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REPORTCATALOGDATEANALYSISSUMMARYRESUME高二必修五數(shù)學(xué)線性規(guī)劃演講人:日期:目錄CONTENTSREPORT引言線性規(guī)劃的基本概念單純形法求解線性規(guī)劃對(duì)偶理論與靈敏度分析線性規(guī)劃在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用線性規(guī)劃問(wèn)題的擴(kuò)展與延伸01引言REPORT線性規(guī)劃的起源線性規(guī)劃起源于20世紀(jì)30年代,由美國(guó)數(shù)學(xué)家G.B.Dantzig提出。線性規(guī)劃的發(fā)展隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展,線性規(guī)劃在理論上趨向成熟,在實(shí)用中日益廣泛與深入。線性規(guī)劃的影響線性規(guī)劃已經(jīng)成為現(xiàn)代管理中經(jīng)常采用的基本方法之一,并形成了大量新的數(shù)學(xué)方法,這些方法在軍事、經(jīng)濟(jì)、工業(yè)、農(nóng)業(yè)、教育、商業(yè)和社會(huì)科學(xué)方面都具有廣泛的應(yīng)用。線性規(guī)劃的起源與發(fā)展資源分配任務(wù)分配運(yùn)輸問(wèn)題合理下料線性規(guī)劃在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用01020304如何在有限資源的條件下,分配各個(gè)生產(chǎn)部門的原材料,使總產(chǎn)量最高。如何分配各個(gè)工種人員的任務(wù),使完成總?cè)蝿?wù)的時(shí)間最短或費(fèi)用最低。如何組織運(yùn)輸,使總運(yùn)費(fèi)最少。在制造業(yè)中,如何合理下料以減少材料浪費(fèi)和提高生產(chǎn)效率。線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型01線性規(guī)劃問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型包括目標(biāo)函數(shù)和約束條件,目標(biāo)函數(shù)是要求最大或最小的線性表達(dá)式,約束條件是一組線性等式或不等式。線性規(guī)劃的求解方法02線性規(guī)劃的求解方法主要有單純形法、內(nèi)點(diǎn)法、對(duì)偶單純形法等。其中,單純形法是最常用的方法之一,它通過(guò)迭代求解,逐步逼近最優(yōu)解。線性規(guī)劃軟件工具03在實(shí)際應(yīng)用中,可以使用專業(yè)的線性規(guī)劃軟件工具進(jìn)行求解,如LINGO、MATLAB等。這些工具可以方便地輸入問(wèn)題數(shù)據(jù)、建立數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行求解。線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型與求解方法02線性規(guī)劃的基本概念REPORT目標(biāo)函數(shù)表示在一定條件下需要達(dá)到最優(yōu)(最大或最小)的線性函數(shù)。約束條件對(duì)決策變量進(jìn)行限制的線性等式或不等式。線性規(guī)劃問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)形式一般為max/minz=c1x1+c2x2+...+cnxn,s.t.a11x1+a12x2+...+a1nxn≤/=/≥b1,a21x1+a22x2+...+a2nxn≤/=/≥b2,...,am1x1+am2x2+...+amnxn≤/=/≥bm,x1,x2,...,xn≥0。線性規(guī)劃問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)形式滿足所有約束條件的解稱為可行解。可行解所有可行解構(gòu)成的集合稱為可行域,一般表示為閉凸集??尚杏蚩尚薪馀c可行域的概念在可行域中使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)(最大或最小)的解稱為最優(yōu)解。滿足所有約束條件的基變量的解稱為基本可行解?;究尚薪庖欢ㄊ强尚薪?,但可行解不一定是基本可行解。最優(yōu)解與基本可行解的定義基本可行解最優(yōu)解圖解法適用于只有兩個(gè)決策變量的線性規(guī)劃問(wèn)題。通過(guò)在平面直角坐標(biāo)系中繪制約束條件所表示的直線或曲線,可以直觀地找到可行域和最優(yōu)解。對(duì)于具有多個(gè)決策變量的線性規(guī)劃問(wèn)題,圖解法不再適用,需要采用更復(fù)雜的算法進(jìn)行求解,如單純形法等。圖解法雖然直觀易懂,但只適用于簡(jiǎn)單問(wèn)題。在實(shí)際應(yīng)用中,線性規(guī)劃問(wèn)題往往涉及大量決策變量和復(fù)雜約束條件,需要借助計(jì)算機(jī)和專業(yè)軟件進(jìn)行求解。