2025屆高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專(zhuān)練：平面解 析幾何

平面解析幾何

一、選擇題

1.直線工+1=0的傾斜角為（）

A.3兀B.-C.-D.不存在

442

2.已知直線/：x—機(jī)丁+4加一3=0（機(jī)eR）,點(diǎn)P在圓好+）?=1上，則點(diǎn)P到直線/

的距離的最大值為（）

A.3B.4C.5D.6

3.若圓?：（x-3y+（y-町=25和圓Q：（x+2y+（y+8）2=/（5<r<10）相切，則「等

于（）

A.6B.7C.8D.9

4.已知點(diǎn)（a,6）在線段3x+4y-10=0（-2<%<6）上，則/—2的取值范圍是（）

A.[2,18]B.[2,38]C.[0,38]D.[0,2A/10-2]

5.已知點(diǎn)M（-1,0）,N（l,0）,若直線上存在點(diǎn)P,使得PM.PN=0,則稱(chēng)該直線為

”相關(guān)點(diǎn)直線”，給出下列直線：

①y=x+3；

4

?y=-x；

*3

③y=2；

④y=2x+l,

其中為“相關(guān)點(diǎn)直線”的是（）

A.①③B.②④C.②③D.③④

6.已知直線/1:x+2ay-l=0和直線A,：（3a—l）x—金一1=0，則“a=J”是“/J/4”

6

的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

7.直線/],（，4的圖象如圖所示，則斜率最小的直線是（）

A./1B./2C.Z3D./4

8.已知加eR，則=-1”是“直線wx+（2〃z-l）y+2=0與直線3x+叼+3=0垂直”的

（）

A.充要條件B.必要而不充分條件

C.充分而不必要條件D.既不充分也不必要條件

二、多項(xiàng)選擇題

9.雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為斗心，以C的實(shí)軸為直徑的圓記為。，過(guò)耳作。的切線與

C交于“，N兩點(diǎn)，且cosN￡N%=g，則。的離心率為（）

A正B.2C.姮D.姮

2222

10.已知拋物線V=4x,R為其焦點(diǎn)，P為拋物線上一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）

A.拋物線的準(zhǔn)線方程是x=-1

B.當(dāng)"_L九軸時(shí)，|尸耳取最小值

C.若A（2,3）,則|PA|+|PF|的最小值為歷

D.以線段PR為直徑的圓與y軸相切

2

11.已知拋物線。1：/=町0〉0）與雙曲線。2：/-；=1有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn);3（2,%）

在拋物線G上，則下列結(jié)論正確的有（）

A.雙曲線C2的離心率為2B.雙曲線C2的漸近線方程為y=4x

C.m=8D.點(diǎn)P到拋物線G的焦點(diǎn)的距離為4

三、填空題

12.直線/一4的斜率*履是關(guān)于。的方程2a2+8a+〃=0的兩根，若㈠心則實(shí)

數(shù)“=.

13.以點(diǎn)M(3,T)為圓心，且與x軸相切的圓的方程是.

14.已知4(-3,0),8(4,2),點(diǎn)尸在圓0:爐+9=4上運(yùn)動(dòng)，則|PA「+|冏2的取值范圍是

四,解答題

22

15.已知《，居分別為橢圓式―+與=1(0<6<10)的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，

100b1

當(dāng)軸時(shí)，I尸耳|=?.

(1)求橢圓的方程；

(2)當(dāng)N￡P(guān)￡=60。時(shí)，求△￡產(chǎn)月的面積.

16.已知圓+y?-2y-4=0,直線/:"tv-y+l-〃z=0.

(1)寫(xiě)出圓C的圓心坐標(biāo)和半徑，并判斷直線/與圓C的位置關(guān)系；

(2)若直線/與圓C交于兩點(diǎn)A,B,且|A例=3后，求直線/的方程.

17.已知圓C的方程為必+產(chǎn)=i.

(1)求過(guò)點(diǎn)P(l,2)且與圓C相切的直線/的方程；

(2)直線機(jī)過(guò)點(diǎn)P(l,2),且與圓C交于A,3兩點(diǎn)，若［43|=應(yīng)，求直線機(jī)的方程.

18.已知直線4過(guò)原點(diǎn)，且與直線:3x-2y-1=0平行.

(1)求直線4的方程；

(2)求4與4間的距離；

(3)若圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(l,3),3(2,2),并且被直線4平分，求圓C的方程.

19.已知直線6:2x-(a-l)y-2=0,/2:(tz+2)x+(2?+l)_y+3=0(aeR).

(1)若《上心求實(shí)數(shù)。的值；

(2)若/J①，求乙，［之間的距離.

參考答案

1.答案：c

解析：因?yàn)橹本€1+1=0即直線x=—1垂直于X軸，根據(jù)傾斜角的定義可知該直線的傾斜

角為4，

2

故選:C

2.答案：D

解析：直線/：l沖+4加一3=0(meR)即為(1—3)+(4-力72=0，

所以直線過(guò)定點(diǎn)Q(3,4),

所以點(diǎn)P到直線/的距離的最大值為|09+「=廳弄+1=6，

故選：D

3.答案：C

解析:圓?：(x-3y+(y-4)2=25的圓心。1(3,4%半徑為5;

2

圓O2:(%+2)2+(y+8)2=r的圓心O2(-2,-8)泮徑為r.

