重難點20 三角函數(shù)解答題十一大題型【2024高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)題型突破】（解析版）

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2重難點專題20三角函數(shù)解答題十一大題型匯總題型1識圖問題 1題型2單調(diào)性問題 8題型3對稱軸與對稱中心問題 14題型4值域問題 21題型5最值問題 29題型6湊角求值問題 37題型7方程的根問題 47題型8零點問題 54題型9恒成立問題 65題型10有解問題 75題型11實際應(yīng)用問題 82題型1識圖問題注意正余弦"第一零點"和"第二零點"的區(qū)別和聯(lián)系.正弦“第一零點”：x=2kπ；正弦“第二零點”：x=π＋2kπ.余弦"第一零點"：x=-π2+2kx；余弦"第二零點"：x=π【例題1】（2022秋·安徽六安·高三六安二中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx=2sinωx+φ0<φ<π2的部分圖像如圖，該圖像與y軸交于點A0,3，與x軸交于點B（1）求fx（2）若將fx的圖像向右平移π12個單位，再將所得圖像上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），得到函數(shù)gx的圖像，若g【答案】（1）2sin2x+π3，【詳解】分析：（1）由△BCD的面積為π2可得T=π，ω=2，由f0=2sinφ=3，從而可解得φ的值，從而解得fx=2sin（2）由題意易知gx=2sin詳解：（1）因為函數(shù)fx=2sin故△BCD的面積S=12×所以函數(shù)fx的周期T=π，即ω=2由函數(shù)fx的圖像與y交于點A0,3，得f∵0<φ<π2，∴所以fx由-π2+2kπ≤2x+得-5π12+kπ≤x≤所以fx的單調(diào)遞增區(qū)間為-（2）由題意易知gx∵gα=8∵π2<α<π，∴∴cosα+所以sin=sin點睛：本題考查由y=Asin【變式1-1】1.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)求fx(2)將fx的圖像沿x軸向右平移23個單位得到函數(shù)gx的圖像，P，Q分別為函數(shù)g【答案】(1)f(2)∠OQP=【分析】（1）利用兩角和的正弦公式化簡函數(shù)的解析式為fx=3sinωx+π3（2）由條件根據(jù)y=Asinωx+φ的圖像變換規(guī)律，可得函數(shù)gx=3sinπ2x，求出P，Q的坐標，可得OP=2（1）fx=3=3=3∵T=4，ω>0，∴ω=2π∴fx（2）將fx的圖像沿x軸向右平移23個單位得到函數(shù)∵P，Q分別為該圖像的最高點和最低點，∴P1,3，∴OP=2，PQ=4，OQ=12∴cos∴∠OQP=π【變式1-1】2.（2022湖南長沙·統(tǒng)考一模）如圖是函數(shù)f(x)=Asin（1）求出A,ω,φ的值；（2）當x∈(0,π2)【答案】（1）A=2,ω=2,φ=π3【分析】（1）由三角函數(shù)的圖像確定函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的步驟①求A：確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則A=M-m2;②求ω，確定函數(shù)的周期T，則ω=2π（2）求三角不等式的解集，一般要把三角函數(shù)化為Asin【詳解】（1）由圖可知，該函數(shù)的最大值M=2和最小值m=-2，則A=M-m該函數(shù)周期T=4×π3-π12將點π12,2代入上式，可得2sinA=2,ω=2,φ=π（2）由2sin2x>4由x∈(0,π2)得2x+【變式1-1】3.（2022秋·江西贛州·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)fx=Asinωx+φx∈R,A>0,ω>0,0<φ<π2圖像如圖，P是圖像的最高點，Q為圖像與x（1）求函數(shù)y=fx（2）將函數(shù)y=fx圖像向右平移1個單位后得到函數(shù)y=gx的圖像，當x∈0,2【答案】（1）fx=sin【分析】（1）運用余弦定理，解△OPQ，算出P點的坐標，求得A，ω,φ；（2）根據(jù)函數(shù)平移性質(zhì)，求出gx的解析式，對hx進行恒等變換，用輔助角公式將【詳解】(1)由余弦定理，得cos∠POQ=OP2得點P的坐標為12,1，由f12=∴fx(2)由題意，gxhx當x∈0,2時，2π當2π3x-π綜上，fx=sinπ3【變式1-1】4.（2022秋·湖北武漢·高三華中師大一附中?？计谥校┖瘮?shù)fx=sin(1)求函數(shù)y=fx(2)將y=fx的圖像向右平移π4個單位，再向上平移2個單位得到y(tǒng)=gx【答案】(1)f(2)2+【分析】（1）根據(jù)圖象可求函數(shù)的對稱方程及34（2）根據(jù)圖象平移可求gx的解析式，故可求g【詳解】（1）由圖象可得函數(shù)圖象的一條對稱軸為x=-故34×2πω而f(-π3)而φ<π，故φ=-5π（2）將y=fx的圖像向右平移π4個單位，再向上平移2個單位得到故gx故g=2+6題型2單調(diào)性問題函數(shù)Y=sinxY=cosxY=tanx單調(diào)性[-[π[-π+2[2(-π【例題2】（2023秋·湖南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)fx（1）求fx的最小正周期、最大值及取最大值時x（2）討論fx在區(qū)間-【答案】（1）最小正周期π；當x=kπ+5π12,k∈Z時，最大值為32（2）遞增區(qū)間為-π【分析】（1）由三角恒等變換的公式，化簡函數(shù)fx（2）由x∈-π2【詳解】（1）由題意，函數(shù)f=1-cos2x所以fx的最小正周期T=當2x-π3=2kπ+π2,k∈Z，即（2）由x∈-π2結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得：當-4π3≤2x-當-π2≤2x-π3當π2≤2x-π3≤綜上可得，函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間為-單調(diào)遞減區(qū)間為-π2,-【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的恒等變換，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用三角函數(shù)的恒等變換，求得函數(shù)的解析式，再結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.【變式2-1】1.（2023秋·山東臨沂·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)f（x）=3sinωxcosωx+cos2ωx﹣12（ω＞0），與其圖象的對稱軸x=π6相鄰的f（x）的個零點為（1）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣π6,π（2）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其中c=，f（C）=1．若向量π=（1，sinA），n=（sinB，﹣3），且π⊥n，求a，b．【答案】(1)fx在區(qū)間-π【分析】（1）利用三角恒等變換化簡f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求得ω的值，可得函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣π6,π（2）利用兩個向量垂直的性質(zhì)，求出C，再利用正弦定理求得b=3【詳解】（1）f=3∵與fx圖像的對稱軸x=π6相鄰的f∴14∴ω=1，∴fx則函數(shù)y=sinz單調(diào)增區(qū)間是由-π∴-π∴fx的單調(diào)增區(qū)間為-當k=0時，fx單調(diào)增區(qū)間為-又∵x∈-所以fx在區(qū)間-（2）fC則sin2C+因為0<C<π，所以π6<2C+π6因為m⊥n，所以m?n=0，即sinB=由正弦定理得b=3由余弦定理得c2即3=a由①②解得a=3【點睛】本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，兩個向量垂直的性質(zhì)，正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題【變式2-1】2.（2022·天津河西·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)f（1）求fx（2）討論fx在區(qū)間-【答案】（1）π.（2）fx在區(qū)間-π4【分析】（1）根據(jù)題意，利用三角恒等變換化簡f(x)為標準正弦型三角函數(shù)，利用最小正周期求解公式即可求得結(jié)果；（2）先求得f(x)在R上的單調(diào)增區(qū)間，結(jié)合區(qū)間-π【詳解】（1）依題意，fx=cos（2）依題意，令-π2+2kπ≤2x+解得-π所以fx的單調(diào)遞增區(qū)間為-π3設(shè)A=-π4,π所以當x∈-π4,π在區(qū)間π6【點睛】本題考查利用三角恒等變換化簡三角函數(shù)解析式，以及用公式法求正弦型三角函數(shù)的最小正周期，用整體法求正弦型三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬綜合中檔題【變式2-1】3.