二項(xiàng)式定理課件范文

二項(xiàng)式定理課件范文二項(xiàng)式定理n0n1n?1(a?b)?Ca?Cab?nn1、rn?rr?Cnab?nn?Cnb(n?N?)，2．基本概念：①二項(xiàng)式展開式：右邊的多項(xiàng)式叫做(a?b)n的二項(xiàng)展開式。r(r?0,1,2,???,n).②二項(xiàng)式系數(shù):展開式中各項(xiàng)的系數(shù)Cn③項(xiàng)數(shù)：共(r?1)項(xiàng)，是關(guān)于a與b的齊次多項(xiàng)式rn?rr④通項(xiàng)：展開式中的第r?1項(xiàng)Cnab叫做二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)。用Tr?1?Cnarn?rrb表示。3．注意關(guān)鍵點(diǎn)：①項(xiàng)數(shù)：展開式中總共有(n?1)項(xiàng)。②順序：注意正確選擇a,b,其順序不能更改。(a?b)n與(b?a)n是不同的。③指數(shù)：a的指數(shù)從n逐項(xiàng)減到0，是降冪排列。b的指數(shù)從0逐項(xiàng)減到n，是升冪排列。各項(xiàng)的次數(shù)和等于n.012rn④系數(shù)：注意正確區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)依次是Cn,Cn,Cn,???,Cn,???,Cn.項(xiàng)的系數(shù)是a與b的系數(shù)（包括二項(xiàng)式系數(shù)）。4．常用的結(jié)論：0122令a?1,b?x,(1?x)n?Cn?Cnx?Cnx?0122令a?1,b??x,(1?x)n?Cn?Cnx?Cnx?rr?Cnx?rr?Cnx?nn?Cnx(n?N?)nn?(?1)nCnx(n?N?)5．性質(zhì)：0nkk?1①二項(xiàng)式系數(shù)的對稱性：與首末兩端“對距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即Cn，···Cn?Cn?Cn012②二項(xiàng)式系數(shù)和：令a?b?1,則二項(xiàng)式系數(shù)的和為Cn?Cn?Cn?12變形式Cn?Cn?r?Cn?n?Cn?2n?1。r?Cn?n?Cn?2n，③奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和=偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和：0123在二項(xiàng)式定理中，令a?1,b??1，則Cn?Cn?Cn?Cn?0242r13從而得到：Cn?Cn?Cn????Cn?????Cn?Cn?n?(?1)nCn?(1?1)n?0，2r?1?Cn?????1n?2?2n?12④奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和：0n01n?12n?22(a?x)n?Cnax?Cnax?Cnax?00n122n?2(x?a)n?Cnax?Cnaxn?1?Cnax?n0n?Cnax?a0?a1x1?a2x2?nn0?Cnax?anxn??anxn?a2x2?a1x1?a0令x?1,則a0?a1?a2?a3令x??1,則a0?a1?a2?a3?①?②得,a0?a2?a4①?②得,a1?a3?a5?an?(a?1)n?????????①?an?(a?1)n????????②(a?1)n?(a?1)n?an?(奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和)2(a?1)n?(a?1)n?an?(偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和)2n2n⑤二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)：如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)n是偶數(shù)時(shí)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)C取得最大值。如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)n是奇數(shù)時(shí)，則中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)C大值。⑥系數(shù)的最大項(xiàng)：求(a?bx)n展開式中最大的項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法。