2025高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)必刷題：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

第69講直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

知識梳理

知識點(diǎn)一、直線和曲線聯(lián)立

22

(1)橢圓斗=l(a>b>0)與直線/:y=丘+相相交于AB兩點(diǎn)，設(shè)A(%,%),

ab

5(%，%)

2222222

<ah,(b+ka)x+2akmx+a2M_〃282_Q

y=kx+m

22

橢圓一+4=1(。>0方>0)與過定點(diǎn)(〃?，0)的直線/相交于A3兩點(diǎn)，設(shè)為》=h+機(jī)，

ab

[22

土—1

如此消去X,保留y,構(gòu)造的方程如下：>(?2+t-b1)y2+2b2tmy+b2^-a2b2=0

x=ty+m

注意：

①如果直線沒有過橢圓內(nèi)部一定點(diǎn)，是不能直接說明直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)的，一般都

需要擺出A>0,滿足此條件，才可以得到韋達(dá)定理的關(guān)系.

②焦點(diǎn)在y軸上的橢圓與直線的關(guān)系，雙曲線與直線的關(guān)系和上述形式類似,不在贅述.

(2)拋物線丁=2*(p>0)與直線x=?+〃z相交于A8兩點(diǎn)，設(shè)4(占，%),

B0,%)

聯(lián)立可得可=2p((y+m),A>0時(shí)，1%+為一20

[K%=-2pm

2=2

特殊地，當(dāng)直線回過焦點(diǎn)的時(shí)候，即機(jī)，y^i=-2pm=-p,xtx2=-^~■P'

因?yàn)樗麨橥◤降臅r(shí)候也滿足該式，根據(jù)此時(shí)A、8坐標(biāo)來記憶.

拋物線f=2py(p>0)與直線y=fcr+〃z相交于C、。兩點(diǎn),設(shè)C(x「％),D(x2,y2)

聯(lián)立可得X?=2,(后+〃0,△>()時(shí)，|,2

[司電=-2Pm

注意：在直線與拋物線的問題中，設(shè)直線的時(shí)候選擇形式多思考分析，往往可以降低計(jì)

算量.開口向上選擇正設(shè)；開口向右，選擇反設(shè)；注意不可完全生搬硬套，具體情況具體分

析.

總結(jié)：韋達(dá)定理連接了題干條件與方程中的參數(shù)，所以我們在處理例如向量問題，面積

問題，三點(diǎn)共線問題，角度問題等常考內(nèi)容的時(shí)候，要把題目中的核心信息，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表

達(dá)，轉(zhuǎn)化為可以使用韋達(dá)定理的形式，這也是目前考試最常考的方式.

知識點(diǎn)二、根的判別式和韋達(dá)定理

22

—r+—r=\{a>b>G)與y=kx+m聯(lián)立，兩邊同時(shí)乘上a2b2即可得到

ab

(a2k2+b2)x2+2kma2x+a2(m2-Z?2)=0,為了方便敘述，將上式簡記為+及+。=().該

式可以看成一個(gè)關(guān)于X的一元二次方程，判別式為△=4〃282(/%2+/—加2)可簡單記

4a2/72(A-m2).

22

22

同理=+與=1(。>匕>0)和尤=9+相聯(lián)立(。2+//)y2+2/加q+力2根2-ab=0,為了

ab

方便敘述，將上式簡記為Ay2+5y+C=0,\=4a2b\a2+t2b2-m2),可簡記4//(A—加2).

/與。相離oAvO;/與。相切oA=0；/與C相交oA>0.

注意：(1)由韋達(dá)定理寫出玉+%2=-0，石%2=C，注意隱含條件A>0.

AA

(2)求解時(shí)要注意題干所有的隱含條件，要符合所有的題意.

(3)如果是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，只需要把從互換位置即可.

(4)直線和雙曲線聯(lián)立結(jié)果類似，焦點(diǎn)在x軸的雙曲線，只要把匕2換成-廿即可；

焦點(diǎn)在y軸的雙曲線，把/換成-廿即可，戶換成/即可.

(5)注意二次曲線方程和二次曲線方程往往不能通過聯(lián)立消元，利用△判斷根的關(guān)系，

因?yàn)榇饲闆r下往往會有增根，根據(jù)題干的隱含條件可以舍去增根(一般為交點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的范

圍限制)，所以在遇到兩條二次曲線交點(diǎn)問題的時(shí)候，使用畫圖的方式分析，或者解方程組，

真正算出具體坐標(biāo).