（2022天津濱海新·校聯(lián)考一模）設(shè)函數(shù)f(x)=((1)求f(x)的最小正周期；(2)討論f(x)在區(qū)間(0,π【答案】(1)T(2)f(x)在區(qū)間(0,π12)【分析】（1）先根據(jù)誘導(dǎo)公式、二倍角公式以及輔助角公式將函數(shù)化為基本三角函數(shù)，再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)得fx（2）根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求0,π2上單調(diào)區(qū)間，即得fx（1）fx=1（2）令-π2+2kπ<2x+∵x∈0,π2，∴f令π2+2kπ<2x+π故fx在區(qū)間π【變式2-1】4.（2022秋·四川雅安·高三雅安中學(xué)階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)求fx(2)討論fx在0,【答案】(1)最大值為2，對稱中心為：k(2)遞增區(qū)間：0,π3和5【分析】（1）由正余弦的倍角公式和降冪公式，fx可化簡為fx=2（2）先求得fx最大增區(qū)間與減區(qū)間，再與0,【詳解】（1）fx=3sin2x-cos2x=2sin2x-（2）先求fx的單調(diào)增區(qū)間，由-π2+2kπ≤2x-π6≤同理可求得fx的單調(diào)減區(qū)間π3+kπ,故fx的遞增區(qū)間：0,π3和【變式2-1】5.（2022春·安徽安慶·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=sin（1）討論函數(shù)f(x)在[0,π]上的單調(diào)性；（2）設(shè)π4<α<π2，且【答案】（1）f(x)在區(qū)間[0,π8]、[5π8【詳解】（1）將函數(shù)化簡得f(x)=2sin(2x+π4)，由正弦函數(shù)性質(zhì)可求出函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π]上和單調(diào)性；（2）由f(α)=-5213得，sin試題解析：（1）f(x)=sin2x-sin2x+由x∈[0,π]得2x+π當2x+π4∈[π4當2x+π4∈[π2當2x+π4∈[3π2綜上，函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π8]、[（2）由f(α)=-5213，即2因為π4<α<π2，所以則sin2α=sin[(2α+=2【點睛】本題考查三角恒等變換、函數(shù)的的單調(diào)性，涉及函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價轉(zhuǎn)化能力、運算求解能力，具有一定的綜合性，屬于中等題型.第一小題先將函數(shù)化簡，再求出在R上的單調(diào)性，再求出[0,π]上的單調(diào)性；第二小題求出sin(2α+π4題型3對稱軸與對稱中心問題函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性質(zhì)(1)奇偶性：φ＝kπ(k∈Z)時，函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)為奇函數(shù)；φ＝kπ＋π2(2)周期性：y＝Asin(ωx＋φ)存在周期性，其最小正周期為T=2π(3)單調(diào)性：根據(jù)y＝sint和t＝ωx＋φ(ω>0)的單調(diào)性來研究，由－π2＋2kπ≤ωx＋φ≤π2＋2kπ(k∈Z)得單調(diào)增區(qū)間；由π2(4)對稱性：利用y＝sinx的對稱中心為(kπ，0)(k∈Z)來解，令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求得其對稱中心．利用y＝sinx的對稱軸為x＝kπ＋π2(k∈Z)來解，令ωx＋φ＝kπ＋π【例題3】（2021·陜西咸陽·校考二模）已知函數(shù)f(1)求函數(shù)fx(2)當x∈π8,【答案】(1)函數(shù)fx的對稱軸為x=k(2)-1,【分析】（1）利用二倍角公式以及輔助角公式化簡fx（2）采用整體替換的方法，先確定出2x-π4的取值范圍，然后根據(jù)正弦函數(shù)確定出最值，由此求解出【詳解】（1）因為fx令2x-π4=k令2x-π4=k所以函數(shù)fx的對稱軸為x=kπ（2）因為x∈π8,當2x-π4=π2，即x=當2x-π4=5π4，即x=所以函數(shù)fx的值域為-1,【變式3-1】1.（2022秋·天津靜海·高三靜海一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=2sinωxcosωx+3cos2ωx(1)求gx(2)求gx【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析【分析】（1）先求得函數(shù)fx解析式，進而得到函數(shù)gx解析式，利用代入法去求（2）利用代入法去求gx【詳解】（1）f(x)=2=sin2ωx+由函數(shù)fx周期為π，可得2π2當ω=1時，g(x)=2由-π2則gx的單調(diào)增區(qū)間為由π2+2k則gx的單調(diào)減區(qū)間為當ω=-1時，g(x)=2由-π2則gx的單調(diào)增區(qū)間為由π2+2k則gx的單調(diào)減區(qū)間為（2）當ω=1時，g(x)=2由x+π3則g(x)的對稱軸方程為x=π6由x+π3則g(x)的對稱中心為-π3當ω=-1時，g(x)=2由x+2π3則g(x)的對稱軸方程為x=-π6由x+2π3則g(x)的對稱中心為-2π3【變式3-1】2.（2022秋·江蘇蘇州·高三蘇州市第五中學(xué)校開學(xué)考試）已知函數(shù)f(x)=5sin(1)求f(x)的周期和最值；(2)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間；(3)寫出f(x)的圖象的對稱軸方程和對稱中心坐標．【答案】（1）π，f(x)max=5，f(x)min=-5【分析】（1）化簡函數(shù)f(x)=5sinxcosx-53cos2（2）由-π2+2kπ≤2x-π3（3）由2x-π3=π2+kπ(k∈Z)得f(x)的圖象的對稱軸方程；由【詳解】f(x)=5=5sin(1)T=2π2=π；當2x-π3當2x-π3=-π2(2)由-π2+2kπ≤2x-π3≤π故f(x)的單調(diào)增區(qū)間為：[-π(3)由2x-π3=π2故f(x)的圖象的對稱軸方程是x=5π由2x-π3=kπ(k∈Z)得x=f(x)的圖象的對稱中心坐標是(π【變式3-1】3.（2022·山西呂梁·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)f(x)=2asin2x+2（1）求常數(shù)a；（2）求函數(shù)f(x)的最小正周期、單調(diào)區(qū)間、對稱軸方程、對稱中心坐標；（3）當x∈[0,π2]【答案】（1）a=3；（2）T=π，單調(diào)增區(qū)間[-π12+kπ,5π12+kπ](k∈Z)；單調(diào)減區(qū)間[【詳解】試題分析：（1）把點(0,-3)代入函數(shù)表達式即可求得試題解析：（1）把點(0,-3)代入函數(shù)表達式，得-3（2）f(x)=23周期T=π；單調(diào)增區(qū)間[-π12+kπ,對稱軸x=5π12+（3）因為0≤x≤π2，所以-π所以-3≤2sin(2x-π考點：1、倍角公式；2、兩角差的正弦函數(shù)；3、正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)【變式3-1】4.（2022秋·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)fx(1)求fx(2)若x0∈5π12【答案】(1)最小正周期為π，對稱中心為k(2)-【分析】（1）展開化簡fx=sin2x-π3-1（2）根據(jù)fx0=33【詳解】（1）因為f=12sin2x-3令2x-π3=k所以fx的對稱中心為（2）因為fx0=所以sin2因為x0∈5所以cos2所以cos=-6【變式3-1】5.（2021秋·安徽六安·高三六安市裕安區(qū)新安中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量a=(sinωx+cosωx,sinωx)，向量b(1)求函數(shù)fx(2)將函數(shù)fx的圖象向左平移π12個單位，再向下平移1個單位，得到函數(shù)gx【答案】(1)k(2)k【分析】（1）先通過向量的數(shù)量積及降冪公式進行化簡，利用關(guān)于直線x=π3對稱，求出參數(shù)（2）直接將函數(shù)進行平移得到gx(1)∵向量a=(sinωx+∴f(x)=a∵圖象關(guān)于直線x=π3對稱，其中常數(shù)∴2ω?π3-π6=kπ∴f(x)=2sin∵令2kπ+π∴f(x)=2sinkπ(2)將函數(shù)fx的圖象向左平移π得y=2sin再向下平移1個單位后得到函數(shù)gx令2x=kπk∈Z，則有y=gx對稱中心為k題型4值域問題求三角函數(shù)值域的常用方法(1)求解形如y＝asinx＋b(或y＝acosx＋b)的函數(shù)的最值或值域問題時，利用正、余弦函數(shù)的有界性(－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1)求解．求三角函數(shù)取最值時相應(yīng)自變量x的集合時，要注意考慮三角函數(shù)的周期性．(2)求解形如y＝asin2x＋bsinx＋c(或y＝acos2x＋bcosx＋c)，x∈D的函數(shù)的值域或最值時，通過換元，令t＝sinx(或cosx)，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)，利用配方法求值域或最值即可．求解過程中要注意t＝sinx(或cosx)的有界性．【例題4】（2023春·陜西寶雞·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)fx(1)列表并畫出y=fx，x∈

