四川省2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題文含解析

Page17四川省2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（文）數(shù)學(xué)試題卷共4頁．滿分150分．考試時(shí)間120分鐘．一．選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)備選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是A.1 B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】【分析】先依據(jù)拋物線的方程求出的值，再依據(jù)拋物線的簡潔性質(zhì)即可得到．【詳解】由，知＝4，而焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離就是．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的簡潔性質(zhì)．考查了學(xué)生對拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的理解和運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．2.橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，則（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】依據(jù)橢圓，雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程解決即可.【詳解】由題知，橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)都在軸上，且焦點(diǎn)相同，所以，解得（經(jīng)檢驗(yàn)，都符合題意），故選：C.3.圓(x－1)2＋(y－1)2＝1上的點(diǎn)到直線x－y＝2的距離的最大值是（）A.2 B.1＋ C.2＋ D.1＋【答案】B【解析】【分析】依據(jù)圓心到直線的距離加上圓的半徑即為圓上點(diǎn)到直線距離的最大值求解出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閳A心為，半徑，直線的一般式方程為，所以圓上點(diǎn)到直線的最大距離為：，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查圓上點(diǎn)到直線的距離的最大值，難度一般.圓上點(diǎn)到直線的最大距離等于圓心到直線的距離加上圓的半徑，最小距離等于圓心到直線的距離減去半徑.4.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由三視圖知原幾何是一個(gè)長方體挖去一個(gè)圓柱后的組合體，由長方體的體積減去圓柱的體積可得．【詳解】由圖可知，該幾何體是一個(gè)長方體挖去一個(gè)圓柱后組合體，所以該幾何體的體積為.故選：A.5.圓截直線所得的弦長最短時(shí)，實(shí)數(shù)（）A. B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)直線方程得到直線經(jīng)過定點(diǎn)，通過比較點(diǎn)到圓心的距離和半徑的大小得到點(diǎn)在圓的內(nèi)部，再利用幾何的方法得到直線時(shí)弦長最短，最終利用垂直關(guān)系求解即可.【詳解】解：圓：，即，圓心為，半徑，直線：，即，故直線恒過定點(diǎn)，又，所以點(diǎn)在圓內(nèi)部，所以當(dāng)直線時(shí)弦長最短，又，所以，即.故選：D.6.如圖所示的是一個(gè)四邊形用斜二測法畫出的直觀圖，它是一個(gè)底角為45°，腰和上底邊長都為2的等腰梯形，則原四邊形的面積為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由直觀圖還原成原圖是一個(gè)如圖所示的直角梯形，與軸平行的線段長度不變，與軸平行的線段長度加倍，所以由已知的數(shù)據(jù)可得，從而可求得答案.【詳解】由直觀圖還原成原圖是一個(gè)如圖所示的直角梯形，如圖所示，因?yàn)樵谥庇^圖中，,所以在原圖中,所以原四邊形的面積為,故選：B7.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，M是F1P的中點(diǎn)，|OM|＝3，則P點(diǎn)到橢圓左焦點(diǎn)的距離為()A.4 B.3C.2 D.5【答案】A【解析】【詳解】由題意知是的中位線，∵，∴，又，∴，故選A.8.設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用橢圓的定義以及基本不等式可求得的最小值.【詳解】在橢圓中，，，，由橢圓定義可得，，由余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，因此，的最小值為.故選：A.9.已知為拋物線的焦點(diǎn)，是該拋物線上的兩點(diǎn)，，則線段的中點(diǎn)到軸的距離為A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】拋物線的準(zhǔn)線為，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，的中點(diǎn)為，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則可利用幾何性質(zhì)得到，故可得到軸的距離.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線為，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，的中點(diǎn)為，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，因?yàn)槭窃搾佄锞€上的兩點(diǎn)，故，所以，又為梯形的中位線，所以，故到軸的距離為，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.10.已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓的一條弦所在的直線方程是，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是，則橢圓的短軸長為（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】C【解析】【分析】運(yùn)用作差法解決即可.【詳解】設(shè)直線與橢圓相交于，，由題意得，直線的斜率為，由，兩式相減得，所以，所以，所以，所以橢圓的短軸長為8.故選：C11.圓上到直線的距離為的點(diǎn)共有A.個(gè) B.個(gè) C.個(gè) D.個(gè)【答案】C【解析】【分析】求出圓的圓心和半徑，比較圓心到直線的距離和圓的半徑的關(guān)系即可得解.【詳解】圓可變?yōu)?，圓心為，半徑為，圓心到直線的距離，圓上到直線的距離為的點(diǎn)共有個(gè).故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了圓與直線的位置關(guān)系，考查了學(xué)生合理轉(zhuǎn)化的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.12.已知雙曲線左，右焦點(diǎn)分別為，若雙曲線右支上存在點(diǎn)使得，則離心率的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】在中，由正弦定理可得，再由已知可得，依據(jù)點(diǎn)在雙曲線右支上，得到關(guān)于的不等式，從而可求出的范圍.【詳解】由題意可得點(diǎn)不是雙曲線的頂點(diǎn)，否則無意義在中，由正弦定理得，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線右支上，所以，所以，得，由雙曲線的性質(zhì)可得，所以，化簡得，所以，解得，因?yàn)?，所以，即雙曲線離心率的取值范圍為，故選：C二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.請把答案填在答題卡上相應(yīng)位置.13.雙曲線的漸近線方程為___________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)雙曲線的漸近線方程的定義求解.【詳解】∵雙曲線的方程為∴雙曲線的漸近線方程為，故答案為：.14.三棱錐中，已知兩兩垂直，且，則三棱錐的外接球的表面積為___________.【答案】【解析】【分析】將三棱錐放在長方體中，則長方體的外接球與三棱錐的外接球相同，即可求解.【詳解】以線段為相鄰的三條棱為長方體，連接,,,即為三棱錐，∵如圖所示，長方體的外接球與三棱錐的外接球相同，∴則其外接球直徑為長方體對角線的長，設(shè)外接球的半徑為，則,解得,則.故答案為:.15.已知為拋物線上隨意一點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值為_____________．【答案】6【解析】【分析】作準(zhǔn)線，為垂足，由拋物線的定義可得，故當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小為．【詳解】由拋物線得，則，準(zhǔn)線方程為，作準(zhǔn)線，為垂足，如圖，由拋物線的定義可得，明顯當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值為，所以的最小值是6．故答案：6．16.已知為橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)，P，Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，且，則四邊形的面積為________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)已知可得，設(shè)，利用勾股定理結(jié)合，求出，四邊形面積等于，即可求解.【詳解】因?yàn)闉樯详P(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，且，所以四邊形為矩形，設(shè)，則，所以，，即四邊形面積等于.故答案為：.