知識點(diǎn)三、弦長公式

設(shè)%),N(X2,%)根據(jù)兩點(diǎn)距離公式I跖V|=-%)2+(X.

(1)若M、N在直線>=區(qū)+機(jī)上，代入化簡，得|MN|=J1+4［西一羽］.

(2)若M、N所在直線方程為x=?+:〃，代入化簡，得|ACV|=J1+產(chǎn)帆

(3)構(gòu)造直角三角形求解弦長，|MN|J尤2-八」為711.其中左為直線斜率，

|cosaIIsinaI

a為直線傾斜角.

注意：(1)上述表達(dá)式中，當(dāng)為上工0,時(shí)，mk=1.

(2)直線上任何兩點(diǎn)距離都可如上計(jì)算，不是非得直線和曲線聯(lián)立后才能用.

(3)直線和曲線聯(lián)立后化簡得到的式子記為Ax2+8x+C=0(Aw0),判別式為

A=B2-4AC,A〉。時(shí)，悅一司="（石+分）2—=3-￡）2-4。=：&廣=音,

利用求根公式推導(dǎo)也很方便，使用此方法在解題化簡的時(shí)候可以大大提高效率.

（4）直線和圓相交的時(shí)候，過圓心做直線的垂線，利用直角三角形的關(guān)系求解弦長會

更加簡單.

（5）直線如果過焦點(diǎn)可以考慮焦點(diǎn)弦公式以及焦長公式.

知識點(diǎn)四、已知弦4?的中點(diǎn)，研究鈣的斜率和方程

22

（1）鉆是橢圓1r+方=1（。＞力.0）的一條弦，中點(diǎn)則AB的斜率為

〃無0

2，

〃為

運(yùn)用點(diǎn)差法求的斜率；設(shè)4（再,％）,B（x2,y2）（x,^x2）,A,8都在橢圓上,

2_22_2

,兩式相減得為T2-%二二=o

ab

（百+%）（占一尤2）+=°

a2b1一

2

gn（^i--V2）_b\Xl+x2）_bx=_b\

2AB

（%-%）〃（%+%）ay0a2yo

22

（2）運(yùn)用類似的方法可以推出；若AB是雙曲線a-卓=1（。＞40）的弦，中點(diǎn)

M（x0,y0）,貝隈旗="；若曲線是拋物線y2=2px（p＞0）,貝痔B=2.

a%%

必考題型全歸納

題型一：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

丫2

例L（2024?全國?高三對口高考）已知橢圓C:5+y2=i的兩焦點(diǎn)為%工，點(diǎn)P（%,%）滿

足0〈耳+弁＜1,則直線乎+%y=l與橢圓C的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

22

A.0B.1C.2D.不確定，與P點(diǎn)的

位置有關(guān)

【答案】A

【解析】因?yàn)?〈與+y；＜l,所以片+2y：＜2,

fx22?

——+y=1

由，2可得（x：+2y：）f_4孫,+4-4y=0,

手+皿=1

所以△=16x；-41；+2火）（4一4M）=16^（片+2北一2）＜0,

所以直線警+為y=l與橢圓C的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為0.

故選：A.

例2.（2024?全國?高三對口高考）若直線/被圓C:/+y2=2所截的弦長不小于2,則/與

下列曲線一定有公共點(diǎn)的是（）

A.（%-1）2+y2=1B.——Fy2=1

2

C.y=x2D.x2-y2=l

【答案】B

【解析】由題意，圓C：Y+y2=2的圓心為（0,0）,半徑為

設(shè)直線方程為改+6y+c=。，直線/到圓心（0,0）的距離為d,

由弦長公式得k*所以小.

a-O+6-O+c

由點(diǎn)到直線的距離公式得,,----'<1,^c2<a2+b2.

yja2+b2

\a+c\

對于選項(xiàng)A,直線/到該圓圓心的距離為,?

