2024-2025學年新教材高中數(shù)學第一章集合與常用邏輯用語1.2常用邏輯用語1.2.1命題與量詞1.2.2全稱量詞命題與存在量詞命題的否定學案新人教B版必修第一冊

PAGEPAGE11.2常用邏輯用語1．2.1命題與量詞1．2.2全稱量詞命題與存在量詞命題的否定課程標準(1)全稱量詞與存在量詞．通過已知的數(shù)學實例，理解全稱量詞與存在量詞的意義．(2)全稱量詞命題與存在量詞命題的否定．①能正確運用存在量詞對全稱量詞命題進行否定．②能正確運用全稱量詞對存在量詞命題進行否定．新知初探·自主學習——突出基礎性教材要點學問點一命題用語言、符號或式子表達的，可以推斷真假的________稱為命題．其中________的語句稱為真命題，________的語句稱為假命題．學問點二全稱量詞和全稱量詞命題全稱量詞________、________、________符號?全稱量詞命題含有________的命題形式“對集合M中的全部元素x，r(x)”，可簡記為________學問點三存在量詞和存在量詞命題存在量詞________、________、________符號表示?存在量詞命題含有________的命題形式“存在集合M中的元素x，s(x)”，可用符號記為________狀元隨筆全稱量詞命題與存在量詞命題的區(qū)分(1)全稱量詞命題中的全稱量詞表明給定范圍內(nèi)全部對象都具有某一性質(zhì)，無一例外，強調(diào)“整體、全部”．(2)存在量詞命題中的存在量詞則表明給定范圍內(nèi)的對象有例外，強調(diào)“個別、部分”．學問點四命題的否定1．命題的否定：一般地，對命題p加以否定，就得到一個新的命題，記作“?p”，讀作“非p”或“p的否定”．2．命題的真假與命題的否定的真假：假如一個命題是真命題，那么這個命題的否定就應當是假命題；反之亦然．3．常見的命題的否定形式有原語句是都是>至少有一個至多有一個否定形式不是不都是≤一個也沒有至少有兩個學問點五全稱量詞命題和存在量詞命題的否定1．全稱量詞命題：?x∈M，p(x)，它的否定：?x∈M，?p(x)．2．存在量詞命題：?x∈M，p(x)，它的否定：?x∈M，?p(x)．狀元隨筆全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，存在量詞命題的否定是全稱量詞命題．基礎自測1．下列語句中命題有________個，其中真命題有________個．①“等邊三角形莫非不是等腰三角形嗎？”；②“垂直于同一條直線的兩條直線必平行嗎？”；③“一個數(shù)不是正數(shù)就是負數(shù)”；④“珠海是一個多么漂亮的海濱城市??！”；⑤“x＋y為有理數(shù)，則x、y也都是有理數(shù)”；⑥“作△ABC∽△A1B1C1”．A.2，0B．4，2C．3，2D．4，32．(多選)下列命題中哪些是全稱量詞命題()A.隨意一個自然數(shù)都是正整數(shù)B.全部的素數(shù)都是奇數(shù)C.有的正方形不是菱形D.三角形的內(nèi)角和是180°3．下列命題中存在量詞命題的個數(shù)是()①至少有一個偶數(shù)是質(zhì)數(shù)；②?x∈R，x2≤0；③有的奇數(shù)能被2整除．A.0B．1C．2D．34．命題“存在實數(shù)x，使x＞1”的否定是()A.對隨意實數(shù)x，都有x＞1B.不存在實數(shù)x，使x≤1C.對隨意實數(shù)x，都有x≤1D.存在實數(shù)x，使x≤1課堂探究·素養(yǎng)提升——強化創(chuàng)新性題型1全稱量詞命題與存在量詞命題的推斷與其真假[經(jīng)典例題]例1(1)推斷下列命題哪些是全稱量詞命題，并推斷其真假．①對隨意x∈R，x2＞0；②有些無理數(shù)的平方也是無理數(shù)；③對頂角相等；④存在x＝1，使方程x2＋x－2＝0；⑤對隨意x∈{x|x＞－1}，使3x＋4＞0；⑥存在a＝1且b＝2，使a＋b＝3成立．