(2)求函數(shù)gx=f1+x【答案】(1)答案見解析(2)-2,22【分析】（1）根據(jù)五點作圖法畫出圖象.（2）化簡gx【詳解】（1）列表：π0ππ32x-214710y020-20作圖：

（2）由已知g=2cos由已知π4∴-2∴-2≤gx∴函數(shù)gx=f1+x+f【變式4-1】1.（2023秋·河南·高三鄭州一中校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)fx(1)是否存在m>0，使得fx=fm-x對?x∈R(2)若x∈-π3【答案】(1)存在，取m=2k+1(2)1-3【分析】（1）由題可得f2k+1（2）利用（1）可得fx在-π3,π【詳解】（1）取m=2k+1證明如下：因為f2k+1所以m=2k+1（2）由（1）可知，fx所以fx在π2,π上的值域與因此fx在-π3,π當x∈-π3,π2時，cosx≥0又x+φ∈φ-π3所以f(x)所以fx在-π3【變式4-1】2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fx（1）求函數(shù)fx（2）將函數(shù)fx的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，再將所得圖象向左平移π6個單位，得到函數(shù)gx的圖象，求函數(shù)h【答案】（1）kπ+5π12,kπ+【分析】（1）通過降冪公式和輔助角公式將函數(shù)f（x）化簡，進而求出單調(diào)遞減區(qū)間；（2）先通過圖象變換求出函數(shù)g（x），進而通過降冪公式和輔助角公式將函數(shù)h（x）化簡，進而求出函數(shù)的值域.【詳解】（1）fx令π2+2kπ≤2x-∴函數(shù)fx的單調(diào)遞減區(qū)間為：5π（2）將函數(shù)fx的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y=sinx-π3∴hx=1∵x∈π6,7π12∴0≤2即hx的值域為：0,【變式4-1】3.（2023秋·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在△ABC中，A+B=2C且cosA+(1)求角B的大?。?2)設(shè)函數(shù)fx=2cosxsin【答案】(1)B=(2)-【分析】（1）根據(jù)A+B=2C解得C=π3，然后根據(jù)三角恒等變化求解角（2）化簡函數(shù)解析式，然后利用整體代入法求解函數(shù)的值域；【詳解】（1）因為A+B=2C，又A+B+C=π所以C=π因為cosA+所以cosA-根據(jù)三角恒等式變化，2即cosA+所以A+π4=B+解得：A=B，又A+B+C=π所以B+B+π即B=π（2）f=2cos當x∈π42cos11π所以-6則fx的值域為-【變式4-1】4.（2023春·陜西西安·高三西安中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx=sinπ-ωx(1)求ω的值；(2)將函數(shù)y=fx的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的12，縱坐標不變，得到函數(shù)y=gx的圖象，求函數(shù)y=g【答案】(1)1(2)0,【分析】（1）根據(jù)題意利用二倍角公式和輔助角公式可得fx=22sin（2）根據(jù)三角函數(shù)平移規(guī)則可得gx=2【詳解】（1）易知fx由題意可得T4=又T=2π（2）由（1）知f由平移規(guī)則可得gx當x∈0,π由正弦函數(shù)單調(diào)性可知-2所以g即函數(shù)y=gx在區(qū)間0,π【變式4-1】5.（2021秋·重慶涪陵·高三重慶市涪陵高級中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)f(x)=3sinωx+（1）求f(x)的解析式；（2）將函數(shù)f(x)的圖像向右平移π6個單位長度，再把橫坐標縮小為原來的12（縱坐標不變），得到函數(shù)y=g(x)的圖像，當x∈-（3）對于第（2）問中的函數(shù)g(x)，記方程g(x)=43在x∈π6,【答案】（1）fx=2sin2x；（2）[-2,3【分析】（1）利用降冪公式與輔助角公式化簡f(x)，再根據(jù)相鄰兩對稱軸間的距離為π2，所以T=π求解w（2）根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換得到g(x)=2sin（3）結(jié)合三角函數(shù)圖象，畫圖分析x1【詳解】（1）由題意，函數(shù)f(x)==3sin(ωx+π6)-cos(ωx+π故f（2）將函數(shù)f(x)的圖像向右平移π6個單位長度，可得y=2再把橫坐標縮小為原來的12，得到函數(shù)y=g(x)=2當x∈-π12當4x-π3=-π2當4x-π3=π3時，函數(shù)g(x)取得最大值，最大值為3（3）由方程g(x)=43，即2sin因為x∈π6,4π3，可得4x-π3結(jié)合正弦函數(shù)y=sin可得方程sinθ=23在區(qū)間π其中θ1即4解得x所以x1【變式4-5】6.（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)f(x)=sinx-cos(1)求函數(shù)y=f(x)?f(-x)的最小正周期及其對稱中心；(2)求函數(shù)y=[f(x)]2+【答案】(1)周期π，對稱中心為π(2)[2-【分析】（1）利用二倍角公式將y=f(x)?f(-x)的表達式化簡，即可求得函數(shù)的最小正周期，結(jié)合余弦函數(shù)的對稱中心可求得函數(shù)y=f(x)?f(-x)的對稱中心；（2）將函數(shù)y=[f(x)]2+（1）函數(shù)y=f(x)?f(-x)=cos2x-令2x=π2+kπ(k∈所以對稱中心為π4（2）函數(shù)y==1-sin因為x∈-π4故sin2x+故y∈[2-2題型5最值問題【例題5】（2023·遼寧沈陽·東北育才雙語學(xué)校校考一模）已知函數(shù)f(x)=2cos2ωx+23sinωxcosωx+a（ω>0，a∈R）.再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇能確定函數(shù)f(x)解析式的兩個合理條件作為已知，條件①：f(x)的最大值為1；條件②：(1)求函數(shù)f(x)的解析式；并求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間、對稱中心坐標；(2)若將函數(shù)f(x)圖象上的點縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?2，再向右平移π12單位，得到函數(shù)g(x)的圖象，若g(x)在區(qū)間[0,m]上的最小值為【答案】(1)f(x)=2sin(2x+π6)-1；[-π3(2)π【分析】（1）利用二倍角公式、輔助角將f(x)化為f(x)=2sin(2ωx+π6)+a+1，然后根據(jù)函數(shù)性質(zhì)選擇條件求出ω（2）利用函數(shù)平移變換得gx=2sin【詳解】（1）f=cos當選條件①時，a+3=1，解得a=-2；當選條件②時，2ω?-顯然條件②不合理；當選條件③時，T2=π解得ω=1；綜上所述，條件①③能確定函數(shù)fx且f(x)=2sin令-π得-π3所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[-π3+k令2x+π6=kπ，得所以函數(shù)f(x)的對稱中心坐標為(-π12+k（2）將函數(shù)f(x)圖象上的點縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?2得到y(tǒng)=2sin(4x+π得到函數(shù)y=2sin即gx因為x∈0,m，所以4x-因為gx在區(qū)間0,m上的最小值為g所以4m-π6≤所以m的最大值為π3【變式5-1】1.（2023秋·北京·高三北京市八一中學(xué)校考開學(xué)考試）已知函數(shù)fx=2sinωx+φ+1（Ⅰ）在①fx的一條對稱軸x=-π3；②fx的一個對稱中心5π12（Ⅱ）若動直線x=t?t∈0,π與fx和gx=23sinx注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】（Ⅰ）選①或②或③，fx=2sin2x+π6+1；（Ⅱ）當t=0【解析】（Ⅰ）先根據(jù)題中信息求出函數(shù)y=fx的最小正周期，進而得出ω=2選①，根據(jù)題意得出-2π3+φ=π2+kπ?選②，根據(jù)題意得出5π6+φ=kπ?k∈Z，結(jié)合φ的取值范圍可求出選③，根據(jù)題意得出sin5π3+φ=-12，結(jié)合（Ⅱ）令hx=fx-gx，利用三角恒等變換思想化簡函數(shù)y=hx的解析式，利用正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)求出ht【詳解】（Ⅰ）由于函數(shù)y=fx圖象上兩相鄰對稱軸之間的距離為π2，則該函數(shù)的最小正周期為T=2×π2=π若選①，則函數(shù)y=fx的一條對稱軸x=-π3得φ=7π6+kπ?k∈Z，∵-此時，fx若選②，則函數(shù)y=fx的一個對稱中心5π12,1得φ=kπ-5π6?k∈Z，∵-π此時，fx若選③，則函數(shù)y=fx的圖象過點5π6,0得sin5π3+φ=-1∴5π3+φ=11π6綜上所述，fx（Ⅱ）令hx=fx-gx∵t∈0,π，∴2t∈0,2π，當2t=0或2t=2π時，即當t=0或線段PQ的長取到最大值2.