江蘇省常州市八校2025屆高三數(shù)學上學期12月聯(lián)考試題含解析

Page19一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合且，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)已知條件，用列舉法表示集合A,解簡潔不等式求得集合B,然后依據(jù)交集定義求解.【詳解】集合，，所以.故選：D.2.已知，是虛數(shù)單位，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】整理為的形式，依據(jù)復數(shù)相等的充要條件求出m、n，代入求模即可.【詳解】，，.故選：A【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算、復數(shù)相等的充要條件、復數(shù)的模，屬于基礎題.3.已知雙曲線：，則“”是“直線是的一條漸近線”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用充分條件和必要條件的定義結(jié)合雙曲線的有關性質(zhì)進行推斷即可【詳解】解：當時，雙曲線方程為，以漸近線方程為，滿意充分性；反之，雙曲線的一條漸近線方程為時，隨意的均可，不滿意必要性.故選：A4.函數(shù)的部分圖象為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)奇偶函數(shù)的定義可得為偶函數(shù)，利用導數(shù)求出的零點不是極值點，進而得出答案.【詳解】為偶函數(shù)，關于軸對稱，解除AB．時，．的零點不是極值點，解除D，故選：C．5.已知非零向量，滿意，，則向量與向量的夾角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)，設，，進而由求出x，最終由平面對量夾角公式求得答案.【詳解】因為，所以設，，則，，依據(jù)，得，即．設向量與向量的夾角，則，所以.故選：B．6.有5把外形一樣的鑰匙，其中3把能開鎖，2把不能開鎖，現(xiàn)準備通過一一試開將其區(qū)分出來，每次隨機抽出一把進行試開，試開后不放回，則恰好試開3次就將能開鎖的和不能開鎖的鑰匙區(qū)分出來的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】恰好試開3次就將能開鎖的和不能開鎖的鑰匙區(qū)分出來的狀況為3種：①前三把都能開鎖，②第一把不能開鎖，其次把能開鎖，第三把不能開鎖，③第一把能開鎖，其次把不能開鎖，第三把不能開鎖，由此能求出恰好試開3次就將能開鎖的和不能開鎖的鑰匙區(qū)分出來的概率．【詳解】有5把外形一樣的鑰匙，其中3把能開鎖，2把不能開鎖．現(xiàn)準備通過一一試開將其區(qū)分出來，每次隨機抽出一把進行試開，試開后不放回，恰好試開3次就將能開鎖的和不能開鎖的鑰匙區(qū)分出來的狀況為3種：①前三把都能開鎖，②第一把不能開鎖，其次把能開鎖，第三把不能開鎖，③第一把能開鎖，其次把不能開鎖，第三把不能開鎖，恰好試開3次就將能開鎖的和不能開鎖的鑰匙區(qū)分出來的概率為：．故選：B．7.已知數(shù)列的前項和為，且，，若，則稱項為“和諧項"，則數(shù)列的全部“和諧項”的平方和為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)，得到，兩式相減得到，從而得到數(shù)列的通項公式，依據(jù)“和諧項"的定義可得，再利用等比數(shù)列的前項和可得答案.【詳解】①，②，①-②得，即，，，故，，所以數(shù)列的全部“和諧項”的平方和為.故選：D.8.設，若，則的范圍（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設，利用奇偶函數(shù)的定義和增減函數(shù)的定義推斷為奇函數(shù)且為增函數(shù)，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式即可.【詳解】設，則且的定義域為，，故為奇函數(shù)易知：，，為增函數(shù)，故為增函數(shù)由，得，即，即故解得故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的有（）A.若，則B.若復數(shù)滿意，則C.若平面對量、滿意，則D.在中，若，則為銳角三角形【答案】ACD【解析】【分析】依據(jù)不等式的性質(zhì)推斷A，取特例推斷B，依據(jù)向量的模的性質(zhì)可推斷C，由兩角和的正切公式可推斷D.【詳解】對于A項，由，可得，所以，故A正確；對于B項，設，，，但，，故B項錯誤；對于C項，由向量的數(shù)量積定義可知、滿意，則正確，故C正確；對于D項，由可得和同號，所以只能都是銳角，又，所以，則C也是銳角，故D項正確.故選：ACD10.“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美.如圖所示，將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共可截去八個三棱錐，得到八個面為正三角形、六個面為正方形的一種半正多面體.已知，則關于如圖半正多面體的下列說法中，正確的有（）A.