2025高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)必刷題：拋物線及其性質(zhì)（學(xué)生版）

第66講拋物線及其性質(zhì)

知識梳理

知識點一、拋物線的定義

平面內(nèi)與一個定點尸和一條定直線/(尸任。的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點

產(chǎn)叫拋物線的焦點，定直線/叫做拋物線的準線.

注：若在定義中有be/,則動點的軌跡為/的垂線，垂足為點尸.

知識點二、拋物線的方程、圖形及性質(zhì)

拋物線的標準方程有4種形式：y1=2px,y2=-2px,x2=2py,

x2=-2py(p>0),其中一次項與對稱軸一致，一次項系數(shù)的符號決定開口方向

/yky卜/

.、

圖形F)r

01FA70A

標準

y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)

方程

頂點0(0,0)

x>0,x<09j>0,

范圍y<0,XGR

yeRysRxeR

對稱軸X軸y軸

焦點%,。)F(4,0)F(0，§方(。修

離心率e=l

準線方程Lx--P---X-Ly=y=E

22-22

焦半徑

AF=xx+^-AF=-^+—AF=y+AF=-y+—

11'21

4現(xiàn)，%)222

【解題方法總結(jié)】

1、點P(x0,%)與拋物線y2=2px(p>0)的關(guān)系

(1)尸在拋物線內(nèi)(含焦點)u>y：<2pxo.

(2)P在拋物線上oy；=2p%.

(3)P在拋物線外oy；>2px0.

2、焦半徑

拋物線上的點P(x。,%)與焦點廠的距離稱為焦半徑，若y2=2px(°>0),則焦半徑

\PF\=xo+^,

3、p(p>0)的幾何意義

p為焦點下到準線/的距離，即焦準距，p越大，拋物線開口越大.

4、焦點弦

若AB為拋物線=2px(p〉0)的焦點弦，B(x2,y2),則有以下結(jié)論：

(1)%尤2=~~?

2

(2)y1y2=-p.

(3)焦點弦長公式1：\AB\=xi+x2+p9玉+々22立當(dāng)石=%時，焦點弦

取最小值2〃，即所有焦點弦中通徑最短，其長度為2P.

焦點弦長公式2：\AB\=^-(a為直線4?與對稱軸的夾角).

sina

2

(4)AAO3的面積公式：S^OB=」一(a為直線至與對稱軸的夾角).

ZArlL/D2csi?na

5、拋物線的弦

若A3為拋物線y2=2px(p>0)的任意一條弦，A&,%),&%,%)，弦的中點為

"(%，%)(%w°)，貝I

(1)弦長公式：=Jl+Z2k]—q=J1+記I，—%](后45=%W。)

⑵kAB=—

%

(3)直線A5的方程為y-%='(%-/)

%

(4)線段AS的垂直平分線方程為、—%=—比(%—%。)

P

A

6、求拋物線標準方程的焦點和準線的快速方法(公法)

4

、AA

(1)丁=4(4^0)焦點為(C,0),準線為x=-色

-44

(2)%2=4;(470)焦點為((),?),準線為白

44

如y=4/,即焦點為(0,工)，準線方程為y=-2

41616

7、參數(shù)方程

y2=2PHp>0)的參數(shù)方程為卜=2M(參數(shù)/cR)

[y=2"

8、切線方程和切點弦方程

拋物線丁=2px(p>0)的切線方程為%y=p(x+x0),(%,%)為切點

切點弦方程為%y=p(尤+毛)，點(尤0,%)在拋物線外

與中點弦平行的直線為%y=p(尤+/),此直線與拋物線相離，點(%,%)(含焦點)

是弦的中點，中點弦A8的斜率與這條直線的斜率相等，用點差法也可以得到同樣的結(jié)

果.

9、拋物線的通徑

過焦點且垂直于拋物線對稱軸的弦叫做拋物線的通徑.

對于拋物線>2=2px(p>0),由Ag,p),B(g一p),可得|AB|=2.故拋物線的通

徑長為2P.