若它們相內(nèi)切，則圓心距等于半徑之差，即“3+2『+(4+8)2=|r-5|,

求得r=18或-8,不滿(mǎn)足5<11。

若它們相外切，則圓心距等于半徑之和，即,(3+2)2+(4+8)2=什5|,

求得廠=8或-18(舍去)，

故選：C.

4.答案：B

解析：如圖，(。力)是線段3x+4y-10=0(-2<%<6)上的一點(diǎn)，且/+〃為原點(diǎn)到該線

段上點(diǎn)的距離的平方.該線段端點(diǎn)分別為(-2,4),(6,-2),到原點(diǎn)距離的平方分別為

20,40.由圖知原點(diǎn)到線段的距離1=421==2,則笛=4.綜上，?2+^2e[4,40],

V32+42

故/+/—2e[2,38].

:p\3x+4y-10=0

4。|,

5.答案：B

解析：由題意可知，點(diǎn)尸的軌跡是以。為圓心、1為半徑的圓，

其方程是必+產(chǎn)=1.

解法一：①把y=x+3代入/+/=i并整理得，d+3x+4=。,

A=9-4X4=-7<0,.?.直線與圓相離，

二直線y=X+3不是“相關(guān)點(diǎn)直線”，

同理，通過(guò)聯(lián)立直線和圓的方程，

4

可得直線②y=④y=2x+l與圓相交，

直線③y=2與圓相離，所以②④符合題意.

故選：B.

解法二：①圓心（0,0）到直線y=x+3,

即x—y+3=0的距離為I"?3]=述〉1,

二直線與圓相離，.?.直線y=x+3不是“相關(guān)點(diǎn)直線”，

同理，通過(guò)比較圓心到直線的距離與半徑的大小，

...4

可得直線②y=§x,④y=2x+l與圓相交，

直線③y=2與圓相離，所以②④符合題意.

故選：B.

6.答案：A

解析：由題設(shè)〃/心可得2a（3a—1）=—a，解得。=0或。=，.

當(dāng)a=0時(shí)，/i：x=l，4：x=-1,此時(shí)/J4，

當(dāng)a=L時(shí)，/］：3x+y—3=0」2：3x+y+6=0,止匕時(shí)“兒，

6

所以“a=!”是“”的充分不必要條件.

6

故選A

7.答案：B

解析：設(shè)直線54，乙的斜率分別為左，k］，&，k4,

由圖可得直線/r6的斜率為負(fù)值，直線（乙的斜率為正值，

因?yàn)橹本€越陡峭，斜率的絕對(duì)值越大，

所以悶＜|勾，同＜同，

所以左2（左＜0＜%＜&，

所以斜率最小的直線是/2.故選B

8.答案：C

解析：“直線g+（2m-l）y=2=0與直線3x+my+3=0垂直”的充要條件為

3m+加2"，-1）=0=＞帆=0或相=一1，因止匕=一1''是"直線初x+（2〃z—1）y=2=0與直

線3x+陽(yáng)+3=0垂直”的充分而不必要條件，選C.

9.答案：AC

解析：情況一

M、N在雙曲線的同一支，依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在x軸，設(shè)過(guò)《作圓。的切線切

點(diǎn)、為B,

所以O(shè)B，耳N,

3

因?yàn)閏osN^N^=->0,

所以N在雙曲線的左支,

|OB|=a9|OFj|-c,|FjB|=b?

34

設(shè)/F\NF?=a,由即cos。=y，則sina=(，

35

|NA|=：-a,|NF,|=-tz

g-M|=2a

5(3.

-a-\—a-2b=2a,

2【2)

2b=a,e=—

2

選A

情況二

若V、N在雙曲線的兩支，

因?yàn)閏osNENg=|〉0,所以N在雙曲線的右支,

所以|OB|=a，\OF\^c，忖B|=b,

設(shè)HNF2=a,

由cosN片Ng=|',即cosa=1,則sina=g,

3S

|NA|--?,|N^|=-?

|N^-|NFj=2a

一Q+2Z?—ci—2a,

22

所以%=3a，即2=3，

a2

所以雙曲線的離心率e=￡=1=正選C

a\a22

10.答案：ACD

解析：對(duì)于A,拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-：=-1,故A正確；對(duì)于B,設(shè)

貝11/20,尸(1,0),則|PF|=—丁+y；=%+121,當(dāng)/=0時(shí)取得最小

值，此時(shí)P(0,0)在原點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,A在拋物線外部，如圖①所示，故當(dāng)P,A,R三點(diǎn)共線，且點(diǎn)尸在線段AR

與拋物線的交點(diǎn)處時(shí)，|口4|+|「/|取得最小值，為|AR|=J(2-1>+(3-0)2=標(biāo),故

C正確；

圖①

對(duì)于D,過(guò)點(diǎn)P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為。，如圖②所示，

設(shè)。廠的中點(diǎn)為B(wx),可得石=；(1+加)，由拋物線的定義得

|PF|=|PQ|=m+l,

:.xx=^\PF\,即點(diǎn)3到y(tǒng)軸的距離等于以PR為直徑的圓的半徑，因此，以PR為直

徑的圓與y軸相切，故D正確.

