2024-2025學年高考數(shù)學一輪復習解題技巧方法第六章第4節(jié)法向量的計算與點到平面距離的計算教師版_第1頁
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法向量的計算與點到平面距離的計算學問與方法1.求法向量的“找0法”(1)舉個例子,設(shè),是平面內(nèi)的兩個不共線的向量,我們視察到的第三個重量是0,則先將的前兩個重量交叉,并在其中一個重量上添負號,得到平面的法向量n的前兩個重量,如,再由求得第三個重量,從而.(2)若遇到和都沒有重量是0的情形,可以先用他們進行線性運算,變出一個0,再按上面的方法操作.例如,若,,則,留意到也是平面內(nèi)的向量,所以可以用它來求法向量,這樣就出現(xiàn)“0”了.2.計算點到平面的距離常用三種方法(1)作高法:干脆作出過點到平面的垂線段。計算該垂線段的長度即可.(2)等體積法:以三棱錐為例,可以依據(jù)得出,其中是點A到平面的距離,是點B到平面的距離,可以利用上述方程求解或.(3)向量法:如下圖所示,P為平面外一點,A為平面上隨意一點,n為平面的一個法向量,則點P到平面的距離提示:文科生可以忽視本節(jié)與向量法有關(guān)的內(nèi)容,只需駕馭作高法和等體積法.典型例題【例題】在棱長為2的正方體中,點A到平面的距離為_______.【解析】如圖,易證,故平面,所以A、E兩點到平面的距離相等,明顯四面體是正四面體,所以點D在平面上的投影恰為的中心G,取中點F,則,所以平面,故所求距離與的長相等,設(shè)中點為H,則平面,所以,故在中,,,所以,,從而點A到平面的距離為。解法2:易得是邊長為的正三角形,故,設(shè)所求距離為d,,由得:,解得:.解法3:建立如圖所示的坐標系,則,,,所以,,,用“找0法”求得平面的法向量為,從而點A到平面的距離.【答案】強化訓練1.(★★★)如下圖所示,棱長為2的正方體中,E為中點,則點D到平面的距離為______.【解析】解法1:以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系,則,,,,所以,,,則由找“0”法可求得平面的法向量,從而點D到平面的距離.解法2:如圖,取中點F,連接,明顯,所以平面,從而點D和點F到平面的距離相等,易求得,,所以,設(shè)點F到平面的距離為d,則,另一方面,,所以,因為,所以,從而,故點D到平面的距離為.【答案】2.(★★★)長方體中,,,則點B到平面的距離為_______.【解析】由題意,,,所以,,故,設(shè)點B到平面的距離為d,另一方面,,另一方面,,因為,所以,故.解法2:以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系,則,,,,所以,,,用“找0法”求得平面的法向量為,從而點B到平面的距離.【答案】3.(★★★)如下圖所示,在正三棱柱中,,,D為的中點,則點A到平面的距離為_____.【解析】如圖,由題意,,,,故,設(shè)點A到平面的距離為d,則,另一方面,,設(shè)中點為O,易證,,所以平面,故點C到平面的距離為,從而,因為,所以,解得:.解法2:取中點E,中點F,易證四邊形為平行四邊形,所以,易證,,所以平面,從而平面,故,又,所以,故平面,即點A到平面的距離為.解法3:以O(shè)為原點建立如圖所示的坐標系,則,,,,所以,,用“找0法”求得平面的法向量為,又,所以點A到平面的距離.【答案】4.(★★★)如下圖所示,直三棱柱中,,,D、M分別為所在棱的中點.(1)證明:;(2)求點到平面的距離.【解析】(1)由題意,,D為中點,所以,又三棱柱是直三棱柱,所以平面,因為平面,所以,因為、平面,,所以平面,因為,所以平面,又平面,所以.(2)解法1:由題意,M是中點,所以點和點A到平面的距離相等,因為平面,平面,所以,又,所以平面,過A作于F,則,所以平面,易求得,,,所以,故點到平面的距離為.解法2:因為平面,所以,又,所以平面,易求得,故,而,所以,設(shè)

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