設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別n?12n,Cn?12n同時(shí)取得最為A1,A2,???,An?1，設(shè)第r?1項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)有??Ar?1?Ar，從而解出r來。A?A?r?1r?2專題一題型一：二項(xiàng)式定理的逆用；123例：Cn?Cn?6?Cn?62?n?Cn?6n?1?n?Cn?6n與已知的有一些差距，0123解：(1?6)n?Cn?Cn?6?Cn?62?Cn?63?123?Cn?Cn?6?Cn?62?n?Cn?6n?1??1012(Cn?Cn?6?Cn?62?6112n(Cn?6?Cn?62??Cn?6n)611n?Cn?6n?1)?[(1?6)n?1]?(7n?1)66123練：Cn?3Cn?9Cn?n?3n?1Cn?n，則?3n?1Cnnn012233?Cn3?Cn?Cn3?Cn3?Cn3?nn?Cn3?1?(1?3)n?1123解：設(shè)Sn?Cn?3Cn?9Cn?122333Sn?Cn3?Cn3?Cn3?(1?3)n?14n?1?Sn??33題型二：利用通項(xiàng)公式求xn的系數(shù)；例：在二項(xiàng)式n的展開式中倒數(shù)第3項(xiàng)的系數(shù)為45，求含有x3的項(xiàng)的系數(shù)？解：由條件知Cnr10n?22?45，即Cn?45，?n2?n?90?0，解得n??9(舍去)或n?10，由23r10?r2?r43Tr?1?C(x)?1410?r(x)?Cxr10?，由題意?10?r2?r?3,解得r?6，4363則含有x3的項(xiàng)是第7項(xiàng)T6?1?C10x?210x3,系數(shù)為210。19)展開式中x9的系數(shù)？2x111r(x2)9?r(?)r?C9rx18?2r(?)rx?r?C9r(?)rx18?3r，令18?3r?9,則r?3解：Tr?1?C92x22132139故x的系數(shù)為C9(?)??。22練：求(x2?題型三：利用通項(xiàng)公式求常數(shù)項(xiàng)；例：求二項(xiàng)式(x2?10的展開式中的常數(shù)項(xiàng)？解：Tr?1?C(x)r10210?rr5451r20?5818()??C()x2，令20?r?0，得r?8，所以T9?C10222562rr1016)的展開式中的常數(shù)項(xiàng)？2x1rr6?rrrr6?r1r6?2r解：Tr?1?C6(2x)(?1)()?(?1)C62()x，令6?2r?0，得r?3，所以2x2練：求二項(xiàng)式(2x?3T4?(?1)3C6??201n)的二項(xiàng)展開式中第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則n?____.x42n?41442n?12解：T5?Cn(x)()?Cnx，令2n?12?0，得n?6.x2練：若(x?題型四：利用通項(xiàng)公式，再討論而確定有理數(shù)項(xiàng)；例：求二項(xiàng)式9展開式中的有理項(xiàng)？解：Tr?1?C(x)r9129?r(?x)?(?1)Cx13rrr927?r6，令27?r?Z,(0?r?9)得r?3或r?9，627?r34?4，T4?(?1)3C9x??84x4，627?r93?3，T10?(?1)3C9當(dāng)r?9時(shí)，x??x3。6所以當(dāng)r?3時(shí)，題型五：奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和=偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；例：若n展開式中偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為?256，求n.解：設(shè)n展開式中各項(xiàng)系數(shù)依次設(shè)為a0,a1,???an,令x??1,則有a0?a1????an?0,①，令x?1,則有a0?a1?a2?a3?????(?1)nan?2n,②將①-②得：2(a1?a3?a5????)??2n,?a1?a3?a5??????2n?1,有題意得，?2n?1??256??28，?n?9。練：若解：n的展開式中，所有的奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為1024，求它的中間項(xiàng)。2r?1?Cn?????2n?1，?2n?1?1024，解得n?110242r13Cn?Cn?Cn????Cn?????Cn?Cn?61?65?4所以中間兩個(gè)項(xiàng)分別為n?6,n?7，T5?1?C?462?x，T6?1?462?x155n題型六：最大系數(shù)，最大項(xiàng)；n例：已知(?2x)，若展開式中第5項(xiàng)，第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項(xiàng)式系12數(shù)最大項(xiàng)的系數(shù)是多少？