7a2S

\a+c\

取〃=0,，=c=l,滿足條件，而。［=2＞1,直線與圓沒有公共點(diǎn)，故A排除;

對于選項(xiàng)B,當(dāng)萬=。時(shí)，對于直線/有x=--,c2＜a2,

a

聯(lián)立橢圓方程得y2=1一與21=L所以必有公共點(diǎn)；

a22

當(dāng)6w0時(shí)，聯(lián)立直線/與橢圓方程得（〃+2/）f+4acx+2c2-2b2=Q,

221

A=（4AC）-4僅2+2a2）（2c-2b）=862c?+幼，+i6a^>Q,

所以必有公共點(diǎn)；故B正確;

對于選項(xiàng)C,聯(lián)立直線/與拋物線方程得法2+依+c=o,

若b=0時(shí)，則awO,有解x=-￡；

a

若bwO時(shí)，△=/_4反，^a=b=c=l,則AvO,方程無解，此時(shí)無公共點(diǎn)，故C錯(cuò)

誤；

對于選項(xiàng)D,當(dāng)〃=0時(shí)，對于直線/有x=~—,c2<a2,

a

聯(lián)立雙曲線方程得:-141-1=0,

a

取。="|,則直線/：x=-p與雙曲線不存在公共點(diǎn)，故D排除.

故選：B.

2

例3.（2024?重慶?統(tǒng)考二模）已知點(diǎn)P。,2）和雙曲線C:/一q=1,過點(diǎn)尸且與雙曲線C

只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（）

A.2條B.3條C.4條D.無數(shù)條

【答案】A

2

【解析】由題意可得，雙曲線/一3=1的漸近線方程為>=±2"點(diǎn)（1,0）是雙曲線的頂

點(diǎn).

①若直線/的斜率不存在時(shí)，直線/的方程為x=l,此時(shí)，直線/與雙曲線C只有一個(gè)公共

點(diǎn)，合乎題意；

②若直線/的斜率存在，則當(dāng)直線平行于漸近線y=-2x時(shí)，直線/與雙曲線只有一個(gè)公共

點(diǎn).

若直線/的斜率為2,則直線/的方程為y=2x,此時(shí)直線/為雙曲線C的一條漸近線，不合

乎題意.

綜上所述，過點(diǎn)P（l,2）與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線/共有2條.

故選：A.

變式1.（1999?全國?高考真題）給出下列曲線方程：

①4x+2y—1=0；

②x?+y2=3；

@-+y2=1；

2

④y2=1.

2

其中與直線y=-2x-3有交點(diǎn)的所有曲線方程是（）

A.①③B.②④C.①②③D.②③④

【答案】D

【解析】直線，=一2彳-3和4x+2y-l=0的斜率都是—2

，兩直線平行，不可能有交點(diǎn)；

把直線>=-2》-3與/+_/=3聯(lián)立消去y得5*2+12*+6=0,A=144-120>0,，直線與

②中的曲線有交點(diǎn)；

把直線V=-2X-3與1+y2=l聯(lián)立消去）得9/+24X+12=0,A=24X24-18X24>0,

直線與③中的曲線有交點(diǎn)；

把直線y=-2x-3與］-y2=i聯(lián)立消去y得7/—24X-12=0,A=24x24+4x7x12>0,

直線與④中的曲線有交點(diǎn).

故選：D.

變式2.（2024.遼寧沈陽.統(tǒng)考一模）命題）：直線、=去+。與拋物線Y=2py有且僅有一個(gè)

公共點(diǎn)，命題q：直線丫=辰+6與拋物線/=2py相切，則命題p是命題q的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.非充分非必要條件

【答案】C

【解析】???拋物線爐=2處的對稱軸為y軸,

一條直線與拋物線f=2py有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則該直線與拋物線相切或者該直線與

x軸垂直，

:直線>=履+萬存在斜率，與x軸不垂直，

“直線V=履+》與拋物線爐=2py有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”等價(jià)于“直線y=kx+b與拋物線

V=2py相切”，則命題p是命題q的充要條件.

故選：C.

變式3.（2024?全國?高三專題練習(xí)）過點(diǎn)（1,2）作直線，使它與拋物線丁=4x僅有一個(gè)公共

點(diǎn)，這樣的直線有()

A.1條B.2條C.3條D.4條

【答案】B

【解析】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線x=l,代入拋物線方程可y=±2,故直線x=l與拋

物線有兩個(gè)交點(diǎn).不滿足要求，

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為y-2=上(3-1),

由,消x得，切-分-必+8=0,

當(dāng)左=0時(shí)，解得尤=l,y=2,直線y=2與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，符合題意；

當(dāng)％中0時(shí)，由△=(一4)2—4左(8—4左)=0,可得％=1,

即當(dāng)k=1時(shí)，符合題意.綜上，滿足條件的直線有2條.

故選：B.