【點睛】本題考查利用三角函數(shù)的基本性質(zhì)求解析式，同時也考查了余弦型三角函數(shù)在區(qū)間上最值的計算，考查計算能力，屬于中等題.【變式5-1】2.（2022秋·安徽·高三校聯(lián)考期末）設(shè)向量m=(2cosωx,3sin(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)若將函數(shù)f(x)圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?2，再向右平移π12個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，若g(x)在區(qū)間[0,t]上的最小值為【答案】(1)f(x)=2(2)π【分析】（1）先將f(x)用三角恒等變換公式化簡，再根據(jù)最大值和相鄰兩條對稱軸之間的距離分別求出a和ω代入即可；（2）根據(jù)三角函數(shù)圖像變換規(guī)律，得到函數(shù)g(x)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)求m的最大值.【詳解】（1）f(x)==2sin所以f(x)的最大值為2+a+1=1，所以a=-2，又因為該函數(shù)圖象相鄰兩個對稱中心之間的距離為π2所以該函數(shù)的最小正周期為π，所以2π所以f(x)=2sin（2）由題意得g(x)=2sin因為0≤x≤t,-π則y=sinx在-π6,由題意可得：4t-π又t>0，所以0<t≤π故實數(shù)t的最大值為π3【變式5-1】3.（2022秋·寧夏銀川·高三?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a,b,c，且sin(1)當B=π3，求(2)求B的最大值.【答案】(1)sinC+sinA=1(2)2【分析】（1）代入B=π3，解得32sinC+12cosC=33，對sin【詳解】（1）由題意得：sinC即32則sin（2）sinCcosB2sinCcos2B由正弦定理得：a+c=2由余弦定理得：cosB=因為ac≤a+c24此時cosB=b26ac-1≥-12故B的最大值為2【變式5-1】4.（2020秋·上海黃浦·高三上海市大同中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知a=(3,-1),（1）若A={x|f(x)=0,x∈R},B=[-π,π]，用列舉法表示A∩B；（2）求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間以及當函數(shù)取得最大值時，a和b的夾角θ.【答案】（1）-11π12,-5π12,π12,7π【分析】（1）求出f(x)，并化簡變形為一個角一個三角函數(shù)形式，然后可求得集合A，得A∩B；（2）結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可求得f(x)的增區(qū)間和最大值，及相應(yīng)的x值，從而向量b確定，由向量的夾角公式求夾角．【詳解】（1）由題意f(x)=3sin=3f(x)=sin(2x-π6)=0∴A={x|x=kπ2+A∩B={-11π（2）由（1）f(x)=sin2kπ-π2≤2x-∴增區(qū)間為[kπ-π6,kπ+f(x)max=1，此時2x-π6sin2x=cos(2x-b=(32,1∴<a【點睛】本題考查兩角和與差的正弦公式和余弦公式，考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查數(shù)量積與求向量的夾角．三角函數(shù)問題中的函數(shù)常常化為f(x)=Asin(ωx+φ)形式，然后結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)解題，向量夾角公式為：【變式5-1】5.（2020·安徽馬鞍山·校聯(lián)考一模）在△ABC中的內(nèi)角A、B、C，sin(A-B)=sinC-sinB，D是邊BC（1）求A的大小．（2）當t取最大值時，求tan∠ACD【答案】（1）A=π3【詳解】試題分析;（1）由sinA-B=sinC-sinB，可得sinB=sinA+B（2）設(shè)BD=x，∠BAD=θ，θ∈0,π3，則DC=2x，sinB=tsinθ.由正弦定理得AD=tx，sinC=t2sinπ3-θ.又sinC=sin2π3-B=32cosB+t2sin試題解析：（1）因為sinA-B=sinC-sinB，所以sinB=sinC-sinA-B（2）設(shè)BD=x，∠BAD=θ，θ∈0,π3，則DC=2x，sinB=tsinθ.由正弦定理得AD=tx，sinC=ADsin∠DACDC=t2sinπ3-θ.又sinC=sin2π3-B=32cosB+12sinB=【點睛】本題考查正弦定理、勾股定理，求角轉(zhuǎn)化為求角的某個三角函數(shù)值，以及基本不等式求最值問題等，其中著重考查化簡、變形能力．題型6湊角求值問題1.“打散”：角度不一致，可以拆開2.“重組”：系數(shù)次冪一致，合并為正弦余弦，便于使用輔助角“化一”【例題6】（2020秋·新疆·高三烏魯木齊市第70中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=3sinωx（1）求函數(shù)y=fx（2）已知角α,β,θ滿足：fα2?fβ2=-4【答案】（1）f(x)=2cos2x【分析】（1）化簡函數(shù)得到f(x)=2cosωx，根據(jù)周期為（2）代入數(shù)據(jù)得到cosα?cosβ=-23【詳解】（1）f(x)==32sinωx+12（2）∵fα2又∵∴sinα?=sin【變式6-1】1.（2022秋·山東棗莊·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)f（x）=2sinωxcosωx﹣23sin2ωx+3（ω＞0），直線x=x1，x=x2是函數(shù)y=f（x）的圖象的任意兩條對稱軸，且|x1﹣x（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；（Ⅲ）若f（α）=23，求sin（5【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）﹣70【詳解】試題分析：（I）利用二倍角公式即輔助角公式，化簡函數(shù)，利用直線x=x1，x=x2是函數(shù)y=f（x）的圖象的任意兩條對稱軸，且|x1﹣x（II）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；（III）由f（a）=23，可得sin（2a+π3）=13，根據(jù)sin（56π﹣4a）=sin[3π2﹣2（2a+π3解：（I）∵f（x）=2sinωxcosωx﹣23sin2ωx+3=sin2ωx+3cos2ωx=2sin（2ωx+π3∵直線x=x1，x=x2是函數(shù)y=f（x）的圖象的任意兩條對稱軸，且|x1﹣x2|的最小值為π2∴函數(shù)的最小正周期為π∴2π2ω∴ω=1；（II）由（I）知，f（x）=2sin（2x+π3∴﹣π2+2kπ≤2x+π3≤∴﹣5π12+kπ≤x≤π∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[﹣5π12+kπ，π（III）∵f（a）=23，∴sin（2a+π3∴sin（56π﹣4a）=sin[3π2﹣2（2a+π3）]=﹣cos[2（2a+π3）]=2sin2（2a+考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式；復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性．【變式6-1】2.（2021秋·河南·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+?)ω>0,?<(1)求f(x)的解析式；(2)若sin4α-cos4α=-【答案】(1)f(x)=2(2)3-4【分析】(1）先求出周期,由此求出ω的值,利用對稱軸方程求出?，即可得到函數(shù)的解析式;(2)利用平方差公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系式,結(jié)合二倍角的余弦公式,求出cos2α,由此得到sin(1)因為函數(shù)f(x)圖象的對稱軸與相鄰對稱中心之間的距離為π4所以T=π，故ω=2π又f(x)的圖象的一條對稱軸方程為x=π6，則2×π6+?=π2+kπ，k∈Z(2)當sin4α-cos因為sin4α-cos故cos2α=因為α∈0,π2則fα+π3【變式6-1】3.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=sinωx(sinωx+cos(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間以及f(x)圖象的對稱中心坐標；(2)是否存在銳角α，β，使α+2β=2π3，f(α+π2【答案】(1)遞增區(qū)間為[-π2+4kπ,3π2+4kπ](2)存在；α=π3【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換化簡解析式，再根據(jù)正弦型函數(shù)圖象性質(zhì)求解即可；（2）由誘導(dǎo)公式可得f(α+π2)?f(2β+3π2)=(1)解：f(x)==1-由f(x)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為2π，得f(x)的最小正周期T=4π=所以f(x)=2由-π2+2kπ≤12所以f(x)的遞增區(qū)間為[-π2+4k由12x-π4=kπ（所以f(x)圖象的對稱中心的坐標為(π2+2k(2)解：存在．