2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：導(dǎo)數(shù)的概念、幾何意義及運(yùn)算（含答案）

2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)第四章元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第四章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念、幾何意義及運(yùn)算

課標(biāo)解讀考向預(yù)測

了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，能通過函數(shù)圖象直觀理

1.從近三年高考情況來看，本節(jié)是高考

解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

中的必考內(nèi)容.預(yù)計(jì)2025年高考會(huì)

.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)（為常數(shù)），

2y=ccy=x,y以客觀題的形式考查導(dǎo)數(shù)的定義、求

=f,y—x3,y=~,y=5的導(dǎo)數(shù).曲線的切線方程.導(dǎo)數(shù)的幾何意義也

可能會(huì)作為解答題中的一問進(jìn)行考

3.能利用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)

查，試題難度屬中、低檔.

數(shù)，會(huì)求簡單復(fù)合函數(shù)（限于形如八辦+6））的導(dǎo)數(shù).

必備知識——強(qiáng)基礎(chǔ)

知識梳理

1.平均變化率

對于函數(shù)尸於），把比值拜即答=畫'刈+然’尤°）叫做函數(shù)y=?x）從xo到xo+Ax的平

均變化率.

2.瞬時(shí)速度

一般地，如果物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律可以用函數(shù)s=s⑺來描述，那么，物體在時(shí)刻r的瞬時(shí)速度v

就是物體在/到r+Ar這段時(shí)間內(nèi)，當(dāng)。無限趨近于0時(shí)，器無限趨近的常數(shù).

3.瞬時(shí)變化率

limlim八出十八防一八日）

定義式

坎-0AX-AX-O

實(shí)質(zhì)瞬時(shí)變化率是當(dāng)自變量的改變量趨近于0時(shí)，平均變化率趨近的值

作用刻畫函數(shù)在某一點(diǎn)處變化的快慢

4.導(dǎo)數(shù)的概念

一般地，函數(shù)產(chǎn)危）在X=xo處的瞬時(shí)變化率是黑）光=螞加°+黑―用嗎我們稱它為函

數(shù)y=#%)在x=xo處的導(dǎo)數(shù)，記作位1/6勾)或畫Iy'lx=xO,即/(xo)=Ax-O八；-Ax-O

/xo+AX)-/(xo)

Ax.

注意：函數(shù)y=兀0在x=xo處的導(dǎo)數(shù)是y=/(x)在x=xo處的瞬時(shí)變化率.

5.導(dǎo)函數(shù)的概念

如果函數(shù)>=兀0在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一點(diǎn)都是可導(dǎo)的，則稱Hx)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo).這樣,

對開區(qū)間(a,6)內(nèi)的每一個(gè)值x,都對應(yīng)一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)〃x),于是在區(qū)間(a,6)內(nèi)〃x)構(gòu)成

一個(gè)新的函數(shù)，我們把這個(gè)函數(shù)稱為函數(shù)y=Ax)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù))，記為了(無)或y,即/(尤)

=尸畫曾H黑一山

6.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)y=/(x)在x=xo處的導(dǎo)數(shù)/(⑹，就是曲線y=/(x)在點(diǎn)(Xo，/to))處的畫切線的斜率心,

即fe)=l5吊尸(xo).

7.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

函數(shù)導(dǎo)數(shù)

y(x)=c(c為常數(shù))/?=o

f(x)=xa(a€R,且aWO)f(x)=axa~1

fix)=sinxf(x)=cosx

/(x)=cosxf(x)=—siwc

"%)=優(yōu)(〃>0,且aWl)f(x)=ax\na

危)=e"f(.x)=ex

~~logqX(4>0,且dW1)了⑴-xlna

段)=lnxf(x)=x

8.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

⑴孫)土g(切』/(x)土g，(x).

(2)[/(x)g(尤)丫=/(尤)g(_r)+凡x)g<x).

「危)~|/(x)g(x)~fix)g\x)/

⑶貴上1;(岸%(加。)?

9.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

一般地，對于由函數(shù)y=/(〃)和〃=g(x)復(fù)合而成的函數(shù)y=/(g(x)),它的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y=/(〃)，u

=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為力'=畫她￡，即y對X的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與〃對無的導(dǎo)數(shù)

的乘積.

常用

1.奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù).

2.求曲線y=/(x)的切線方程的類型及方法

(1)已知切點(diǎn)尸(xo,刃)，求y=/U)在點(diǎn)P處的切線方程：求出切線的斜率〃xo),由點(diǎn)斜式寫

出方程.

(2)已知切線的斜率為比求y=#x)的切線方程：設(shè)切點(diǎn)P(xo,加)，通過方程左=/Vo)解得加,

再由點(diǎn)斜式寫出方程.

(3)已知切線上一點(diǎn)(非切點(diǎn))，求y=/(x)的切線方程：設(shè)切點(diǎn)P(xo,加，利用導(dǎo)數(shù)求得切線斜

率了(尤。),再由斜率公式求得切線斜率，列方程(組)解得尤0,最后由點(diǎn)斜式或兩點(diǎn)式寫出方程.