線性規(guī)劃問(wèn)題的圖解法03單純形法求解線性規(guī)劃REPORT幾何解釋線性規(guī)劃問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為在多維空間中尋找一個(gè)凸多面體的頂點(diǎn)問(wèn)題,單純形法通過(guò)不斷轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)來(lái)逼近最優(yōu)解。代數(shù)解釋單純形法通過(guò)基變換將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一系列等價(jià)的子問(wèn)題,每個(gè)子問(wèn)題對(duì)應(yīng)一個(gè)基可行解,通過(guò)比較目標(biāo)函數(shù)值來(lái)選擇下一個(gè)子問(wèn)題,直到找到最優(yōu)解。單純形法的基本原理構(gòu)造初始單純形表將原問(wèn)題的約束條件轉(zhuǎn)化為等式形式,并引入松弛變量或剩余變量,構(gòu)造出初始基可行解對(duì)應(yīng)的單純形表。迭代過(guò)程通過(guò)檢查目標(biāo)函數(shù)值是否達(dá)到最優(yōu),以及是否存在進(jìn)基變量和出基變量,來(lái)確定是否進(jìn)行基變換。若需要變換,則通過(guò)旋轉(zhuǎn)運(yùn)算更新單純形表,并重復(fù)此過(guò)程直到找到最優(yōu)解。單純形表的構(gòu)造與迭代步驟第一階段引入人工變量構(gòu)造輔助問(wèn)題,求解輔助問(wèn)題得到初始基可行解;第二階段在原問(wèn)題中去掉人工變量,以初始基可行解為起點(diǎn)繼續(xù)迭代求解。兩階段法在原問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)中加入一個(gè)很大的正數(shù)M乘以新引入的松弛變量的和,將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)等價(jià)的新問(wèn)題,求解新問(wèn)題得到初始基可行解。大M法初始基可行解的獲取方法單純形法的收斂性與最優(yōu)性判別收斂性單純形法是一種迭代算法,在有限步內(nèi)可以找到一個(gè)最優(yōu)解或判斷問(wèn)題無(wú)解。當(dāng)所有非基變量的檢驗(yàn)數(shù)都小于等于零時(shí),算法收斂。最優(yōu)性判別當(dāng)所有非基變量的檢驗(yàn)數(shù)都小于等于零時(shí),當(dāng)前基可行解就是最優(yōu)解。否則,存在進(jìn)基變量使得目標(biāo)函數(shù)值可以進(jìn)一步改進(jìn)。04對(duì)偶理論與靈敏度分析REPORT在原線性規(guī)劃問(wèn)題的基礎(chǔ)上,通過(guò)變換目標(biāo)和約束條件,得到與之對(duì)應(yīng)的新問(wèn)題。對(duì)偶問(wèn)題的來(lái)源對(duì)偶問(wèn)題和原問(wèn)題在最優(yōu)解方面存在密切聯(lián)系,如目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值相等、一個(gè)問(wèn)題的約束條件對(duì)應(yīng)另一個(gè)問(wèn)題的變量等。對(duì)偶問(wèn)題的性質(zhì)對(duì)偶問(wèn)題的提出與性質(zhì)

對(duì)偶單純形法的求解步驟初始基可行解的確定通過(guò)對(duì)偶問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)形式,確定初始基可行解。檢驗(yàn)數(shù)的計(jì)算與判斷計(jì)算非基變量的檢驗(yàn)數(shù),判斷是否達(dá)到最優(yōu)解?;兞康奶鎿Q與迭代根據(jù)一定規(guī)則選擇出基變量和進(jìn)基變量,進(jìn)行基變換,重復(fù)迭代過(guò)程直至得到最優(yōu)解。03目標(biāo)函數(shù)系數(shù)的變化范圍確定目標(biāo)函數(shù)系數(shù)在一定范圍內(nèi)變化時(shí),最優(yōu)解保持不變的條件。01靈敏度分析的定義研究線性規(guī)劃問(wèn)題中參數(shù)變化對(duì)最優(yōu)解的影響。02影子價(jià)格的分析通過(guò)計(jì)算約束條件的影子價(jià)格,分析資源在最優(yōu)解下的邊際價(jià)值。靈敏度分析的概念與方法臨界點(diǎn)的確定通過(guò)求解一系列子問(wèn)題,確定參數(shù)取不同值時(shí)最優(yōu)解的臨界點(diǎn)。最優(yōu)解的變化規(guī)律分析參數(shù)變化對(duì)最優(yōu)解的影響,總結(jié)最優(yōu)解隨參數(shù)變化的一般規(guī)律。參數(shù)線性規(guī)劃問(wèn)題的特點(diǎn)問(wèn)題中含有參數(shù),最優(yōu)解和參數(shù)取值有關(guān)。