因為f(α+π2)=所以f(α+π所以sinα又α+2β=2π3，α=即(32cos即32×1+所以tan2β=3，由β為銳角，得0<2β<π，所以2β=π3故存在α=π3，【變式6-1】4.（2022·全國·高三專題練習(xí)）在下列三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并加以解答.①圖象上一個最低點為M2π3,-2；②直線問題：已知函數(shù)fx=4cosωxsinωx+φ-1（1）求fx（2）若α為銳角，且fα2=【答案】條件選擇見解析.（1）fx=2【分析】（1）先化簡fx，由題意計算出ω的值，若選①將最低點M2π3,-2代入，計算出結(jié)果；若選②，x=π6是一條對稱軸求得（2）由題意計算出sinα+π6【詳解】（1）f=2sin2ωx+φ+2sinφ-1，相鄰交點距離π若選擇條件①，由最小值點M2π3,-2，則化簡得3cosφ-sinφ=1，由所以fx若選擇條件②，因為一條對稱軸為x=π所以2?π6+φ=π2由0<φ<π2得：所以fx若選擇條件③，2?11π12+φ=kπ0<φ<π2得：所以fx（2）因為fα設(shè)t=α+π6，t∈π當t∈π6,π2當t∈π2,2π∴t∈π6,∴fα+π12=2sin2α+π12+π6=2sin（1）求f(x)的解析式；（2）已知△ABC是銳角三角形，向量m=fB2+π12,fπ4，n【答案】（1）f(x)=2sin(2x-【解析】（1）根據(jù)函數(shù)的對稱中心，結(jié)合ω的取值范圍，即可容易求得ω；結(jié)合函數(shù)對稱軸，即可求得φ；（2）根據(jù)（1）中所求，結(jié)合向量垂直的坐標運算，即可容易求得B，結(jié)合C角，即可求得cosA.【詳解】（1）設(shè)f(x)的最小正周期為T，∵f(x)圖象的一個對稱中心是7π12∴7π12-∴T=π2k-1k∈N*，∴ω=4k-2，k∈N∵0<ω<6，∴ω=2∵f(x)圖象的一條對稱軸是x=π∴2π3+φ=π2+kπ，∵|φ|<π2，∴f(x)=2sin（2）因為m⊥n，m=(2sinB,3∴m∴2B+π3=kπ∴B=-π6+k2∴B=π∵sinC=3∴cos【點睛】本題考查由正弦型三角函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)解析式，向量垂直的坐標表示，利用正余弦的倍角公式進行三角恒等變換，屬綜合性中檔題.【變式6-1】6.（2022秋·寧夏銀川·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)求fx(2)若x∈0?,??π【答案】(1)kπ2+(2)2【分析】（1）首先對f(x)化簡為12（2）首先根據(jù)fx=36得到【詳解】（1）fx==32sin2x-12cos所以fx的對稱中心為kπ2+（2）∵fx=1∵x∈0?,??π故cos2x=cos=63×【變式6-1】7.（2022·全國·高三專題練習(xí)）在①函數(shù)fx=1已知________，函數(shù)fx的圖像相鄰兩對稱中心之間的距離為π(1)求函數(shù)fx(2)若0<θ<π6，且fθ【答案】(1)最小正周期T=π，單調(diào)遞增區(qū)間:-π3(2)4【分析】(1)先選擇條件，然后根據(jù)選擇的條件整理函數(shù)解析式，再利用已知可求出函數(shù)周期，進而可以求出ω的值，即可求出函數(shù)解析式，再求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.(2)利用(1)中的結(jié)論，結(jié)合兩角和的余弦公式求值.【詳解】（1）若選條件①，f(x)=12sin2ωx+π2+sin2ωx-∴fx令-π2+2kπ≤2x+π6所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為-π3+k若選條件②，f(x)=cosωxsinωx+π6-14=cos∴fx令-π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2k（2）因為fx=12sin所以sin2θ+π6=3所以cos2θ+所以cos=cos2θ+π6cosπ【例題7】（2023·遼寧大連·育明高中?？家荒＃┮阎瘮?shù)fx=2sinωxcos①函數(shù)fx的圖像向左平移π3個單位長度后得到的圖像關(guān)于y軸對稱且②函數(shù)fx的圖像的一個對稱中心為π12,0(1)求函數(shù)fx(2)若關(guān)于x的方程fx【答案】(1)f(2)-【分析】（1）根據(jù)題意，由三角恒等變換化簡，然后由條件可得ω，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合條件即可求得φ；（2）根據(jù)題意，將方程根問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)交點問題，再結(jié)合換元法求得y=fx【詳解】（1）因為f=2sin又其圖像的一條對稱軸與相鄰對稱中心的橫坐標相差π4所以T4=π4，即T=π若選①，則函數(shù)向左平移π3個單位長度后為y=2又其為偶函數(shù)，所以2π3+φ=又因為φ<π，且f0<0，所以若選②，因為函數(shù)fx的圖像的一個對稱中心為π則sin2×π12+φ=0又因為φ<π，且fπ6>0故無論選①還是選②，都有f（2）因為f=2sin2x-π6+即y=2t2則方程fx+12f2x-π3【變式7-1】1.（2023秋·遼寧沈陽·高三沈陽二十中?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)f(x)=3sin(ωx+φ)+2sin2(1)求fx(2)已知fx在-π6【答案】(1)f(x)=2sin2x，π(2)11π【分析】（1）將函數(shù)變形為f(x)=2sin（2）解方程得f(x)=-3或f(x)=32，即sin【詳解】（1）f(x)=3sin∵f(x)圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為π2∴f(x)的最小正周期為T=π，即可得ω=2，又f(x)為奇函數(shù)，則φ-π6=kπ，k∈Z，又0<φ<π故fx的解析式為f(x)=2令π2+2kπ≤2x≤∴函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間為π4+kπ,3π（2）∵x∈-π6,5π6方程2f2x解得f(x)=-3或f(x)=32，即當sin2x=-32時，2x=-π解得x=-π6或x=當sin2x=34時，綜上知，在-π6,-π6+2π3+5π6+π2=(1)求f(x)的解析式與單調(diào)遞減區(qū)間；(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移π6個單位長度，再把橫坐標縮小為原來的12（縱坐標不變），得到函數(shù)y=gx的圖象，當x∈【答案】(1)f(x)=2sin2x，遞減區(qū)間為π(2)4π【分析】（1）利用恒等變換化簡后，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解；（2）利用圖象變換法則求得g(x)的函數(shù)表達式，解方程求得g(x)的值，利用換元思想，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)分析求得.【詳解】（1）由題意，f(x)=3sin∵f(x)圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為π2∴f(x)的最小正周期為T=π，即可得ω=2，又f(x)為奇函數(shù)，則φ-π6=kπ又0<φ<π，∴φ=π6，故令π2+2kπ?2x?∴函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間為π4+kπ,（2）將函數(shù)f(x)的圖象向右平移π6個單位長度，可得y=2再把橫坐標縮小為原來的12，得到函數(shù)y=g(x)=2又2g2(x)+3g即sin4x-π3令z=4x-π3，當x∈0,畫出y=sinsinz=34有兩個根z1,sinz=-32sin4x-π3=34在0,π又sin4x-π3所以方程2g2(x)+3g【變式7-1】3.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=sin(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和對稱中心；(2)若x∈0,5π6【答案】(1)最小正周期π，對稱中心為kπ(2)m∈【分析】（1）先將fx（2）結(jié)合正弦函數(shù)的圖像即可求得答案.【詳解】（1）f(x)=

=sinx

=34