【解題方法總結(jié)】

(1)直線與圓錐曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)的判定：通常的方法是直線與圓錐曲線方程

聯(lián)立方程消元后得到一元二次方程，其中△>();另一方面就是數(shù)形結(jié)合，如直線與雙曲線

有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，可通過判定直線的斜率與雙曲線漸近線的斜率的大小得到.

(2)直線與圓錐曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)則直線與雙曲線的一條漸近線平行，或直線與拋

物線的對稱軸平行，或直線與圓錐曲線相切.

題型二：中點(diǎn)弦問題

方向1：求中點(diǎn)弦所在直線方程問題；

22

例4.(2024?新疆伊犁?高二統(tǒng)考期末)過橢圓±+±=1內(nèi)一點(diǎn)尸CM)引一條恰好被尸點(diǎn)平

54

分的弦，則這條弦所在直線的方程是

【答案】4%+5,-9=。

22

【解析】橢圓三+上=1即4/+5/=2。，

54

設(shè)弦的兩端點(diǎn)分別為4為，乂)，B(x2,y2),則七三=1,入產(chǎn)=1,

貝I]4x；+5犬=20,4年+5代=20,

兩式作差可得：4(、-%)(而+%)=-5(%-%)(%+%)，

.4（芭+三）_4

,,占一%5（%+%）5,

直線過點(diǎn)PCM）,

，這條弦所在直線的方程是y-1=-43尤-1）,

即4x+5y—9=0.

故答案為：4尤+5y-9=0.

22

例5.（2024?重慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓C：上+匕=1,圓O：x2+y2=4,直線/與

124

圓。相切于第一象限的點(diǎn)4與橢圓C交于尸，。兩點(diǎn)，與x軸正半軸交于點(diǎn)3.若

\PB\=\QA\,則直線I的方程為.

【答案】x+y-2y/2=0

【解析】取AB中點(diǎn)M,連接ON,由于|冏=|洌，所以|刖=忸0,進(jìn)而1PMi=|隨，

設(shè)4尤0，兄），設(shè)直線上任意一點(diǎn)N（x,y）,

由于N4是圓的切線，所以O(shè)A.AN=0,所以

（*_%）%+（=_%）%=0=對）+戲=君+y=4,

<4>

4/4\九。---

令y=0,貝"=一,所以8—,0,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得M--^，4，

尤。）22

\7

2222

設(shè)P&,%,則工+支=1,迤+近=1，兩式相減可得

124124

,―尤。0二二4X]+4=]尤”，

124xx-x212%+%3%'

所以原見=_：，又％=-1-=寸，k°M±,

3kOA%七+r

Ao

%（飛）_1

所以4IyQ\3，解得x；=2,x0>0,：.X。=6,進(jìn)而為=血

%

故直線/的方程為缶+&y=4,即x+y-2后=0,

故答案為：x+y-2立=0

例6.（2024?陜西榆林?高二統(tǒng)考期末）已知48為雙曲線/一］=i上兩點(diǎn)，且線段A3的

中點(diǎn)坐標(biāo)為（-L-4）,則直線A3的斜率為.

9

【答案】:/2.25

4

【解析】設(shè)4（%,乂）,3（々,%），

=1

=1

兩式相減得（%+工2）（%一%）=（"+__y2l,

由線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,T）,

即-2（項(xiàng)-%）=巴”，

x{-x24

故答案為：49

4

變式4.（2024.全國?高二專題練習(xí)）雙曲線9/_16尸=144的一條弦的中點(diǎn)為A（8,3）,則

此弦所在的直線方程為.

【答案】3x-2y-18=0

【解析】由雙曲線的對稱性可得此弦所在的直線斜率存在，

設(shè)弦的兩端分別為8（%,%）,C（W，%）,

則有（it：；；Ij兩式相減得9（4一只）一16（弁一￡）=0,

所以9(%+々)(9-x2)-16(y1+>)(y1-y2)=0,

/、fx+x,=16

又因?yàn)橄业闹悬c(diǎn)為A（8,3）,所以［；+；=6

9（玉+工2）

故直線斜率心二3

16（%+必）2

3

則所求直線方程為>-3=9-8）,整理得3x-2y-18=0,

3x-2y-18=0

由得V-6y-15=0,

9/一16y2=144

A=（-6）2-4xlx（-15）=96>0,故該直線滿足題意,

故答案為：3x-2y-18=0

變式5.（2024.陜西寶雞.高二校聯(lián)考期末）拋物線C：產(chǎn)=6x與直線/交于A,8兩點(diǎn),

且A3的中點(diǎn)為（根,-2）,貝心的斜率為.