10、弦的中點坐標與弦所在直線的斜率的關(guān)系：%=2

k

11、焦點弦的?？夹再|(zhì)

已知4占，%)、8(%,%)是過拋物線：/=2/5>0)焦點尸的弦，Af是AB的中點，/

是拋物線的準線，MN±l,N為垂足.

（1）以AB為直徑的圓必與準線/相切，以AP（或3Q為直徑的圓與y軸相切；

（2）FNLAB,FCLFD

2

P2

（3）^2=—；yxy2=-p

（4）設(shè)9）_U,。為垂足，則A、。、。三點在一條直線上

必考題型全歸納

題型一：拋物線的定義與方程

例1.（2024.福建福州.高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知點P（如2）在拋物線C：y?=4x上，則尸

到C的準線的距離為（）

A.4B.3C.2D.1

例2.（2024?四川綿陽?統(tǒng)考二模）涪江三橋又名綿陽富樂大橋，跨越了涪江和芙蓉溪，是

繼東方紅大橋、涪江二橋之后在涪江上修建的第三座大橋，于2004年國慶全線通車.大橋

的拱頂可近似地看作拋物線d=-16y的一段，若有一只鴿子站在拱頂?shù)哪硞€位置，它到拋

物線焦點的距離為10米，則鴿子到拱頂?shù)淖罡唿c的距離為（）

A.6B.2A/33C.8734D.底

例3.（2024?內(nèi)蒙古包頭.高三統(tǒng)考開學(xué)考試）拋物線C的頂點為坐標原點，焦點在無軸

上，直線x=2交C于。。兩點，C的準線交x軸于點R,若小QR,則C的方程為

（）

A.y2=4.xB.y2=6xC.y2=8xD.y2=12x

4

變式L（2024.陜西渭南.高三統(tǒng)考階段練習(xí)）拋物線＞的焦點坐標為（）

變式2.（2024?全國?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）過拋物線。：必=2刀（夕＞0）的焦點廠的直線/

交C于A8兩點，若直線/過點P（l,0）,且|AB|=8,則拋物線C的準線方程是（）

A.y=-3B.y=-2D.y=T

變式3.（2024?廣西防城港?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知點A,5在拋物線上，。為坐

標原點，若|。4|=|?？?，且AAOB的垂心恰好是此拋物線的焦點孔則直線的方程是

A.無一2=0B.九一3二0C.%—4=0D.x-5=0

變式4.（2024.四川綿陽.高三綿陽南山中學(xué)實驗學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知拋物線

E：V=2px（p>0）的焦點為/，準線為/,過E上的一點A作/的垂線，垂足為B,點

C（p,0）,AF與BC相交于點D.若|/W|=3忸C|,且AACD的面積為3亞，則E的方程為

（）

A.y=4xB.丁=4瓜

C.y~=8xD.丁=8氐

【解題方法總結(jié)】

求拋物線的標準方程的步驟為：

（1）先根據(jù)題設(shè)條件及拋物線定義判斷它為拋物線并確定焦點位置：

（2）根據(jù)題目條件列出P的方程

（3）解方程求出P,即得標準方程

題型二：拋物線的軌跡方程

例4.（2024?高三課時練習(xí)）已知點/（1,0）,直線/:x=-l,若動點P到點/和到直線/

的距離相等，則點P的軌跡方程是.

例5.（2024?全國?高三專題練習(xí)）在平面坐標系中，動點P和點〃（-3,0）、N（3,0）滿足

\MN\-\MP\+MN-而5=0,則動點P（x,y）的軌跡方程為.

例6.（2024?全國?高三專題練習(xí)）與點尸（0,-3）和直線>-3=0的距離相等的點的軌跡方程

是.

變式5.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知動點M（x,y）的坐標滿足J（龍-2『+肥=2|,

則動點M的軌跡方程為.

變式6.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知動點"（x,y）到定點尸（1,0）與定直線x=0的距離的

差為1.則動點M的軌跡方程為.