=34=12所以，最小正周期T=2π由2x+π6=kπ所以，對稱中心為kπ2（2）因為x∈0,5π6由正弦曲線可得m∈-【變式7-1】4.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知∠A是△ABC的內(nèi)角，函數(shù)fx=cos（1）求∠A的大?。唬?）若gx=2fx+14，關(guān)于x【答案】（1）π3；（2）(-5,-4)∪{5}【分析】（1）利用兩角和差、二倍角和輔助角公式化簡得到f(x)，結(jié)合最大值可求得cosA，由此可得A（2）根據(jù)x的范圍可求得g(x)的范圍，將問題轉(zhuǎn)化為m=4g(x)+1g(x)在x∈(-π3,π3)內(nèi)有兩個不同的解，設(shè)t=g(x)，【詳解】（1）f(x)=cos(x-3π2)sin(x-A)=-sinx(sin∵f(x)的最大值為14，∴12∵A∈(0,π)，∴A=π（2）由（1）得：f(x)=12cos∵x∈(-π3,π3當g(x)=0，即x=-π12時，方程4[g(x)]∴m=4g(x)+1g(x)在令t=g(x)，則m=4t+1t，設(shè)h(t)=4t+1t，則∴當t∈(-1,-12)∪(12,1]時，∴h(t)在(-1,-12)，(12又h(12)=4，h(1)=5，h(-∴h(t)的大致圖象如下圖所示，設(shè)m=4t+1t對應(yīng)的根分別為當m∈(-5,-4)時，t1∈(-1,-12)，t2∈(-12當m=-4時，t=-12，此時2x-π當m=4時，t=12，此時2x-π當m∈(4,5)時，t1∈(0,12)，t2∈(12,1)，則當m=5時，t=1或14，此時x綜上所述：m的取值范圍為(-5,-4)∪{5}.題型8零點問題1.可以直接求解：五點畫圖法思維2，可以換元求解【例題8】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=22（1）當x∈-π8（2）是否同時存在實數(shù)a和正整數(shù)n，使得函數(shù)g(x)=f(x)-a在x∈0,nπ上恰有2021個零點？若存在，請求出所有符合條件的a和n【答案】（1）0,2【解析】（1）利用三角恒等變換得出fx（2）由題意可知，函數(shù)y=fx與直線y=a在0,nπ上恰有2021個交點，然后對實數(shù)a的取值進行分類討論，考查實數(shù)a【詳解】（1）f(x)=2=2sin當x∈-π8∴sin2x+π4（2）假設(shè)同時存在實數(shù)a和正整數(shù)n滿足條件，函數(shù)g(x)=f(x)-a在x∈0,nπ上恰有2021個零點，即函數(shù)y=f(x)與直線y=a在0,nπ當x∈0,π時，2x+π4∈π①當a>2或a<-2時，函數(shù)y=f(x)與直線y=a在②當a=2或a=-2時，函數(shù)y=f(x)與直線y=a在此時要使函數(shù)y=f(x)與直線y=a在0,nπ上恰有2021個交點，則n=2021；③當-2<a<1或1<a<2時，函數(shù)y=f(x)與直線y=a此時函數(shù)y=f(x)與直線y=a在0,nπ上有偶數(shù)個交點，不符合題意；④當a=1時，函數(shù)y=f(x)與直線y=a在0,π上有三個交點，此時要使函數(shù)y=f(x)與直線y=a在0,nπ上恰有2021個交點，則n=1010；綜上所述，存在實數(shù)a和n滿足題設(shè)條件：a=2時，n=2021a=-2時，n=2021a=1時，n=1010.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)，利用函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)求參數(shù)，解本題第（2）問的關(guān)鍵就是要注意到函數(shù)y=fx與直線y=a的圖象在區(qū)間0,π【變式8-1】1.（2023·山西太原·太原五中校考一模）已知函數(shù)fx=sinωx+φ(ω>0,0<φ<π)的周期為π，圖象的一個對稱中心為π(1)求函數(shù)fx與g(2)求實數(shù)a與正整數(shù)n，使得Fx=fx【答案】(1)f(x)=cos2x(2)a=-1，n=1349【分析】(1)根據(jù)函數(shù)圖象的變關(guān)系直接求解；(2)轉(zhuǎn)化為方程2sin2x+asinx-1=0【詳解】（1）T=π當x=π4時，因為0<φ<π，取φ=?fx將函數(shù)f(x)圖像上的所有點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），可得函數(shù)y=cosx，再將所得圖像向右平移g(x)=cos（2）由（1）得Fx=cos2sin不妨設(shè)sinx=t1或sin若sinx∈-1,1且sinx≠0，則F所以t1,t2中至少有一個為不妨設(shè)sinx=t1當t1=1，則此時Fx在(0,π)上有1個零點，在(π,2又2023=674×3+1，所以只需nπ當t1=-1，則此時Fx在(0,π)上有2個零點，在(又2023=674×3+1，當n=1348時，F(xiàn)(x)在(0,1348π)上有2022個零點，當n=1349時，增加2個零點，即F(x)在綜上所述，a=-1,n=1349．【變式8-1】2.（2022秋·福建福州·高三校考階段練習(xí)）由兩角和差公式我們得到倍角公式cos2θ=2cos2θ-1，實際上(1)試用cosθ表示(2)求sin18°(3)已知方程4x3-3x-12=0在(-1，1)上有三個根，記為x1【答案】(1)cos(2)5(3)證明見解析【分析】（1）利用兩角和差的余弦公式和二倍角的余弦公式展開整理即可證明；（2）利用第（1）問的結(jié)論對cos54°=（3）利用（1）中結(jié)論得到cos3θ=12【詳解】（1）解：（1）因為，cos3θ=cos所以cos54因為cos54因為cos184cos即4因為sin18°>0，解得sin（3）（3）因x∈(-1,1),故可令x=cos故由4x4cos3θ-3因0<θ<π，故0<3θ<3π，故3θ=π3,或3θ=即方程(*)的三個根分別為π9又4x3-3x-于是，4x【變式8-1】3.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)求fx(2)若函數(shù)gx=fx-2【答案】(1)[-(2)1012π【分析】（1）化簡函數(shù)為fx（2）根據(jù)題意得到sin(6x+π4)=22，求得6x+π4=π4+2kπ【詳解】（1）解：由函數(shù)fx=22令-π2+2k所以fx的單調(diào)遞增區(qū)間為[-（2）解：令gx=fx解得6x+π4=由x∈n,m，可得6x+設(shè)fx在n,m上的零點依次為x當6x1+此時-π4+2022π+2kπ兩項相減得6(m-n)=2024π，即m-n=根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，當6x1+所以m-n的最大值為1012π【變式8-1】4.（2020秋·安徽六安·高三?？茧A段練習(xí)）將函數(shù)f(x)=-cos4x的圖象向右平移π4（1）在△ABC中，三個內(nèi)角A,B,C且A<B<C，若C角滿足gC=-1，求（2）已知常數(shù)λ∈R，n∈N*，且函數(shù)F(x)=g(x)+λsinx在0,nπ內(nèi)恰有2021個零點，求常數(shù)【答案】（1）(1,2)；（2）λ=-1，【分析】（1）首先利用三角函數(shù)的圖象的平移變換和伸縮變換的應(yīng)用求出函數(shù)的關(guān)系式，進一步求出函數(shù)的取值范圍.（2）利用函數(shù)的圖象和函數(shù)的零點的關(guān)系進一步進行分類討論，最后求出參數(shù)λ的值和n的值.【詳解】解：（1）函數(shù)f(x)=-cos4x的圖象向右平移再將所得的圖象上每一點的縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的2倍后所得到的圖象.可知g(x)=cos因為g(C)=-1，所以C=90°，∴A+B=90°，∴cosB=∴cosA+因為A<B<C，所以A∈0,所以A+π4∈所以cosA+cosB（2）依題意，F(xiàn)(x)=cos當λ=0時，F(xiàn)(x)=cos則F(x)在0,nπ內(nèi)的零點個數(shù)為偶數(shù)個，故λ≠0，令F(x)=0，t=sin得2t2-λt-1=0二次方程2t2-λt-1=0必有兩不等實根t由于t1t2=-1（i）當0<t1<1方程2sin2x-λ（ii）當t1=1，則-1關(guān)于x的方程2sin2x-λ由于2021=3×673+2，則n為奇數(shù)則3?n-1解得：n=4043（iii）當t1=-1時，則0<t關(guān)于x的方程2sin2x-λsinx-1=03?n-12+2=2021此時，2×(-1)2-λ×(-1)-1=1+λ=0綜上所述：λ=-1，n=1347.【點睛】本題考查三角函數(shù)的平移變換，恒等變換，三角函數(shù)性質(zhì)等，考查分類討論思想和數(shù)學(xué)運算能力，是難題.【變式8-1】5.（2022秋·安徽六安·高三六安一中階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)若函數(shù)fx的最大值為6，求常數(shù)m(2)若函數(shù)fx有兩個零點x1和x2，求m的取值范圍，并求x(3)在（1）的條件下，若gx=t-1【答案】(1)m=3(2)-3<m≤-2,x(3)t=2時，一個零點；t>2時，沒有零點【分析】（1）利用二倍角的正弦公式，兩角和的正弦公式化簡解析式，由x的范圍求出2x+π（2）由x的范圍求出z=2x+π6的范圍，函數(shù)fx在x∈0,π2上有兩個零點x1,x（3）由（1）求出f(x)的最小值，求出當t≥2時(t﹣1)f(x)的范圍，利用商的關(guān)系、兩角差的正切公式化簡3sinx-3（1）由題意得，fx=2sin∵x∈0,π2，∴2x+∴2sin2x+π解得m=3；（2）令z=2x+π6，∵x∈0,函數(shù)fx在x∈0,π2上有兩個零點x1即函數(shù)y=2sinz與y=-1-m在由圖象可知2×12≤-1-m<2×1由圖象可知y=-1-m與y=2sinz有兩個交點，設(shè)交點橫坐標為則z1+z解得x1（3）在（1）的條件下，fx且-12≤2當t≥2時，t-1fx≥3（當t=23sin∵x∈0,π23tanx-π所以當t=2時，函數(shù)gx=t-1當t>2時，t-1f函數(shù)gx題型9恒成立問題【例題9】（2023春·北京·高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)求fx(2)當x∈0,π2時，關(guān)于x的不等式f條件①：函數(shù)fx的圖象經(jīng)過點π條件②：函數(shù)fx的圖象可由函數(shù)g條件③：函數(shù)fx的圖象相鄰的兩個對稱中心之間的距離為π注：如果選擇條件①?