高頻考點題型歸納35直線、平面垂直的判定與性質【教師版】

高中數(shù)學精編資源專題35直線、平面垂直的判定與性質--2022年（新高考）數(shù)學高頻考點+重點題型一、關鍵能力1.了解平面的含義，理解空間點、直線、平面位置關系的定義，掌握公理、判定定理和性質定理；2.掌握公理、判定定理和性質定理.二、教學建議1.以幾何體為載體，考查線線、線面、面面垂直證明.2.利用垂直關系及垂直的性質進行適當?shù)霓D化，處理綜合問題.3.本節(jié)是高考的必考內容．預測2020年高考將以直線、平面垂直的判定及其性質為重點，涉及線線垂直、線面垂直及面面垂直的判定及其應用，題型為解答題中的一問，或與平行相結合進行命題的判斷.以及運用其進一步研究體積、距離、角的問題，考查轉化與化歸思想、運算求解能力及空間想象能力．三、自主梳理 定義：如果一條直線和一個平面內的任何一條直線都垂直，那么稱這條直線和這個平面垂直．定理：文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(aα,bα,l⊥a,l⊥b,a∩b＝A))?l⊥α性質定理如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b知識點2．平面與平面垂直的判定與性質定義：兩個平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．定理：文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(ABβ,AB⊥α))?β⊥α性質定理如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝MN,ABβ,AB⊥MN))?AB⊥α知識點3．線面、面面垂直的綜合應用1．直線與平面垂直(1)判定直線和平面垂直的方法①定義法．②利用判定定理：如果一條直線與平面內的兩條相交直線垂直，則這條直線與這個平面垂直．③推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個平面．(2)直線和平面垂直的性質①直線垂直于平面，則垂直于平面內任意直線．②垂直于同一個平面的兩條直線平行．③垂直于同一直線的兩平面平行．2．斜線和平面所成的角斜線和它在平面內的射影所成的銳角，叫斜線和平面所成的角．3．平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的判定方法①定義法②利用判定定理：如果一個平面過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂直．(2)平面與平面垂直的性質如果兩平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面．四、高頻考點+重點題型考點一與線、面垂直相關命題的判定例1-1．（2021·浙江期末）已知，是兩個不同的平面，直線，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由面面垂直的判定定理及面面垂直的性質，結合充分必要條件的定義即可判斷.【詳解】根據(jù)面面垂直的判定定理，可知若，則“”則成立，滿足充分性；反之，若，則與的位置關系不確定，即不滿足必要性；所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A.例1-2.（2021·湖南省安化二中模擬）如圖，在正四面體P-ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，下面四個結論不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC【答案】D【解析】因為BC∥DF，DF?平面PDF，BC?平面PDF，所以BC∥平面PDF，故選項A正確；在正四面體中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，且AE，PE?平面PAE，所以BC⊥平面PAE，因為DF∥BC，所以DF⊥平面PAE，又DF?平面PDF，從而平面PDF⊥平面PAE.因此選項B，C均正確．訓練1．【多選題】（2021·南京市寧海中學高一月考）如圖，在正方體中，線段上有兩個動點，，若線段長度為一定值，則下列結論中正確的是（）A． B．平面C．平面 D．三棱錐的體積為定值【答案】ACD【解析】選項A，連接BD，通過證明平面，可判定；選項B，通過可判定；選項C，利用平面ABCD平面可判定平面ABCD；選項D，可利用三棱錐的高和底面積為定值來判定.