2025屆上海市華二附中高三下第一次測(cè)試數(shù)學(xué)試題含解析

2025屆上海市華二附中高三下第一次測(cè)試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知向量滿足,且與的夾角為,則()A． B． C． D．2．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則的值是()A． B． C． D．3．已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，若的最大值為2，則實(shí)數(shù)k的值為（）A．1 B． C．2 D．4．已知復(fù)數(shù)z滿足（其中i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的虛部是（）A． B．1 C． D．i5．某幾何體的三視圖如圖所示，其俯視圖是由一個(gè)半圓與其直徑組成的圖形，則此幾何體的體積是（）A． B． C． D．6．若是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且，則A．的值域?yàn)?B．為周期函數(shù)，且6為其一個(gè)周期C．的圖像關(guān)于對(duì)稱 D．函數(shù)的零點(diǎn)有無窮多個(gè)7．已知函數(shù)，若方程恰有兩個(gè)不同實(shí)根，則正數(shù)m的取值范圍為（）A． B．C． D．8．在等腰直角三角形中，，為的中點(diǎn)，將它沿翻折，使點(diǎn)與點(diǎn)間的距離為，此時(shí)四面體的外接球的表面積為（）.A． B． C． D．9．已知函數(shù)與的圖象有一個(gè)橫坐標(biāo)為的交點(diǎn)，若函數(shù)的圖象的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋逗?，得到的函?shù)在有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是()A． B．C． D．10．已知x，y滿足不等式，且目標(biāo)函數(shù)z＝9x+6y最大值的變化范圍[20，22]，則t的取值范圍（）A．[2，4] B．[4，6] C．[5，8] D．[6，7]11．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)周期后，所得圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則的最小正值是（）A． B． C． D．12．已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知圓柱的兩個(gè)底面的圓周在同一個(gè)球的球面上，圓柱的高和球半徑均為2，則該圓柱的底面半徑為__________.14．函數(shù)的定義域是___________．15．的二項(xiàng)展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為__________．16．在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為________.(用數(shù)字作答)三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為了實(shí)現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興之夢(mèng)，把我國(guó)建設(shè)成為富強(qiáng)民主文明和諧美麗的社會(huì)主義現(xiàn)代化強(qiáng)國(guó)，黨和國(guó)家為勞動(dòng)者開拓了寬廣的創(chuàng)造性勞動(dòng)的舞臺(tái).借此“東風(fēng)”，某大型現(xiàn)代化農(nóng)場(chǎng)在種植某種大棚有機(jī)無公害的蔬菜時(shí)，為創(chuàng)造更大價(jià)值，提高畝產(chǎn)量，積極開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng).該農(nóng)場(chǎng)采用了延長(zhǎng)光照時(shí)間和降低夜間溫度兩種不同方案.為比較兩種方案下產(chǎn)量的區(qū)別，該農(nóng)場(chǎng)選取了40間大棚（每間一畝），分成兩組，每組20間進(jìn)行試點(diǎn).第一組采用延長(zhǎng)光照時(shí)間的方案，第二組采用降低夜間溫度的方案.同時(shí)種植該蔬菜一季，得到各間大棚產(chǎn)量數(shù)據(jù)信息如下圖：（1）如果你是該農(nóng)場(chǎng)的負(fù)責(zé)人，在只考慮畝產(chǎn)量的情況下，請(qǐng)根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)信息，對(duì)于下一季大棚蔬菜的種植，說出你的決策方案并說明理由；（2）已知種植該蔬菜每年固定的成本為6千元/畝.若采用延長(zhǎng)光照時(shí)間的方案，光照設(shè)備每年的成本為0.22千元/畝；若采用夜間降溫的方案，降溫設(shè)備的每年成本為0.2千元/畝.已知該農(nóng)場(chǎng)共有大棚100間（每間1畝），農(nóng)場(chǎng)種植的該蔬菜每年產(chǎn)出兩次，且該蔬菜市場(chǎng)的收購(gòu)均價(jià)為1千元/千斤.根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)，用樣本估計(jì)總體，請(qǐng)計(jì)算在兩種不同的方案下，種植該蔬菜一年的平均利潤(rùn)；（3）農(nóng)場(chǎng)根據(jù)以往該蔬菜的種植經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)為一間大棚畝產(chǎn)量超過5.25千斤為增產(chǎn)明顯.在進(jìn)行夜間降溫試點(diǎn)的20間大棚中隨機(jī)抽取3間，記增產(chǎn)明顯的大棚間數(shù)為，求的分布列及期望.18．（12分）設(shè)都是正數(shù)，且，．求證：．19．（12分）如圖，三棱柱中，側(cè)面是菱形，其對(duì)角線的交點(diǎn)為，且．（1）求證：平面；（2）設(shè)，若直線與平面所成的角為，求二面角的正弦值．20．（12分）某商場(chǎng)為改進(jìn)服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)抽取了200名進(jìn)場(chǎng)購(gòu)物的顧客進(jìn)行問卷調(diào)查．調(diào)查后，就顧客“購(gòu)物體驗(yàn)”的滿意度統(tǒng)計(jì)如下：滿意不滿意男4040女8040（1）是否有97.5%的把握認(rèn)為顧客購(gòu)物體驗(yàn)的滿意度與性別有關(guān)？（2）為答謝顧客，該商場(chǎng)對(duì)某款價(jià)格為100元/件的商品開展促銷活動(dòng)．據(jù)統(tǒng)計(jì)，在此期間顧客購(gòu)買該商品的支付情況如下：支付方式現(xiàn)金支付購(gòu)物卡支付APP支付頻率10%30%60%優(yōu)惠方式按9折支付按8折支付其中有1/3的顧客按4折支付，1/2的顧客按6折支付，1/6的顧客按8折支付將上述頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，記某顧客購(gòu)買一件該促銷商品所支付的金額為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附表及公式：．0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821．（12分）某保險(xiǎn)公司給年齡在歲的民眾提供某種疾病的一年期醫(yī)療保險(xiǎn)，現(xiàn)從名參保人員中隨機(jī)抽取名作為樣本進(jìn)行分析，按年齡段分成了五組，其頻率分布直方圖如下圖所示；參保年齡與每人每年應(yīng)交納的保費(fèi)如下表所示.據(jù)統(tǒng)計(jì)，該公司每年為這一萬名參保人員支出的各種費(fèi)用為一百萬元.年齡（單位：歲）保費(fèi)（單位：元）（1）用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，為使公司不虧本，求精確到整數(shù)時(shí)的最小值；（2）經(jīng)調(diào)查，年齡在之間的老人每人中有人患該項(xiàng)疾病(以此頻率作為概率).該病的治療費(fèi)為元，如果參保，保險(xiǎn)公司補(bǔ)貼治療費(fèi)元.某老人年齡歲，若購(gòu)買該項(xiàng)保險(xiǎn)(取中的).針對(duì)此疾病所支付的費(fèi)用為元；若沒有購(gòu)買該項(xiàng)保險(xiǎn)，針對(duì)此疾病所支付的費(fèi)用為元.試比較和的期望值大小，并判斷該老人購(gòu)買此項(xiàng)保險(xiǎn)是否劃算？22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線交于、兩點(diǎn)，求的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)向量的運(yùn)算法則展開后利用數(shù)量積的性質(zhì)即可.【詳解】.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