條件②和條件③分別解答，按第一個解答計分.【答案】(1)fx(2)[2,+∞【分析】（1）化簡fx=2sin(2ωx-π6)，若選①，將點π（2）由x∈0,π2確定2x-π6【詳解】（1）fx選①：函數(shù)fx的圖象經(jīng)過點π3,2所以2ω×π3-由0<ω<2，可得ω=1，則fx選②：函數(shù)fx的圖象可由函數(shù)g即fx=2sin則ω=1，則fx選③：函數(shù)fx的圖象相鄰的兩個對稱中心之間的距離為π則函數(shù)的最小正周期為π，故2ω=2故fx（2）當x∈0,π2時，2x-故fx又當x∈0,π2時，關(guān)于x的不等式f即實數(shù)m的取值范圍為[2,+∞【變式9-1】1.（2020·全國·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)y=f(x)的定義域為(0,+∞)，且滿足f(xy)=f(x)+f(y)，當x∈(1,+∞)時，有f(x)>0，且f(2)=1.（1）求不等式f(4t)-f(1-t)<2的解集；（2）對任意x∈0,π2，f【答案】（1）0,12；（2）【分析】（1）利用定義法求出函數(shù)y=f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，由f(xy)=f(x)+f(y)和f(2)=1，求出f(4)，求出f(4t)<f[4(1-t)]，運用單調(diào)性求出不等式的解集；（2）由于f2sin2x+π4-22cosx-π4-5a+2【詳解】（1）設(shè)x1∴fx所以函數(shù)y=f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，又因為f(xy)=f(x)+f(y)和f(2)=1，則f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=2，所以f(4t)<f(1-t)+2=f(1-t)+f(4)=f[4(1-t)]得4t>0解得t>0t<1t<1故t的取值范圍為0,1（2）由于f2?2sin設(shè)g(x)=2sin則g(x)=2=1-cos令t=cosx+sin所以h(t)=t2-2t-5a+2=所以h(t)根據(jù)條件，只要-5a+1?6-2a6-2a>0所以a?-5【點睛】本題考查利用定義法求函數(shù)的單調(diào)性和利用單調(diào)性求不等式的解集，考查不等式恒成立問題，還運用降冪公式、兩角和與差的余弦公式、輔助角公式，考查轉(zhuǎn)化思想和解題能力.【變式9-1】2.（2022秋·廣東東莞·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)（ω>0，(1)求函數(shù)f(x)的解析式，并寫出f(x)單調(diào)遞增區(qū)間；(2)函數(shù)g(x)=4f(x)-a?2f(x)【答案】(1)f(x)=sin(2x-π3(2)a≤2【分析】(1)利用圖像可以求出最小正周期，然后就可以求出ω；取得最大值時的x的取值，進而可以求出φ；整體代入求單調(diào)區(qū)間；(2)在給定區(qū)間x∈[π4，π2]，求出【詳解】（1）由圖可知T=4(5π∴2πω∵f(5π∴2×5π12+φ=2nπ+∴φ=2nπ-π又|φ|<π2，∴∴f(x)=sin由于2kπ-π2≤2x-∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ-π12,kπ+（2）π4令t=2f(x)，則g(t)=t2-at+3法一：只需g(t)min≥0即可，g(t){a2≤2解得{a≤22a≤2.5法二：g(t)=t2-at+3=t(t+3tt∈[2,2]恒成立，由雙勾函數(shù)得h(t)=t+3在[3,2]單調(diào)遞增，∴h(t)【變式9-1】3.（2022秋·江蘇南通·高三江蘇省如皋中學(xué)統(tǒng)考階段練習(xí)）已知a=sinωx,cosωx，b=（1）求函數(shù)fx在0,π（2）若關(guān)于x的不等式fx-π6>2【答案】（1）0,π12、7π12【分析】（1）本題首先可根據(jù)a=sinωx,cosωx、b=cosωx,3（2）本題首先可將fx-π6>2msinx+π4-2cos【詳解】（1）因為a=sinωx,所以b-則f=sin因為最小正周期為π，所以T=2π2ω=π，ω=1令-π2+2kπ≤2x+則函數(shù)fx在0,π內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間為0,π12（2）fx-即sin2整理得sin2x>m-1sin即2sinxcos令t=sinx+cosx=2設(shè)ht=t-1t，易知當故htmin=h1=0，m-1<0，m<1【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查向量的運算法則、三角恒等變換、正弦函數(shù)的性質(zhì)、同角三角函數(shù)關(guān)系以及利用函數(shù)最值求參數(shù)的取值范圍，能否通過三角恒等變換得出fx【變式9-1】4.（2020秋·江蘇無錫·高三?？茧A段練習(xí)）已知π=sinx,cosx（1）當x∈0,π2（2）若銳角△ABC滿足fC=0，且不等式tan2【答案】（1）-1,（2）-2【分析】（1）根據(jù)向量的數(shù)量積，求得fx的表達式化簡，再根據(jù)x的取值范圍求出f（2）根據(jù)fC=0，可求的角tan2A+tan2B+m【詳解】解:（1）已知π=sinx,fx因為x∈0,π222故fx的值域為:-1,（2）由（1）得fx因為銳角△ABC滿足fCfC解得C=π又因為tan即tanA+又因為∵∴tantanAtanB-12+m所以tanA-tanA故m的取值范圍為-22【點睛】本題主要考查向量的數(shù)量積、三角函數(shù)及基本不等式的應(yīng)用?！咀兪?-1】5.（2020秋·海南·高三海南華僑中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx=xcosx，（1）求證:fx（2）若ax<gx<bx在0,π2上恒成立，求【答案】（1）答案見解析；（2）a最大值為2π,b【分析】（1）構(gòu)建函數(shù)hx=xcosx-sin（2）構(gòu)造函數(shù)Mx=sinx-cx，通過分類討論的方法，c≤0，c≥1和【詳解】（1）由h所以h'x又x∈0,π2所以hx在區(qū)間上0,從而hx≤h0（2）當x>0時,“ax<gx”等價于“sin“gx<bx”等價于“令Mx=sin當c≤0時,Mx>0對任意當c≥1時,因為對任意x∈0,π2所以Mx在區(qū)間0,從而Mx<M0當0<c<1時,存在唯一的x0∈0,Mx與M'xx0,xxM+0-M↗↘因為Mx在區(qū)間0,所以Mx進一步,“Mx>0對任意當且僅當Mπ2=1-綜上所述：當且僅當c≤2π時,Mx當且僅當c≥1時,Mx<0對任意所以，若ax<gx<bx對任意則a最大值為2π,b【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵在于構(gòu)建函數(shù)，化繁為簡，同時掌握分類討論的思想，考驗分析問題的能力以及計算能力，屬中檔題.題型10有解問題【例題10】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)（其中A>0，ω>0，|φ|<π2）的圖象與x軸的交于A，B兩點，A，B兩點的最小距離為（1）求函數(shù)fx（2）求證：存在大于π3的正實數(shù)x0，使得不等式|f(x)|ln【答案】（1）f(x)=2sin【分析】（1）由題可得A=2，周期為π，則可求出ω=2，由fπ12=2（2）問題可化為|f(x)|>23×12在區(qū)間【詳解】解：（1）由題意可知，A=2，12T=π2，故函數(shù)fx故f(x)=2sin∵fπ則φ+π6=∵|φ|<π2，∴∴f(x)=2sin（2）證明：因為x0∈π3,原不等式可化為|f(x)|>23又因為0<lnx<1要使得|f(x)|>23lnx在x0,代入得：sin2x+當sin2x+π3>3此時與區(qū)間kπ,kπ+π6與區(qū)間當sin2x+π3<-3令k=1得x∈π2,又因為e>π2，故只需x【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查三角函數(shù)不等式有解問題，解題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為|f(x)|>23×12在區(qū)間【變式10-1】1.（2021秋·北京·高三北京一七一中?？计谥校┮阎暮瘮?shù)f(x)=cos(1)求函數(shù)fx(2)若當x∈0,π2【答案】(1)最小正周期T=π，單調(diào)遞增區(qū)間為kπ-(2)(-∞,2]【分析】（1）利用二倍角正弦、余弦公式和兩角和的正弦公式對函數(shù)f(x)進行化簡，利用正弦定理函數(shù)的性質(zhì)可得出函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間，利用正弦函數(shù)的周期公式即可求出函數(shù)f(x)（2）根據(jù)題意可知m小于等于f(x)的最大值，結(jié)合正弦函數(shù)的定義域求出f(x)的最大值，即可知m的取值范圍.【詳解】（1）∵f(x)=2=232sin2x+1由2kπ-π2≤2x+因此，函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間為kπ-（2）由題意可知，不等式f(x)?m有解，即m≤fx因為x∈0,π2故當2x+π6=π2，即x=∴m≤2即實數(shù)m的取值范圍為(-∞,2].