變式7.（2024?遼寧沈陽?高三沈陽二中?？茧A段練習(xí)）點4L0）,點B是無軸上的動點，線

段PB的中點E在丁軸上，且AE垂直尸3,則P點的軌跡方程為.

變式8.（2024.全國?高三專題練習(xí)）已知動圓P與定圓C：（x+2）2+產(chǎn)=1相外切，又與直

線x=l相切，那么動圓圓心P的軌跡方程是

變式9.（2024.河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）一個動圓與定圓廠:（x-3y+y2=4相外切，且與直

線/:x=-l相切，則動圓圓心的軌跡方程為.

變式10.（2024?上海?高三專題練習(xí)）已知點4（1,0）,直線/：x=-l,兩個動圓均過點A且

與/相切，其圓心分別為G、G，若動點/滿足2或=*+不，則M的軌跡方程

為.

變式11.（2024?全國?高三專題練習(xí)）己知點A（-4,4）、3（4,4）,直線AM與8”相交于點

M,且直線AM的斜率與直線的斜率之差為-2,點M的軌跡為曲線C,則曲線C的

軌跡方程為

【解題方法總結(jié)】

常見考題中，會讓我們利用圓錐曲線的定義求解點P的軌跡方程，這時候要注意把動

點尸和滿足焦點標志的定點連起來做判斷.焦點往往有以下的特征：（1）關(guān)于坐標軸對稱的

點；（2）標記為尸的點；（3）圓心；（4）題上提到的定點等等.當(dāng)看到滿足以上的標志的時

候要想到曲線的定義，把曲線和滿足焦點特征的點連起來結(jié)合曲線定義判斷.注意：在求解

軌跡方程的題中，要注意x和y的取值范圍.

題型三：與拋物線有關(guān)的距離和最值問題

例7.（2024?江蘇無錫?校聯(lián)考三模）已如P（3,3）,M是拋物線/=4x上的動點（異于頂

點），過M作圓C:（x-2>+y2=4的切線，切點為A,貝1］|阿+。0的最小值為.

例8.（2024.江蘇南通?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知點尸（4,幾）是拋物線V=4x上的動點，則

V2x0+K-%+1］的最小值為.

例9.（2024?浙江紹興?統(tǒng)考模擬預(yù)測）函數(shù)〃/）=〃--3/-4；（：+5-"--15尤2+2彳+17

的最大值為.

變式12.（2024?廣西南寧?南寧三中?？寄M預(yù)測）已知斜率為后的直線/過拋物線

）/=20武0>0）的焦點/，且與該拋物線交于A3兩點，若|AB|=8,尸為該拋物線上一點，

。為圓c：［++⑶-1）。=1上一點，則|即+1圖的最小值為.

變式13.（2024?山東濰坊?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知拋物線C:y2=16x,其焦點為RPQ是過

點尸的一條弦，定點A的坐標是（2,4）,當(dāng)|叢|+|尸尸I取最小值時，則弦P。的長是.

變式14.（2024.全國?高三專題練習(xí)）已知點M為拋物線V=2x上的動點，點N為圓

尤2+（y-4）2=5上的動點，則點M到y(tǒng)軸的距離與點M到點N的距離之和最小值為..

變式15.（2024?四川南充.高三四川省南充高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）過點（1,0）的直線/交拋

物線丁=4尤于A2兩點，點C的坐標為（3,-1）.設(shè)線段的中點為“，則21Mq+|AB|的最

小值為.

變式16.（2024?遼寧大連?育明高中校考一模）已知？（五,人）是拋物線y2=4x上一點，則

y/5x0+|2%-%+13］的最小值為.

變式17.（2024.江西南昌?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知拋物線V=4x的焦點為尸，過歹的直

線交拋物線于A,8兩點，貝ij|/S|+4|班j的最小值是.

變式18.（2024?上海嘉定?上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)校考三模）已知點P是拋物線J=8x上的

,,PO

動點，。是圓（x-2）~+J=1上的動點，則不■的最大值是.