【詳解】選項A：連接BD，底面ABCD是正方形，，又平面ABCD，平面ABCD，，，平面，又平面，，故選項A正確；選項B：若平面，平面，，但顯然，所以平面不成立，故選項B錯誤；選項C：正方體中，平面ABCD平面，平面，平面ABCD，故選項C正確；選項D：點A到平面BEF的距離也是點A到平面的距離，等于AC的一半，即三棱錐高為定值，而的邊為定值，高為為定值，故體積為定值，故選項D正確.故選：ACD.考點二直線與平面垂直的判定與性質例2-1.（線面垂直的判定）（2021·河北易縣中學）在三棱錐中，，，O是線段AC的中點，M是線段BC的中點.（1）求證：PO⊥平面ABC；【解析】（1）利用勾股定理得出線線垂直，結合等邊三角形的特點，再次利用勾股定理得出線線垂直，進而得出線面垂直；（1）由，有，從而有，且又是邊長等于的等邊三角形，.又，從而有.又平面.例2-2.（線面垂直的性質）（2020·云南省下關第一中學高二月考（文））如圖，四棱錐的底面是邊長為的菱形，底面.（1）求證：平面；（2）若，直線與平面所成的角為，求點到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）證明出，，利用線面垂直判定定理可得出結論；（2）設，則為中點，連接，分析可知直線與平面所成的角為，求得的長，分析出為等邊三角形，可計算出三棱錐的體積，并計算出的面積，利用等體積法可計算出點到平面的距離.【詳解】（1）因為四邊形是菱形，所以，又因為平面，平面，故，又，故平面；（2）設，則為中點，連接，設到平面的距離為，因為平面，所以是直線與平面所成的角，于是，因此.又，故為等邊三角形，所以三角形的面積為，故三棱錐的體積.在直角三角形中，，，所以，平面，平面，則，則，所以三棱錐的體積，解得，所以，點到平面的距離為.考點三面面垂直的判定與性質例3-1.（面面垂直的判定）（2020·全國高考真題（文））如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，是底面的內接正三角形，為上一點，∠APC=90°．（1）證明：平面PAB⊥平面PAC；（2）設DO=，圓錐的側面積為，求三棱錐P?ABC的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）連接，為圓錐頂點，為底面圓心，平面，在上，，是圓內接正三角形，，≌，，即，平面平面，平面平面；（2）設圓錐的母線為，底面半徑為，圓錐的側面積為，，解得，，在等腰直角三角形中，，在中，，三棱錐的體積為.例3-2.（面面垂直的性質）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，,，面面,為等邊三角形，為的中點．若是的中點，求三棱錐的體積．【答案】【解析】因為為等邊中邊的中點，所以，面面,所以底面，因為等邊的邊長為2，所以,易知為邊長為2的等邊三角形，所以三棱錐的體積為：,因為是的中點，所以，所以三棱錐的體積為．訓練1.在四邊形中，，，將沿折起，使平面平面，構成三棱錐，如圖，則在三棱錐中，下列結論正確的是（）A.平面平面B.平面平面C.平面平面D.平面平面【答案】D【解析】在直角梯形中，因為為等腰直角三角形，故，所以，故，折起后仍然滿足.因為平面平面，平面，平面平面，所以平面，因平面，所以.又因為，，所以平面，因平面，所以平面平面.訓練2.（2021·全國高考真題（文））如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，M為的中點，且．（1）證明：平面平面；（2）若，求四棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）由底面可得，又，由線面垂直的判定定理可得平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證出平面平面；（2）由（1）可知，，由平面知識可知，，由相似比可求出，再根據(jù)四棱錐的體積公式即可求出．【詳解】（1）因為底面，平面，所以，又，，所以平面，而平面，所以平面平面．（2）由（1）可知，平面，所以，從而，設，，則，即，解得，所以．因為底面，故四棱錐的體積為．考點四、線線垂直的判定例4.（2021·全國高考真題（文））已知直三棱柱中，側面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點，.（1）求三棱錐的體積；（2）已知D為棱上的點，證明：.【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】(1)首先求得AC的長度，然后利用體積公式可得三棱錐的體積；(2)將所給的幾何體進行補形，從而把線線垂直的問題轉化為證明線面垂直，然后再由線面垂直可得題中的結論.