【變式10-1】2.（2023秋·遼寧·高三遼河油田第二高級中學(xué)校考期末）已知函數(shù)fx（Ⅰ）求函數(shù)fx（Ⅱ）若當x∈0,π2時，關(guān)于x的不等式f請選擇①和②中的一個條件，補全問題（Ⅱ），并求解．其中，①有解；②恒成立．【答案】（Ⅰ）單調(diào)遞增區(qū)間為：-π3+kπ,π6【解析】（Ⅰ）先將函數(shù)整理，得到fx（Ⅱ）若選①，可得m≤fxmax，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)在給定區(qū)間的最大值，即可得出結(jié)果；若選②，可得【詳解】（Ⅰ）解：因為fx=3所以函數(shù)fx的最小正周期T=π因為函數(shù)y=sinx的單調(diào)增區(qū)間為-π所以-π2+2kπ≤2x+解得-π3+kπ≤x≤所以函數(shù)fx的單調(diào)增區(qū)間為-π3（Ⅱ）解：若選擇①由題意可知，不等式fx≥m有解，即因為x∈0,π2故當2x+π6=π2，即x=所以m≤2；若選擇②由題意可知，不等式fx≥m恒成立，即因為x∈0,π2故當2x+π6=7π6，即x=所以m≤-1．【點睛】思路點睛：求解三角函數(shù)最值問題時，一般需要根據(jù)三角恒等變換將函數(shù)化簡整理，化為正弦型函數(shù)或余弦型函數(shù)的形式，結(jié)合正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【變式10-1】3.（2020秋·安徽合肥·高三合肥市第六中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)fx（1）已知α，β為銳角，fα+β=-55，tanα=（2）函數(shù)gx=3f2x+1，若關(guān)于x的不等式【答案】（1）cos2α=-725，tan【解析】（1）利用二倍角公式，求出cos2α，然后分別求出cosα+β，sin(α+β)，進而求出tan（2）由gx=3f2x+1=3cos2x+1∈-2,4，得關(guān)于x【詳解】解：（1）∵tanα=4=1-tan2α1+tan2α=∴2α∈0,π，α+β∈0,π.∵fx=cos∴sinα+β=1-∴tanβ-α綜上，cos2α=-725（2）gx關(guān)于x的不等式g2即g2x≥則t∈1,7，t-32≥a+7≤t+9tmax，設(shè)ht在3,7上單調(diào)遞增，則t+9∴a≤3，故實數(shù)a的最大值為3.【點睛】關(guān)鍵點睛：（1）利用二倍角公式，以及正切函數(shù)的兩角和差公式求解；（2）通過化簡，把問題轉(zhuǎn)化為g2x≥【變式10-1】4.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fx=2sin（Ⅰ）若x∈0,π3（Ⅱ）將函數(shù)fx圖象向右平移π6個單位，再將圖象上每一點的橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍得到函數(shù)hx的圖象，并設(shè)Fx=hx+t【答案】（1）[0,2]；（2）(-2【分析】（1）由倍角公式和輔助角公式可得f(x)=2sin（2）函數(shù)圖象的變化可得h(x)=4sin2x，進而可得不等式4sin2x+【詳解】（1）f(x)=sin∵x∈[0,π∴sin(2x+π函數(shù)值域為[0,2（2）由題意可得h(x)=4sinF(x)=4sin∵x∈[0,π可得t>=22[1φ(m)=22(1所以φ(m)Fx>0在0,π∴t>-22t【點睛】本題考查了三角恒等變換、三角函數(shù)圖像的變化、不等式能成立等基本數(shù)學(xué)問題，考查了數(shù)學(xué)運算能力和邏輯推理能力，屬于中檔題目【變式10-1】5.（2022秋·山東濟南·高三山東省實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=sin（1）求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間和對稱軸；（2）若不等式f(x)+1<m在0,π3上有解，求【答案】（1）kπ+π3,kπ+5π【分析】（1）利用三角恒等變換以及二倍角化簡，然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)進行計算．（2）由（1）可得fx+1=sin【詳解】解：（1）由題意f(x)==3由2kπ+π2?2x-整理，可得kπ+π3?x?kπ+∴函數(shù)y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間為：(kπ+π3，kπ+5π又∵2x-π6=kπ+∴函數(shù)y=f(x)的對稱軸方程為：x=kπ2+（2）f(x)+1=sin∵0?x?π∴-π∴-1∴要使不等式有解，必須m>-1∴m的取值范圍為(-12，【點睛】本題考查三角函數(shù)的恒等變換以及二倍角相關(guān)導(dǎo)出公式進行化簡，正弦函數(shù)的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．題型11實際應(yīng)用問題【例題11】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，某市擬在長為16km的道路OP的一側(cè)修建一條自行車賽道，賽道的前一部分為曲線OSM，該曲線段為函數(shù)y=Asinωx（A>0，ω>0，x∈[0,8]）的圖像，且圖像的最高點為S(6,43)(1)求實數(shù)A和ω的值以及M、P兩點之間的距離；(2)試求折線段MNP的最大值．【答案】(1)A=43，ω=π12，M、(2)20【分析】（1）根據(jù)圖像最高點求出A，利用周期求出ω，再利用兩點距離公式即可求解M、P兩點之間的距離.（2）首先利用三角函數(shù)表示處折線段的長度，再利用輔助角公式即可求解最大值.【詳解】（1）圖像的最高點為S(6,43)，且A>0，所以A=43.根據(jù)圖像可知T4=6，則T=2πω=24，ω>0，解得ω=π12，所以y=Asinωx綜上，A=43，ω=π12，M、（2）在△MNP中，設(shè)∠NMP=θ，因為∠MNP=120°，故0°<θ<60°，由正弦定理可得10sin120°=NPsinθ=MNsin60°-θ【變式11-1】1.（2022·山東濟南·高三山東省實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某街道路寬OD為103米，在道路的邊緣點O安裝高度為11米（即OA=11）的路燈，燈桿AB與燈柱OA成120°角．當燈罩軸線BC與燈桿AB垂直時，燈罩軸線正好通過(1)求燈桿AB的長；(2)路燈采用可旋轉(zhuǎn)燈口方向的錐形燈罩，燈罩軸線BC與燈的邊緣光線（如圖BM，BN）都成30°角．設(shè)∠ABC=θ，是否存在θ，能使路燈的光線照亮整個路面？若存在，求tanθ的取值范圍；若不存在，在M，N都落在路面【答案】(1)2(2)不存在θ，能使路燈的光線照亮整個路面；在M，N都落在路面OD上的條件下，MN的最大值為1293【分析】（1）連接AC，由勾股定理求出AC，即可求出sin∠OAC，cos∠OAC，再根據(jù)兩角差的余弦公式求出cos∠CAB（2）建立如圖所示的平面直角坐標系，假定存在θ，能使路燈的光線照亮整個路面．由題意得BM，BN所在直線的斜率均存在，其中BM所在直線的方程為y=x-3tanθ+12，令y=0，求出【詳解】（1）解：如圖連接AC，依題意OC=53、所以AC=OA2+又∠OAB所以∠CAB所以cos∠=-1又∠ABC所以AB=（2）解：建立如圖所示的平面直角坐標系，則A0,11，C53,0，又∠OAB=120°，所以假定存在θ，能使路燈的光線照亮整個路面．由∠ABC=θ，有∠BCD=當θ=90°時，BM⊥x此時OM段沒有光線照射到，不滿足要求，則θ<90°由題意，BM、BN所在直線的斜率均存在，其中BM的方程為y=令y=0，得x=3-12令3-12tan令3-12tan∵1333>4∴當43≤tanθ設(shè)f又2sinθ∵tan又tan75°=tan45°+30°∴75°<θ<90°∴sin2θ-30°當tanθ=1333故不存在θ，能使路燈的光線照亮整個路面；在M，N都落在路面OD上的條件下，MN的最大值為1293【變式11-1】2.（2022·山東濟南·高三山東省實驗中學(xué)校考階段練習(xí)）某街道路寬OD為103米，在道路的邊緣點O安裝高度為11米（即OA=11）的路燈，燈桿AB與燈柱OA成120°角．當燈罩軸線BC與燈桿AB垂直時，燈罩軸線正好通過(1)求燈桿AB的長；(2)路燈采用可旋轉(zhuǎn)燈口方向的錐形燈罩，燈罩軸線BC與燈的邊緣光線（如圖BM，BN）都成30°角．設(shè)∠ABC=θ，是否存在θ，能使路燈的光線照亮整個路面？若存在，求tanθ的取值范圍；若不存在，在M，N都落在路面【答案】(1)2(2)不存在θ，能使路燈的光線照亮整個路面；在M，N都落在路面OD上的條件下，MN的最大值為1293【分析】（1）連接AC，由勾股定理求出AC，即可求出sin∠OAC，cos∠OAC，再根據(jù)兩角差的余弦公式求出cos∠CAB（2）建立如圖所示的平面直角坐標系，假定存在θ，能使路燈的光線照亮整個路面．由題意得BM，BN所在直線的斜率均存在，其中BM所在直線的方程為y=x-3tanθ+12，令y=0，求出【詳解】（1）解：如圖連接AC，依題意OC=53、所以AC=OA2+又∠OAB所以∠CAB所以cos∠=-1又∠ABC所以AB=（2）解：建立如圖所示的平面直角坐標系，則A0,11，C53,0，又∠OAB=120°，所以假定存在θ，能使路燈的光線照亮整個路面．由∠ABC=θ，有∠BCD=當θ=90°時，BM⊥x此時OM段沒有光線照射到，不滿足要求，則θ<90°由題意，BM、BN所在直線的斜率均存在，其中BM的方程為y=令y=0