2024學(xué)年上海市某中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期中試卷（附答案解析）

2024學(xué)年第一學(xué)期上海市曹楊中學(xué)高二數(shù)學(xué)期中試卷

總分：150分考試時(shí)間：120分鐘

一、填空題（本大題共12小題，1?6每題4分，7?12每題5分，共54分）

1.已知z=2+i（其中i為虛數(shù)單位）,貝!|z=.

2.已知?jiǎng)t/"）=.

3.函數(shù)V=tan2x的最小正周期為.

4已知向量”（'）,（，），且?！眀,則—.

5.已知復(fù)數(shù)4=1+1?2=1（其中i為虛數(shù)單位），則上上卜.

6.若圓柱的軸截面面積為8,則它的側(cè)面積為.

7.函數(shù)/（"）="在x=l處的切線方程為.

8.已知圓錐的母線長(zhǎng)為4,底面直徑28=4,則沿著側(cè)面從點(diǎn)A到點(diǎn)8的距離最小值是.

p）4

cos---a=——

9.已知12）5,貝］jcos2a=.

10.已知尸是邊長(zhǎng)為2的正六邊形/BCD所上或其內(nèi)部的一點(diǎn)，則Q?在的取值范圍為

11.如圖，已知一個(gè)半徑為2的半圓面剪去了一個(gè)等腰三角形N8C,將剩余部分繞著直徑N8所在直線旋

轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)幾何體，則該幾何體的體積為.

a+2）---F2a<0

12.已知關(guān)于x的不等式e2*e*恰有兩個(gè)正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

二、選擇題（本題滿分18分，13、14每小題滿分4分，15、16每小題滿分5分）

_71

13.已知復(fù)數(shù)z=Qsma—D+i(i為虛數(shù)單位)，貝『，z為純虛數(shù)，，是“0%，，的().

A,充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

14.設(shè)，"、〃是兩條不同的直線，冬夕是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中的真命題為()

A.若加〃則加〃〃

B.若加_La,〃_La,則加〃〃

C.若加〃a.m//0,則0〃P

D.若加_La,a_L，，則加||夕

15.如圖，在直三棱柱Z5C-的棱所在的直線中，與直線為異面直線的條數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

16.已知函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)/'(')的圖像如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是()

A.函數(shù)歹=/(x)在區(qū)間(-3,3)內(nèi)有三個(gè)零點(diǎn)

B.函數(shù)久二一1是函數(shù)y=/(%)的一個(gè)極值點(diǎn)

C.曲線丁=/(x)在點(diǎn)(-2,八-2)逸的切線斜率小于零

D.函數(shù)丁=/(%)在區(qū)間(-1,1)上是嚴(yán)格減函數(shù)

三、解答題(本大題共5題，滿分78分)

2

17.已知向量5=(21)，b=(-l,/n).

(1)若1與3的夾角為135°，求實(shí)數(shù)加的值；

(2)若)工卜-B),求向量及在向量行上的投影向量坐標(biāo).

18.如圖，在正四棱柱48co—4B1G3中，AB=2,AA[=3.

By.-------__C,

/I

(1)求與底面48CD所成角;

(2)求點(diǎn)/到平面4臺(tái)。的距離.

19.已知V48c的內(nèi)角48,C的對(duì)邊分別為“c,已知a=3,6=2c.

(1)若/=7，求V/8C的面積；

(2)若2sinB-sinC=1,求sin”.

20.如圖，尸/,平面48C,48為圓。的直徑，E,E分別為棱PC,P2的中點(diǎn).

(1)證明：EE//平面45C；

(2)證明：平面EE4L平面R4C；

(3)若PA=4B=4,AC=2,求二面角E—28—C的大小.

21.解答下列問(wèn)題：

x

(1)求函數(shù)/(》)=。e(》＞0)的極小值；

(2)若/eR,函數(shù)〃(x)=xe“—比為R上嚴(yán)格增函數(shù)，求實(shí)數(shù)/的取值范圍;

(3)已知g(x)=a]—Iwcj--

xe(0,+8),且〉=g(x)只有一個(gè)極大值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

3

上海市曹楊中學(xué)2024學(xué)年第一學(xué)期

高二數(shù)學(xué)期中試卷

總分：150分考試時(shí)間：120分鐘

一、填空題(本大題共12小題，1?6每題4分，7~12每題5分，共54分)

1.已知z=2+i(其中i為虛數(shù)單位)，貝!|z=.

