天津市濱海新區(qū)天津開發(fā)區(qū)第一中學(xué)2025屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

天津市濱海新區(qū)天津開發(fā)區(qū)第一中學(xué)2025屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．集合中含有的元素個數(shù)為（）A．4 B．6 C．8 D．122．已知函數(shù)的圖像上有且僅有四個不同的點關(guān)于直線的對稱點在的圖像上，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．3．已知圓：，圓：，點、分別是圓、圓上的動點，為軸上的動點，則的最大值是（）A． B．9 C．7 D．4．若2m＞2n＞1，則（）A． B．πm﹣n＞1C．ln（m﹣n）＞0 D．5．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，當(dāng)輸出的時，則輸入的的值為()A．-2 B．-1 C． D．6．為研究語文成績和英語成績之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，統(tǒng)計兩科成績得到如圖所示的散點圖(兩坐標軸單位長度相同)，用回歸直線近似地刻畫其相關(guān)關(guān)系，根據(jù)圖形，以下結(jié)論最有可能成立的是()A．線性相關(guān)關(guān)系較強，b的值為1.25B．線性相關(guān)關(guān)系較強，b的值為0.83C．線性相關(guān)關(guān)系較強，b的值為－0.87D．線性相關(guān)關(guān)系太弱，無研究價值7．定義，已知函數(shù)，，則函數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．8．已知復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)，則為A． B． C． D．9．函數(shù)的圖象大致為A． B． C． D．10．設(shè)為虛數(shù)單位，為復(fù)數(shù)，若為實數(shù)，則（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)f（x）＝eb﹣x﹣ex﹣b+c（b，c均為常數(shù)）的圖象關(guān)于點（2，1）對稱，則f（5）+f（﹣1）＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．412．設(shè)是等差數(shù)列，且公差不為零，其前項和為．則“，”是“為遞增數(shù)列”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x≤0時，f(x)=e-x-1-x，則曲線y=f(x)14．若，，則___________．15．已知橢圓的左、右焦點分別為、，過橢圓的右焦點作一條直線交橢圓于點、.則內(nèi)切圓面積的最大值是_________.16．已知函數(shù)，，若函數(shù)有3個不同的零點x1，x2，x3(x1＜x2＜x3)，則的取值范圍是_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）等比數(shù)列中，．(Ⅰ)求的通項公式；(Ⅱ)記為的前項和．若，求．18．（12分）在平面直角坐標系xoy中，曲線C的方程為.以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為.（1）寫出曲線C的極坐標方程，并求出直線l與曲線C的交點M，N的極坐標；（2）設(shè)P是橢圓上的動點，求面積的最大值.19．（12分）某企業(yè)為了了解該企業(yè)工人組裝某產(chǎn)品所用時間，對每個工人組裝一個該產(chǎn)品的用時作了記錄，得到大量統(tǒng)計數(shù)據(jù)．從這些統(tǒng)計數(shù)據(jù)中隨機抽取了個數(shù)據(jù)作為樣本，得到如圖所示的莖葉圖（單位：分鐘）．若用時不超過（分鐘），則稱這個工人為優(yōu)秀員工．（1）求這個樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)；（2）以這個樣本數(shù)據(jù)中優(yōu)秀員工的頻率作為概率，任意調(diào)查名工人，求被調(diào)查的名工人中優(yōu)秀員工的數(shù)量分布列和數(shù)學(xué)期望．20．（12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線在點的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性．21．（12分）如圖，正方形所在平面外一點滿足，其中分別是與的中點.（1）求證：；（2）若，且二面角的平面角的余弦值為，求與平面所成角的正弦值.22．（10分）在三棱錐中，是邊長為的正三角形，平面平面，，M、N分別為、的中點.?（1）證明：；（2）求三棱錐的體積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】解：因為集合中的元素表示的是被12整除的正整數(shù)，那么可得為1，2,3,4，6，,12故選B2、A【解析】

