=a,AD=b

則展…+加)2"通)2

4

在上述圖形中設(shè)平行四邊形ABCD對角線交于M點，則對于三角形來說:

產(chǎn)苧

4.奔馳定理

如圖，已知尸為“8C內(nèi)一點，則有S△詠+.赤+?灰

由于這個定理對應(yīng)的圖象和奔馳車的標(biāo)志很相似，我們把它稱為“奔馳定理”.

(1)奔馳定理的證明

如圖：延長。4與8c邊相交于點。

BD_S“BD_S&BOD__S&ABD-S&BOD_S&AOB

DCS-CDS&CODSACD—S&CODS&AOC

—?DC—?BD―-

0D=——0B+——0C

BCBC

e____e____

__0B+^AOBQQ

C_i_VVc

Q"OCT口4AOB口4AoeT°AAOB

..OD_SBOD_S(X)D_SBOD+ScOD_SaBOC

SBOA^COASSAAOB

°NS18cM+COAS“0C+

—?S—?

0D=-----——OA

C_Lc

Q"OC丁°AAOB

c___c___c___k

.-.-----OA=OB+Moc

C_LQC_i_VC_i_C

Q"OCT口&AOB°"OCTQ"OB3Aoe丁口AAOB

二.SeOA+S,OB+SACR，OC-0

△DC/CAAAOCCiC^AUD

(2)奔馳定理的推論及四心問題

推論0是AABC內(nèi)的一點，且x-OA+yOB+zOC=0,則S^BOC:S^COA:S^AOB=x:y:z

有此定理可得三角形四心向量式

(1)三角形的重心：三角形三條中線的交點叫做三角形的重心，重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距

離之比為2：1.

(2)三角形的垂心：三角形三邊上的高的交點叫做三角形的垂心，垂心和頂點的連線與對邊垂直.

(3)三角形的內(nèi)心：三角形三條內(nèi)角平分線的交點叫做三角形的內(nèi)心，也就是內(nèi)切圓的圓心，三角形的內(nèi)

心到三邊的距離相等，都等于內(nèi)切圓半徑r.

(4)三角形的外心：三角形三條邊的垂直平分線的交點叫做三角形的外心，也就是三角形外接圓的圓心,

它到三角形三個頂點的距離相等.

奔馳定理對于利用平面向量解決平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關(guān)的問題，有著

決定性的基石作用.

已知點。在08C內(nèi)部，有以下四個推論：

①若。為"3C的重心，則方+無+歷=6；

②若。為“3C的外心，則sin2a03+sin25?赤+sin2c-反1=6;或

③若。為AJBC的內(nèi)心，則..次+6?赤+c?雙=6;備注：若。為“3C的內(nèi)心，則

sin/京+sin8?礪+sinC灰=6也對.

④若。為"BC的垂心，貝！Jtan/?厲+tan氏赤+tanC-0?=6，或而?礪=礪?歷=灰1?次

二級結(jié)論背記04不等式與基本不等式

1.基本不等式鏈

告〈）〈一〈尸

--1--

ab

em,nemenm+n

拓展?膽〉〃n時-u,----+--'->----~--->e2

2m—n

2.權(quán)方和不等式的二維形式

若a,b,x,y>Q則—+—+當(dāng)且僅當(dāng)-=-時取等.

xyx+yxy

（注：熟練掌握權(quán)方和不等式的初級應(yīng)用，足以解決高考中的這類型最值問題的秒殺）

3.糖水不等式定理

b+mh

若a>b>0,m>0,則一定有-~->-

a+ma

通俗的理解：就是a克的不飽和糖水里含有b克糖，往糖水里面加入m克糖,則糖水更甜;

4.糖水不等式的倒數(shù)形式：

aa+m

設(shè)a>b>0,m>0,則有：2〉竺竺

bb+m

5.對數(shù)型糖水不等式

⑴設(shè)〃eN+，且〃>1,則有l(wèi)og?+1n<log?+2(?+l)

⑵設(shè)a>b〉l,m〉0,則有l(wèi)ogflZ?<logfl+m(Z7+m)

(3)上式的倒數(shù)形式：設(shè)a>b>l,m>0,則有l(wèi)og；,a>log^(a+m)

二級結(jié)論背記05三角函數(shù)與三角恒等變換

1.常見三角不等式

(1)若工￡,貝|sinx<x<tanx.