【答案】.3

【解析】已知AB的中點(diǎn)為（根,-2）,設(shè)A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（花,匕），（孫無），

則，可得貨一代=6（%,-百），

ox2

即（%+乂）（%一%）=6（々一玉），

%一%6

即

x2一罰

玉+兀2=2m

%+%=一4

3

所以勺=

x2一再2、

3

故答案為：.

變式6.（2024.高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線。的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線為犬=-1,直線/與

拋物線。交于M，N兩點(diǎn)，若線段MN的中點(diǎn)為（1,1）,則直線/的方程為

【答案］2%_yT=0

【解析】因?yàn)閽佄锞€。的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線為x=-1,

所以易得拋物線的方程為^=4%,

設(shè)（孫％），

因?yàn)榫€段MN的中點(diǎn)為。（1,1）,

故玉+毛=2,必+%=2,

靖=4%

則x尸無2，由

壇=4%

°°/、y,-y4-

兩式相減得犬-貨=4（玉-馬），所以上久0=二^=2,

X1~X2%+%

故直線/的方程為y—l=2（x—l）,即2x-y-1=0.

方向2：求弦中點(diǎn)的軌跡方程問題；

變式7.（2024?全國?高三專題練習(xí)）直線/與橢圓《+y2=i交于a,8兩點(diǎn)，己知直線/的

4-

斜率為1，則弦A8中點(diǎn)的軌跡方程是.

【解析】設(shè)4（小乂），*心為），線段的中點(diǎn)為M（x,y）,連接QW（。為坐標(biāo)原

￡,則—?牛=一"七屋%=1

?/V[人]?人,人

...點(diǎn)M的軌跡方程為x+4y=0.

又點(diǎn)M在橢圓內(nèi),

2

一十<1,

4

解得:一竽《竽,

故答案為:

變式8.（2024.上海浦東新?高二上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期末）已知橢圓尤2+4;/=16內(nèi)有一點(diǎn)

弦尸。過點(diǎn)A,則弦尸。中點(diǎn)/的軌跡方程是.

【答案】x2+4y2-x-4y=0

【解析】設(shè)解西,％）,。（々，必），中點(diǎn)服（蒼＞），

則［AI：3］；：，相減得（為-9）（占+%）+4（y,+%）（M-%）=0，

PQ斜率存在時(shí)，

.”一%一一+無2

,?占一/4（%+%）'

又M是尸。中點(diǎn)，且直線PQ過點(diǎn)ACU）,

所以⑥°=——比=_/2：,化簡得Y+4/_了_4y=0,

xx-x24x2yx-1

PQ斜率不存在時(shí)，方程為左=1,中點(diǎn)為N（l,0）適合上述方程.

.,.點(diǎn)Af的軌跡方程是Y+4y2-x-4y=0.

故答案為：x2+4y2-x-4y=0.

變式9.（2024.全國?高一專題練習(xí)）斜率為2的平行直線截雙曲線V-丁=1所得弦的中點(diǎn)

的軌跡方程是.

【答案】尤-2y=0（工＞亞或一氈）.

33

【解析】設(shè)直線為y=2x+相，與雙曲線交點(diǎn)為（』,%）,（%,%），

聯(lián)立雙曲線可得：3x2+4mx+m2+1=0,則A=16m2-12（m2+1）=4m2-12＞0,即機(jī)〉百

或加＜-\/3，

4m?、c2m/2mtn、

所以芭+兀2=—“，故y+%=2（%+%2）+2根=—屋，則弦中點(diǎn)為sr（一--,一~-）,

所以弦的中點(diǎn)的軌跡方程為元-2y=0（x>2叵或x<-2叵）.

33

故答案為：尤-2y=0（x>亞或天<-型）

33

變式10.（2024?全國?高三專題練習(xí)）直線/:衣-y-（。+5）=0是參數(shù)）與拋物線

/:y=（x+11的相交弦是A3,則弦的中點(diǎn)軌跡方程是.

【答案】y=2x2-7（-2<x<4）

【解析】設(shè)A（隊(duì)瞽）、3（%,%）,AB中點(diǎn)”（x,y）,

則x1+x2=2x,

I:?（x-l）-（y+5）=0,

.?./過定點(diǎn)N。,-5）,

,_y+5

一^kAB=^MN=r-

x-1

又M=（%+1）2，（1）%=（%2+1）2，⑵

（1）-⑵得:%—%=（再+1）2—（/+1）2=（%—%2）（%+4+2），

=

^AB~~~—=xx+x2+2于是y+5=2丁+2,即丁=2X2一7.