【答案】2-i##-i+2

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件，利用共軌復(fù)數(shù)的概念，即可求解.

【詳解】因z=2+i，所以［=2—i-

故答案為：2-i

2.已知/(x)=/,則/'⑴=.

【答案】4

【解析】

【分析】求導(dǎo)代值即可.

【詳解】/,(x)=4x3,.-./,(1)=4.

故答案為：4.

3.函數(shù)y=tan2x的最小正周期為.

JT

【答案】-

2

【解析】

71

【分析】利用l求出最小正周期.

7T

【詳解】y=tan2x的最小正周期為萬(wàn).

JT

故答案為：一

2

4.已知向量方=(3,4),b=(m,2),且萬(wàn)/區(qū)，則冽=.

3

【答案】-##1.5

2

【解析】

4

【分析】根據(jù)向量平行的充要條件列方程即可求解.

【詳解】若向量方=(3,4),B=且彳/區(qū)，則當(dāng)且僅當(dāng)4切=2x3=7"=—.

3

故答案為：一.

2

5.已知復(fù)數(shù)4=l+i,z2=i(其中i為虛數(shù)單位)，則上刊二.

【答案】V2

【解析】

【分析】由復(fù)數(shù)乘法以及模的計(jì)算公式即可求解.

【詳解】匕論|=|(l+i)i卜|-l+i|=J(一I?+1=6.

故答案為：V2-

6.若圓柱的軸截面面積為8,則它的側(cè)面積為_(kāi)___.

【答案】8兀

【解析】

【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為「，母線為/,由于圓柱的軸截面面積計(jì)算即可.

【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為廠，母線為/,

由于圓柱的軸截面面積為8,所以2〃=8,

所以它的側(cè)面積為2m"=8TI.

故答案為：8兀

7.函數(shù)/(x)=優(yōu)在x=l處的切線方程為.

【答案】V=ex

【解析】

【分析】先求得導(dǎo)函數(shù)及切點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)斜式方程的求法即可得切線方程.

【詳解】f(x)=ex,當(dāng)x=l時(shí)切點(diǎn)為(l,e),

且fr(x)=ex,則由導(dǎo)數(shù)幾何意義可知k=fr(l)=e

由點(diǎn)斜式可得＞=e(x—l)+e,即^==，

故答案為：V=ex.

【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線上一點(diǎn)的切線方程求法，屬于基礎(chǔ)題.

5

8.已知圓錐的母線長(zhǎng)為4,底面直徑48=4,則沿著側(cè)面從點(diǎn)A到點(diǎn)3的距離最小值是.

【答案】472-

【解析】

【分析】將其側(cè)面展開(kāi)，通過(guò)計(jì)算得到側(cè)面展開(kāi)圖為半圓，根據(jù)圖形可得最短距離.

【詳解】考慮圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，

由題意可知圓錐的母線長(zhǎng)為4,底面直徑為4,則半徑廠=2,

所以底面圓的周長(zhǎng)為4兀，

4兀

所以圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為4,圓心角為——二兀的扇形，即半徑為4的半圓，

4

如圖所示：

在直角三角形PZ8中，AP=BP=4,所以/5=4后，

所以沿著側(cè)面從點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離最小值為4血.

故答案為：472.

9.已知cos[事-a]=-g,則cos2a=.

7

【答案】——##-0.28

25

【解析】

【分析】利用誘導(dǎo)公式求出sina的值，再利用二倍角的余弦公式可求得結(jié)果.

（乃）.47

【詳角軍】cosa\=sma=——,因此，cos2a=l-2sin9a=----.

12J525

_,7

故答案為：----.

25

10.已知尸是邊長(zhǎng)為2的正六邊形/5CDE/上或其內(nèi)部的一點(diǎn)，則萬(wàn).萬(wàn)的取值范圍為

【答案】[—2,6]

【解析】

6

【分析】根據(jù)給定條件，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解.

【詳解】在正六邊形48CDE9中，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB,/￡所在直線分別為x軸、y軸，建立平面直角坐

標(biāo)系，如圖，

因?yàn)?3=2,則2（0,0）,8（2,0）,。（3,6）,￡?（2,26）,￡（0,26）,尸（-1,,

設(shè)尸（x,y）,由題意可知，一l4x<3,0<y<26，

所以不=（x,y）,方=（2,0）,則9=2xe[-2,6]，

故答案為：[-2,6]

11.如圖，已知一個(gè)半徑為2的半圓面剪去了一個(gè)等腰三角形4BC,將剩余部分繞著直徑48所在直線旋

轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)幾何體，則該幾何體的體積為.