利用先求出，然后計(jì)算出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，,,故當(dāng)時(shí)，,數(shù)列是等比數(shù)列,則，故,解得,故選.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列前項(xiàng)和的表達(dá)形式，只要求出數(shù)列中的項(xiàng)即可得到結(jié)果，較為基礎(chǔ).3、B【解析】

畫出約束條件的可行域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,求出最優(yōu)解,轉(zhuǎn)化求解即可.【詳解】可行域如圖中陰影部分所示，，，要使得z能取到最大值，則，當(dāng)時(shí)，x在點(diǎn)B處取得最大值，即，得；當(dāng)時(shí)，z在點(diǎn)C處取得最大值，即，得（舍去）.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查由目標(biāo)函數(shù)最值求解參數(shù)值,數(shù)形結(jié)合思想,分類討論是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.4、A【解析】

由虛數(shù)單位i的運(yùn)算性質(zhì)可得，則答案可求.【詳解】解：∵，∴，，則化為，∴z的虛部為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了虛數(shù)單位i的運(yùn)算性質(zhì)、復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】由三視圖可知，該幾何體是下部是半徑為2，高為1的圓柱的一半，上部為底面半徑為2，高為2的圓錐的一半，所以，半圓柱的體積為，上部半圓錐的體積為，所以該幾何體的體積為，故應(yīng)選．6、D【解析】