可將問題轉(zhuǎn)化，求直線關(guān)于直線的對稱直線，再分別討論兩函數(shù)的增減性，結(jié)合函數(shù)圖像，分析臨界點，進一步確定的取值范圍即可【詳解】可求得直線關(guān)于直線的對稱直線為，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，則當(dāng)時，，單減，當(dāng)時，，單增；當(dāng)時，，，當(dāng)，,當(dāng)時，單減，當(dāng)時，單增；根據(jù)題意畫出函數(shù)大致圖像，如圖：當(dāng)與（）相切時，得，解得；當(dāng)與（）相切時，滿足，解得，結(jié)合圖像可知，即，故選：A【點睛】本題考查數(shù)形結(jié)合思想求解函數(shù)交點問題，導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)增減性，找準臨界是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題3、B【解析】試題分析：圓的圓心，半徑為，圓的圓心，半徑是．要使最大，需最大，且最小，最大值為的最小值為，故最大值是;關(guān)于軸的對稱點，，故的最大值為，故選B．考點：圓與圓的位置關(guān)系及其判定．【思路點睛】先根據(jù)兩圓的方程求出圓心和半徑，要使最大，需最大，且最小，最大值為的最小值為，故最大值是，再利用對稱性，求出所求式子的最大值．4、B【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合特殊值進行辨析.【詳解】若2m＞2n＞1＝20，∴m＞n＞0，∴πm﹣n＞π0＝1，故B正確；而當(dāng)m，n時，檢驗可得，A、C、D都不正確，故選：B．【點睛】此題考查根據(jù)指數(shù)冪的大小關(guān)系判斷參數(shù)的大小，根據(jù)參數(shù)的大小判定指數(shù)冪或?qū)?shù)的大小關(guān)系，需要熟練掌握指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合特值法得出選項.5、B【解析】若輸入，則執(zhí)行循環(huán)得結(jié)束循環(huán)，輸出，與題意輸出的矛盾；若輸入，則執(zhí)行循環(huán)得結(jié)束循環(huán)，輸出，符合題意；若輸入，則執(zhí)行循環(huán)得結(jié)束循環(huán)，輸出，與題意輸出的矛盾；若輸入，則執(zhí)行循環(huán)得結(jié)束循環(huán)，輸出，與題意輸出的矛盾；綜上選B.6、B【解析】

根據(jù)散點圖呈現(xiàn)的特點可以看出，二者具有相關(guān)關(guān)系，且斜率小于1.【詳解】散點圖里變量的對應(yīng)點分布在一條直線附近，且比較密集，故可判斷語文成績和英語成績之間具有較強的線性相關(guān)關(guān)系，且直線斜率小于1，故選B.【點睛】本題主要考查散點圖的理解，側(cè)重考查讀圖識圖能力和邏輯推理的核心素養(yǎng).7、A【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的定義得，，則,再根據(jù)基本不等式構(gòu)造出相應(yīng)的所需的形式，可求得函數(shù)的最小值.【詳解】依題意得，，則,(當(dāng)且僅當(dāng)，即時“”成立.此時,，，的最小值為，故選：A.【點睛】本題考查求分段函數(shù)的最值，關(guān)鍵在于根據(jù)分段函數(shù)的定義得出，再由基本不等式求得最值，屬于中檔題.8、C【解析】

利用復(fù)數(shù)的三角形式的乘法運算法則即可得出．【詳解】z1z2＝（cos23°+isin23°）?（cos37°+isin37°）＝cos60°+isin60°＝．故答案為C．【點睛】熟練掌握復(fù)數(shù)的三角形式的乘法運算法則是解題的關(guān)鍵，復(fù)數(shù)問題高考必考，常見考點有：點坐標和復(fù)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，點的象限和復(fù)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，復(fù)數(shù)的加減乘除運算，復(fù)數(shù)的模長的計算.9、D【解析】

由題可得函數(shù)的定義域為，因為，所以函數(shù)為奇函數(shù)，排除選項B；又，，所以排除選項A、C，故選D．10、B【解析】

可設(shè)，將化簡，得到，由復(fù)數(shù)為實數(shù)，可得，解方程即可求解【詳解】設(shè)，則.由題意有，所以.故選：B【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的模長、除法運算，由復(fù)數(shù)的類型求解對應(yīng)參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題11、C【解析】

根據(jù)對稱性即可求出答案．【詳解】解：∵點（5，f（5））與點（﹣1，f（﹣1））滿足（5﹣1）÷2＝2，故它們關(guān)于點（2，1）對稱，所以f（5）+f（﹣1）＝2，故選：C．【點睛】本題主要考查函數(shù)的對稱性的應(yīng)用，屬于中檔題．12、A【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的前項和公式以及充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【詳解】是等差數(shù)列，且公差不為零，其前項和為，充分性：，則對任意的恒成立，則，，若，則數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，則必存在，使得當(dāng)時，，則，不合乎題意；若，由且數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則對任意的，，合乎題意.所以，“，”“為遞增數(shù)列”；必要性：設(shè)，當(dāng)時，，此時，，但數(shù)列是遞增數(shù)列.所以，“，”“為遞增數(shù)列”.因此，“，”是“為遞增數(shù)列”的充分而不必要條件.故選：A.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合等差數(shù)列的前項和公式是解決本題的關(guān)鍵，屬于中等題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、y=2x【解析】試題分析：當(dāng)x>0時，-x<0，則f(-x)=ex-1+x．又因為f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)=f(-x)=ex-1+x，所以f'【考點】函數(shù)的奇偶性、解析式及導(dǎo)數(shù)的幾何意義【知識拓展】本題題型可歸納為“已知當(dāng)x>0時，函數(shù)y=f(x)，則當(dāng)x<0時，求函數(shù)的解析式”．有如下結(jié)論：若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則當(dāng)x<0時，函數(shù)的解析式為y=-f(x)；若f(x)為奇函數(shù)，則函數(shù)的解析式為y=-f(-x)．14、【解析】