解：465Cn?Cn?2Cn,?n2?21n?98?0,解出n?7或n?14，當(dāng)n?7時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大354134,，T5的系數(shù)?C7()2?70,當(dāng)n?14時(shí)，展開式中227177二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是T8，?T8的系數(shù)?C14()2?3432。2343的項(xiàng)是T4和T5?T4的系數(shù)?C7()2?12練：在(a?b)2n的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是多少？解：二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)2n，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即T2n2?1?Tn?1，也就是第n?1項(xiàng)。練：在(?x2n的展開式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是多少？n1?1?5，即n?8,所以展開式中常數(shù)項(xiàng)為第七項(xiàng)等于C86()2?722解：只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式最大，則7例：寫出在(a?b)的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)？系數(shù)最小的項(xiàng)？解：因?yàn)槎?xiàng)式的冪指數(shù)7是奇數(shù)，所以中間兩項(xiàng)(第4,5項(xiàng))的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且同時(shí)取得最大值，從343434而有T4??C7ab的系數(shù)最小，T5?C7ab系數(shù)最大。n例：若展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79，求(?2x)的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)？12012解：由Cn?Cn?Cn?79,解出n?12,假設(shè)Tr?1項(xiàng)最大，11(?2x)12?()12(1?4x)1222rrr?1r?1??Ar?1?Ar?C124?C124????rr，化簡得到9.4?r?10.4，又0?r?12，?r?10，展開式r?1r?1A?A??r?1r?2?C124?C124中系數(shù)最大的項(xiàng)為T11,有T11?()C124x1212101010?16896x10練：在(1?2x)10的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是多少？解：假設(shè)Tr?1項(xiàng)最大，Tr?1?C10?2xrrr?1r?1??Ar?1?Ar?2(11?r)?r?C102?C102????rr解得，化簡得到6.3?k?7.3，又?r?1r?1?r?1?2(10?r)?Ar?1?Ar?2??C102?C102,rrr7770?r?10，?r?7，展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T8?C102x?15360x7.題型七：含有三項(xiàng)變兩項(xiàng)；例：求當(dāng)(x2?3x?2)5的展開式中x的一次項(xiàng)的系數(shù)？r解法①：(x2?3x?2)5?[(x2?2)?3x]5，Tr?1?C5(x2?2)5?r(3x)r，當(dāng)且僅當(dāng)r?1時(shí)，Tr?1的展開式1144中才有x的一次項(xiàng)，此時(shí)Tr?1?T2?C5(x2?2)43x，所以x得一次項(xiàng)為C5C423x144它的系數(shù)為C5C423?240。05145051455解法②：(x2?3x?2)5?(x?1)5(x?2)5?(C5x?C5x?????C5)(C5x?C5x2?????C52)故展開式中含x的項(xiàng)為C5xC52?C5x2?240x，故展開式中x的系數(shù)為240.練：求式子(x?455441?2)3的常數(shù)項(xiàng)？x解：(x?16?2)3?，設(shè)第r?1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則x6?rrTr?1?C6(?1)rx(1r6?2rr3，得6?2r?0,r?3,?T3?1?(?1)3C6)?(?1)6C6x??20.x題型八：兩個(gè)二項(xiàng)式相乘；例：求(1?2x)(1?x)展開式中x的系數(shù).