江蘇省南通市2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次質(zhì)量監(jiān)測試題1

屆高三第一次質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先通過求解分式不等式化簡集合，然后利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性化簡集合，最終利用集合間的交運(yùn)算即可求解.【詳解】∵∴由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，，從而，故.故選：C.2.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】從充分性和必要性兩方面進(jìn)行探討即可.【詳解】充分性：當(dāng)，時(shí)充分性不成立；必要性：由可得，即，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查充要條件的判定，涉及到不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.3.函數(shù)的部分圖像大致為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合已知條件，利用函數(shù)奇偶性可推斷B；通過推斷在上的符號可推斷D；通過推斷在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可推斷AC.【詳解】由題意可知，的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以，故為奇函?shù)，從而的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，且，此時(shí)，故D錯(cuò)誤；因?yàn)樵谏嫌卸鄶?shù)個(gè)零點(diǎn)，所以在上也有多數(shù)個(gè)零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤，C正確.故選：C.4.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，則下列條件能確定三角形有兩解的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合已知條件和正弦定理即可求解.【詳解】對于A：由正弦定理可知，∵，∴，故三角形有一解；對于B：由正弦定理可知，，∵，∴，故三角形有兩解；對于C：由正弦定理可知，∵為鈍角，∴B肯定為銳角，故三角形有一解；對于D：由正弦定理可知，，故故三角形無解.故選：B.5.通過探討正五邊形和正十邊形的作圖，古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯發(fā)覺了黃金分割率，黃金分割率的值也可以用表示，即.記，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將代入，依據(jù)恒等變換公式化簡，即可求得結(jié)果.【詳解】，故選:C.6.已知過點(diǎn)作曲線的切線有且僅有條，則（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】設(shè)出切點(diǎn)，對函數(shù)求導(dǎo)得出切線的斜率，利用點(diǎn)斜式方程寫出切線，將點(diǎn)代入，并將切線有且僅有條，轉(zhuǎn)化為方程只有一個(gè)根，列方程求解即可．【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，由已知得，則切線斜率，切線方程為直線過點(diǎn)，則，化簡得切線有且僅有條，即，化簡得，即，解得或故選：C7.設(shè)，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)，推斷的大小，由，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)推斷單調(diào)性，即可得到.【詳解】由不等式可得，即；，設(shè)，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)，所以，即.所以.故選：C8.如圖是一個(gè)近似扇形的湖面，其中，弧的長為.為了便利觀光，欲在兩點(diǎn)之間修建一條筆直的走廊.若當(dāng)時(shí)，，扇形的面積記為，則的值約為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由題可得，再依據(jù)扇形面積公式可得，結(jié)合條件即得.【詳解】設(shè)扇形的圓心角為，則，在中，，又，∴，又，∴.故選：B.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)，則下列不等式中肯定成立的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用基本不等式及其變形求最值即可推斷.【詳解】A選項(xiàng)：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故A正確；B選項(xiàng)：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故B錯(cuò)；C選項(xiàng)：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故C正確；D選項(xiàng)：，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號成立，故D正確.故選：ACD.10.已知函數(shù)（其中，，）的部分圖象如圖所示，則（）A.B.的圖象關(guān)于直線對稱C.D.在上的值域?yàn)椤敬鸢浮緼C【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)圖像求出的解析式，進(jìn)而推斷AC；利用代入檢驗(yàn)法可推斷B；利用換元法和三角函數(shù)性質(zhì)求出在上的值域可推斷D.【詳解】由圖像可知，，，故A正確；從而，又由，，因?yàn)?，所以，從而，故C正確；因?yàn)椋圆皇堑膶ΨQ軸，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)?，，所以，故，即，從而，即在上的值域?yàn)椋蔇錯(cuò)誤.故選：AC.11.