2025屆高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練：等式與不等式

等式與不等式

一、選擇題

1?不等式一6/—5x+6>0的解集為（）

232

A.<XX<—或X>>B.<X——<x<—>

I23,1123j

23、

C..Xx<—^4x>3D.<X——<%<—>

32j32j

2.若凡仇cwR,則下列命題正確的是（）

A?若〃</?’則B.若〃>人>0,則二+1<'

aba+1a

C.若〃>6，貝!1〃<:2>反2D.若歷2,則

3.設(shè)實(shí)數(shù)也〃滿足加+〃>0,則關(guān)于元的不等式（x-M（x+功>0的解集為（）

A.{x|x<-n^x>m}B.{x|x<-m^Lx>n\

C.{%|-n<x<m}D.[x\-m<x<n}

4.若a,"ceR,則下列命題正確的是（)

A.若a<b，則—>—B.若a>A〉0,則如?一

ab4+1a

C.若a>b，則ac1>be2D.若ac2>be2，則a>b

5.對(duì)于任意實(shí)數(shù)。、瓦（〃—均成立，則實(shí)數(shù)上的取值范圍是（）

A.{T,0}B.[-4,0]C.（-OO,0]D.（-OO,-1]U[0,+OO）

6.已知a,Z?,℃￡R，則下列說法正確的是（）

A.若〃>6,則arr^>bm1B.若@,則a>b

cc

122

C.若ac>be，則a>bD.若a>從,而>0,則,<：

ab

7.若Q,b￡R,且必>0,則下列不等式中，恒成立的是（）

][2h

a1+b2>2aba+b>2y[abC.—+->-^=D—+y>2

ab7abab

8.當(dāng)x,ye(O,S)時(shí)，4x：+17.y+4y(生恒成立,則機(jī)的取值范圍是()

')x4+2x2y+y24

A.(25,^o)B.(26,+OO)C.件+OO]D.(27,^o)

二、多項(xiàng)選擇題

9.若關(guān)于X的不等式九2—(a+3)x+3a<0恰有4個(gè)整數(shù)解，則()

A.a的值可以是"B.a的值不可能是-2

2

C.a的最大值是8D.a的最小值是7

10.已知實(shí)數(shù)和滿足1<%<6,2<”3,則()

]X

A.3<x+y<9B.—l<x—y<3C.2<xy<18D.—<—<3

3y

n.已知〃>o,z?>o,且〃+/?=1,則()

^.a2+b->-B.2fl-fc>-

22

D

C.log2?+log2Z?>-2-4a+4b<>/2

三、填空題

12.已知函數(shù)/(x)=13：x<°，若/(x)+/(D>T,則x的取值范圍為..

13.若關(guān)于X的不等式上國(guó)>,-2|恰好有4個(gè)整數(shù)解,則實(shí)數(shù)k的范圍為.

14.若一元二次方程g2_(加+1)》+3=0的兩個(gè)實(shí)根都大于一1,則機(jī)的取值范圍

四、解答題

15.不等式:生工41解集為A.

x+2

⑴求集合A;

(2)若不等式a?+(^-l)x-l<0的解集為民且二B,求a的取值范圍.

16.已知〃>。*>0,且Q+Z?=1,證明：

(1)2a2+2b2>l;

19

⑵-+->16.

ab

17.某單位要建造一間地面面積為12m2,且背靠墻的長(zhǎng)方體小房，房屋正面留有一扇

寬為1m的小門，房屋的墻和門的高度都是3m，房屋正面的單位面積造價(jià)為1200元

/m^房屋側(cè)面的單位面積造價(jià)為800元/皿?，屋頂?shù)脑靸r(jià)為5800元.若不計(jì)房屋背面

的費(fèi)用和門的費(fèi)用，問：怎樣設(shè)計(jì)房屋能使總造價(jià)W（單位：元）最低？最低總造價(jià)

是多少？

18.已知函數(shù)/（x）=|2x+4|+|x—[.

（1）求不等式|/（同歸5的解集；

⑵若?。┳钚≈涤洖樗?放",且滿足”+一〃,求證：W+ArW"

19.已知函數(shù)y=^2—4x+左+2.

（1）已知關(guān)于x的不等式/a；2-4x+k+2<0的解集為伏，左+2]若存在xe[匕左+2],使

關(guān)于x的不等式m+機(jī)+2>0有解,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

（2）解關(guān)于x的不等式質(zhì)2_公+左+2<5+%—（左+l）x.

參考答案

1.答案：B

解析：由題知（3x—2）（2x+3）<0,解得-^<工<^，原不等式的解集為卜-|<x<g

故選：B.

2.答案：D

解析：選項(xiàng)A,若a<03>0,則結(jié)論錯(cuò)誤，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B,根據(jù)糖水不等式可知，a>b>0,^->-，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

a+1a

選項(xiàng)C,當(dāng)c=0時(shí)，赤=加2=0,故選項(xiàng)c錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D,>歷2,可知>0,Q>》,故選項(xiàng)D正確.