解：mm(1?2x)3的展開式的通項(xiàng)是C3?(2x)m?C3?2m?xm,nnnn(1?x)4的展開式的通項(xiàng)是Cn,2,3,n?0,1,2,3,4,4?(?x)?C4??1?x,其中m?0,1342令m?n?2,則m?0且n?2,m?1且n?1,m?2且n?0,因此(1?2x)3(1?x)4021120的展開式中x2的系數(shù)等于C3?20?C4?(?1)2?C3?21?C4?(?1)1?C3?22?C4?(?1)0??6.二項(xiàng)式定理教學(xué)設(shè)計(jì)一、教材分析：1、【教材的地位及作用】“二項(xiàng)式定理”是全日制普通高，結(jié)合新課標(biāo)的理念，制訂如下的教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)重，難點(diǎn)）。教學(xué)目標(biāo)：1、知識目標(biāo)：通過對二項(xiàng)式定理的學(xué)習(xí)，使學(xué)生理解二項(xiàng)式定理，會(huì)利用二項(xiàng)式定理求二項(xiàng)展開式。并理解和掌握二項(xiàng)展開式的規(guī)律，利用它能對二項(xiàng)式展開，進(jìn)行相應(yīng)的計(jì)算。還會(huì)區(qū)別“系數(shù)”、“二項(xiàng)式系數(shù)”等概念，靈活正用和逆用展開式。級中學(xué)教科書《數(shù)學(xué)第二冊（下A）》的第十章第四節(jié)，它既是安排在排列組合內(nèi)容后的自成體系的知識塊，也是初中學(xué)習(xí)的多項(xiàng)式乘法。它所研究的是一種特殊的多項(xiàng)式——二項(xiàng)式冪的展開式。它與后面學(xué)習(xí)的概率的二項(xiàng)分布有著內(nèi)在的聯(lián)系，利用二項(xiàng)式定理還可以進(jìn)一步深化對組合數(shù)的認(rèn)識。因此，二項(xiàng)式定理起著承上啟下的作用，是本章教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)。本小節(jié)約需3個(gè)課時(shí)，本節(jié)課是第一課時(shí)?！緦W(xué)生情況分析】授課的對象是高中二年級中等程度班級的學(xué)生。他們具有一般的歸納推理能力，學(xué)生思維也較活躍，但創(chuàng)新思維能力較弱。在學(xué)習(xí)過程中，大部分學(xué)生只重視定理、公式的結(jié)論，而不重視其形成過程，因而對定理、公式不能做到靈活運(yùn)用，更做不到牢牢記住。（根據(jù)以上分析2、能力目標(biāo)：在學(xué)3、情感目標(biāo)：通過“二項(xiàng)式定理”的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的興趣和信心，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)內(nèi)在的和諧，對稱美及數(shù)學(xué)符號應(yīng)用的簡潔美，進(jìn)一步結(jié)合“楊輝三角”，對學(xué)生進(jìn)行愛國主義教育，激勵(lì)學(xué)生的民族自豪感和為國富民強(qiáng)而勤奮學(xué)習(xí)的熱情，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索，勇于創(chuàng)新的精神。一、教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)，關(guān)鍵：重點(diǎn)：（1）使學(xué)生參與并深刻體會(huì)二項(xiàng)式定理的形成過程，理解和掌握二項(xiàng)展開式的規(guī)律。（2）利用二項(xiàng)展開式的規(guī)律對二項(xiàng)式展開，進(jìn)行相應(yīng)的計(jì)算。（3）區(qū)別“系數(shù)”、“二項(xiàng)式系數(shù)”等概念，靈活正用和逆用展開式。難點(diǎn)：（1）二項(xiàng)展開式的規(guī)律的理解和掌握。（2）“二項(xiàng)式系數(shù)”和“系數(shù)”的區(qū)別。突破難點(diǎn)的關(guān)鍵：（1）利用組合數(shù)及性質(zhì)分析“楊輝三角”中各數(shù)的關(guān)系；（2）利用組合的知識歸納二項(xiàng)式系數(shù)；（3）充分利用二項(xiàng)展開式的規(guī)律。二、教法、學(xué)法分析數(shù)學(xué)是一門培養(yǎng)人的思維發(fā)展的重要學(xué)科。因此，在教學(xué)中讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)規(guī)律、總結(jié)規(guī)律是最好的途徑。正所謂“學(xué)問之道，問而得，不如求而得之，深固之?！