(4)若曲線的切線與已知直線平行或垂直，求曲線的切線方程時(shí)，先由平行或垂直關(guān)系確定切

線的斜率比再由上=了(項(xiàng))求出切點(diǎn)坐標(biāo)P(xo,y0),最后寫出切線方程.

(5)①在點(diǎn)P處的切線即是以尸為切點(diǎn)的切線，尸一定在曲線上；

②過點(diǎn)P的切線即切線過點(diǎn)P,P不一定是切點(diǎn).因此在求過點(diǎn)P的切線方程時(shí)，應(yīng)首先檢

驗(yàn)點(diǎn)尸是否在已知曲線上.

診斷自測

1.概念辨析(正確的打“Y”，錯(cuò)誤的打“x”)

(l?(xo)是函數(shù)>=兀0在x=xo附近的平均變化率.()

(2)與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線一定是曲線的切線.()

(3?(尤0)=『(孫匹()

答案(l)x(2)x(3)x

2.小題熱身

(1)(人教A選擇性必修第二冊5.1.1T3改編)一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方程為s=5—3產(chǎn)，若該質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間

段［1,1+加］內(nèi)相應(yīng)的平均速度為一3。一6,則該質(zhì)點(diǎn)在/=1時(shí)的瞬時(shí)速度是()

A.-3B.3

C.6D.—6

答案D

(2)設(shè)y(x)=S+ln2的導(dǎo)函數(shù)為/(x),則了(1)的值為()

A.0B.e

答案D

(3)(人教A選擇性必修第二冊習(xí)題5.2T3改編)已知函數(shù)/U)=x(2024+lnx),若/(勾)=2025,

則須)=()

A.e2B.1

C.In2D.e

答案B

（4）（人教A選擇性必修第二冊5.2.1練習(xí)T3改編）余弦曲線y=cos尤在點(diǎn)俘，0）處的切線方程

為.

答案y=~x+^

解析因?yàn)槭琧osx,則了=—sinx,可得曲線產(chǎn)cosX在點(diǎn)0處的切線斜率為2=—1，

則曲線尸cosx在點(diǎn)650）處的切線方程為尸一

（5）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

①y=2'+log2X;②丁=94；

③y=(3x+l)21n(3%)；@y=ye~3x.

解①曠=2a2+焉?

(%3-])'sinx_(siiix)'(x3-1)

②尸

sin2x

3fsim:—cosxlx3-1)

sin2x

③y'=[(3x+l)2Rn(3尤)+(3*+1)2.

,,(3x+l)2

[In(3x)]'=6(3x+l>ln(3x)+-~--.

@y'=(3)ef+3%ef)'=3*efin3-3-3Ae-3jc.

考點(diǎn)探究——提素養(yǎng)

考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

例1（1）（2024?江蘇連云港一中高三上月考）已知函數(shù)五x）的導(dǎo)函數(shù)為了（無），且了（l）=a,螞

川）嬰"）=i則實(shí)數(shù)。的值為（）

A.12B.一；

C.1D.2

答案D

葩杵由所土狙lim犬1）一八1+&）HimAl+^）-XD1濟(jì)“1?林

斛析由題思，得-----2AX-------=-5叢-0--------晟-----=~2a,所以一14=1一。，解

得。=2.故選D.

(2)(多選)下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()

A.若y=cos*則y=_

B.若y=siwc2,則yr=2xcosx1

C.若y=cos5x,貝Usin5x

D.y=2xsin2x,貝！Jy'=xsin2x

答案ACD

解析對于A,y=cos-,貝Iy=/sin},故A錯(cuò)誤；對于B,y=siiu2,貝！Iy=2xcosf,故B

正確；對于C,y=cos5x,則y=—5sin5x,故C錯(cuò)誤；對于D,y=5sin2x,則y=]sin2x

+%cos2x,故D錯(cuò)誤.故選ACD.

【通性通法】

1.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)y=/a)在點(diǎn)xo處導(dǎo)數(shù)的方法

(1)求函數(shù)的增量Ay=/S)+Ax)-/(M)).

(2)求平均變化率會(huì)=/°+黑一八加

⑶得導(dǎo)數(shù)/(xo)=E與普，簡記作：一差、二比、三極限.

2.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)值的區(qū)別與聯(lián)系

導(dǎo)數(shù)是原來函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，而導(dǎo)數(shù)值是導(dǎo)函數(shù)在某一點(diǎn)的函數(shù)值，導(dǎo)數(shù)值是常數(shù).

【鞏固遷移】

L(多選)下列求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算中正確的是()

A-

B.(31nxy=1

c.仔)T

D.(/cosx)'=_2xsiwc

答案AB

解析對于A,x'=\,0'=(/|)'=—/2=—相加即可，故A正確；對于B,系數(shù)不變，

只對Inx求導(dǎo)即可，即(31nx)，=*故B正確；對于C,由除法求導(dǎo)公式，得住)=&冒h=

1--Y

x,故C錯(cuò)誤；對于D,由乘法求導(dǎo)公式，得(x2cos%y=2xcosx—x2sinx,故D錯(cuò)誤.故選

AB.