該半正多面體的體積為B.該半正多面體過三點的截面面積為C.該半正多面體外接球的表面積為D.該半正多面體的頂點數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)滿意關系式【答案】BD【解析】【分析】依據(jù)幾何體的構(gòu)成可推斷A，由截面為正六邊形可求面積推斷B，依據(jù)外接球為正四棱柱的外接球即可推斷C，依據(jù)頂點，面數(shù)，棱數(shù)推斷D.【詳解】如圖，該半正多面體，是由棱長為2的正方體沿各棱中點截去8個三棱錐所得到的.A：因為由正方體沿各棱中點截去8個三棱錐所得到的，所以該幾何體的體積為：，故A錯誤；B：如圖，過三點的截面為正六邊形，又，所以正六邊形面積為，故B正確；C：依據(jù)該幾何體對稱性可知，該幾何體的外接球即為底面棱長為，側(cè)棱長為2的正四棱柱的外接球，所以該半正多面體外接球的表面積為，故C錯誤；D：幾何體頂點數(shù)為12，有14個面，24條棱，滿意，故D正確.故選：BD11.數(shù)列滿意，，其前項和為，下列選項中正確的是（）A.數(shù)列是公差為的等差數(shù)列 B.除以的余數(shù)只能為或C.滿意的的最大值是 D.【答案】ABD【解析】【分析】由題意，可得，再由疊加法求出的通項公式，進而求的通項公式，可推斷A；再求的前項和代數(shù)式可推斷D，分別令為奇數(shù)，偶數(shù)兩種狀況推斷B；令，求出的最大值，推斷出C，從而選出答案．【詳解】解：，可得，，可得，則，所以為公差為2的等差數(shù)列，所以A正確；可得，當時，，則，明顯除以4的余數(shù)為1；當，，則，可得除以4的余數(shù)為0，所以B正確；因為，，可得此時的的最大值為10，故C不正確；因為，所以，故D正確.故選：ABD．12.已知橢圓的左，右兩焦點分別是，，其中.直線與橢圓交于兩點.則下列說法中正確的有（）A.的周長為B.若的中點為，則C.若的最小值為，則橢圓的離心率D.若，則橢圓的離心率的取值范圍是【答案】BD【解析】【分析】依據(jù)橢圓的定義、直線斜率公式、離心率公式，結(jié)合平面對量數(shù)量積的坐標表示公式逐一推斷即可.【詳解】A：直線恒過點，即左焦點，由橢圓的定義可知：的周長為：，所以本選項說法不正確；B：設，所以有，設，因為的中點為，所以，因此，所以本選項說法正確；C：因為直線過定點，但是不包括直線，因只有當時，才有最小值，所以本選項說法不正確；D：，而，所以有，明顯而，所以，故本選項說法正確，故選：BD【點睛】關鍵點睛：利用橢圓的范圍是解題的關鍵.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.圓柱上?下底面的圓周都在一個體積為的球面上，圓柱底面直徑為8，則該圓柱的表面積為___________.【答案】80π【解析】【分析】作出圓柱的軸截面，求出圓柱的高，即可得表面積．【詳解】如圖是圓柱的軸截面，其外接圓是球的大圓，由得，，又，∴，∴圓柱表面積為．故答案為：．14.已知的綻開式中x的系數(shù)等于8，則a等于___________．【答案】【解析】【分析】把和綻開，依據(jù)綻開式中的系數(shù)等于8，求出的值．【詳解】解：，所以綻開式中的系數(shù)等于，解得或，因為，所以．故答案為：．15.已知函數(shù)，當時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】對分兩種狀況探討，再轉(zhuǎn)化為恒成立問題，分別求出函數(shù)的最值，即可得到答案；詳解】，①當時，；②當時，，，，，綜上所述：.故答案為：.16.在中，設，，分別為角，，對應的邊，記的面積為，且，則的最大值為________.【答案】【解析】【分析】運用正弦定理化簡等式，依據(jù)余弦定理、面積公式，結(jié)合構(gòu)造函數(shù)法，利用導數(shù)進行求解即可.【詳解】依據(jù)正弦定理，由，由余弦定理可知：，因此，于是有化簡得：，把代入，化簡得：，設，所以有所以設，，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，故當時，函數(shù)有最大值，即，所以的最大值為：，因此的最大值為.故答案為：【點睛】關鍵點睛：構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)進行求解是解題的關鍵.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知中，D是AC邊的中點．，，．（1）求AC的長；（2）的平分線交BC于點E，求AE的長．【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)，利用余弦定理建立方程求解即可；（2）由余弦定理求出A，依據(jù)三角形面積公式由建立方程求解.【小問1詳解】設，由余弦定理可得又，，即.【小問2詳解】由（1）知，因為，所以，由可得，，即解得.18.如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，點E為的中點.（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）見解析；（2）．