國一兀2X—1

又弦中點(diǎn)軌跡在已知拋物線內(nèi)，

1=2尤2—7

聯(lián)立<.這,占=-2,々=4

卜=（尤+1）-

故弦AB的中點(diǎn)軌跡方程是y=2x2-7（-2<x<4）

2

變式11.（2024?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓方程為爐+亍=1,過點(diǎn)"（0」）的直線,交橢

圓于點(diǎn)A、B,。是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足OP=（（OA+OB）,當(dāng)/繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)P

的軌跡方程.

【解析】直線/過點(diǎn)設(shè)其斜率為左，則/的方程為y=^+L

記A（"i）、3（々，%），

y=fcr+1

2y2化簡得，（4+廣卜2+2版一3=0,

XH-1

4

2k

x,+x=------

1?-4+F,,,8

所以3，yi+yi=kxl+l+kx2+l=^-—I

12=--4+-f-c27

于是。尸三（3+。2）=〔號'二卜〔￡-$]

一k

..X=7+e

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（X,y）,則；，消去參數(shù)上得4必+'2->=0③

當(dāng)人不存在時(shí)，A、8中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)（0,0）,也滿足方程③,

22

所以點(diǎn)P的軌跡方程為4X+y-y=0.

方向3：對稱問題

22

變式12.（2024?江蘇?高二專題練習(xí)）已知橢圓E:1+與=1（°>》>0）的焦距為2c,左右

ab

焦點(diǎn)分別為耳、F2,圓瑞：（x+c）2+y2=i與圓工：（尤_=+>=9相交,且交點(diǎn)在橢圓E

上，直線/：y=x+根與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為M,直線OM的斜率

1

73.

4

（1）求橢圓￡的方程；

（2）若〃?=1,試問E上是否存在尸、。兩點(diǎn)關(guān)于/對稱，若存在，求出直線尸。的方程，若

不存在，請說明理由.

【解析】（1）因?yàn)閳A居：（工+土+1=1與圓工：（工-?+丫2=9相交,且交點(diǎn)在橢圓因上,

所以2a=1+3,。=2,

設(shè)即%，％），AB的中點(diǎn)〃（&；,九）,

2

+1①

J1F-1

-O

22

1②

+22-1

。

2

。

+

一-

2A.21

aJIX

1上n"=l,

=>——

4a

則橢圓E的方程：—+/=i；

4.

（2）假設(shè)存在尸、。兩點(diǎn)關(guān)于/對稱，設(shè)直線尸。的方程為＞,

尸（七,%），。（為4，%）,P。中點(diǎn)"（4,〃），

y=-x+tO°

=>5f一8%/+4產(chǎn)一4=0,

八4/=4

A=64r2-20（4r-4）>0^-V5</<V5,

x+xt

3441即N

2w，

由N在/上，-1=-y+l^＞/=-^,此時(shí)方6（-正,6）,

故存在尸、。兩點(diǎn)關(guān)于/對稱，直線尸。的方程為y=-兀-

22

變式13.（2024?江蘇南通?高二統(tǒng)考期中）已知橢圓C:》+春=1伍＞匕＞0）的離心率為e,

且過點(diǎn)（l,e）和

（1）求橢圓C的方程;

⑵若橢圓C上有兩個(gè)不同點(diǎn)A,2關(guān)于直線了=尤+）對稱，求|A口.

1e2_1c2_1a2-b2_1

【解析】（1）由題意知:**?Z?2=1

Iflf_x「.?一’所以橢圓Qi

a2+1-2a2+4-1

（2）法一設(shè)4（%,%）鞏孫為）及42中點(diǎn)〃（而，幾），由題意知L=T

，+才=1，￡+賢=1，以上兩式相減得：+貨-犬=。，

可化為：:+當(dāng)一*=0即j+=0,故如"=；,

2寫-無；2x0x02

又在直線y=x+1■上，所以%=%+；,解得：x0=-l,%=-；

即加（一1,一￡|,直線AB:y+：=-（x+l）,化簡為：y=-x-|

3%+%=-2

v——x—

聯(lián)立’2整理得:6/+12X+5=0，由韋達(dá)定理知彳5

Y+2y2=2

由弦長公式得：AB=J1+式[為一%|=0J(X]+/『_4%%=3J(_2『-4x：=.