參數(shù)線性規(guī)劃問(wèn)題的求解05線性規(guī)劃在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用REPORT最小化生產(chǎn)成本通過(guò)線性規(guī)劃,可以計(jì)算出在滿足生產(chǎn)需求的前提下,如何最小化生產(chǎn)成本。處理多階段生產(chǎn)問(wèn)題對(duì)于多階段生產(chǎn)問(wèn)題,可以建立多個(gè)線性規(guī)劃模型,分別求解每個(gè)階段的最優(yōu)解,從而得到整體最優(yōu)解。確定生產(chǎn)產(chǎn)品的種類和數(shù)量根據(jù)市場(chǎng)需求和資源限制,建立線性規(guī)劃模型,確定最優(yōu)的生產(chǎn)方案。生產(chǎn)計(jì)劃問(wèn)題中的線性規(guī)劃模型根據(jù)供應(yīng)地和需求地的距離、運(yùn)輸費(fèi)用等因素,建立線性規(guī)劃模型,確定最優(yōu)的運(yùn)輸方案。確定運(yùn)輸方案最小化運(yùn)輸費(fèi)用處理轉(zhuǎn)運(yùn)問(wèn)題在滿足運(yùn)輸需求的前提下,通過(guò)線性規(guī)劃可以計(jì)算出如何最小化運(yùn)輸費(fèi)用。對(duì)于存在轉(zhuǎn)運(yùn)的運(yùn)輸問(wèn)題,可以引入虛擬的轉(zhuǎn)運(yùn)點(diǎn),并建立相應(yīng)的線性規(guī)劃模型進(jìn)行求解。030201運(yùn)輸問(wèn)題中的線性規(guī)劃模型123在資源有限的情況下,如何將這些資源分配給各個(gè)項(xiàng)目或部門,可以建立線性規(guī)劃模型進(jìn)行求解。分配有限資源通過(guò)線性規(guī)劃,可以計(jì)算出在滿足資源限制的前提下,如何最大化資源的利用效益。最大化資源利用效益對(duì)于存在多個(gè)任務(wù)需要分配資源的情況,可以建立多目標(biāo)線性規(guī)劃模型進(jìn)行求解。處理多任務(wù)資源分配問(wèn)題資源分配問(wèn)題中的線性規(guī)劃模型在金融市場(chǎng)中,如何選擇合適的投資組合以最大化收益或最小化風(fēng)險(xiǎn),可以建立線性規(guī)劃模型進(jìn)行求解。投資組合優(yōu)化在人員調(diào)度問(wèn)題中,如何合理安排人員的工作時(shí)間和任務(wù)分配,可以建立線性規(guī)劃模型進(jìn)行優(yōu)化。人員調(diào)度問(wèn)題在圖像處理中,可以利用線性規(guī)劃對(duì)圖像進(jìn)行增強(qiáng)、去噪等處理操作。圖像處理中的線性規(guī)劃其他實(shí)際問(wèn)題中的線性規(guī)劃應(yīng)用06線性規(guī)劃問(wèn)題的擴(kuò)展與延伸REPORT將原問(wèn)題分解為多個(gè)子問(wèn)題,通過(guò)不斷縮小解的范圍來(lái)逼近最優(yōu)解。分支定界法通過(guò)添加割平面來(lái)逐步逼近整數(shù)解,適用于求解純整數(shù)或混合整數(shù)線性規(guī)劃問(wèn)題。割平面法對(duì)于變量較少的問(wèn)題,可以嘗試枚舉所有可能的解來(lái)尋找最優(yōu)解。枚舉法整數(shù)線性規(guī)劃問(wèn)題的求解方法通過(guò)變量替換、泰勒展開(kāi)等手段將非線性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性問(wèn)題求解。線性化方法將約束條件轉(zhuǎn)化為懲罰項(xiàng)加入到目標(biāo)函數(shù)中,通過(guò)求解無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題來(lái)逼近原問(wèn)題的解。罰函數(shù)法從一個(gè)初始點(diǎn)出發(fā),通過(guò)迭代逐步逼近非線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解。逐步逼近法非線性規(guī)劃問(wèn)題的轉(zhuǎn)化與求解優(yōu)先等級(jí)法根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的重要程度設(shè)定優(yōu)先等級(jí),先優(yōu)化重要等級(jí)高的目標(biāo)。加權(quán)和方法將多個(gè)目標(biāo)函數(shù)加權(quán)求和,轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)線性規(guī)劃問(wèn)題求解。目標(biāo)規(guī)劃法設(shè)定每個(gè)目標(biāo)函數(shù)的期望值,通過(guò)求解與原問(wèn)題相近的目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題來(lái)得到滿意解。多目標(biāo)線性規(guī)劃問(wèn)題的處理方法動(dòng)態(tài)

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