【分析】在三角形中作于點(diǎn)，求得圓錐的底面半徑和高，計(jì)算出球體和圓錐體積即可求得結(jié)果.

【詳解】由題，V48c為等腰直角三角形，作于點(diǎn)。，如圖，

則VABC繞著直徑AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體為兩個(gè)全等的圓錐AO和BO,

7

由半徑為2可得圓錐底面圓半徑為。。=2,圓錐的高為2,

則圓錐49的體積為匕=-7rx22x2=-7i,

432

半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成半徑為2的球體，其體積為J/=-7lx23=y7l,

因此剩余部分所形成的幾何體的體積為廠=%-2匕=與兀.

故答案為：--71.

3

42

12.已知關(guān)于x的不等式（a+2）L+2a<0恰有兩個(gè)正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

e2x\）e

「19、

【答案】"

Lee；

【解析】

2

【分析】令/=/（x）=1,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)/（X）的單調(diào)區(qū)間，則不等式變?yōu)殛P(guān)于力的不等式

e

2

t2~（a+2）t+2a<Q,再分a=2,a>2和a<2三種情況討論，結(jié)合函數(shù)=j的單調(diào)性即可得出

e

答案.

【詳解】令/=/（%）=",則?。福ǎ毫耍?

當(dāng)x<0或x>2時(shí)，/，（%）<0,當(dāng)0<x<2時(shí)，/，（%）>0,

所以函數(shù)/（x）在（-叱。）和（2,+8）上遞減，在（0,2）上遞增，

4

/（0）=0,/（2）=-）

當(dāng)Xf-oo時(shí)，/（X）—+8,當(dāng)Xf+oo時(shí)，/（X）—0,

不等式變?yōu)殛P(guān)于t的不等式『—（Q+2"+2。<0,

若Q=2,則不等式無(wú)解，

Y2

若2時(shí)，則2<，<Q,即2<—<a，

止匕時(shí)x<0,與題意矛盾，

8

x

若a<2時(shí)，則Q<，<2,即Q<—<2,

e》

r24

因?yàn)閄為正整數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，—

exe2

Y2

所以二<2恒成立，

e%

Y2

則關(guān)于X的不等式^z<—恰有兩個(gè)正整數(shù)解，

e》

2

由函數(shù)/（切=?在（2,+8）上遞減，在（0,2）上遞增，

ex

且/⑴=：，/⑶=三〉/（1），/（4）（</（1）,

eee

可得/（l）〈a</（3），

nn「19、

即a￡一，二~?

Lee；

一，「19、

故答案為：~9~3?

【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問(wèn)題，考查了分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想，有一定的難度.

二、選擇題（本題滿分18分，13、14每小題滿分4分，15、16每小題滿分5分）

13.已知復(fù)數(shù)z=（2sina—l）+i（i為虛數(shù)單位），貝廣z為純虛數(shù)”是“a=四”的（）.

6

A,充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】由復(fù)數(shù)z=（2sina—l）+i為純虛數(shù)，求出a,判斷即可.

【詳解】復(fù)數(shù)z=（2sina—l）+i為純虛數(shù)，貝ij2sina—1=0,

兀571

解得a=—+2后I,左￡Z,或a=---F2kji,keZf

66

7TTT

所以若2為純虛數(shù)不一定得到a=—,但是由a二一一定能得到2為純虛數(shù)，

66

9

jr

故"z為純虛數(shù)”是“a=―”的必要非充分條件，

6

故選：B

14.設(shè)加、〃是兩條不同的直線，久僅是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中的真命題為（）

A.若加〃a,n//a,則加〃〃

B.若加a,則

C,若加〃a,加〃/3,則a//(3

D,若加_La,a_L，，則加||萬(wàn)

【答案】B

【解析】

【分析】在正方體中取直線和平面可排除ACD,由線面垂直的性質(zhì)可得B正確.

【詳解】在正方體48CD-EEG/f中，記底面ABCZ）為a,EF為m,EH為n,顯然A不正確；記底面

ABCD為a,EF為m,平面為乃，故排除C；記底面/BCD為a,BF為m,平面■為萬(wàn)，可

排除D；由線面垂直的性質(zhì)可知B正確.

15.如圖，在直三棱柱A8C-44cl的棱所在的直線中，與直線8G為異面直線的條數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

10

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)異面直線的概念分析即可求出所有符合條件的棱，進(jìn)而得到結(jié)果.