法二設(shè)直線AB:y=-x+〃z,

y=—x+m

聯(lián)立整理得：3x2—4mx+2m2—2=0

x2+2y2=2

士+馬=4等m，則中點(diǎn)MI2工n7-，Y大YIi，滿足直線方程y=x+1g,解得機(jī)=3

J\JJ/4乙

-3

所以Ai5：y=-x—

2

3fX.+x=—2

y=-x----9

聯(lián)立｛2整理得：6尤2+12X+5=0,由韋達(dá)定理知(5

爐+29=2r%2=6

222-

由弦長公式得：AB=A/1+k[%1-x21=+x2)-4X]X2=V2^(-2)4X-1=■

變式14.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)1,在橢圓C：

二+與=1（。>6>0）上，直線/：y=x+機(jī)與C交于A,8兩點(diǎn)，且線段A8的中點(diǎn)為

ab

直線的斜率為一;.

⑴求C的方程；

⑵若加=1,試問C上是否存在P,。兩點(diǎn)關(guān)于/對稱，若存在，求出P,。的坐標(biāo)，若不

存在，請說明理由.

【解析】⑴設(shè)4（）,5（孫力）,則

%+%

=2=%+%=1

k二Mf

M^AB=Lk°M

2'2%+%2玉+/2

2

+A

1.*AR,%）,3（格為）在橢圓上,22

-1

L2b2

兩式相減得靖了2?+城工=0,整理得21二±=2L±&X上①=-與

ab玉-x2xx+x2x1-x2a

A214

=-9-9

^AB'^OM-2即一不=-2貝UQ2=2Z?2

a2a

又???點(diǎn)[1整）在橢圓c，十a(chǎn)1上,貝1+瓢1

聯(lián)立解得/=4,〃=2

22

???橢圓C的方程為匕+工=1

42

（2）不存在，理由如下：

假定存在P，。兩點(diǎn)關(guān)于/：y=x+l對稱，設(shè)直線尸0與直線/的交點(diǎn)為M則N為線段產(chǎn)。

的中點(diǎn)，連接ON

vPQ^-i,則原-原2=-1，即％=一1

由（1）可得以?%=—；，貝UG=g，即直線ON:y=；x

[1「_°

y=—xx=—2

聯(lián)立方程,2,解得，

尸+1〔尸T

即N（-2,-1）

?.?q_+C?）_=m>i，則N（-2,-l）在橢圓C外

假定不成立，不存在P,。兩點(diǎn)關(guān)于/對稱

變式15.（2024?上海浦東新?高二上海南匯中學(xué)校考期中）已知曲線C的方程是

（l—a2^x2+y2+a2—l=0,其中a>0,awl,直線/的方程是y=—a.

⑴請根據(jù)a的不同取值，判斷曲線C是何種圓錐曲線；

（2）若直線/交曲線C于兩點(diǎn)M,N,且線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-2,求a的值；

（3）若a=0,試問曲線C上是否存在不同的兩點(diǎn)A,B,使得A,8關(guān)于直線/對稱，并說

明理由.

2

【解析】（1）（i-?2）x2+r+?2-i=o,即=

當(dāng)。<“<1時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在X軸上的橢圓；

當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在X軸上的雙曲線；

222

（2）設(shè)加（石,弘），N（x2,y2）,（1-a）%+/=l-a,

則（l_q2）W+y；=]_/,0_q2）x；+,；=]_/,

兩式相減得到：（1—6（為+馬）（為一%）+（%+%）（%—%）=。，

即一4（1一+5（％+當(dāng)）=0,故%+%=40（1-片），

故肱V的中點(diǎn)為卜2,20（1-1）），代入直線得到20（1-叫=^x（-2）-°，

解得a=e'或。（舍），故a=6..

（3）假設(shè)存在，直線方程為y=雙曲線方程為/-必=1,

設(shè)4（電，%），8（4％），A3中點(diǎn)為（％,%）,則后一y；=l,x：-y：=l,

兩式相減得到（毛+%4）（七一%4）-（為+，4）（，3-％）=。，

即（忍+兀4）++%）=0，%o+V^%=。，又yg=~^X「丘,

解得%0=l,y=—

此時(shí)直線A3方程為：?=-V2（x-l）-^,即y=-0x+等，

v=-\f2x+④3

.2，化簡得到Y(jié)-2x+：=0,方程無解，故不存在.

/_/=1?2

變式16.（2024?江蘇?高二假期作業(yè)）雙曲線C的離心率為更，且與橢圓三+匯=1有公

294

共焦點(diǎn).