2.(2023?重慶市第八中學(xué)高三適應(yīng)性月考(三))已知函數(shù)人x)的導(dǎo)數(shù)為〃x),且滿足人x)=e'—

4(0)siiu+l,則

51

答案e~+q

兀

解析因?yàn)榱?x)=e*—4(0)cosx,所以了(0)=e°—4(0)cos0,解得了(0)=；,所以＞(^)=e2—1sin^

二1

+l=e2+2.

考點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用(多考向探究)

考向1導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的圖象

例2函數(shù)1x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是()

A./⑴才⑵>0才⑶

B.7(1)</(2)</(3)<0

C.0寸⑴寸⑵勺Q)

D.了⑴才⑵才(3)>0

答案D

解析如圖，作出函數(shù)在x=l,2,3處的切線/i，l2,h，可見三條切線的斜率依次遞減,

但是都大于零，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，/(l)y(2)^(3)>0.故選D.

【通性通法】

函數(shù)式x)在X=xo處的導(dǎo)數(shù)了(X0)的幾何意義是曲線y=/U)在點(diǎn)尸(X0,必)處的切線的斜率.相

應(yīng)地，切線方程為y~yo—f(^vo)(x-xo).

【鞏固遷移】

3.函數(shù)>=危)的圖象如圖所示，下列不等關(guān)系正確的是()

A.0</(2)</(3)砧3)-/(2)

B.0</(2)</(3)-A2)</(3)

C.0寸(3)</(3)-A2)寸(2)

D.。勺⑶一八2)</(2)</(3)

答案C

解析如圖所示，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得〃2)表示切線/i的斜率任>0,八3)表示切線b

的斜率%>0,又由平均變化率的定義，可得再二孕二㈣一冷),表示割線A的斜率心，結(jié)

合圖象，可得0<依<依<而，即0勺\3)勺(3)一42)</(2).故選C.

考向2求切點(diǎn)的坐標(biāo)

例3已知曲線兀勸=/一工+3在點(diǎn)尸處的切線與直線x+2y—l=0垂直，則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為()

(1，3)B.(-1,3)

(1,3)或(一1,3)D.(1,-3)

答案C

解析設(shè)切點(diǎn)尸(xo,州)，..了(x)=3x2—1,直線x+2y—1=0的斜率為一3，.(皿)=3端一1

=2,...需=1,.,.我=±1,又切點(diǎn)P(xo，yo)在曲線y=/(x)上，.,.比二焉一尤o+3,...當(dāng)x()=l時(shí)，

yo=3；當(dāng)無o=-1時(shí)，州=3,.,.切點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(1,3)或(一1,3).

【通性通法】

已知切線方程(或斜率)求切點(diǎn)的一般思路是先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再讓導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率，從

而求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，將橫坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求出切點(diǎn)的縱坐標(biāo).

【鞏固遷移】

4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在曲線y=ln無上，且該曲線在點(diǎn)A處的切線經(jīng)過點(diǎn)(一e,

—l)(e為自然對數(shù)的底數(shù))，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是.

合案(e,1)

解析設(shè)點(diǎn)A(xo，yo),則yo=ln%o.又y=1,當(dāng)工=沏時(shí)，y，=~~^則曲線y=ln%在點(diǎn)A處的

Ix—e

切線方程為y—yo=7(x—xo),即y—lnxo=;r—1,代入點(diǎn)(一e,—1),得一1一lnxo=『一L

AOAOXO

即xolnxo=已令H(%)=xlnx,當(dāng)x€(O,1)時(shí)，H(x)<0,當(dāng)工€(1,+8)時(shí)，H(x)>0,且H'(x)

=lnx+l,當(dāng)x>l時(shí)，Hf(x)>0,"(%)單調(diào)遞增，注意到〃(e)=e,故xoln%o=e存在唯一的實(shí)

數(shù)根x()=e,此時(shí)州=1,故點(diǎn)A的坐標(biāo)為(e,1).

考向3求切線的方程

—1

例4(1)曲線y=:短在點(diǎn)(一1,—3)處的切線方程為.

答案5x-y+2=0

解析因?yàn)閥=2>+2)二號二D=7_^,所以曲線y=W在點(diǎn)(一1,—3)處的切線的斜

(1AI乙)(XI乙)JiI4

率％=5,故所求切線方程為y+3=5(x+l),即5x—y+2=0.

(2)(2022.新高考H卷)曲線y=ln|R過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為,.