【詳解】與直線3。成異面直線的有4片,ZC,共3條，

故選：C.

16.已知函數(shù)＞=/(x)的導(dǎo)函數(shù)/'(x)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是()

A.函數(shù)歹=/(幻在區(qū)間(-3,3)內(nèi)有三個(gè)零點(diǎn)

B.函數(shù)％=-1是函數(shù)y=/(x)的一個(gè)極值點(diǎn)

C.曲線＞=/(x)在點(diǎn)(-2,{-2))處的切線斜率小于零

D.函數(shù)＞=/(x)在區(qū)間(-1,1)上是嚴(yán)格減函數(shù)

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象，可判斷原函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可逐一求解.

【詳解】在(-3,-2)單調(diào)遞增，在(-2,3)單調(diào)遞減，故在區(qū)間(-3,3)內(nèi)至多有兩個(gè)零點(diǎn)，A錯(cuò)

誤；

在x=-1的左右兩側(cè)/'(x)＜0,故x=-l不是極值點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；

根據(jù)/'(X)圖像可知/'(-2)=0,故y=/(x)在點(diǎn)(-2,〃-2))處的切線斜率等于零，c錯(cuò)誤；

/'(x)＜0在(一1,1)恒成立，故/(x)在區(qū)間(T,D上是嚴(yán)格減函數(shù)，故D正確.

故選：D

三、解答題(本大題共5題，滿分78分)

17.已知向量5=(21)，b

(1)若2與3的夾角為135°，求實(shí)數(shù)加的值;

11

（2）^aL（a-b\,求向量）在向量3上的投影向量坐標(biāo).

【答案】（1）—3或1；

3

【解析】

【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的定義和坐標(biāo)運(yùn)算即可求得加；

（2）根據(jù)￡，（￡-拉求得掰=7,再根據(jù)投影向量的定義即可求得.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)?=（2,1）/=（—1,加），則萬(wàn).'=加一2，卜|=，W=Jl+m~，

若［與否的夾角為135°，則由晨5=|a||6|cosl350,

_____61

可得：m—2—V5xvl+w2x（-----）（m<2），解的：加=—3或加=Q,

2J

則實(shí)數(shù)機(jī)的取值為-3或』.

3

【小問(wèn)2詳解】

a-b=（3,1-m）,因?yàn)镼_L（Q—%）,則5?（N-B）=2X3+1—加=0,

則加=7,可得：3=（-1,7），a-b=7-2=5,|^|=Vl+72=5A/2,

a-b-1-17

則［在3方向上的投影向量為：w'=（一歷，石）.

18.如圖，在正四棱柱48co—中，48=2,441=3.

（1）求//與底面48CD所成角;

（2）求點(diǎn)/到平面48。的距離.

3

【答案】(1)arctan-

2

12

⑵叵

11

【解析】

【分析】(1)由線面角的定義可知N4加即為所求，在/中利用三角函數(shù)進(jìn)行求解.

(2)在三棱錐4-48。中，利用等體積法求點(diǎn)/到平面48。的距離.

【小問(wèn)1詳解】

由題意得，48與底面N8CD所成角為N4B/,在氏〃4氏4中，

AA33

tanN4B4—---——,N4B4—arctan—,

1AB212

,3

故AXB與底面ABCD所成角為arctan-.

【小問(wèn)2詳解】

V四棱柱ABCD-481GA為正四棱柱，

AB—AD-2,

A&=AQ=砂+3?=5，BD=V22+22=272-

設(shè)點(diǎn)A到平面A.BD的距離為d,則：SAABD-AAX=S”-d，

即1223=、2亞-J13—2",解得：d=3后,

2211

所以點(diǎn)/到平面A.BD的距離為mz.

11

19.已知VZ8C的內(nèi)角4民。的對(duì)邊分別為見(jiàn)“c,已知a=3,b=2c.

2兀

(1)若力=7，求V4BC的面積；

(2)若2sin5-sinC=1,求sin/.

【答案】(1)見(jiàn)I(2)4也+下或4亞-下

1499

【解析】

【分析】(1)利用余弦定理解得°?的值，代入三角形面積公式即可的結(jié)果.

(2)由正弦定理得到sinB,sinC的關(guān)系，解出sin5,sinC的值，分類討論角8是否為銳角，利用和差角

13

公式計(jì)算出sinA的值.