【詳解】(1)如圖所示，連結AF，由題意可得：，由于AB⊥BB1，BC⊥AB，，故平面，而平面，故，從而有，從而，則，為等腰直角三角形，，.(2)由(1)的結論可將幾何體補形為一個棱長為2的正方體，如圖所示，取棱的中點，連結，正方形中，為中點，則，又，故平面，而平面，從而.ABCDD1A1C1ABCDD1A1C1B1解析：正方形中的對角線垂直EABCDD1A1C1B1FEABCDD1A1C1B1F求證⊥．解析：正方形中的線線垂直訓練3．如圖，在長方體中，，是的中點，ABCDD1ABCDD1A1C1B1E解析：長方形中的線線垂直ABCDD1A1C1B1ABCDD1A1C1B1E求證⊥．解析：長方形的線線垂直ABCDP訓練5．如圖，在四棱錐中，底面，且底面是菱形，ABCDP求證⊥．解析：菱形中線線垂直O(jiān)ABPC訓練6．如圖，是圓的直徑，垂直于圓所在平面，是圓上不同于的任一點，求證：⊥平面．OABPC解析：圓形中的線線垂直考點五、平行與垂直的互相利用例5-1.（2021·安徽省舒城中學）設m，n是空間兩條不同的直線，α，β是空間兩個不同的平面．給出下列四個命題：①若m∥α，n∥β，α∥β，則m∥n；②若α⊥β，m⊥β，m?α，則m∥α；③若m⊥n，m⊥α，α∥β，則n∥β；④若α⊥β，α∩β＝l，m∥α，m⊥l，則m⊥β．其中正確的是（）A．①② B．②③ C．②④ D．③④【答案】C【解析】由是空間兩條不同的直線，是空間兩個不同的平面．在①中，若，則與相交、平行或異面，故①錯誤；在②中，設，因為，所以，又，所以，又，，所以，故②正確；在③中，若，則與平行或，故③錯誤；在④中，設，因為，所以，又，所以，又因為，所以，所以，故④正確．故選：C．例5-2.（2021·湖南期末）如圖，在三棱柱中，，，.證明：平面平面；【解析】如圖，取的中點，連，，因為，，所以，，又因為，所以，在中，由，滿足，所以，且，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，又平面平面，所以平面平面.訓練1．（2021·浙江高考真題）如圖已知正方體，M，N分別是，的中點，則（）A．直線與直線垂直，直線平面B．直線與直線平行，直線平面C．直線與直線相交，直線平面D．直線與直線異面，直線平面【答案】A【解析】由正方體間的垂直、平行關系，可證平面，即可得出結論.【詳解】連，在正方體中，M是的中點，所以為中點，又N是的中點，所以，平面平面，所以平面.因為不垂直，所以不垂直則不垂直平面，所以選項B,D不正確；在正方體中，，平面，所以，，所以平面，平面，所以，且直線是異面直線，所以選項C錯誤，選項A正確.故選：A.考點六、垂直的探索例6-1.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是邊PC上的一動點，當點M滿足________時，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個你認為是正確的條件即可)【解析】連接AC，BD，則AC⊥BD，因為PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD.又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC.所以當DM⊥PC(或BM⊥PC)時，即有PC⊥平面MBD.而PC?平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.【答案】DM⊥PC(或BM⊥PC)例6-2.在矩形ABCD中，AB＜BC，現(xiàn)將△ABD沿矩形的對角線BD所在的直線進行翻折，在翻折的過程中，給出下列結論：①存在某個位置，使得直線AC與直線BD垂直；②存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直；③存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直．其中正確結論的序號是________．(寫出所有正確結論的序號)【解析】①假設AC與BD垂直，過點A作AE⊥BD于點E，連接CE.則eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(AE⊥BD,BD⊥AC))?BD⊥平面AEC?BD⊥CE，而在平面BCD中，EC與BD不垂直，故假設不成立，①錯．②假設AB⊥CD，因為AB⊥AD，所以AB⊥平面ACD，所以AB⊥AC，由AB＜BC可知，存在這樣的等腰直角三角形，使AB⊥CD，故假設成立，②正確．