因為，所以，又，所以，則，所以．15、【解析】令直線：，與橢圓方程聯(lián)立消去得，可設(shè)，則，．可知，又，故．三角形周長與三角形內(nèi)切圓的半徑的積是三角形面積的二倍，則內(nèi)切圓半徑，其面積最大值為．故本題應(yīng)填．點睛：圓錐曲線中最值與范圍的求法有兩種：(１)幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法．(２)代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)，則可首先建立起目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值，求函數(shù)最值的常用方法有配方法，判別式法，重要不等式及函數(shù)的單調(diào)性法等．16、【解析】

先根據(jù)題意，求出的解得或，然后求出f(x)的導(dǎo)函數(shù)，求其單調(diào)性以及最值，在根據(jù)題意求出函數(shù)有3個不同的零點x1，x2，x3(x1＜x2＜x3)，分情況討論求出的取值范圍.【詳解】解：令t=f（x），函數(shù)有3個不同的零點，即+m=0有兩個不同的解，解之得即或因為的導(dǎo)函數(shù)，令，解得x>e，，解得0<x<e，可得f（x）在（0，e）遞增，在遞減；f(x)的最大值為，且且f(1)=0；要使函數(shù)有3個不同的零點，（1）有兩個不同的解，此時有一個解；（2）有兩個不同的解，此時有一個解當(dāng)有兩個不同的解，此時有一個解，此時，不符合題意；或是不符合題意；所以只能是解得，此時=-m，此時有兩個不同的解，此時有一個解此時，不符合題意；或是不符合題意；所以只能是解得，此時=，綜上：的取值范圍是故答案為【點睛】本題主要考查了函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的綜合，考查到了函數(shù)的零點，導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用，以及數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論的思想，屬于綜合性極強的題目，屬于難題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)或(Ⅱ)12【解析】

（1）先設(shè)數(shù)列的公比為，根據(jù)題中條件求出公比，即可得出通項公式；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，由等比數(shù)列的求和公式，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，，，或.（2）時，，解得；時，，無正整數(shù)解；綜上所述.【點睛】本題主要考查等比數(shù)列，熟記等比數(shù)列的通項公式與求和公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.18、（1），，；（2）.【解析】

（1）利用公式即可求得曲線的極坐標方程；聯(lián)立直線和曲線的極坐標方程，即可求得交點坐標；（2）設(shè)出點坐標的參數(shù)形式，將問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)最值的問題即可求得.【詳解】（1）曲線的極坐標方程：聯(lián)立，得，又因為都滿足兩方程，故兩曲線的交點為，.（2）易知，直線.設(shè)點，則點到直線的距離（其中）.面積的最大值為.【點睛】本題考查極坐標方程和直角坐標方程之間的相互轉(zhuǎn)化，涉及利用橢圓的參數(shù)方程求面積的最值問題，屬綜合中檔題.19、（1）43，47；（2）分布列見解析，.【解析】

（1）根據(jù)莖葉圖即可得到中位數(shù)和眾數(shù)；（2）根據(jù)數(shù)據(jù)可得任取一名優(yōu)秀員工的概率為，故，寫出分布列即可得解.【詳解】（1）中位數(shù)為，眾數(shù)為．（2）被調(diào)查的名工人中優(yōu)秀員工的數(shù)量，任取一名優(yōu)秀員工的概率為，故，，，的分布列如下：故【點睛】此題考查根據(jù)莖葉圖求眾數(shù)和中位數(shù)，求離散型隨機變量分布列，根據(jù)分布列求解期望，關(guān)鍵在于準確求解概率，若能準確識別二項分布對于解題能夠起到事半功倍的作用.20、（1）；（2）當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減；當(dāng)時,在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減；當(dāng)時,在上單調(diào)遞增；當(dāng)時,在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.【解析】

(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.(2)易得函數(shù)定義域是,且.故分,和與四種情況,分別分析得極值點的關(guān)系進而求得原函數(shù)的單調(diào)性即可.【詳解】（1）當(dāng)時,,則切線的斜率為.又,則曲線在點的切線方程是,即.（2）的定義域是..①當(dāng)時,,所以當(dāng)時,；當(dāng)時,,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時,,所以當(dāng)和時,；當(dāng)時,,所以在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減；③當(dāng)時,,所以在上恒成立.所以在上單調(diào)遞增；④當(dāng)時,,所以和時,；時,.所以在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.綜上所述,當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減；當(dāng)時,在和上單調(diào)遞增,在