正確地識別命題中的全稱量詞，是解決問題的關鍵．(2)下列四個命題既是存在量詞命題又是真命題的是()A．銳角三角形的內(nèi)角是銳角或鈍角B．至少有一個實數(shù)x，使x2≤0C．兩個無理數(shù)的和必是無理數(shù)D．存在一個負數(shù)x，使1x狀元隨筆推斷一個命題是否為全稱量詞命題或存在量詞命題，就是推斷這個命題中是否含有全稱量詞或存在量詞，有些命題的量詞可能隱含在命題之中，這時要依據(jù)命題含義推斷形式．方法歸納(1)要判定全稱量詞命題是真命題，須要推斷全部的狀況都成立；假如有一種狀況不成立，那么這個全稱量詞命題就是假命題．(2)要判定存在量詞命題是真命題，只需找到一種狀況成馬上可；假如找不到使命題成立的特例，那么這個存在量詞命題是假命題．跟蹤訓練1(1)下列命題中是全稱量詞命題，并且又是真命題的是()A．π是無理數(shù)B．?x0∈N，使2x0為偶數(shù)C．對隨意x∈R，都有x2＋2x＋1＞0D．全部菱形的四條邊都相等(2)下列存在量詞命題是真命題的是()A．有一個實數(shù)x，使x2＋3x＋4＝0B．至少有一個整數(shù)n，使得n2＋n為奇數(shù)C．有些實數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)D．存在一個三角形，它的內(nèi)角和小于180°題型2含有一個量詞的命題的否定[教材P29例2]例2寫出下列命題的否定，并推斷所得命題的真假：(1)p：?a∈R，一次函數(shù)y＝x＋a的圖象經(jīng)過原點；(2)q：?x∈(－3，＋∞)，x2＞9.狀元隨筆先把命題否定，再推斷真假．方法歸納全稱量詞命題的否定是一個存在量詞命題，存在量詞命題的否定是一個全稱量詞命題，因此在書寫他們的否定時，相應的全稱量詞變?yōu)榇嬖诹吭~，存在量詞變?yōu)槿Q量詞，同時否定結(jié)論．跟蹤訓練2(1)命題“對于隨意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A.不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≥0C．對隨意的x∈R，x3－x2＋1＞0D．存在x∈R，x3－x2＋1＞0?x∈M，p(x)的否定為?x∈M，?p(x)．(2)命題“?x∈R，x3－2x＋1＝0”的否定是()A.?x∈R，x3－2x＋1≠0B．不存在x∈R，x3－2x＋1≠0C．?x∈R，x3－2x＋1＝0D．?x∈R，x3－2x＋1≠0?x∈M，p(x)的否定為?x∈M，?p(x)．題型3利用命題的否定求參數(shù)范圍例3(1)若“?x∈R，x2＋2x－a<0”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是________；(2)已知命題p：“?x∈R，x2－2x＋m>0”是真命題，求實數(shù)m的取值范圍．方法歸納利用含量詞的命題的真假求參數(shù)的取值范圍(1)含參數(shù)的全稱量詞命題為真時，常與不等式恒成立有關，可依據(jù)有關代數(shù)恒等式(如x2≥0)，確定參數(shù)的取值范圍．(2)含參數(shù)的存在量詞命題為真時，常轉(zhuǎn)化為方程或不等式有解問題來處理，可借助根的判別式等學問解決.跟蹤訓練3(1)能夠說明“設a，b，c是隨意實數(shù)．若a＞b＞c，則a＋b＞c”是假命題的一組整數(shù)a，b，c的值依次為()A．3，2，1B．1，－2，－3C．－1，－2，－3D．0，－2，－3(2)已知命題p：?x∈R，ax2＋2x＋1＝0，若命題p是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是()A．{a|a≥1}B．{a|a＜1}C．{a|a＞1}D．