【小問(wèn)1詳解】

b2+c2-a21

cosA=

2bc2

9

7

“BC27214

【小問(wèn)2詳解】

Vb=2c,由正弦定理可得sinB=2sinC

1.2

,/2sin5-sinC=1,sinC=—,sin5=—,

33

Vb=2c,8可能為銳角可能為鈍角，C為銳角,

cosC=71-sin2C=272

丁

當(dāng)B為銳角，cosB=Vl-sin2B=

3

1V52V224V2+V5

sin4=sin[兀一(C+8)]=sin(C+8)=sinCcosB+cosCsin5=—x1x—=-------

33339

當(dāng)3為鈍角,cosB=-Vl-sin2B=------

2V221V54V2-V5

sinA=sin[兀一(C+5)]=sin(C+8)=sinCcosS+cosCsinS=----X-----X---=----------

33339

??.sinZ=4亞+2/或4亞-出

99

20.如圖，平面48C,48為圓。的直徑，E,E分別為棱PC,的中點(diǎn).

(1)證明：防//平面48C；

(2)證明：平面平面上4C；

14

（3）若E4=45=4，AC=2,求二面角E—28—C的大小.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

后

（2）證明見(jiàn)解析（3）arccos-----

19

【解析】

【分析】（1）利用中位線定理得到所//8C,利用線面平行的判定定理即可得證；

（2）由4B為圓。的直徑，得到BC±AC,再利用線面垂直得到BC±PA,從而B(niǎo)C±平面PAC,結(jié)合（1）

中EFIIBC,所以EE，平面PAC,得到面面垂直.

（3）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量求解二面角大小.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)榉謩e為棱尸。，尸8的中點(diǎn)，所以EF//BC,

因?yàn)樗梗╖平面4BC,5Cu平面48C,

所以EE//平面ABC;

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)?8為圓。的直徑，所以8CLZC,

因?yàn)槭矫鍭BC,5Cu平面4BC,所以BC,尸4

又R4口ZC=Z,P4,ACu平面PAC,所以3CJ_平面PAC,

由（1）知ER//8C,所以EE,平面PNC,又EEu平面￡石4

所以平面EFA±平面PAC.

【小問(wèn)3詳解】

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系,

因?yàn)?=AC=2,

15

所以4(0,0,0),8(0,4,0),尸(0,0,4),C(-73,1,0)

(JiI}

尸C中點(diǎn)E即為E--—,—,2,

22

\7

設(shè)面￡48的法向量為〃1=(x,y,z),

,-?—?

n,?AE-0-43x+y+4z=0

則《」一，可得《

?AB-0j=0

令X=4,則y=0/=也,%=卜,0,

又面ABC的法向量可表示為0=(0,0,1),

cos/,%=々?%

V19xl19

廚

二面角E—AB—C的大小為arccos---.

19

21.解答下列問(wèn)題:

求函數(shù)/(x)=0(X>0)的極小值;

(1)

X

(2)若/eR,函數(shù)〃(x)=xe一比為R上嚴(yán)格增函數(shù)，求實(shí)數(shù)/的取值范圍;

已知S(%)=Q]—I-luxj——

(3)xe(O,+oo),且〉=g(x)只有一個(gè)極大值點(diǎn),求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

X

2

【答案】(1)—e

4；

(2)(-00,-

2

e

(3)(-00,—]u

【解析】

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)求解即可;

(2)由題意可知〃'(x)=(x+l)e*T20在R上恒成立，即/V(x+l)e、R上恒成立，設(shè)

16

x

(p(x)=(x+l)e?xeR,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)0(x)的最小值即可；

(3)求導(dǎo)得g，(x)=(x3)(a：2e，),xe(0)+ra))分<0恒成立，及辦2一^=0有兩實(shí)數(shù)根,

X

分別求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)?。)=與?！?),所以廣3=生咨，

JCX

所以當(dāng)XC(0,2)時(shí)，“久)<0,/(X)單調(diào)遞減；

當(dāng)xw(2,+8)時(shí)，/⑺>0,/(X)單調(diào)遞增，

2

所以當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)取得極小值為/(2)=\e,

2

所以函數(shù)的極小值為Je；

4

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)〃(x)=xe'-/x為R上嚴(yán)格增函數(shù)，

所以"'(x)=(x+l)e'Ti0在R上恒成立,

即/V(x+l)ex在R上恒成立，

設(shè)9(x)=(x+l)e",x￡R,

貝i」9'(x)=(x+2)e”,

當(dāng)工￡(-8,-2)時(shí)，0'(%)<0,?(%