變式19.（2024.江西?校聯(lián)考模擬預(yù)測）己知尸（小乂）,。（電，%）是拋物線Y=4y上兩點,

且％+為+2=竿|尸。|，F(xiàn)為焦點,則N?為2最大值為.

變式20.（2024?吉林通化?梅河口市第五中學(xué)校考模擬預(yù)測）己知P是拋物線/=4x上的

動點，尸到y(tǒng)軸的距離為4,到圓C:（x+3y+（y-3）2=4上動點。的距離為4,則4+4

的最小值為.

變式21.（2024?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）］++［帆-：］的最小值為.

變式22.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知點M（-3,2）是坐標平面內(nèi)一定點，若拋物線

V=2x的焦點為尸，點。是拋物線上的一動點，則|MQHQ目的最小值是.

變式23.（2024?福建福州.高三福建省福州第八中學(xué)校考階段練習(xí)）己知尸為拋物線丁=4尤

上的一個動點，。為圓=1上的一個動點，那么點尸到點。的距離與點尸到拋物

線準線的距離之和的最小值是.

【解題方法總結(jié)】

拋物線上任意一點到焦點的距離等于到準線的距離，利用這一定義可以把相等長度的

線段進行轉(zhuǎn)化，從而把兩條線段長度之和的問題轉(zhuǎn)化為兩點間的距離問題或點到直線的距

離問題，即在解題中掌握“拋物線的定義及其性質(zhì)”，若求拋物線上的點到定直線（并非準

線）距離的最值問題用參數(shù)法或切線法求解.

題型四：拋物線中三角形，四邊形的面積問題

例10.（2024.四川樂山.統(tǒng)考三模）已知拋物線C：V=8x的焦點為R準線為/,過點P的

直線交C于P,。兩點，PHLI于H,若=|即，。為坐標原點，則與AOP。

的面積之比為（）

A.6B.8C.12D.16

例11.（2024?山東青島?統(tǒng)考二模）已知O為坐標原點，直線/過拋物線。：y2=2px（p>0）

的焦點尸，與。及其準線依次交于A3,C三點（其中點8在AC之間），若|/皿|=4,

忸C|=2怛司，則的面積是（）

A.6B.逋C.273D.逑

33

例12.（2024.北京J01中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知直線=定點尸（0」），P是直線

x-y+垃=0上的動點，若經(jīng)過點尸，尸的圓與/相切，則這個圓的面積的最小值為（）

變式24.（2024.黑龍江大慶?高三肇州縣第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線C：V=4x,

點尸為拋物線上任意一點，過點尸向圓。&+丁2-6工+8=0作切線，切點分別為A3,則

四邊形n位汨的面積的最小值為（）

A.3B.2A/2C.A/7D.亞

變式25.（2024?貴州?高三統(tǒng)考開學(xué)考試）己知拋物線C：V=2x的焦點為QA（m,"）是拋物

線C上的一點，若M尸|=g,則△。0（0為坐標原點）的面積是（）

A.1B.1C.2D.4

變式26.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知拋物線C：V=8x,點尸為拋物線上任意一點，

過點尸向圓。：/+/_4尤+3=0作切線，切點分別為A,B,則四邊形R4DB的面積的

最小值為（）

A.1B.2C.73D.75

變式27.（2024?江西宜春?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知斜率為左（左>0）的直線過拋物線C：

丁=人的焦點尸且與拋物線C相交于A,8兩點，過A8分別作該拋物線準線的垂線，垂足

分別為4，耳，若“8瓦與的面積之比為2,則上的值為（）

A.72B.1C.旦D.2后

變式28.（2024?安徽淮南?統(tǒng)考二模）拋物線y2=2px（p>0）的焦點為凡準線為/,過點尸

作傾斜角為?的直線與拋物線在X軸上方的部分相交于點A,AKrl,垂足為K,若

△AFK的面積是4石，則p的值為（）

A.1B.2C.6D.3

【解題方法總結(jié)】

解決此類問題經(jīng)常利用拋物線的定義，將拋物線上的點焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離,

并構(gòu)成直角三角形或直角梯形，從而計算其面積或面積之比.