答案y=%y=~ex

解析當(dāng)%>0時(shí)，y=lnx,設(shè)切點(diǎn)為(Xo，Inxo),由得丁1尸勺=5，所以切線方程為>

—lnxo=；(x—xo),又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以一lnxo=；(—%o),解得％o=e,所以切線方程為

y—l=^(x—e),即》=%;當(dāng)x<0時(shí)，y=ln(—x),設(shè)切點(diǎn)為(制，ln(一制))，由>'=5，得Vk

=勺=“，所以切線方程為y—In(―xi)=“(x—羽)，又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以一In(-xi)=((一

xi),解得為=—e,所以切線方程為y—l=」(x+e),即y=—

ec

【通性通法】

點(diǎn)P%%)為切點(diǎn),切

求曲線y=/(x)

求類線斜率為仁/(如,有

曲“在”點(diǎn)P(x0,yo)

型唯一的一條切線為曠-

線處的切線方程

加￥(珀?(4-須))

的

切若在曲線上，則

線求曲線

首

先檢要分在點(diǎn)P和過點(diǎn)

類

方

驗(yàn)

y=/(x)點(diǎn)

尸P兩種情況

型

程“過”點(diǎn)

是

否

在

二

曲

線

「(3,%)上

的切或若點(diǎn)p不在曲線上,

則要設(shè)切點(diǎn)，即

方程

“待定切點(diǎn)法”

注意：“待定切點(diǎn)法”---如果已知點(diǎn)（即，yi）不在曲線上，則設(shè)出切點(diǎn)（xo，州），解方程組

<yi~yo得切點(diǎn)（xo，yo）,進(jìn)而確定切線方程.

-----=f（xo），

［為一祀J

【鞏固遷移】

5.若經(jīng)過點(diǎn)P（2,8）作曲線y=/的切線，則切線方程為（）

A.12x—y—16=0

B.3x—y+2=0

C.12x—y+16=0或3%—y—2=0

D.12x—16=0或3x~y+2=0

答案D

解析易知點(diǎn)尸在曲線y=x3上，y=3f,當(dāng)點(diǎn)P為切點(diǎn)時(shí)，切線斜率左=12,切線方程為

12x—y—16=0.當(dāng)點(diǎn)尸不是切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為4必，州），由定義可求得切線的斜率為左=3焉.

??,點(diǎn)A在曲線上,??yo=x3,.?.高一3焉+4=0,.??(%()+1)(%。-2>=0,解得X。

=-1或的=2（舍去），.*.yo=—1,k=3,此時(shí)切線方程為y+l=3（x+l）,即3%—y+2=0.

故經(jīng)過點(diǎn)尸作曲線的切線有兩條，方程為12不一）-16=0或3x—y+2=0.故選D.

考向4求參數(shù)的值或取值范圍

例5（2023?河南鄭州高三第二次質(zhì)量預(yù)測）已知曲線y=Hnx+〃er在點(diǎn)x=l處的切線方程

為2x—y+/?=0,貝!J。=（）

A.l1B.—2

C.-3D.0

答案C

解析由題意，得y=lnx+l—加二，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，在點(diǎn)x=l處的切線斜率為

1-；=2,解得a=一e,所以切點(diǎn)為（1,-1）,代入切線方程可得2+l+b=0,解得b=—3.

故選C.

【通性通法】

1.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)的基本方法

利用切點(diǎn)的坐標(biāo)、切線的斜率、切線的方程等得到關(guān)于參數(shù)的方程（組）或者參數(shù)滿足的不等

式（組），進(jìn)而求出參數(shù)的值或取值范圍.

2.求解與導(dǎo)數(shù)的幾何意義有關(guān)問題時(shí)應(yīng)注意的兩點(diǎn)

⑴注意曲線上橫坐標(biāo)的取值范圍.

⑵謹(jǐn)記切點(diǎn)既在切線上又在曲線上.

【鞏固遷移】

6.(2022.新高考I卷)若曲線y=a+〃)e，有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是

答案(一8,—4)U(0,+°°)

解析因?yàn)閥=(x+〃)e\所以)/=(%+。+1貯.設(shè)切點(diǎn)為A(xo,(xo+?)exo),O為坐標(biāo)原點(diǎn)，依

(陽)+。)y0

題意得，切線斜率心4=(乂)+〃+1把*。=--------,化簡，得焉+〃%()—〃=0.因?yàn)榍€y=(x+

■X。

。九工有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，所以關(guān)于xo的方程焉+辦o—a=0有兩個(gè)不同的根，所以/

=/+4〃>0,解得—4或〃>0,所以。的取值范圍是(一8,—4)U(0,+°°).

考點(diǎn)三兩曲線的公切線問題

例6設(shè)曲線y=lnx與y=(x+〃)2有一條斜率為1的公切線，則〃=()

A.i1B.-1

CiD3

J44

答案B

解析因?yàn)閥=lnx,所以_/=(，又因?yàn)榍芯€的斜率為1,所以y=F=l,解得x=l,y=0,

所以切線方程為y=x—1.因?yàn)閥=(x+a)2,所以y，=2x+2a=l,解得x=/—a，代入切線方

程得y=-。，再將6一°'一3一°)代入y=a+")2，解得a=—*故選B.

【通性通法】

解決兩曲線的公切線問題的兩種方法

⑴利用其中一曲線在某點(diǎn)處的切線與另一曲線相切，列出關(guān)系式求解.