故選：D

3.答案：A

解析：因?yàn)樘摇?〃，

所以不等式的解集為｛x|x<-〃或%>加｝.

故選：A.

4.答案：D

解析：選項(xiàng)A,若<02>0,則結(jié)論錯(cuò)誤,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B,根據(jù)糖水不等式可知,a>b>Q,^LL>L，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

a+1a

選項(xiàng)C,當(dāng)c=0時(shí),ac2=bc2=0，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D,ac2可知c?>0，/.a〉/?,故選項(xiàng)D正確.

故選：D.

5.答案：B

解析：若"=0,左eR；

若">0,左上”）2，+2—2,

abba

因?yàn)閝+2—222他R—2=0,所以kWO；

ba\ba

所以-4K后W0,即左且一4,0].

故選：B.

6.答案：C

解析：對(duì)于A,若加=0,則不成立，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若°<0,則不成立，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,將>歷2兩邊同時(shí)除02,可得a〉b，故c正確;

對(duì)于D,取a=—2,b=-1,可得-<-不成立，故D錯(cuò)誤；

ab

故選：C

7.答案：D

解析：a2+/N2ab，所以A錯(cuò);R,>0,只能說明兩實(shí)數(shù)同號(hào)，同為正數(shù)，或同為負(fù)數(shù)，所以

當(dāng)。<02<0時(shí),B錯(cuò);同時(shí)C錯(cuò);q或2都是正數(shù),根據(jù)基本不等式求最

ba

值,@+2之2、口3=2,故D正確.

ba\ba

8.答案：A

解析：當(dāng)x,y?0,+oo）時(shí),

4/+17凸+4y2

x4+lx1y+y2

2

+

_25

-T

當(dāng)且僅當(dāng)4必+丁=必+4y，即>=必時(shí)，等號(hào)成立,

所以J?；；；：：，的最大值為y，

所以‘〉生，解得加>25，

44

即機(jī)的取值范圍是(25,+8).

故選：A

9.答案：AC

解析：令X?-(。+3卜+3。=0,解得1=3或X=。.當(dāng)。>3時(shí),不等式X?-(a+3)x+3a<0

的解集為(3,a),則7<aW8;當(dāng)a=3時(shí),不等式(a+3)x+3a<0無解，所以a=3不符合

題意;當(dāng)a<3時(shí),不等式x2-(a+3)x+3a<0的解集為(a,3)，則-2Wa<-1.綜上,a的取值

范圍是[―2,—1)U(7,8].

10.答案：ACD

解析：實(shí)數(shù)滿足1<%<6,2<y<3,

由不等式的同向可加性和同向同正可乘性，有3<x+y<9,2〈孫<18,AC選項(xiàng)正確；

由-3<-y<-2，得-2<x-y<4,B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

由!<!<上得工<±<3,D選項(xiàng)正確.

3y23y

故選:ACD

11.答案：ABD

解析：對(duì)于人,/+/="+(]_0)2=2a2_2a+]=2(a_g)

當(dāng)且僅當(dāng)a=人=!時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；

2

對(duì)于B,。=2a—1>—1,所以>2-=L故B正確；

2

對(duì)于C，iOg2a+log2b=log2ab<log2=log2；=-2,

當(dāng)且僅當(dāng)a=人=工時(shí)，等號(hào)成立，故C不正確；

2

對(duì)于D,因?yàn)閾P(yáng))=\+2y[ab<1+Q+Z?=2,

所以&+振<百，當(dāng)且僅當(dāng)a=人=g時(shí)，等號(hào)成立，故D正確;

故選：ABD.

12.答案：f1,+oo

3x,x<0,

解析：對(duì)于函數(shù)=.

2X2,X>0,

(i)當(dāng)xWO,則“x)+/(x—l)=3x+3(x—l)=6x—3>-1,解得x>；,故此時(shí)x不存在;

(ii)當(dāng)0<%Wl,則/(x)+/(x—1)=2/+3。—l)=2f+3x—3〉一1,

解得x〉工或?yàn)?lt;-2,故此時(shí)％的取值范圍為化」］；

2(2J

(iii)當(dāng)尤>1,則/(x)+/(x-l)=2x2+2(尤一=4/-4冗+2>-1,即4x2-4%+3>0,

其中A<0,不等式恒成立，故此時(shí)x的取值范圍為(L”).

綜上,X的取值范圍為

故答案為：(g+s)

13.答案：

153」

解析：因?yàn)樽髢?gt;卜-2|20,

所以由題意當(dāng)且僅當(dāng)不等式(公—1卜2+4無一4>0恰好有4個(gè)整數(shù)解，且女〉0,

上2—1<。

所以首先，解得0〈人<1,

△=16+16儼-1)=16k2>0

Y±4左2干2左22

又方程(公—1卜2+4%—4=0的根為％=，即x=或％=

2(左2Tl-k-1+k

22

所以不等式(％2一1)尤2+4%一4>0的解集為<x<

1+kT^k

因?yàn)?<左<1，所以1〈二一<2,

1+Z

所以不等式(k2-l)x2+4x-4>0的4個(gè)整數(shù)解只能是2,3,4,5,

所以5<346,

1-k

又因?yàn)?＜女＜1，

所以解得3＜左42,即實(shí)數(shù)上的范圍為（3,2

53153.