題型五：焦半徑問題

例13.（2024.江西?高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知產(chǎn)為拋物線E：V=4x的焦點，A,B,C

為E上的三點，若通=；（麗+/），則網(wǎng)+網(wǎng)+同=.

例14.（2024?福建福州??？寄M預(yù)測）已知拋物線C：V=8x的焦點為產(chǎn)，點

M（x,y）（y>0）為曲線C上一點，若|MF|=4,則點M的坐標為.

例15.（2024?湖北武漢?統(tǒng)考模擬預(yù)測）己知拋物線y?=8x的焦點為準線與x軸的交點

為C,過點C的直線/與拋物線交于A,B兩點，若ZAFB=NCFB,貝!J|A/q=.

變式29.（2024?全國?模擬預(yù)測）若過點P（4,2）向拋物線C:Y=4y作兩條切線，切點分別

\AF\+\BF\

為4B,B為拋物線的焦點，則

AFBF+2

變式30.（2024?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)拋物線V=2py（p>0）的焦點為產(chǎn)，準線為/,過

拋物線上一點A作/的垂線，垂足為8,設(shè)若AF與BC相交于點

E,\CF\=2\AF\,^ACE的面積為6,則拋物線的方程為.

變式31.（2。24全國?高三專題練習(xí)）如圖,過拋物線y=的焦點的直線交拋物線與

圓/+(y-l)2=l于A,3,C,O四點，則.

變式32.（2024?全國?高三專題練習(xí)）拋物線y?=4x,直線1經(jīng)過拋物線的焦點F,與拋物

線交于A、B兩點，若麗=4喬，貝必。45（。為坐標原點）的面積為.

變式33.（2024.河南南陽?南陽中學(xué)?？寄M預(yù)測）拋物線C:V=4x的焦點為尸,設(shè)過點

F的直線I交拋物線與A8兩點，且|A刊=:則忸刊=.

變式34.（2024?廣東茂名?茂名市第一中學(xué)?？既＃┮阎?。為坐標原點，直線/過拋物線

D:y2=2px（p>0）的焦點尸，與拋物線。及其準線依次交于A,B,C三點（其中點B在

AC之間），割河|=4,怛。=2怛月.則“AB的面積是.

變式35.（多選題）（2024?全國?模擬預(yù)測）已知拋物線E：V=4x的焦點為尸，準線/交尤

軸于點C,直線機過C且交E于不同的A,B兩點，8在線段AC上，點尸為A在/上的

射影.下列命題正確的是（）

A.若ABLM,則|AP|=|PC|B.若P,B,尸三點共線，則|AF|=4

C.^\AB\=\BC\,則|AF|=2忸同D.對于任意直線祖，都有|明+忸同>2|CF|

變式36.（多選題）（2024?廣東惠州?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知拋物線C:;/=4x的焦點為

F,直線/：>=上（戈-1）（左工0）與拋物線C交于A、8兩點，下面說法正確的是（）

JT

A.拋物線C的準線方程為x=-2B.ZAOB>|

l11

C.笈=1時，阿|=40D.網(wǎng)+網(wǎng)=1

變式37.（多選題）（2024?云南昭通?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知A,8是拋物線C：/=2x±

兩動點，/為拋物線C的焦點，則（）

A.直線A8過焦點P時，最小值為4

Q

B.直線過焦點尸且傾斜角為60。時，=]

C.若A8中點"的橫坐標為2,則|筋|最大值為5

D-團+西=2

變式38.（多選題）（2024?湖南常德?常德市一中?？级＃┘褐cA&,%）.5（%,%）是拋

物線V=8x上過焦點的兩個不同的點，。為坐標原點，焦點為尸，則（）

A.焦點廠的坐標為（4,0）B.|AB|=%+w+4

I11

CD.YFIC\FB\~2

變式39.（多選題）（2024?安徽亳州?安徽省亳州市第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）己知產(chǎn)為拋物