⑵設(shè)公切線/在曲線y=/(x)上的切點(diǎn)Pi(xi，人xi)),在曲線y=g(x)上的切點(diǎn)P2Q2,g(x2)),則

皿、“、/(X1)—g(X2)

了(無l)=g，(X2)=

42

【鞏固遷移】

7.(2023?江西南昌模擬)已知曲線y=x+lnx在點(diǎn)(1,1)處的切線與曲線丁=加+(〃+2)%+1

相切，貝U4=()

A.4B.8

C.2D.1

答案B

解析y=x+lnx的導(dǎo)數(shù)為y=l+p曲線y=x+lnx在x=l處的切線斜率k=2,則曲線y

=x+lnx在x=l處的切線方程為y—l=2(x—1),即y=2x—l.由于切線與曲線y=ax2+(a+

[y=ax1+（a+2）＞x+1'

2）x+l相切，聯(lián)立J得〃/+辦+2=0,又兩曲線相切有一切點(diǎn),

[y=2x—1，

所以力=4—8〃=0,解得4=8.故選B.

課時(shí)作業(yè)

基礎(chǔ)鞏固續(xù)

一、單項(xiàng)選擇題

1.（2023?遼寧撫順六校協(xié)作體高三上學(xué)期期中考試）現(xiàn)有一個(gè)圓柱形空杯子，盛液體部分的底

面半徑為2cm,高為8cm,用一個(gè)注液器向杯中注入溶液，已知注液器向杯中注入的溶液的

容積*單位：mL）關(guān)于時(shí)間小單位：s）的函數(shù)解析式為V="+3兀不考慮注液過程

中溶液的流失，則當(dāng)f=2時(shí)，杯中溶液上升高度的瞬時(shí)變化率為（）

A.4cln/sB.5cm/s

C.6cm/sD.7cm/s

答案C

戶戶

解析由題意，杯子的底面積為5=4兀，則溶液上升高度九=1v=十+3，所以〃'=二3?『+6/，

kJT"T"

則—=2=6cm/s.故選C.

2.（2024?湖南長沙長郡中學(xué)高三上月考（四））已知函數(shù)/（x）=2cosx—/停｝加，則/住）=（）

A空B—穌

A.3B.3

C.2D.-2

答案B

解析因?yàn)殪叮?2cosx—/侍卜皿，所以了（無）=-2sinx—f仔）cos尤，ik.—2sin^—

cos?即店）=一4一3朗所以/停）=一4過故選B.

3.（2023?全國甲卷）曲線y=壬在點(diǎn)（1，|）處的切線方程為（）

ece

A.y=~^xB.y=2^

-e?e-e?3e

C.J=4^+4D,y=]x+彳

答案C

解析設(shè)曲線丫=3在點(diǎn)(1，f)處的切線方程為y—M心一1),因?yàn)閥=后，所以尸

e(背?)2e=(x；i)2’所以左=外=1=3所以y—尹永x—I),所以曲線尸詈j在點(diǎn)(1，號

處的切線方程為尸全+1故選C.

4.(2024?河北邢臺六校聯(lián)考高三上學(xué)期第一次月考)下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是()

A.(sin5)=cosg

B.(x2sin3x)f=2xsin3x+x2cos3x

C(tag'=熹

D.[ln(2x—1)]'=云匕

答案C

解析對于A,(sing)=0,A錯(cuò)誤；對于B,(%28^3%)/=(x2),sin3x+x2(sin3x),=2xsin3.r+

3/cos3x,B錯(cuò)/；對于C,(tamO，=(五J』有=攝？C正確；對于

i2

D,[^(2%-1)](=-_rx2=-~D錯(cuò)誤.故選C.

2x—12尤一1

5.(2023?安徽六安新安中學(xué)模擬)若函數(shù)加)=ln尤尤的圖象存在斜率為2的切線，則實(shí)數(shù)°

的取值范圍是()

A.(一8,2]B.[2,+8)

C.(—8,2)D.(2,+8)

答案C

解析由題意，函數(shù)凡x)=lnx+ar的定義域?yàn)?0,+°°),且了(x)=.+cz.函數(shù)?r)=ln尤+ox

的圖象存在斜率為2的切線，即(+a=2在(0,十8)上有解，即。=2—:在(0,+8)上有解.因

為x>0,所以：>0,則一：<。，2—^<2,所以a<2,即實(shí)數(shù)。的取值范圍是(一8,2).故選C.

6.(2024?河南南陽階段考試)設(shè)點(diǎn)尸，。分別是曲線y=xer(e是自然對數(shù)的底數(shù))和直線y=x

+3上的動(dòng)點(diǎn)，則P,0兩點(diǎn)間距離的最小值為()

A近B空

A.22

(4e—1)由(4e+l)小

c-2，2

答案B

解析由題意，曲線y=xer上的動(dòng)點(diǎn)尸和直線y=x+3上的動(dòng)點(diǎn)。間的距離的最小值，即

■V1---V

曲線>=在=上與直線y=x+3平行的切線與直線y=x+3之間的距離.由y=G可得丫'=一丁，

令y=l,解得x=0.當(dāng)x=0時(shí)，y=0,點(diǎn)P(0,0),因此P,。兩點(diǎn)間距離的最小值，即為

點(diǎn)尸(0,0)到直線尸x+3的距離，dmin=^=嗜故選B.