北竟?jié)課的教法貫穿啟發(fā)式教學(xué)原則以啟發(fā)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，積極探求為主，創(chuàng)設(shè)一個(gè)以學(xué)生為主體，師生互動(dòng)，共同探索的教與學(xué)的情境，采用引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法，由學(xué)生熟悉的多項(xiàng)式乘法入手，進(jìn)行分析，也可利用組合的有關(guān)知識加以分析，歸納，通過對二項(xiàng)式規(guī)律的探索過程，培養(yǎng)學(xué)生由特殊到一般，經(jīng)過觀察分析，猜想，歸納（證明）來解決問題的數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)了學(xué)生觀察，聯(lián)想，歸納能力。不僅重視知識的結(jié)果，而且注重了知識的發(fā)生，發(fā)現(xiàn)和解決的過程，貫徹了新課程標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)理念，培育了本節(jié)課內(nèi)容最佳的“知識生長點(diǎn)”，這對于學(xué)生建立完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是有積極意義的。三、教學(xué)手段制作多媒體課件，以增加課堂容量及知識的直觀性，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，使學(xué)生進(jìn)一步加深對定理，概念的理解。四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)【復(fù)習(xí)引入：】復(fù)習(xí)回顧：[提問]初中學(xué)過的完全平方公式是什么？你能寫出（a+b）3，（a+b）4的展開式嗎？設(shè)計(jì)意圖：通過復(fù)習(xí)舊知識，自然引入，在這里設(shè)計(jì)了層層遞進(jìn)多項(xiàng)式展開的問題，目的是為了讓學(xué)生了解知識發(fā)生，發(fā)展的過程，激發(fā)學(xué)生在認(rèn)知的沖突，讓學(xué)生明白二項(xiàng)式展開實(shí)質(zhì)上是多項(xiàng)式的乘法。思路一：提問：（1）以（a+b）2＝a2+2ab+b2為例，展開式中各項(xiàng)字母的形式是什么？展開式項(xiàng)的系數(shù)又是什么？有幾項(xiàng)？（2）展開式中各項(xiàng)的系數(shù)與展開式中各項(xiàng)的次數(shù)有沒有關(guān)系？（3）你能猜想（a+b）3、（a+b）4??（a+b）n展開式的形式嗎？觀察下面等式：（a+b）＝a+b（a+b）2＝a2+2ab+b2（a+b）3＝a3+3a2b+3ab3+b4（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4【設(shè)計(jì)意圖：】由特殊的二項(xiàng)式來分析猜想一般的二項(xiàng)式展開式，培養(yǎng)學(xué)生由特殊到一般的思維方式，培養(yǎng)學(xué)生大膽探索的精神和創(chuàng)新精神。（1）展開式中各項(xiàng)是冪的形式，可按a（或b）的降冪排成：（2）展開式中各項(xiàng)系數(shù)的規(guī)律：將上式中展開式的系數(shù)列成表如下：11121133114641????發(fā)現(xiàn)：發(fā)現(xiàn)每行兩端都是1，后一行其它各數(shù)是上一行肩上二數(shù)之和。再從一個(gè)數(shù)等于另二數(shù)之和聯(lián)想到結(jié)合數(shù)及其性質(zhì)：于是各項(xiàng)系數(shù)可寫成表中形式：由此猜想展開式的各項(xiàng)系數(shù)：【設(shè)計(jì)意圖：】學(xué)生對各項(xiàng)是什么形式不難猜到，但對二項(xiàng)式系數(shù)不易想到，通過“楊輝三角”中的數(shù)字規(guī)律，聯(lián)想到組合數(shù)及性質(zhì)，進(jìn)而可用組合數(shù)來表示表中的數(shù)，從而猜想各項(xiàng)系數(shù)為，讓學(xué)生的思維從特殊到一般，由迷茫到大悟，使學(xué)生深深體會(huì)到數(shù)學(xué)內(nèi)在的和諧，對稱美。