線V=4x的焦點，K為其準線與x軸的交點，。為坐標原點.直線氐-y-君=0與該拋

物線交于A、8兩點.則以下描述正確的是（）

A.線段AF的長為4B.“103的面積為逑

3

C.OA.OB=-3D.拋物線在A、3兩點處的切線交于K點

變式40.（多選題）（2024?山東德州.三模）已知拋物線C：y=8x的焦點為r，準線為/,

直線/與x軸交于點尸，過點尸的直線與拋物線C交于A（4％）,*%,%）兩點，。為坐標原

點，貝U（）

A.若占+%=8,則|AB|=12B.OAOB=-YI

111

C.jTFl4TpFT=?D.AR鉆面積的最小值為16

\ArnrZ

變式41.（2024.河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知尸為拋物線f=2py（p>0）的焦點，A,B,C

為該拋物線上的三點，。為坐標原點，^OFA,△OFB,△OFC面積分別為、，邑,邑，若

/為dBC的重心，且S：+S；+S；=3,則該拋物線的方程為（）

A.x2=12yB.x2=8y

C.x2=6yD.x2=4y

變式42.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知拋物線V=4x的焦點為凡過原點。的動直線/

交拋物線于另一點P,交拋物線的準線于點Q,下列說法正確的是（）

A.若。為線段尸。中點，貝B.若PF=4,貝|OP=2百

C.存在直線/,使得/D.△PFQ面積的最小值為2

變式43.（2024?云南昆明?高三云南省昆明市第十中學(xué)校考開學(xué)考試）已知直線/：y=x+l

與拋物線口/=2「苫5>0）相切于點￡,歹是C的焦點，貝1］怛同=（）

A.6B.4C.3D.2

變式44.（2024.海南.高三海南中學(xué)校考階段練習(xí)）已知拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點為

F,若直線x=4與C交于A,B兩點，且|AB|=8,則|AF卜（）

A.4B.5C.6D.7

變式45.（2024?廣東珠海?珠海市斗門區(qū)第一中學(xué)?？既＃┮阎獟佄锞€Y=4y的焦點為

F,準線/與坐標軸交于點是拋物線上一點，若|/W|=|句圖，則AHWN的面積為

（）

A.4B.2A/3C.20D.2

變式46.（2024?上海徐匯?上海市南洋模范中學(xué)?？既＃┮阎獟佄锞€C:x2=_2py（p>0）

22

的焦點尸與匕+上=1的一個焦點重合，過焦點廠的直線與C交于A,8兩不同點，拋物

84

線C在A,8兩點處的切線相交于點M,且“的橫坐標為4,則弦長|AB|=（）

A.16B.26C.14D.24

【解題方法總結(jié)】

（1）\AF\^—2—；|防|=—2—.

1-coscr1+cosa

（2）|AB\=x+x+p=.

l2sina

2

（3）SZA-ACO/DB=c~~?—?

2sincr

題型六：拋物線的性質(zhì)

例16.（多選題）（2024?全國?高三專題練習(xí)）關(guān)于拋物線V=_2x,下列說法正確的是

（）

A.開口向左B.焦點坐標為（-1,0）C.準線為x=lD.對稱軸為x軸

例17.（多選題）（2024.山東日照?高三校聯(lián)考期末）（多選）對于拋物線上=下列

8

描述正確的是（）

A.開口向上，焦點為（0,2）B.開口向上，焦點為

C.焦點到準線的距離為4D.準線方程為y=T

例18.（多選題）（2024?浙江金華?模擬預(yù)測）已知A（x0,%）,3,C為拋物線/=4x上的三個

點，焦點尸是AABC的重心.記直線42,AC,BC的斜率分別為的B，心c，心c，貝U（）

A.線段8C的中點坐標為（空/，-粵