(2)若XG，貝ijl<sinx+cosxV力.

sinx|+|cosx|>l

(3)

2.半角公式

al-cosa

(l)sin一=±

22

aI+cosa

(2)cos-=±

2

a1-cosasina1-cosa

(3)tan—=±

1+cosa1+cosasina

a

以上稱之為半角公式,符號由-所在象限決定.

2

3.萬能公式

2tan—I-tanI2—2tan—

.22

smx=----------cosx--------------tanx=----------

I+tan一I+tan2—1-tan2—

222

4.和差化積與積化和差公式

a-B

sin。+sin/?=2sin--------cos---------

22

.a-B

sina—sin/?=2cos------sm-------

22

a+0a-B

cosa+cos°=2cos--------cos---------

22

.a-B

cosa-cosP=2sin-------sin.......-

22

2sinAcosB=sin(/+5)+sin(4—B)

2cosAcosB=cos(A+5)+cos(A-B)

2sinAsinB=cos(4-B)-cos(A+B)

二級結(jié)論背記06解三角形

i.常見三角恒等式

在任意△4SC內(nèi)，都有taiL4+tan5+tanC=taiL4-tan5-tanC

推論：在△4SC內(nèi)，若taiL4+tan5+tanCv0,則△45C為鈍角三角形

2.常見平面幾何結(jié)論

平行四邊形對角線平方之和等于四條邊平方之和

3.三角形中常見不等式

在銳角三角形中sin/+sin5+sinC>cosA+cosB+cosC

4.內(nèi)切圓半徑

在Rt448C中，。為直角，內(nèi)角4B,C所對的邊分別是a,b,c,則△NBC的內(nèi)切圓半徑為巴匕

2

5.海倫-秦九韶公式

三角形的三邊分別是a、b、c,

則三角形的面積為S=?(p-a)(p-b)(p-c)

O—I—h—

其中p二,這個公式就是海倫公式，為古希臘的幾何學(xué)家海倫所發(fā)現(xiàn)并證明。

2

我國南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三邊求三角形面積的秦九韶公式：

a1+b2-c2

6.海倫-秦九韶公式推廣

已知三角形三邊X,乃Z,求面積可用下述方法(一些情況下比海倫公式更實用，如J萬，V28,V29)

A+B=x~

B+C=y2

C+A=z2

2S=y/A-B+B-C+C-A

7.三倍角公式

sin3a=3sina—4sin3a,

cos3a=4cos2a-3cosa

8.射影定理

a=bcosC+ccosB,6=acosC+ccosN,

9.角平分線定理

(1)在AA8C中，4D為N54C的角平分線,

BDCD

c,NBAC

28xcxcos--------

(2)AD=-----------------2_

b+c

(3)AD~=ABxAC-BDxCD(庫斯頓定理)

4B_S、ABD

(4)

10.張角定理

sin0sintz_sin(a+/3)

ABAC~-AD

11.倍角定理

在A/BC中，三個內(nèi)角4B、。的對邊分別為a、b、c,

⑴如果N=25,則有:X=〃+秘

(2)如果C=24,則有:c?=a2+ab

(3)如果5=2C,則有:b2=c2+ac

倍角定理的逆運用

在A/BC中，三個內(nèi)角/、B、C的對邊分別為a、b、c,

⑴如果/=A?+bc,則有:N=2B0

(2)如果c1-a1+ab，則有:C=2A。

(3)如果〃=0?+℃,則有:3=2C。

12.中線長定理

40為8c的中線，則中線定理:4?2+2。2=2(402+。。2)

證明：

在△48D和AZOC中，用余弦定理有：

'AD?+BD?-mAD2+DC2-AC2

<2ADBD+2ADDC-AB2+AC2=2(AD2+DC2)