三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.如圖是直角梯形，以上底邊為軸將梯形旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，求它的表面積和體積．【答案】表面積，體積【解析】【分析】由題意知，該幾何體是一個(gè)底面半徑為3，高為的圓柱，挖去一個(gè)同底，但高為3的圓錐，再求幾何體的體積和表面積得解.【詳解】解：由題意知，該幾何體是一個(gè)底面半徑為3，高為的圓柱，挖去一個(gè)同底，但高為3的圓錐．所以．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求幾何體的體積常用的方法有：（1）公式法（一般是規(guī)則的幾何體）；（2）割補(bǔ)法（一般是不規(guī)則的幾何體）；（3）轉(zhuǎn)化法.18.已知以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切，過點(diǎn)的動直線與圓A相交于兩點(diǎn).（1）求圓A的方程；（2）當(dāng)時(shí)，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）求出圓心到直線的距離即為圓半徑，從而得圓方程；（2）由弦長求得弦心距，設(shè)出直線方程，由圓心到直線的距離得參數(shù)值，從而得直線方程，留意檢驗(yàn)斜率不存在的直線是否符合要求．【小問1詳解】，所以圓方程為；【小問2詳解】由題意圓心到直線的距離為，明顯直線滿意題意，在直線斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，即，，，直線方程為，即，所以直線方程為或．19.已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，A是橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，，橢圓的離心率等于.（1）求直線AO的斜率及方程(O為坐標(biāo)原點(diǎn))；（2）直線AO與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)B，若三角形ABF2的面積等于，求橢圓的方程．【答案】（1）k＝；y＝x；（2）【解析】【分析】（1）由＝0可知得到直線OA斜率為，由橢圓的離心率等于求得的值，從而得到直線方程；（2）由橢圓的對稱性可知，，結(jié)合離心率可得到c＝a，解方程組求得，從而得到橢圓方程.【小問1詳解】（1）由＝0，知，∵橢圓的離心率等于，∴c＝a，可得．設(shè)橢圓方程為．設(shè)，由＝0，知，∴，代入橢圓方程可得，∴A，故直線AO的斜率k＝，直線AO的方程為y＝x．【小問2詳解】連接，，，，由橢圓的對稱性可知，，∴．又由c＝a，解得，．故橢圓方程為．20.如圖，點(diǎn)，，在拋物線上，且拋物線的焦點(diǎn)是的重心，為的中點(diǎn).（1）求拋物線的方程和點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)及所在的直線方程.【答案】（1）；（2）；【解析】【分析】(1)將代入求得值，得到點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，依據(jù)即可求出線段中點(diǎn)的坐標(biāo)；由得,再求出直線所在直線的方程.【小問1詳解】由點(diǎn)在拋物線上，有，解得.所以拋物線方程為，焦點(diǎn)的坐標(biāo)為.小問2詳解】由于是的重心，是線段的中點(diǎn)，所以，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，由得，因?yàn)闉闉榈闹悬c(diǎn)，故，所以，因此所在直線的方程為，即.21.已知橢圓的短軸長為，離心率．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，過的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，求的面積的最大值．【答案】（1）；（2）3．【解析】【分析】（1）由題意,列出方程組，求得，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，設(shè)直線的方程為，依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，求得，結(jié)合三角形的面積公式，得到，利用換元法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】（1）由題意,橢圓短軸長為，離心率．可得，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，因?yàn)橹本€的斜率不為零，可設(shè)直線的方程為，由，得，所以，又因直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，故，即，則，令，則，則．令，由函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，即當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，因此有，所以，即當(dāng)時(shí)，最大，故當(dāng)直線的方程為時(shí)，面積的最大值為3．【點(diǎn)睛】求解圓錐曲線的最值問題的解答策略：1、若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓、圓錐曲線的定義、圖形，以及幾何性質(zhì)求解；2、當(dāng)題目給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)目標(biāo)函數(shù)的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式；③單調(diào)性法；④三角換元法；⑤導(dǎo)數(shù)法等，要特殊留意自變量的取值范圍.22.已知橢圓離心率為，橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的最近距離為，若橢圓與軸交于兩點(diǎn)，是橢圓上異于的隨意一點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）摸索求以為直徑的圓是否恒經(jīng)過軸上的定點(diǎn)？若經(jīng)過，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不經(jīng)過，請說明