7.已知函數(shù)直線y=kx與函數(shù)/(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍為()

A.&,B.(五，+°0)

C.(e,+°°)D.&,+8)

答案D

解析當(dāng)過原點(diǎn)的直線y=Ax與函數(shù)?x)的圖象相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為尸(相，由力>)=；&\

可得過點(diǎn)尸的切線方程為)一；”=5氣￥—根)，代入點(diǎn)(0,0)可得一去加:一品。巴解得根=1,

此時(shí)切線的斜率為;e,由函數(shù)於)的圖象可知，若直線y=kx與函數(shù)“x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),

實(shí)數(shù)上的取值范圍為(|e，+8).故選D.

8.(2023?江蘇南通模擬)已知過點(diǎn)A(m0)作曲線y=(l—x)e%的切線有且僅有1條，則。=()

A.-3B.3

C.—3或1D.3或1

答案C

%

解析設(shè)切點(diǎn)為5),(1—xo)eo),由已知得了=—xe",則切線斜率左=一刈-。，切線方程為y

一(1—%o)e*o=-xoexo(x—必)，直線過點(diǎn)A(Q,0),則一(1—%o)exo——小?0(〃一%())，化簡得看一

(〃+1)沏+1=0,切線有且僅有1條，即/=(〃+1)2—4=0,解得〃=—3或1.故選C.

二、多項(xiàng)選擇題

9.函數(shù)y=g(x)在區(qū)間［〃，切上連續(xù)，對［。，句上任意兩點(diǎn)Xl，X2(X1WX2)，g'lbg(xi"g，2)

時(shí)，我們稱函數(shù)g(x)在團(tuán)，切上“嚴(yán)格上凹”.若用導(dǎo)數(shù)的知識可以簡單地解釋為原函數(shù)的導(dǎo)函

數(shù)的導(dǎo)函數(shù)(二階導(dǎo)函數(shù))在給定區(qū)間內(nèi)恒為正，即g"(尤)>o.下列所列函數(shù)在所給定義域上“嚴(yán)

格上凹”的是()

A.y(X)=log2X(X>0)

B.犬x)=2e「+x

C.犬x)=—f+ZMxO)

D.f(x)=siiu—^(0<^<^)

答案BC

解析由題意可知，若函數(shù)在所給定義域上“嚴(yán)格上凹”，則滿足/(x)>0在定義域內(nèi)恒成立.對

于A,/(x)=log2x(x>0),則-(彳)=孱9'=一焉!<。在x>0時(shí)恒成立，故A不符合題意；

對于B,兀0=21*+刈則/。)=(-21葉1)』21工>0恒成立，故B符合題意；對于C,兀0

=-X3+2X(X<0),則/(xLC-Sr+Zyu—G無>0在x<0時(shí)恒成立，故C符合題意；對于D,

j[x)=sinx—X2(0<X<7T),則[(x)=(cosx—2xy=—sinx—2<0在0a<兀時(shí)恒成立，故D不符合題

意.故選BC.

10.已知函數(shù)人功的導(dǎo)數(shù)為了(無)，若存在尤0,使得Kxo)=/(xo),則稱X0是1X)的一個(gè)“巧值點(diǎn)”,

則下列函數(shù)中有“巧值點(diǎn)''的是()

,1

A.f(x)=x-B.

QinV

C.f(x)=\nxD.火x)=W

答案ABC

解析對于A,/(%)=2x,令，=2x,得X=0或冗=2,有“巧值點(diǎn)”；對于B,/(%)=—5,令

得x=-1,有“巧值點(diǎn)”；對于C,了(工)=；,令lnx=；,結(jié)合y=lnx,y=：的圖象,

知方程lnx=：有解，即有“巧值點(diǎn)”；對于D,/仁)=殘7令手￡=馬耳，得sin2x=2,無

解，無“巧值點(diǎn)故選ABC.

11.(2023?江蘇南京模擬)已知函數(shù)y=/(x)的圖象在點(diǎn)(1,犬1))處的切線方程是x—2y+l=0,

若g(x)=M(%)，則下列各式成立的是()

A.加)=1B./⑴=1

1c33

C.犬x)=4fD.gXl)=2

答案AD

解析對于A,由題意知，點(diǎn)(1,式1))在直線x—2y+l=0上，所以共1)=1,故A正確；對

于B,函數(shù)加)的圖象在點(diǎn)(1,加))處的切線方程是X—2y+l=0,所以了(1)=/故B錯(cuò)誤；

對于C,<x)=*+*雖然滿足人1)=1,/(1)=/但該函數(shù)只是一種特殊情況，該函數(shù)還可

以為於)=[L也滿足加)=1,f(1)=3，故C錯(cuò)誤；對于D,由題得g，(x)=/(x)+x;f(x),所

13

以8'(1)=/(1)+7(1)=1+2=1，故D正確.故選AD.

三、填空題

12.(2024?安徽亳州第一中學(xué)高三上學(xué)期第二次月考)已知函數(shù)段)=〃x—lnx,且

lim/(1+2AX)-/1-M=3；則曲線八x)在(1,犬1))處的切線方程是.