在此，適時(shí)對學(xué)生進(jìn)行愛國主義教育，激發(fā)學(xué)生的民族自豪感和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，思路二：觀察下式：（a+b）4＝（a+b）（a+b）（a+b）（a+b）由多項(xiàng)式乘法知，其展開式的每一項(xiàng)是由4個(gè)括號各取一項(xiàng)相乘而得，故每一項(xiàng)都是形式，即各項(xiàng)系數(shù)是由相同的項(xiàng)合并而成的，有幾項(xiàng)其系數(shù)就是幾，故含a4的項(xiàng)只能由每個(gè)括號取a不取b（或說取0個(gè)b）而得，即C40a4，系數(shù)為：C40含a3b的項(xiàng)只能由3個(gè)括號取a，余下的1個(gè)括號取b而得，即C41a3b，系數(shù)為：C41；含a2b2的項(xiàng)只能由2個(gè)括號取a，余下的2個(gè)括號取b而得，即C42a2b2，系數(shù)C42為；含的ab3的項(xiàng)只能由1個(gè)括號取a，余下的3個(gè)括號取b而得，即C43a3b，系數(shù)為C43，含b4的項(xiàng)只能由4個(gè)括號都取b而得，即C44b4，系數(shù)為C44；從而可得：（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4提問：的展開式怎么寫呢？引導(dǎo)學(xué)生回答：可以對b分類：：不取b，得取1個(gè)b，取得2個(gè)b，得????取k個(gè)b，得????取n－1個(gè)b，得取n個(gè)b，得將這n+1個(gè)式子相加，可得二項(xiàng)式定理（a+b）n＝Cn0anb0+Cn1an-1b1+Cn2an-2b2+??+Cnkan-kbk+??+Cnna0bn（n≥k,n,k∈N+）【設(shè)計(jì)意圖：】本環(huán)節(jié)以問題為中心，由淺入深地引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想。利用組合知識，充分揭示二項(xiàng)展開式的內(nèi)涵和外延。幫助學(xué)生建構(gòu)和完善自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，既顯得合情合理，又科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)。進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生的邏輯思維能力和歸納能力。完善結(jié)論：把上述探索得到的結(jié)果叫做二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式，共有in+1項(xiàng)，其中各項(xiàng)系數(shù)Cn（i=1,2,3??,n）叫做二項(xiàng)式系數(shù)，其通項(xiàng)公式為：Tk+1=C-nkn-kkab（k=1,2,3??n）。說明：（1）猜證法是數(shù)學(xué)中常用方法，本定理是由不完全歸納法得出，需加以證明。其證明因目前知識所限，留待以后完成，目前，只要求同學(xué)熟記并會(huì)應(yīng)用。（2）二項(xiàng)式定理是個(gè)恒等式，定理中字母a,b可表示數(shù)或式，其中式中a與b是用“+”連接的。（3）展開式共有n+1項(xiàng)，各項(xiàng)次數(shù)為n，它是按字母a降冪，b升冪排列。（4）通項(xiàng)公式表示的是第k+1項(xiàng)，不是第k項(xiàng)，且a,b位置不能對換。（5）二項(xiàng)式系數(shù)為Cnk，注意與項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別。例如：（1－x）3的第二項(xiàng)是－C31x，其二項(xiàng)式系數(shù)為：C31，第二項(xiàng)的系數(shù)為：－C31?！驹O(shè)計(jì)意圖：】對定理的特點(diǎn)加以說明，可使學(xué)生能熟練掌握定理的特點(diǎn)，以便今后在應(yīng)用定理解決問題時(shí)能得心應(yīng)手。應(yīng)用解析：1??1??例：（1）展開?1??,?2x??xx?6???5（學(xué)生練習(xí)：）展開（a+b）,a+b）（2）求展開式的第3項(xiàng)（3），求展開式的第3項(xiàng)【設(shè)計(jì)意圖：】例（1）是對二項(xiàng)式定理的簡單應(yīng)用，目的在于對定理字母a,b所表示的數(shù)或式的領(lǐng)會(huì)及運(yùn)用定理的能力；例（2），（3）二題著重于學(xué)生對通項(xiàng)公式的掌握，體會(huì)二項(xiàng)式定理的展開式中a與b位置不能對換，并注意到例（3）的結(jié)論正是例（2）展開式中的倒數(shù)第3項(xiàng)。應(yīng)用解析：例（4）（a+2b+3c）7ab，的展開式中，a2b3c2項(xiàng)的系數(shù)是多少?！