（1）求雙曲線C的方程.

（2）雙曲線C上是否存在兩點(diǎn)A,B關(guān)于點(diǎn)（4,1）對稱？若存在，求出直線A3的方

程；若不存在，說明理由.

22_

【解析】（1）橢圓工+匕=1：a=3,5=2,。=石，

94

0=45

c下

所以雙曲線--=------=>tz=2,Z?=l,c=.

a2

c2=a2+b2

2

所以雙曲線的方程為r上-y2=l.

4

（2）畫出圖象如下圖所示，設(shè)4（%,％）,3（%2，%），

22

X1,2_1X22_i

?。，丁%_1，

兩式相減并化簡得曰于?=；，即3B：n七8=1，

所以直線A3的方程為y-l=lx（x—4）ny=x-3.

變式17.（2024?高二課時(shí)練習(xí)）已知直線/與拋物線/=8x交于A,B兩點(diǎn)，且線段A3恰

好被點(diǎn)P（2,2）平分.

（1）求直線/的方程；

（2）拋物線上是否存在點(diǎn)C和。，使得C,。關(guān)于直線/對稱?若存在，求出直線C。的方

程；若不存在，請說明理由.

【解析】（1）依題意，直線/的斜率存在，且不為0,設(shè)直線/的方程為％-2=機(jī)0-2）,

即兀=切-2根+2,

由12消去工得：V_8沖+1616=0,

U=8x

A=(-8m)2-4(16m-16)=64(m2-m+1)>0,設(shè)A4,%),5(%2,為)，則有M+%=8m，

由4機(jī)=2,得m=g,于是直線/的方程兀一2二；(丁一2),即2'-丁一2=0,

所以直線/的方程為2x—y—2=0.

(2)假設(shè)拋物線上存在點(diǎn)C,D滿足條件，由(1)設(shè)直線CD的方程為>=x+”,

I1

y=尤+72

由，一一2消去尤得：y2+16y-16?=0,有△'=256+64〃>0,解得a>T,

y2=8x

設(shè)(?區(qū),％)，。。4，%)，則%+%=T6,于是線段CZ)的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2〃+16,-8),

顯然點(diǎn)(2"+16,-8)在直線/:2x-y-2=0上，即2(2〃+16)+8-2=0,解得〃=一1上9<一4,

2

所以拋物線上不存在點(diǎn)C,D,使得C,。關(guān)于直線/對稱.

變式18.(2024.全國?高三專題練習(xí))已知拋物線C：>2=4尤的焦點(diǎn)為F,直線/：

y=2x+a與拋物線C交于A,8兩點(diǎn).

(1)若a=—1,求“E4B的面積；

(2)若拋物線C上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)M,N關(guān)于直線/對稱，求。的取值范圍.

【解析】(1)拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)為尸(1,0),

4=—1時(shí)，直線/：y=2x_l,

聯(lián)f立y-2一x-l，可得i,+iL，

設(shè)A&,%),B(X2,%),

則xx+x2=2,xxx2=-.

|AB|=A/1+F-J(無］+x)2—4卒2='s/1+4-A/4^1=A/15,

點(diǎn)F到直線l的距離距離d=,

V?Tl5

???曲的面積s=3叫*x后44.

（2）,?,點(diǎn)M,N關(guān)于直線/對稱，，直線肱V的斜率為-；，

???可設(shè)直線MN的方程為y=——x+m,

1

V=X+JTL

聯(lián)立12,整理可得爐-（4根+16口+4加2=0,

y2=4.x

由A=（4，〃+16）2-16”/>0,可得〃z>—2,

設(shè)M（%，%），Ng,y4）,則退+%=4"?+16,%+弘=-；（電+%）+2機(jī)=-8

故MN的中點(diǎn)為（2機(jī)+8,-4）,

?.?點(diǎn)M,N關(guān)于直線/對稱，，肱V的中點(diǎn)（2根+8,-4）,在直線y=2無+。上，

-4=2（2根+8）+。，得a=T"z—20,°；m>—2,a<—12.

綜上，。的取值范圍為（Y°，T2）.

方向4：斜率之積問題

2

變式19.（2024?云南昭通?高二校考期中）已知斜率為《（匕H0）的直線/與橢圓V+北=1

交于A,8兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為C,直線OC（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率為履，則左“=

（）

A.-4B.--C.--D.-16

416

【答案】D

【解