③假設AD⊥BC，因為DC⊥BC，所以BC⊥平面ADC，所以BC⊥AC，即△ABC為直角三角形，且AB為斜邊，而AB＜BC，故矛盾，假設不成立，③錯．綜上，填②.【答案】②例6-3.如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，側棱長為2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中點，F(xiàn)是BB1上的動點，AB1，DF交于點E.要使AB1⊥平面C1DF，則線段B1F的長為________．【解析】設B1F＝x，因為AB1⊥平面C1DF，DF?平面C1DF，所以AB1⊥DF.由已知可以得A1B1＝eq\r(2)，設Rt△AA1B1斜邊AB1上的高為h，則DE＝eq\f(1,2)h，又2×eq\r(2)＝h×eq\r(22＋（\r(2)）2)，所以h＝eq\f(2\r(3),3)，DE＝eq\f(\r(3),3).在Rt△DB1E中，B1E＝eq\r(（\f(\r(2),2)）2－（\f(\r(3),3)）2)＝eq\f(\r(6),6).由面積相等得eq\f(\r(6),6)×eq\r(x2＋（\f(\r(2),2)）2)＝eq\f(\r(2),2)x，得x＝eq\f(1,2).即線段B1F的長為eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)例6-4.如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD＝eq\f(π,3)，△PAD是等邊三角形，F(xiàn)為AD的中點，PD⊥BF.(1)求證：AD⊥PB；(2)若E在線段BC上，且EC＝eq\f(1,4)BC，能否在棱PC上找到一點G，使平面DEG⊥平面ABCD？若存在，求出三棱錐D－CEG的體積；若不存在，請說明理由．解：(1)證明：連接PF，因為△PAD是等邊三角形，F(xiàn)是AD的中點，所以PF⊥AD.因為底面ABCD是菱形，∠BAD＝eq\f(π,3)，所以BF⊥AD.又PF∩BF＝F，所以AD⊥平面BFP，又PB?平面BFP，所以AD⊥PB.(2)能在棱PC上找到一點G，使平面DEG⊥平面ABCD.由(1)知AD⊥BF，因為PD⊥BF，AD∩PD＝D，所以BF⊥平面PAD.又BF?平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面PAD，又平面ABCD∩平面PAD＝AD，且PF⊥AD，所以PF⊥平面ABCD.連接CF交DE于點H，過H作HG∥PF交PC于點G，所以GH⊥平面ABCD.又GH?平面DEG，所以平面DEG⊥平面ABCD.因為AD∥BC，所以△DFH∽△ECH，所以eq\f(CH,HF)＝eq\f(CE,DF)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(CG,GP)＝eq\f(CH,HF)＝eq\f(1,2)，所以GH＝eq\f(1,3)PF＝eq\f(\r(3),3)，所以VD－CEG＝VG－CDE＝eq\f(1,3)S△CDE·GH＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)DC·CE·sineq\f(π,3)·GH＝eq\f(1,12).鞏固訓練一、單項選擇題1．已知互相垂直的平面α，β交于直線l，若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則()A．m∥lB．m∥nC．n⊥lD．m⊥n答案C解析因為α∩β＝l，所以l?β，又n⊥β，所以n⊥l.(2021·河北唐山模擬)如圖，在以下四個正方體中，直線AB與平面CDE垂直的是()A．①② B．②④C．①③ D．②③【答案】B【解析】對于①，易證AB與CE所成角為45°，則直線AB與平面CDE不垂直；對于②，易證AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，則AB⊥平面CDE；對于③，易證AB與CE所成角為60°，則直線AB與平面CDE不垂直；對于④，易證ED⊥平面ABC，則ED⊥AB，同理EC⊥AB，可得AB⊥平面CDE.故選B.綜上可知，正確的命題只有一個，故選B.3.