【解析】【分析】(1)用線線平行證明線面平行，∴在平面PCD內(nèi)作BE的平行線即可；(2)求二面角的大小，可以用空間向量進行求解，依據(jù)已知條件，以AD中點O為原點，OB，AD，OP分別為x、y、z軸建立坐標系﹒【小問1詳解】如圖，取PD中點F，連接EF，F(xiàn)C﹒∵E是AP中點，∴EFAD，由題知BCAD，∴BCEF，∴BCFE是平行四邊形，∴BE∥CF，又CF平面PCD，BE平面PCD，∴BE∥平面PCD；【小問2詳解】取AD中點為O，連接OP，OB，∵是以為斜邊等腰直角三角形，∴OP⊥AD，又平面平面，平面PAD∩平面＝AD，∴OP⊥平面ABCD，∵OB平面ABCD，∴OP⊥OB，由BC∥AD，CD⊥AD，AD＝2BC知OB⊥OD，∴OP、OB、OD兩兩垂直，故以O為原點，OB、OD、OP分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系Oxyz，如圖：設|BC|＝1，則B(1，0，0)，D(0，1，0)，E(0，)，P(0，0，1)，則，設平面BED的法向量為，平面PBD的法向量為則，取，，取設二面角的大小為θ，則cosθ＝﹒19.已知等差數(shù)列{an}中，公差d>0，S11=77，且a2，a6﹣1，a11成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）若Tn為數(shù)列的前n項和，且存在n∈N*，使得Tn﹣λan+1≥0成立，求實數(shù)λ的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)已知條件求得，由此求得數(shù)列的通項公式.（2）利用裂項求和法求得，對分別常數(shù)，結(jié)合基本不等式求得的取值范圍.【小問1詳解】由題意可得，即，又因為，所以，所以.【小問2詳解】，，存在，使得成立.存在，使得成立.即存在，使得成立.（當且僅當時取等號）.，即實數(shù)的取值范圍是.20.如圖，橢圓：（）的離心率為，直線：與只有一個公共點.（1）求橢圓的方程.（2）不經(jīng)過原點的直線與平行且與交于，兩點，記直線，的斜率分別為，，證明：為定值.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由橢圓的離心率為，可得，再由直線與橢圓只有一個公共點，可把直線與橢圓方程聯(lián)立成方程組消元后，判別式等于零，可求出，從而可得橢圓的方程；（2）由（1）可求出點，從而可得直線的方程為，設，，直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立成方程組，化簡后利用根與系數(shù)的關系可得，，而化簡變形可得結(jié)果.【詳解】（1）解：由，得，由，得，所以的方程為，即，與：聯(lián)立得，令，得，所以橢圓的方程為.（2）證明：由（1）得，所以，設：，，，聯(lián)立方程組整理得，，得，則，，，所以.【點睛】此題考查的是求橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查計算實力，屬于中檔題.21.數(shù)獨是源自18世紀瑞士的一種數(shù)學嬉戲，玩家須要依據(jù)盤面上的已知數(shù)字，推理出全部剩余空格的數(shù)字，并滿意每一行?每一列?每一個粗線宮（）內(nèi)的數(shù)字均含1﹣9，不重復.數(shù)獨愛好者小明準備報名參與“絲路杯”全國數(shù)獨大賽初級組的競賽.（1）賽前小明在某數(shù)獨APP上進行一段時間的訓練，每天的解題平均速度（秒）與訓練天數(shù)（天）有關，經(jīng)統(tǒng)計得到如表的數(shù)據(jù)：（天）1234567（秒）990990450320300240210現(xiàn)用作為回來方程模型，請利用表中數(shù)據(jù)，求出該回來方程，并預料小明經(jīng)過100天訓練后，每天解題的平均速度約為多少秒？（2）小明和小紅在數(shù)獨APP上玩“對戰(zhàn)賽”，每局兩人同時起先解一道數(shù)獨題，先解出題的人獲勝，兩人約定先勝4局者贏得競賽.若小明每局獲勝的概率為，已知在前3局中小明勝2局，小紅勝1局.若不存在平局，請你估計小明最終贏得競賽的概率.參考數(shù)據(jù)（其中）18450.370.55參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回來直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，.【答案】（1），經(jīng)過100天訓練后，每天解題的平均速度約為140秒；（2）.【解析】【分析】（1）先求得，結(jié)合，求得，，寫出回來方程，再將，代入求解；（2）設競賽再接著進行局小明最終獲得競賽，則最終一局肯定是小明獲勝，依據(jù)最多再進行4局就有輸贏，分，，，利用獨立事務的概率，結(jié)合互斥事務的概率求解.【詳解】（1）由題意，，令，設關于的線性回來方程為，則，則.∴，又，∴關于的回來方程為，故時，.∴經(jīng)過100天訓練后，每天解題的平均速度約為140秒.（2）設競賽再接著進行局小明最終贏得競賽，則最終一局肯定是小明獲勝，由題意知，最多再進行4局就有輸贏.當時，小明勝，∴；當時，小明勝，∴；當時，小明勝，∴.∴小明最終贏得競賽的概率為.22.已知．（1）探討的單調(diào)性；（2）當時，對隨意都有成立，求實數(shù)a的最大值．【答案】（