對于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若同時(shí)滿意下列條件：①，；②，，，則稱函數(shù)為“函數(shù)”.下列結(jié)論正確的是（）A.若為“函數(shù)”，則其圖象恒過定點(diǎn)B.函數(shù)在上是“函數(shù)”C.函數(shù)在上是“函數(shù)”（表示不大于的最大整數(shù)）D.若為“函數(shù)”，則肯定是上的增函數(shù)【答案】AC【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)新定義的概念利用賦值法即可求解.【詳解】對于A：不妨令，則，因?yàn)?，，所以，故，故A正確；對于B：不妨令，，則，，，即，這與，，沖突，故B錯(cuò)誤；對于C：由題意可知，，，不妨令，其中整數(shù)部分，為小數(shù)部分，則；再令，其中為整數(shù)部分，為小數(shù)部分，則；若，則；若，則，從而，，成立，故C正確；對于D：由題意可知，常函數(shù)為“H函數(shù)”，但不是增函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：AC.12.已知分別是函數(shù)和的零點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】把函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再結(jié)合反函數(shù)圖像的特點(diǎn)得到點(diǎn)和關(guān)于點(diǎn)對稱，依據(jù)可推斷A、B選項(xiàng)；結(jié)合基本不等式可以推斷C選項(xiàng)；利用特別值的思路得到的范圍即可推斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，分別是函數(shù)，的零點(diǎn)，所以，，那么，可以看做函數(shù)和與函數(shù)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如圖所示，點(diǎn)，，分別為函數(shù)，，的圖像與函數(shù)圖像的交點(diǎn)，所以，因?yàn)楹瘮?shù)和互為反函數(shù)，所以函數(shù)圖像關(guān)于的圖像對稱，的圖像也關(guān)于的圖像對稱，所以點(diǎn)和關(guān)于點(diǎn)對稱，，，故AB正確；因?yàn)?，，所以，而，故C錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)值為，函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)值為，因?yàn)椋?，所以的范圍為，那么，而，所以，故D正確.故選：ABD.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若，則___________.【答案】4【解析】【分析】依據(jù)綻開可得，從而求得，再由，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋此?，平方可得，所以，所以故答案為?4.已知的面積為，則的中線長的一個(gè)值為___________.【答案】或【解析】【分析】結(jié)合已知條件和三角形面積公式求，然后利用余弦定理即可求解.【詳解】因?yàn)榈拿娣e為，所以，故或；①當(dāng)時(shí)，，故，因?yàn)?，所以，故；②?dāng)時(shí)，，故，在中，由余弦定理可知，在中，由余弦定理可知，，故.綜上所述，的中線長為或.故答案為：或.15.某容量為萬立方米的小型湖，由于周邊商業(yè)過度開發(fā)，長期大量排放污染物，水質(zhì)變差，今年政府打算治理，用沒有污染的水進(jìn)行沖洗，假設(shè)每天流進(jìn)和流出的水均為萬立方米，下雨和蒸發(fā)正好平衡.用函數(shù)表示經(jīng)過天后的湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)，已知，其中表示初始湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù).假如，要使湖水的污染水平下降到起先時(shí)污染水平的以下，至少須要經(jīng)過天___________.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】116【解析】【分析】依據(jù)題意列不等式，再結(jié)合對數(shù)計(jì)算公式解不等式即可.【詳解】設(shè)至少須要經(jīng)過天，因?yàn)橐购奈廴舅较陆档狡鹣葧r(shí)污染水平的10%以下，所以，又因?yàn)?，所以，由題意知，，，所以，整理得，，解得，所以至少須要經(jīng)過116天.故答案為：116.16.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，且，則不等式的解集為___________.【答案】【解析】【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)得到，再依據(jù)不等式構(gòu)造函數(shù)，分析函數(shù)在時(shí)的單調(diào)性，依據(jù)單調(diào)性、奇偶性和解不等式即可.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，定義域?yàn)?，所以，，又因?yàn)闀r(shí)，，所以，構(gòu)造函數(shù)，所以，所以當(dāng)時(shí)，，上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以，在上大于零，在上小于零，又因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，在上大于零，在上小于零，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以當(dāng)時(shí)，在上小于零，在上大于零，綜上所述：解集為.故答案為：.【點(diǎn)睛】常見的函數(shù)構(gòu)造形式：①，；②，.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知數(shù)列滿意，，.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】(1)結(jié)合遞推公式利用等比數(shù)列的定義證明即可；(2)結(jié)合(1)中結(jié)論，利用累加法和等比數(shù)列求和公式即可求解.