運(yùn)用函數(shù)的奇偶性定義，周期性定義，根據(jù)表達(dá)式判斷即可.【詳解】是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，則，，又，，即是以4為周期的函數(shù)，，所以函數(shù)的零點(diǎn)有無窮多個(gè)；因?yàn)?，，令，則，即，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，由題意無法求出的值域，所以本題答案為D.【點(diǎn)睛】本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，主要是抽象函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)學(xué)式子判斷得出結(jié)論是關(guān)鍵.7、D【解析】

當(dāng)時(shí)，函數(shù)周期為，畫出函數(shù)圖像，如圖所示，方程兩個(gè)不同實(shí)根，即函數(shù)和有圖像兩個(gè)交點(diǎn)，計(jì)算，，根據(jù)圖像得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)周期為，畫出函數(shù)圖像，如圖所示：方程，即，即函數(shù)和有兩個(gè)交點(diǎn).，，故，，，，.根據(jù)圖像知：.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，確定函數(shù)周期畫出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵.8、D【解析】

如圖，將四面體放到直三棱柱中，求四面體的外接球的半徑轉(zhuǎn)化為求三棱柱外接球的半徑，然后確定球心在上下底面外接圓圓心連線中點(diǎn)，這樣根據(jù)幾何關(guān)系，求外接球的半徑.【詳解】中，易知，翻折后,，，設(shè)外接圓的半徑為，，，如圖：易得平面，將四面體放到直三棱柱中，則球心在上下底面外接圓圓心連線中點(diǎn)，設(shè)幾何體外接球的半徑為，，四面體的外接球的表面積為.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的外接球的表面積，意在考查空間想象能力，和計(jì)算能力，屬于中檔題型，求幾何體的外接球的半徑時(shí)，一般可以用補(bǔ)形法，因正方體，長(zhǎng)方體的外接球半徑容易求，可以將一些特殊的幾何體補(bǔ)形為正方體或長(zhǎng)方體，比如三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，或是構(gòu)造直角三角形法，確定球心的位置，構(gòu)造關(guān)于外接球半徑的方程求解.9、A【解析】

根據(jù)題意，，求出，所以，根據(jù)三角函數(shù)圖像平移伸縮，即可求出的取值范圍.【詳解】已知與的圖象有一個(gè)橫坐標(biāo)為的交點(diǎn)，則，，，，，若函數(shù)圖象的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮瑒t，所以當(dāng)時(shí)，，在有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象的性質(zhì)、三角函數(shù)的平移伸縮以及零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力.10、B【解析】

作出可行域，對(duì)t進(jìn)行分類討論分析目標(biāo)函數(shù)的最大值，即可求解.【詳解】畫出不等式組所表示的可行域如圖△AOB當(dāng)t≤2時(shí)，可行域即為如圖中的△OAM，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)z＝9x+6y在A（2，0）取得最大值Z＝18不符合題意t＞2時(shí)可知目標(biāo)函數(shù)Z＝9x+6y在的交點(diǎn)（）處取得最大值，此時(shí)Z＝t+16由題意可得，20≤t+16≤22解可得4≤t≤6故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查線性規(guī)劃，根據(jù)可行域結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的最大值的取值范圍求參數(shù)的取值范圍，涉及分類討論思想，關(guān)鍵在于熟練掌握截距型目標(biāo)函數(shù)的最大值最優(yōu)解的處理辦法.11、D【解析】

由函數(shù)的圖象平移變換公式求出變換后的函數(shù)解析式，再利用誘導(dǎo)公式得到關(guān)于的方程，對(duì)賦值即可求解.【詳解】由題意知，函數(shù)的最小正周期為,即,由函數(shù)的圖象平移變換公式可得，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)周期后的解析式為，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以，即，所以當(dāng)時(shí)，有最小正值為.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖象平移變換公式和三角函數(shù)誘導(dǎo)公式及正余弦函數(shù)的性質(zhì)；熟練掌握誘導(dǎo)公式和正余弦函數(shù)的性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題、?？碱}型.12、A【解析】

由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算．【詳解】因?yàn)?，所以故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算．屬于簡(jiǎn)單題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由圓柱外接球的性質(zhì)，即可求得結(jié)果.【詳解】解：由于圓柱的高和球半徑均為2，,則球心到圓柱底面的距離為1，設(shè)圓柱底面半徑為，由已知有，∴，即圓柱的底面半徑為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查由圓柱的外接球的性質(zhì)求圓柱底面半徑，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