如圖，在四面體D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點，則下列結論正確的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE答案C解析因為AB＝CB，且E是AC的中點，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因為AC在平面ABC內，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.4．（2020·四川省眉山中學模擬）如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在底面ABC上的射影H必在()A．直線AB上B．直線BC上C．直線AC上D．△ABC內部【答案】A【解析】由AC⊥AB，AC⊥BC1，得AC⊥平面ABC1.因為AC?平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC.所以C1在平面ABC上的射影H必在兩平面的交線AB上．因此“m∥α”是“m⊥l”的充分不必要條件，故選A.5.如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，點O，M，N分別是線段BD，DD1，D1C1的中點，則直線OM與AC，MN的位置關系是()A．與AC，MN均垂直B．與AC垂直，與MN不垂直C．與AC不垂直，與MN垂直D．與AC，MN均不垂直答案A解析因為DD1⊥平面ABCD，所以AC⊥DD1，又因為AC⊥BD，DD1∩BD＝D，所以AC⊥平面BDD1B1，因為OM?平面BDD1B1，所以OM⊥AC.設正方體的棱長為2，則OM＝eq\r(1＋2)＝eq\r(3)，MN＝eq\r(1＋1)＝eq\r(2)，ON＝eq\r(1＋4)＝eq\r(5)，所以OM2＋MN2＝ON2，所以OM⊥MN.故選A.6.如圖所示，AB是半圓O的直徑，VA垂直于半圓O所在的平面，點C是圓周上不同于A，B的任意一點，M，N分別為VA，VC的中點，則下列結論正確的是()A．MN∥ABB．平面VAC⊥平面VBCC．MN與BC所成的角為45°D．OC⊥平面VAC答案B解析由題意得BC⊥AC，因為VA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以VA⊥BC.因為AC∩VA＝A，所以BC⊥平面VAC.因為BC?平面VBC，所以平面VAC⊥平面VBC.故選B.多項選擇題7．判斷下列結論中正確的是()A．垂直于同一個平面的兩平面平行．B．直線a⊥α，b⊥α，則a∥b.C．若直線a⊥平面α，直線b∥α，則直線a與b垂直．D．若平面α內的一條直線垂直于平面β內的無數(shù)條直線，則α⊥β.答案：BC8．如圖PA⊥圓O所在平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上一點，AE⊥PC，AF⊥PB，給出下列結論，其中真命題的是()A．AE⊥BCB．EF⊥PBC．AF⊥BCD．AE⊥平面PBC，答案：ABD解析：AAE平面PAC，BC⊥AC，BC⊥PAAE⊥BC，故A正確，BAE⊥PB，AF⊥PB，EF⊥PB，故B正確，C若AF⊥BCAF⊥平面PBC，則AF∥AE與已知矛盾，故C錯誤，由A可知D正確．三、填空題9．（2021·北京101中學期末）設，是兩個不同的平面，l是直線且，則“”是“”的______.條件(參考選項：充分不必要，必要不充分，充分必要，既不充分也不必要).【答案】充分不必要【解析】面面垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直.因為直線且所以由判斷定理得.所以直線，且若，直線則直線，或直線，或直線l與平面相交，或直線l在平面內.所以“”是“”成立的充分不必要條件.故答案為：充分不必要.10．如圖，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，則在△ABC和△PAC的邊所在的直線中，與PC垂直的直線有________；與AP垂直的直線有________．答案：AB，BC，ACAB解析：∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直線AB，BC，AC；∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面PAC，∴與AP垂直的直線是AB．11．在正三棱錐(底面為正三角形且側棱相等)P－ABC中，D，E分別是AB，BC的中點，有下列三個論斷：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE．其中正確論斷的序號為________．答案：①②解析：如圖，∵P－ABC為正三棱錐，∴PB⊥AC；又∵DE∥