{a|a≤1}第一章集合與常用邏輯用語1．2常用邏輯用語1．2.1命題與量詞1．2.2全稱量詞命題與存在量詞命題的否定新知初探·自主學習[教材要點]學問點一陳述句推斷為真推斷為假學問點二全部隨意每一個全稱量詞“?x∈M，r(x)”學問點三存在至少有一個有存在量詞“?x∈M，s(x)”[基礎自測]1．解析：①是一個反問句，不是命題；②是一個疑問句，不是命題；③符合命題的定義，是命題；是一個假命題；④是一個感嘆句，不是命題；⑤符合命題的定義，是命題；是一個假命題；⑥是作圖語言，不符合命題的定義，不是命題．答案：A2．解析：命題AB含有全稱量詞，而命題D可以敘述為“每一個三角形的內(nèi)角和都是180°”，C是存在量詞命題，故有三個全稱量詞命題．答案：ABD3．解析：①中含有存在量詞“至少”，所以是存在量詞命題；②中含有存在量詞符號“?”，所以是存在量詞命題；③中含有存在量詞“有的”，所以是存在量詞命題．答案：D4．解析：命題“存在實數(shù)x，使x>1”的否定是“對隨意實數(shù)x，都有x≤1”．答案：C課堂探究·素養(yǎng)提升例1【解析】(1)①③⑤是全稱量詞命題，①是假命題，∵x＝0時，x2＝0.③是真命題．⑤是真命題．(2)A.銳角三角形的內(nèi)角是銳角或鈍角，是假命題；B.至少有一個實數(shù)x＝0，使x2≤0成立，因此為真命題；C.兩個無理數(shù)的和必是無理數(shù)，是假命題，例如－2+2＝0為實數(shù)，因此是假命題；D.不存在負數(shù)x，使【答案】(1)見解析(2)B跟蹤訓練1解析：(1)對于A，π是無理數(shù)，是真命題，但不是全稱量詞命題，不符合題意；對于B，?x0∈N，使2x0為偶數(shù)，不是全稱量詞命題，不符合題意；對于C，對隨意x∈R，都有x2＋2x＋1＞0，是全稱量詞命題，但當x＝－1時，x2＋2x＋1＝0，為假命題，不符合題意；對于D，全部菱形的四條邊都相等，是全稱量詞命題并且是真命題，符合題意．(2)沒有實數(shù)x，使x2＋3x＋4＝0成立，所以A不正確；n為整數(shù)，n2＋n＝n(n＋1)，是兩個連續(xù)的整數(shù)乘積，肯定是偶數(shù)，所以B不正確；有些實數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，例如無理數(shù)，所以C正確；三角形的內(nèi)角和為180°，所以不行能存在一個三角形，它的內(nèi)角和小于180°，所以D不正確．故選C.答案：(1)D(2)C例2【解析】(1)?p：?a∈R，一次函數(shù)y＝x＋a的圖象不經(jīng)過原點．因為當a＝0時，一次函數(shù)y＝x＋a的圖象經(jīng)過原點，所以?p是假命題．(2)?q：?x∈(－3，＋∞)，x2≤9.因為x＝0時，x2＝0＜9，所以?q是真命題．跟蹤訓練2解析：(1)∵命題“對于隨意的x∈R，x3－x2＋1≤0”是全稱量詞命題，其否定是對應的存在量詞命題，∴否定命題為：存在x∈R，x3－x2＋1>0.故選D.(2)存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，故解除A；由命題的否定要否定結(jié)論，故解除C；由存在量詞“?”應改為全稱量詞“?”，故解除B.答案：(1)D(2)D例3【解析】(1)若“?x∈R，x2＋2x－a<0”是真命題，則Δ>0，即4＋4a>0，解得a>－1，則實數(shù)a的取值范圍是{a|a>－1}．(2)p：“?x∈R，x2－2x＋m>0”是真命題，即m>－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，x∈R恒成立，設函數(shù)y＝－(x－1)2＋1，由二次函數(shù)的性質(zhì)知，當x＝1時，ymax＝1，所以m>ymax＝1，即實數(shù)m的取值范圍是(1，