由于偶次根式中被開方數(shù)非負(fù)，對(duì)數(shù)的真數(shù)要大于零，然后解不等式組可得答案.【詳解】解：由題意得，，解得，所以，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)定義域的求法，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，然后取的指數(shù)為求得的值，則項(xiàng)的系數(shù)可求得.【詳解】，由，可得.含項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理展開式、需熟記二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

的展開式的通項(xiàng)為，取計(jì)算得到答案.【詳解】的展開式的通項(xiàng)為：，取得到常數(shù)項(xiàng).故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）（i）該農(nóng)場(chǎng)若采用延長(zhǎng)光照時(shí)間的方法，預(yù)計(jì)每年的利潤(rùn)為426千元；（ii）若采用降低夜間溫度的方法，預(yù)計(jì)每年的利潤(rùn)為424千元；（3）分布列見解析，.【解析】

（1）估計(jì)第一組數(shù)據(jù)平均數(shù)和第二組數(shù)據(jù)平均數(shù)來選擇.（2）對(duì)于兩種方法，先計(jì)算出每畝平均產(chǎn)量，再算農(nóng)場(chǎng)一年的利潤(rùn).（3）估計(jì)頻率分布直方圖可知，增產(chǎn)明顯的大棚間數(shù)為5間，由題意可知，的可能取值有0，1，2，3，再算出相應(yīng)的概率，寫出分布列，再求期望.【詳解】（1）第一組數(shù)據(jù)平均數(shù)為千斤/畝，第二組數(shù)據(jù)平均數(shù)為千斤/畝，可知第一組方法較好，所以采用延長(zhǎng)光照時(shí)間的方法；（（2）（i）對(duì)于采用延長(zhǎng)光照時(shí)間的方法：每畝平均產(chǎn)量為千斤.∴該農(nóng)場(chǎng)一年的利潤(rùn)為千元.（ii）對(duì)于采用降低夜間溫度的方法：每畝平均產(chǎn)量為千斤，∴該農(nóng)場(chǎng)一年的利潤(rùn)為千元.因此，該農(nóng)場(chǎng)若采用延長(zhǎng)光照時(shí)間的方法，預(yù)計(jì)每年的利潤(rùn)為426千元；若采用降低夜間溫度的方法，預(yù)計(jì)每年的利潤(rùn)為424千元.（3）由圖可知，增產(chǎn)明顯的大棚間數(shù)為5間，由題意可知，的可能取值有0，1，2，3，；；；.所以的分布列為0123所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查樣本估計(jì)總體和離散型隨機(jī)變量的分布列，還考查了數(shù)據(jù)處理和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.18、證明見解析【解析】

利用比較法進(jìn)行證明：把代數(shù)式展開、作差、化簡(jiǎn)可得,,可證得成立,同理可證明,由此不等式得證.【詳解】證明:因?yàn)?，所以，∴成立，又都是正數(shù)，∴，①同理，∴．【點(diǎn)睛】本題考查利用比較法證明不等式;考查學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力;把差變形為因式乘積的形式是證明本題的關(guān)鍵;屬于中檔題。19、（1）見解析；（2）.【解析】

（1）根據(jù)菱形的特征和題中條件得到平面，結(jié)合線面垂直的定義和判定定理即可證明；

2建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量知識(shí)求解即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是菱形，，平面平面，又是的中點(diǎn)，，又平面（2）∴直線與平面所成的角等于直線與平面所成的角．平面，∴直線與平面所成的角為，即．因?yàn)?，則在等腰直角三角形中，所以．在中，由得，以為原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系．則所以設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，可得，取平面的一個(gè)法向量為，則，所以二面角的正弦值的大小為．（注：?jiǎn)栴}（2）可以轉(zhuǎn)化為求二面角的正弦值，求出后，在中，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，連接，則就是所求二面角平面角的補(bǔ)角，先求出，再求出，最后在中求出．）【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面垂直的判定以及二面角的求解，屬于中檔題．20、（1）有97.5%的把握認(rèn)為顧客購(gòu)物體驗(yàn)的滿意度與性別有關(guān)；（2）67元，見解析.【解析】

（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)代入公式，結(jié)合臨界值即得解；（2）的可能取值為40，60，80，1，根據(jù)題意依次計(jì)算概率，列出分布列，求數(shù)學(xué)期望即可.【詳解】（1）由題得，所以，有97.5%的把握認(rèn)為顧客購(gòu)物體驗(yàn)的