BD=DC

13.三角恒等式

在ZU5C中，

ABC

@sin+sinS+sinC=4cos-cos-cos一；

222

.A.B.C

@cosA+cosB+cosC=1+4sin-sin-sin一；

222

(3)sin2A+sin2B+sin2C=2+2cosAcosBcosC；

④cos2A+cos2B+cos2C=1-2cosAcosBcosC;

zpx.24.2B.2C1..A.B.C

@sm——I-sin——I-sin-=I-2sin-sin-sin一；

222222

⑥cos2-+cos2-+cos2-=2+2sin-sin-sin-；

222222

⑦cot4?cot5+cot24?cotC+cot5-cotC=I；

BCABC

+cot——I-cot——=cot—cot——cot——

⑧￡22222

4BBCCA

(9)tan—tan—Ftan—tan—卜tan—tan——1；

222222

二級結(jié)論背記07函數(shù)的基本性質(zhì)

1.周期性(差為常數(shù)有周期)

①若/(x+a)=/(x),則/(x)的周期為：T=\a\

②若/(x+a)=/(x+b),則/(x)的周期為：T=\a-b\

③若/(x+a)=—/(x),則/(x)的周期為：T=\2a\(周期擴(kuò)倍問題)

④若/(x+a)=±—1，則/(x)的周期為：T=|2a|(周期擴(kuò)倍問題)

J\x)

2.對稱性(和為常數(shù)有對稱軸)

(1)軸對稱

①若f(x+a)=/(-X),則/(x)的對稱軸為x=~|

②若/(x+a)=/(—x+則/(x)的對稱軸為x=一

(2)點對稱

①若/(x+a)=—/(—》)，則/(x)的對稱中心為g，0j

②若/(x+?)+f[-x+b)=c,則/(x)的對稱中心為(巴吆

3.周期性對稱性綜合問題

①若/(a+x)=/(a—x),f(b+x)=f(b-x),其中awb,則/(x)的周期為：T=?\a-b\

@^f(a+x)=-f(a-x),f(b+x)=-f(b-x),其中"b,則/(x)的周期為：

T=2\a-b\

③若/(a+x)=/(a-x),f(b+x)=-f(b-x),其中awb,則/(x)的周期為：

T=4\a-b\

4.奇偶性對稱性綜合問題

①已知/(x)為偶函數(shù)，/(x+a)為奇函數(shù)，則/(x)的周期為：7=4時

②已知/(x)為奇函數(shù)，/(x+a)為偶函數(shù)，則/(x)的周期為：7=4時

5.與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的奇函數(shù)和偶函數(shù)

/(x)=ax-￥a~x,(Q>0,且awl)為偶函數(shù)，

f(x)=ax-a~x,(Q>0,且awl)為奇函數(shù)

/(%)=乙二和/(》)=*“，(?>0,且a/1)為其定義域上的奇函數(shù)

ax+1ax-1

2?

/(x)=l---—和/(x)=l+1—,(a>0,且awl)為其定義域上的奇函數(shù)

a+1a-1

/(幻=加為偶函數(shù)

6.與對數(shù)函數(shù)相關(guān)的奇函數(shù)和偶函數(shù)

/(x)=log,(Jl+b。?土bx)，(a>0且awl)為奇函數(shù)，

b±ex

f(X)=log。亡一，(a>0且a/1)為奇函數(shù)

b+cx

7.奇函數(shù)+常函數(shù)

在定義域內(nèi)，若尸(x)=/(x)+Z,其中/(x)為奇函數(shù)，Z為常數(shù)，有/⑷+/(—4)=22

即/■)+/(—。)=2倍常數(shù)

二級結(jié)論背記08導(dǎo)數(shù)

1.幾個常用極限

(1)lim—=0,lima〃=0(|tz|<1)；

ns幾n—>oo

(2)limx=x。，lini———.

%-%o%XXQ

兩個重要的極限

smx

(1)hm----=1；

3x

(2)liml1+-I=e(e=2.718281845...).