答案y=x+l

解析由媽川+2",1—口=32噌1+2,91一口=3,得了⑴=1,而了(X)=L*

所以〃=2,y(x)=2%—lnx,11)=2,所以切線方程為y—2=%—1,即y=x+l.

13.(2023?黑龍江牡丹江聯(lián)考)已知函數(shù)危)=/+"(1)111元,則/(1)=.

答案一2

解析因?yàn)槎?=f+Ml)lnx,所以/(x)=2x++々則/(1)=2+"(1),故/(1)=-2.

14.(2023?河南信陽高級中學(xué)高三上學(xué)期期末)已知函數(shù)/(%)=3怛，一1|.若存在沏，X2G(~a,

d){x\<xi，4>0),使得曲線y=/(x)在I=?,x=%2處的切線互相垂直，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

答案(In4,+°°)

I2(e^—1)'GO',x>0’

解析f(x)=<]/(x)=S]若存在xi，元2€(一〃，4)(X1<X2，〃>0),

[/(I-e,，x<0，[一產(chǎn)'1<0'

使得曲線)=火%)在X=X1，X=X2處的切線互相垂直，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，fMf(X2)=

—1,且工142,所以一〃<11<0<%2<〃，貝ge%2(—=—1,匕丸+*2=4,因?yàn)橐籥〈％i+x2<。，e

g>4，

~a<exi+x2<ea,所以〈6一。<4，解得〃>1114.故實(shí)數(shù)〃的取值范圍為(1114,+°°).

a>0,

素養(yǎng)提演

15.(2023?江蘇揚(yáng)州高郵市第一中學(xué)等2校高三上學(xué)期期末聯(lián)考)若曲線y=x3-2x1+m與曲

線y=4/+l有一條過原點(diǎn)的公切線，則根的值為.

答案8或一4罵0

解析因?yàn)檫^原點(diǎn)斜率不存在的直線為尤=0,該直線與曲線》=4/+1不相切，所以設(shè)曲線

y=4/+l過原點(diǎn)的切線的方程為產(chǎn)區(qū)，切點(diǎn)為8(必以)，則上=8必左=孑，以=4送+1,

所以入2=±；.當(dāng)X2=T時(shí)，k=4,所以直線y=4x與曲線尸始一2/+相相切，設(shè)切點(diǎn)為A(?,

2、2

%)，則為=4%i，3行一4%i=4,y\=x^—2j^+m,所以為=—g或即=2,當(dāng)乃=—1時(shí)，m=一

401-

斤，當(dāng)為=2時(shí)，m=8；當(dāng)X2=-1時(shí)，k=—4f所以直線y=-4x與曲線ynxS—Z-+zn相

切，設(shè)切點(diǎn)為。(右，丁3)，則”=-4x3，3焉一4%3=—4,y3=xj—2x^+mf滿足方程3焉一4%3

、40

=—4的解不存在，故根不存在.所以機(jī)=8或機(jī)=一力.

16.已知函數(shù)危)=+^)lnx+1—x(^>0).

⑴當(dāng)〃=1時(shí)，求曲線?x)在x=2處的切線方程；

(2)當(dāng)時(shí)，曲線加)上存在分別以4為，人為))，8(X2,兀⑵)為切點(diǎn)的兩條互相平行的切線，

求為十%2的取值范圍.

222

解(1)當(dāng)。=1時(shí)，f(x)=21nx+-—x,/2)=21n2—1,/(x)=~—1,

所以7(2)=—!即切線的斜率左=一[

所以曲線/(x)在x=2處的切線方程為y—(21n2—1)=-](x—2),

即x+2y-41n2=0.

⑵由題意知/(xi)=『(X2),e)=(。+興6T，即(a+Ol旨T=(a+設(shè)一5T，

整理得G+Od9=/系

因?yàn)閄lw%2，

所以磊我+5)=1，

所以XHX2=(X|+X2)9+J?言？=住+￡+2)舄〉

4十一

a

令g(a)=a+5，

則Ig'⑷=11F(=〃+T1)(。——1)<

因?yàn)間，(〃)>0,

所以g(〃)在［3,+8)上單調(diào)遞增，

所以g(a)2g(3)=3+；=￥，即。+：2學(xué),

缶28-812

所以正=虧，

二

a+~a3

(8)

_12

即a+~nwT5'

所以西+X2>￥，即由+尤2的取值范圍為代，+8).第二節(jié)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單

調(diào)性

課標(biāo)解讀考向預(yù)測

1.結(jié)合實(shí)例，借助幾何直

從近三年的高考情況來看，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題是必考

觀了解函數(shù)的單調(diào)性與

的一個(gè)問題，這是因?yàn)閱握{(diào)性是解決后續(xù)問題的關(guān)鍵，單調(diào)性在研

導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.

究函數(shù)圖象、比較函數(shù)值的大小、確定函數(shù)的極值與零點(diǎn)、解不等

2.能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)

式及證明不等式中起著至關(guān)重要的作用.函數(shù)單調(diào)性的討論與應(yīng)用

的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的

一直是高考考查的重點(diǎn)，而含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性的討論與應(yīng)用是

單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式

高考中的難點(diǎn).預(yù)計(jì)這一考點(diǎn)在2025年高考中仍是重點(diǎn)考點(diǎn).