驹O(shè)計(jì)意圖：】本題可先將其中的二項(xiàng)看成一個(gè)整體，再用二項(xiàng)式定理展開，進(jìn)而求出其系數(shù)，這種解法體現(xiàn)了化歸的意識，但本題如能根據(jù)二項(xiàng)式定理的形成過程中項(xiàng)的系數(shù)的探究，可得如下解法：從7個(gè)括號的2個(gè)時(shí)取“a”得，再從余下的5個(gè)括號中的3個(gè)取“2b”得，最后剩下的2個(gè)括號里取“3c”得：由分步計(jì)數(shù)原理得：通過本題的學(xué)習(xí)，有利于學(xué)生對知識的串聯(lián)，累積，加工，使學(xué)生的思維有一個(gè)升華過程，從而達(dá)到舉一反三的效果，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解。小結(jié)思路一：由特殊的二項(xiàng)式來分析猜想一般的展開式思路二：根據(jù)多項(xiàng)式乘法，結(jié)合組合知識，通過猜想歸納得到二項(xiàng)式定理：（a+b）n＝Cn0anb0+Cn1an-1b1+Cn2an-2b2+??+Cnkan-kbk+??+Cnna0bn（n≥k,n,k∈N+）及通項(xiàng)公式：Tk+1=Cnkan-kbk（k=1,2,3??n）注意事項(xiàng)（1），注意觀察，分析，猜想，歸納（證明）的數(shù)學(xué)方法。（b），二項(xiàng)式定理是個(gè)恒等式，定理中字母a,b可表示數(shù)或式，其中。（c），展開式共有n+1項(xiàng)，各項(xiàng)次數(shù)為n，它是按字母a降冪，b升冪排列。（d），通項(xiàng)公式表示的是第k+1項(xiàng)，不是第k項(xiàng)，且a,b位置不能對換。（e），二項(xiàng)式系數(shù)為Cni（i=1,2,3??n），注意與項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別。布置作業(yè)課本作業(yè)：P1091,(1),2(2),3(2),2，思考題：求的展開式中的系數(shù)３，研究性題：的展開式中x的系數(shù)為19，求x2的系數(shù)的最小值及此時(shí)x2展開式中的系數(shù)?！驹O(shè)計(jì)意圖：】（1），本節(jié)課從知識上學(xué)習(xí)了二項(xiàng)式定理及通項(xiàng)公式，從方法上通過二項(xiàng)式定理的形成過程，學(xué)會(huì)了觀察，分析，猜想，歸納（證明）的數(shù)學(xué)方法，通過小結(jié)，使學(xué)生對本節(jié)課的知識脈絡(luò)更加清晰。（2），通過作業(yè)鞏固所學(xué)知識，發(fā)現(xiàn)和彌補(bǔ)教學(xué)中的疏漏與不足，強(qiáng)化基本技能訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和品質(zhì)。五、課后反思本節(jié)課是二項(xiàng)式定理的第一節(jié)課，在教學(xué)中注意以下幾點(diǎn)：1，本節(jié)課以“二項(xiàng)式定理”的形成過程為主線，讓學(xué)生思維由特殊到一般，演繹，歸納，得出定理。培養(yǎng)學(xué)生猜想，歸納，整節(jié)課以學(xué)生為主體，師生互動(dòng)，體現(xiàn)了新課標(biāo)的教學(xué)理念。2，在例題，作業(yè)的配備上，我認(rèn)為高中學(xué)習(xí)的特點(diǎn)是跨度大，思維能力要求高。因此，在題目的設(shè)置上，加大了思維的含量，如例4，讓學(xué)生體會(huì)到二項(xiàng)式定理形成過程中的思維方式，培養(yǎng)了學(xué)生的知識遷移能力，因此，我認(rèn)為習(xí)題的搭配應(yīng)力求讓學(xué)生處理每一個(gè)問題都必須有所思考，使學(xué)生體會(huì)到：數(shù)學(xué)不能生搬硬套，應(yīng)該用數(shù)學(xué)的思想方法去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，認(rèn)識數(shù)學(xué)。3，以學(xué)生為主體，讓學(xué)生自己去探索，發(fā)現(xiàn)，再創(chuàng)造，最能調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，最有利于培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力，特別是創(chuàng)造性能力，從數(shù)學(xué)教育對人的發(fā)展的意義看，有效理解，主動(dòng)探索的認(rèn)識過程必須伴隨著學(xué)生心理意志，情感，品質(zhì)的成長與完善，數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目標(biāo)并非唯一地指向數(shù)學(xué)具體知識本身，其潛在的也是最重要的恰是指向?qū)W生的人性品質(zhì)，生命成長。二項(xiàng)式定理（教學(xué)設(shè)計(jì)）杜軍平橫山中學(xué)一、教學(xué)目標(biāo)1.