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，從而，因?yàn)?，，所以，故?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.【小問2詳解】由(1)可知，，故當(dāng)時(shí)，，，，，，由各式相加可知，，故，當(dāng)時(shí)，也滿意，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.18.在中，角的對邊分別為.（1）若，求；（2）若，求證：.【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】（1）由三角形內(nèi)角和，可表示出角，依據(jù)三角恒等式，結(jié)合正弦定理，可得的值，依據(jù)二倍角式，進(jìn)而可得，由余弦定理，可得答案；（2）由題意，結(jié)合余弦定理與正弦定理，依據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系式，可得答案.【小問1詳解】，，則，，，，由正弦定理，可得：，則，可得，解得，則，由余弦定理，，故.【小問2詳解】，，，由余弦定理，①，②，①與②相除可得：，，兩邊同除以，可得.19.如圖，在三棱柱中，側(cè)面底面，側(cè)面是菱形，，，.（1）若為的中點(diǎn)，求證：；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】(1)結(jié)合已知條件和平面幾何關(guān)系知，然后利用面面垂直性質(zhì)和線面垂直性質(zhì)可知，最終利用線面垂直判定和性質(zhì)即可證明；(2)取的中點(diǎn)，然后利用面面垂直性質(zhì)證明底面，再建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面和平面的法向量，最終利用二面角的向量公式即可求解.【小問1詳解】∵側(cè)面是菱形，∴，∵為的中點(diǎn)，∴，∵側(cè)面底面，側(cè)面底面，，底面，∴側(cè)面，∵側(cè)面，∴，∵，∴平面，∵平面，∴.【小問2詳解】取中點(diǎn)，連接，從而，又由，則，∵側(cè)面底面，側(cè)面底面，∴底面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖：由已知條件和上圖可知，，，，，由題意可知，為平面的一個(gè)法向量，不妨設(shè)平面的一個(gè)法向量，因?yàn)?，，從而，令，則，，即，設(shè)二面角為，由圖可知為鈍角，從而，即，故二面角的正弦值為.20.某校組織圍棋競賽，每場競賽采納五局三勝制（一方先勝三局即獲勝，競賽結(jié)束），競賽采納積分制，積分規(guī)則如下：每場競賽中，假如四局及四局以內(nèi)結(jié)束競賽，取勝的一方積3分，負(fù)者積0分；五局結(jié)束競賽，取勝的一方積2分，負(fù)者積1分.已知甲?乙兩人競賽，甲每局獲勝的概率為.（1）在一場競賽中，甲的積分為，求的概率分布列；（2）求甲在參與三場競賽后，積分之和為5分的概率.【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】(1)結(jié)合已知條件，可能取值為，，，，然后分析每種積分對應(yīng)的輸贏狀況，然后利用二項(xiàng)分布和獨(dú)立事務(wù)的概率乘法求解即可；(2)結(jié)合(1)中結(jié)論，分析積分之和為5時(shí)三場競賽的積分狀況，然后利用獨(dú)立事務(wù)的概率乘法求解即可.【小問1詳解】由題意可知，可能取值為，，，，當(dāng)時(shí)，則前三場競賽都輸或前三場競賽贏一場且第四場競賽輸，則，當(dāng)時(shí)，前四場競賽贏兩場且第五場競賽輸，則；當(dāng)時(shí)，前四場競賽贏兩場且第五場競賽贏，則，當(dāng)時(shí)，前三場競賽都贏或前三場競賽贏兩場且第四場競賽贏，則，故的概率分布列如下：0123【小問2詳解】設(shè)甲在參與三場競賽后，積分之和為5分為事務(wù)，則甲的三場競賽積分分別為1、1、3或者0、2、3或者1、2、2，故，故甲在參與三場競賽后，積分之和為5分為.21.已知分別是橢圓的左?右頂點(diǎn)，分別是的上頂點(diǎn)和左焦點(diǎn).點(diǎn)在上，滿意.（1）求的方程；（2）過點(diǎn)作直線（與軸不重合）交于兩點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，求證：為定值.【答案】（1）（2）證明見解析，定值為【解析】【分析】（1）依據(jù)可設(shè)，依據(jù)，利用斜率相等且在橢圓上列式可得橢圓基本量的關(guān)系，再依據(jù)求解基本量即可；（2）由題意設(shè)：，聯(lián)立直線與橢圓的方程，得出韋達(dá)定理，再表達(dá)出，結(jié)合韋達(dá)定理求解即可.【小問1詳解】因?yàn)?，故可設(shè)，因?yàn)?，故，即，解?又在橢圓上，故，解得，故.又，故，故，.故的方程為.【小問2詳解】因?yàn)闄E圓方程為，故，當(dāng)斜率為0時(shí)或重合，不滿意題意，故可設(shè)：.聯(lián)立可得，設(shè)，則.故故定值為【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓中基本量的求解，同時(shí)也考查了聯(lián)立直線與橢圓的方程，得出韋達(dá)定理表達(dá)目標(biāo)表達(dá)式，再化簡求解的問題，為便利計(jì)算，當(dāng)直線過的定點(diǎn)在軸時(shí)可設(shè)直線的橫截距式，同時(shí)留意韋達(dá)定理中的關(guān)系進(jìn)行化簡.屬于難題.22.設(shè)函數(shù)，.（1）若直線是曲線的一條切線，求的值；（2）證明：①當(dāng)時(shí)，；②，.（是自然對數(shù)底數(shù)，）【答案】（1）（2）①證明見解析②證明見解析【解析】【分析】(1)首先利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義求出切點(diǎn)，再將切點(diǎn)代入切線即可求出；(2)①將原不等式化簡為，然后利用導(dǎo)函數(shù)求在上的最大值大于0即可；②結(jié)合①中條件，利用放縮法只需證明，然后利用隱零點(diǎn)證明不等式在上恒成馬上可，最終結(jié)合和的單調(diào)性即可證明原不等式在上恒成立.【小問1詳解】由，則，設(shè)在上的切點(diǎn)為，從而，故在上的切點(diǎn)為，將代入得，，故的值為.【小問2詳解】①當(dāng)