函數(shù)一般不超過三次).

必備知識——強(qiáng)基礎(chǔ)

知識梳理

1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

條件恒有結(jié)論

/?>0八X)在(a,b)上叵］單調(diào)遞增

函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(。，。)上可

人x)在(a,b)上畫單調(diào)遞減

導(dǎo)

償)=0人尤)在(a,b)上是兩常數(shù)函數(shù)

2.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)y=4x)單調(diào)性的步驟

第一步，確定函數(shù)的畫定義域;

第二步，求出導(dǎo)數(shù)求幻的兩零點(diǎn);

第三步，用的零點(diǎn)將八犬)的定義域劃分為若干個(gè)區(qū)間，列表給出〃x)在各區(qū)間上的正負(fù),

由此得出函數(shù)y=Kx)在定義域內(nèi)的單調(diào)性.

常用

1.利用導(dǎo)數(shù)解決單調(diào)性問題需要注意的問題

(1)定義域優(yōu)先的原則：解決問題的過程只能在定義域內(nèi)，通過討論導(dǎo)數(shù)的符號來判斷函數(shù)的

單調(diào)區(qū)間.

(2)注意“間斷點(diǎn)”：在對函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間時(shí)，除了必須確定使導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)外，還要注意

在定義域內(nèi)的間斷點(diǎn).

2.若函數(shù)/(x)在(a,6)上單調(diào)遞增，則b)時(shí)，/(x)20恒成立；若函數(shù)兀0在(a,6)上

單調(diào)遞減，則b)時(shí)，/(x)WO恒成立.

3.若函數(shù)兀0在(a,6)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則6)時(shí)，了(x)>0有解；若函數(shù)於)在(小

b)上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則b)時(shí)，/(尤)<0有解.

診斷自測

1.概念辨析(正確的打“守’，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)如果函數(shù)1x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有/(x)=0,則兀0在此區(qū)間內(nèi)沒有單調(diào)性.()

(2)在(a,b)內(nèi)了(x)WO且了(尤)=0的根有有限個(gè)，則人尤)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減.()

(3)若函數(shù)人無)在定義域上恒有了(x)>0,則大尤)在定義域上一定單調(diào)遞增.()

答案(1W(2)4(3)x

2.小題熱身

(1)(多選)(人教A選擇性必修第二冊5.3.1例2改編)如圖是函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)>=了(無)的圖

象，則下列判斷正確的是()

A.在區(qū)間(一2,1)上兀V)單調(diào)遞增

B.在區(qū)間(2,3)上汽尤)單調(diào)遞減

C.在區(qū)間(4,5)上汽尤)單調(diào)遞增

D.在區(qū)間(3,5)上式x)單調(diào)遞減

答案BC

(2)函數(shù)負(fù)x)=xer的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(一8,1)B.(2,8)

C.(1,2)D.(0,2)

答案A

解析由人x）=去得了（%）=33,由/（x）>0,得x<l,所以危）在（一8,I）上為增函數(shù).故

選A.

（3）（人教A選擇性必修第二冊5.3.1例1改編）函數(shù)/U）=cosx—尤在（0,兀）上的單調(diào)性是（）

A.先增后減B.先減后增

C.增函數(shù)D.減函數(shù)

答案D

解析..,當(dāng)天€（0,兀）時(shí)，/（元）=-sinx—1<0,在（0,兀）上是減函數(shù).故選D.

考點(diǎn)探究提素養(yǎng)

考點(diǎn)一不含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性

例1求函數(shù)危）=e2%—e（2x+l）的單調(diào)區(qū)間.

角星f（x）=2e2x-2e=1-1）,

令/（%）=。，解得尸點(diǎn)

x,f（x）,九%）的變化如下:

(-8,01fr+°°)

X2

f(x)一0+

單調(diào)遞減-e單調(diào)遞增

所以五X）的單調(diào)遞減區(qū)間是（一8，0,單調(diào)遞增區(qū)間是6，+8）

【通性通法】

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟

注意：（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確判定導(dǎo)數(shù)的符號，易錯(cuò)點(diǎn)是忽視函數(shù)的

定義域.

⑵若所求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不止一個(gè)，這些區(qū)間之間不能用并集"U”及“或"連接，只能用

“，”“和”字隔開.

【鞏固遷移】

1.（2023?湖南長沙模擬）已知函數(shù)yCx）=2e，sinx（e是自然對數(shù)的底數(shù)），討論/U）的單調(diào)性.

解f（x）—2e'（sinx4-cosx）=2A/2ersin（x+^,

3兀7兀

由了（%）<。，解得2E+彳<1<2祈+彳（左€Z）,

兀3兀

由/（x）>0,解得2fal—~^<x<2kR+彳（左€Z）,

故於）在（2E一守，2左兀+引（％€Z）上單調(diào)遞增，在（2左兀+中，2E+牛）（％€Z）上單調(diào)遞減.

考點(diǎn)二含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性

例2已知函數(shù)加）=lnl+=：一：（〃€R,且〃