故答案為：［3,2.

153」

14.答案：m<-2^m>5+2V6-

加w0,

m+1?

——>-1,

解析：由題意得應(yīng)滿足2m

A>0,

mf(-D>0

解得：m<-2^m>5+276-

故答案為：機(jī)<-2或加25+2^/6?

15.答案：(1)A=(—2,3]

⑵“4

々刀]匚zi\2x—I2x—I—x—2八pti-tx—3?

解析：(l)???-------<1,/.----------------〈。,即一-<0,

x+2x+2x+2

,.(x—3)(x+2)<0豈力,日

故1，解得:―2<x?3".A=(—2,3].

%+2w0

(2)由a?+(“—1)工一140,得(kl)(%+l)V0,???A「3=5,.?.3qA,

①當(dāng)a=0時(shí),5=[-1,”)，不合題意，舍去

②當(dāng)a>0時(shí),不等式化為:(x+1)1%—工]W0,注意到一1W0W工，

③當(dāng)a＜0時(shí),不等式可化為：（x+1/x-注意到無論與/大小關(guān)系，均包含趨

a）a

于部分，一定不符合，舍去；

綜上可知：a＞~.

3

16.答案：（1）見解析

(2)見解析

解析：(1)證明:因?yàn)閍+Z?=l,所以u(píng)g+by-Zabni-Zab.

因?yàn)椤?gt;0力>0,所以仍K［巴史［=L當(dāng)且僅當(dāng)a=b=!時(shí)，等號(hào)成立.

(2J42

所以1—2aZ?21—2義工=工，即cr+b2>->2?2+2Z?2>1.

422

(2)因?yàn)閍+〃=l,所以工+2=(。+為(工+2］=2+%+10.

ab\abJab

A9/7

因?yàn)閍>0,/?>0,所以一〉(),■—>0,

ab

所以2+%N6,當(dāng)且僅當(dāng)2=電■，即5=3。=3時(shí)，等號(hào)成立，

abab4

AQ/71Q

貝Ij2+吆+10216,即±+2之16.

abab

17.答案：當(dāng)房屋正面的長(zhǎng)為4m，房屋側(cè)面的長(zhǎng)為3m時(shí)，總造價(jià)卬最低，最低總造

價(jià)是31000元

解析：設(shè)房屋正面的長(zhǎng)為xm,則房屋側(cè)面的長(zhǎng)為是*m，

X

因?yàn)樾》康膲Φ母叨仁?m，

所以房屋正面的建造面積為3(x-Dn?,房屋側(cè)面的面積為變n?.

X

因?yàn)榉课菡娴膯挝幻娣e造價(jià)為1200元/m2,房屋側(cè)面的單位面積造價(jià)為800元

/m2，

所以W=3600(x—1)+2義二義800+5800

X

=3600x+2x—x800+2200>28800+2200=31000，

X

當(dāng)且僅當(dāng)3600x衛(wèi)則，即尤=4時(shí)，等號(hào)成立.

X

所以當(dāng)房屋正面的長(zhǎng)為4m，房屋側(cè)面的長(zhǎng)為3m時(shí)，總造價(jià)W最低，最低總造價(jià)是

31000元.

18.答案：(1)|x|-|<x<oj

(2)證明見解析

解析：(1)因?yàn)?(x)=12x+4|+|x-1,

當(dāng)x<-2時(shí),/(x)=|2x+4|+—(2x+4)_(x_l)=_3x_3；

當(dāng)-2WxWl時(shí)，/(1)=|2%+4|+卜-1|=(2x+4)-(x-l)=x+5；

當(dāng)x>l時(shí),/(x)=|2x+4|+|x—l|=(2x+4)+(x—l)=3x+3；

因?yàn)闅w5,所以-5W/(x)W5,

當(dāng)x<—2時(shí)，得一5W-3x—3W5,解得故_§4x<-2；

333

當(dāng)一2WxWl時(shí)，得一5W九+5W5,解得一lOWxWO,故一2W九WO；

當(dāng)x>l時(shí)，得一5W3x+3W5,解得一9Vx<2,故尤e0；

33

綜上：-：WxW0,即，(無)歸5的解集為x<oj.

(2)由(1)得，

當(dāng)x<—2時(shí),/(尤)=—3x—3,則/(X)>—3x(—2)—3=3；

當(dāng)一時(shí),/(x)=x+5,則一2+5W/(x)Wl+5,即3W/(x)W6；

當(dāng)x>l時(shí),/(x)=3x+3,則/(x)=3x+3>3xl+3=6；

綜上：/(九)23，故/(尤)最小值為3,即機(jī)=3，

所以a+Z?+c=m=3，

又仇c20,令r=a+l，s=Z?+2"=c+3,則且r+s+f=9,

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