18(x)

3.函數(shù)極限的四則運算法則

若limf{x}=a,limg(x)=b,則

(l)lim[/(x)±g(x)]=a±Z>；

Xf尤0」

(3)lim

x—>x

0奈

4.常用的近似計算公式

(當(dāng)|x|足夠小時)

⑴J1+x?1+—x;Vl+x?1+—X;

2n

(2)(1+x)ap1+ax(aGR)；——?1-x；

1+x

(3)e"?1+x；

⑷/“(l+x)ax；

(5)sinx?x(x為弧度)；

(6)tanx?x(x為弧度)；

5.二階導(dǎo)的定義

定義1：若函數(shù)/(X)的導(dǎo)函數(shù)/'(X)在點X=Xo處可導(dǎo)，則稱/(X)在點X=/的導(dǎo)數(shù)為/(X)在點

X=Xo的二階導(dǎo)數(shù)，記作f"(x0),同時稱/(X)在點x=/為二階可導(dǎo).

定義2:若/(x)在區(qū)間M上每一點都二階可導(dǎo)，則得到一個定義在M上的二階可導(dǎo)函數(shù)，記作

/(x),xeM,xel

6.函數(shù)極值的第二判定定理

若/(x)在》=/附近有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)/(x),且/(X。)=0J"(X。)H0

(1)若/1"(%0)<0,則/(x)在點5處取極大值；

(2)若/"(x0)〉0,則/(x)在點/處取極小值

7.曲線的凹凸性

設(shè)函數(shù)y=/(%)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，如果對應(yīng)的曲線段位于其每一點的切線的上方，則稱曲線在

(a,6)內(nèi)是凹的，如果對應(yīng)的曲線段位于其每一點的切線的下方，則稱曲線在(a,6)內(nèi)是凸的。從圖象上來

看，曲線段向上彎曲是凹的，曲線段向下彎曲是凸的。

設(shè)函數(shù)j=/(%)在(。,6)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，如果在他/)內(nèi)那么對應(yīng)的曲線在(/6)

內(nèi)是凹的，如果在(。力))內(nèi)/，!(xo)<°>那么對應(yīng)的曲線在Qb)內(nèi)是凸的設(shè)j=/(x)在區(qū)間

M上連續(xù)，如果對M上任意兩點玉,々，恒有/[七，<]/(%)+/(》2)]

則稱y=/(x)在M上的圖形是凹的，簡稱為凹弧；

如果恒有宥]>g[/(xJ+/(X2)]

則稱y=f(x)在M上的圖形是凸的，或簡稱為凸弧。

馬函數(shù)

8.曲線的拐點

n

曲線上凸部和凹部的分界點叫做拐點。因此拐點一定是使/(xo)=o的點，但是使r(xo)=o的點不

一定都是拐點。

9.利用曲線的切線進(jìn)行放縮證明不等式

設(shè)了=6工上任一點尸的橫坐標(biāo)為根，則過該點的切線方程為y-e"=e"(x-5),即

y=e"'(x+l)-ffw"',由此可得與e'有關(guān)的不等式：e">em(x+l)-mem,其中xeR,meR,等號當(dāng)且

僅當(dāng)x=〃z時成立.特別地，當(dāng)機(jī)=0時，有e'21+x；當(dāng)初=1時，有e*2ex.

設(shè)了=lnx上任一點。的橫坐標(biāo)為〃，則過該點的切線方程為y-hi"='x-〃)，BPy=—x-1+lnn,

nn

由此可得與Inx有關(guān)的不等式：Inx^Lx-l+ln”，其中x>0,n>0,等號當(dāng)且僅當(dāng)x=〃時成立.特別

n

地，當(dāng)〃=1時，有In無Vx-l；當(dāng)〃=e時，Wlnx<—x.

e

利用切線進(jìn)行放縮，能實現(xiàn)以直代曲，化超越函數(shù)為一次函數(shù).

10.利用曲線的相切曲線進(jìn)行放縮證明不等式

綜合上述兩種生成，我們可得到下列與e'、Inx有關(guān)的常用不等式:

與e，有關(guān)的常用不等式：

(1)>1+x(xeR)；

(2)eA>ex(xeR).

與Inx有關(guān)的常用不等式：

Y—I

(1)--<lnx<x-l(x>0)；

x

(2)WlnxW-x(x>0)；

exe

/、2(x-l)、、

(3)lnx<-------(z0<x<1),lnx>------