故選ACD.

圖②

11.答案：ACD

解析：雙曲線。2的離心率e='平=2,故A正確；雙曲線的漸近線方程為

y=+^3x,故B錯(cuò)誤；

由G，。2有相同的焦點(diǎn)，得：=2，解得加=8,故C正確；

拋物線＞2=8x的焦點(diǎn)為(2,0),點(diǎn)。(2,陽(yáng))在G上，則％=±4,故P(2,4)或P(2,-4),

所以點(diǎn)P到G的焦點(diǎn)的距離為%故D正確.故選ACD.

12.答案：-2

解析：因?yàn)椤?，心而且斜率存在?/p>

所以《,左2=-1，

又此,心是關(guān)于。的方程2a2+8a+〃=0的兩根，

所以尢,匕='=-1,解得〃=一2.

2

故答案為：-2.

13.答案：(］-3『+(y+4)2=16

解析：因?yàn)镸(3,-4)為圓心，且圓與x軸相切，

所以圓的半徑廠=|%|=4，

所求圓的方程為(x—3)2+(y+4)2=16.

14.答案：［37-4君,37+4百］

解析：設(shè)尸(%,%)，所以/+尤=4,

所以|P4+|PB「=(X°+3)2+貨+(%—4)2+(%-2)2=37-2%-4%.

設(shè)z=37—2x—4y，所以直線2x+4y—37+z=0,所以<2,

^22+42

解得37-475<z<37+4A/5,BP|PA|2+|PB|2的取值范圍是［37-475,37+4遙］.

,2、,2

15.答案:(1)工+匕=1

10064

6473

3

解析：(1)由工+與=1(0<6<10)知〃=1。0,因止匕a=10.

100b-

因?yàn)檩S時(shí)，閥|=5，所以可得點(diǎn)尸的坐標(biāo)為「C,m或半

322

22,2

因?yàn)辄c(diǎn)p在橢圓工+4=1上，所以二+7人

100b2100b2

22

T72722二匚［、|100—Z?32

又Q=b+C,所以-------1------7—1,

10025/

22

解得6=8,所以橢圓的方程為「一+工=1.

10064

(2)設(shè)歸周=加，怛閭="，在△心心中，由余弦定理可得

22

=m+H-2mn-cosZFlPF2,又NEP￡=60。，

4b2256

所以4c2=(m+ri)2—3mn=4a2—3mn,所以mn=---=---,

33

由”C1?/門(mén)0口625664「

所以3b叩=—m幾?sin/F］PF?=——x-----=-------,

A122433

所以AEP6的面積為8^.

16.答案：(1)圓C的圓心坐標(biāo)為(0,1),半徑為迅；直線/與圓。相交

(2)x-y=0或x+y-2=0

解析：(1)%2+)2一2)—4=o整理得犬2+(y—iy=5,

故圓C的圓心坐標(biāo)為(0,1),半徑為班.

儂:一丁+1-根=0可變形為y-l=m(x-l),故直線/過(guò)定點(diǎn)”(1,1).

因?yàn)閮?(1—1)2=1<5,故點(diǎn)在圓。內(nèi)，所以直線/與圓C相交.

(2)圓心(0,1)至！］/:儂:一y+1-根=0的距離2=-一團(tuán)=

y/m2+1yjm2+1

所以蕾+1等］=5,解得加=±1,

故直線/的方程為x-y=0或x+y-2=0.

17.答案：(1)x=l或3x-4y+5=0

(2)x-y+l=0或7x-y-5=0

解析：(1)根據(jù)題意，得點(diǎn)尸在圓C外，分兩種情況討論：

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，過(guò)點(diǎn)P(l,2)的直線方程是x=l,與圓C：x2+y2=1相切，滿(mǎn)

足題意；

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為y-2=/x-1),即Ax-y-左+2=0,

因?yàn)橹本€/與圓C相切，所以圓心(0,0)到直線/的距離為年用=1,解得左=3,

止匕時(shí)，直線/的方程為3x—4y+5=0.

所以滿(mǎn)足條件的直線/的方程是％=1或3x-4y+5=0.

(2)根據(jù)題意，若|A8|=0,則圓心到直線機(jī)的距離〃=卜一卜乎：=當(dāng)，

結(jié)合(1)知直線機(jī)的斜率一定存在.

設(shè)直線m的方程為y-2=n(x-l),即zzx-y—〃+2=0,

貝必=三生=正，解得〃=1或"=7.

所以滿(mǎn)足條件的直線機(jī)的方程是x-y+1=0或7x-y-5=0.

18