知識目標(biāo)：理解二項(xiàng)式定理及其推導(dǎo)方法，掌握二項(xiàng)展開式的基本特征；能應(yīng)用二項(xiàng)式定理求二項(xiàng)展開式，能運(yùn)用展開式中的通項(xiàng)公式求展開式中的特定項(xiàng)．2.過程與方法：通過二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)過程理解從特殊到一般的思維方法，培養(yǎng)學(xué)生的觀察歸納能力、抽象思維能力和邏輯思維能力．3.情感目標(biāo)：通過本節(jié)學(xué)習(xí)，進(jìn)一步培養(yǎng)提高學(xué)生的歸納推理能力，樹立由特殊到一般的歸納以及探究意識．二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)：用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理分析(a?b)2的展開式，歸納得出二項(xiàng)式定理；掌握二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式；能應(yīng)用它們解決簡單問題．2.教學(xué)難點(diǎn)：二項(xiàng)式定理及通項(xiàng)公式的掌握及運(yùn)用.三、課前準(zhǔn)備多媒體課件.四、教學(xué)方法與手段1.教學(xué)方法：開放式探究、啟發(fā)式引導(dǎo)、互動(dòng)式討論、反饋式評價(jià).2.學(xué)習(xí)方法：實(shí)例感受、觀察發(fā)現(xiàn)、合作交流、歸納總結(jié).五、教學(xué)流程圖六、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入新課問題引入：1990是馬年，從1991年開始：1.第13年出生的孩子的屬相是什么？2.第13xx年出生的孩子的屬相是什么？【設(shè)計(jì)意圖】通過學(xué)生所熟知的問題情境引入本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)熱情，達(dá)到有效教學(xué)的目的．要解決這個(gè)問題,就要用到今天我們學(xué)習(xí)的知識——板書課題.1.3.1二項(xiàng)式定理（一）（二）講授新課Ⅰ（a?b)n的展開式1.探索研究（a?b)2?a2?2ab?b2，分析（a?b)2展開過程：從項(xiàng)數(shù)、指數(shù)、系數(shù)三個(gè)方面加以分析，并讓學(xué)生板演(a?b)3與（a?b)4的展開式，再讓學(xué)生猜想并證明（a?b)n的展開式.【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生將（a?b)2的展開式與兩個(gè)計(jì)數(shù)原理聯(lián)系起來，分析展開式項(xiàng)的形式及各項(xiàng)前的系數(shù)，用組合數(shù)表示（a?b)2展開式的系數(shù)．讓學(xué)生在探究過程中觀察、發(fā)現(xiàn)、類比、猜想得出結(jié)論，這是數(shù)學(xué)教學(xué)提倡培養(yǎng)的，是一種創(chuàng)造性的思維活動(dòng)，也讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)研究的樂趣，在注重思維結(jié)果的同時(shí)，更注重思維過程.2．歸納提高0n1n-1歸納得出：a+Cnab+…+Cnkan?kbk+…+Cnnbn(n∈N*)（a?b)n?Cn并給出簡單證明．指出：上述這個(gè)公式所表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，左邊（a?b)n這個(gè)式子叫二項(xiàng)式，右邊多項(xiàng)式叫做（a?b)n的二項(xiàng)展開式．引導(dǎo)學(xué)生歸納二項(xiàng)展開式的特征：（1）項(xiàng)數(shù)特征：展開式共有n+1項(xiàng)．（2）次數(shù)特征：①各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n．②字母a按降冪排列，從第一項(xiàng)開始，次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到0；字母b按升冪排列，從第一項(xiàng)開始，次數(shù)由0逐項(xiàng)增1直到n．1（3）二項(xiàng)式的系數(shù)從Cn0，Cn，直到Cnn．設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)的能力，加強(qiáng)由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想的滲透．3．設(shè)置小