四川省南充市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期入學(xué)考試?yán)碓囶}含解析

Page18四川省南充市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期入學(xué)考試（理）試題本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)）．1.直線且的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由直線方程可知其斜率，依據(jù)斜率和傾斜角關(guān)系可得結(jié)果.【詳解】直線方程可化為：，直線的斜率，直線的傾斜角為.故選：C.2.設(shè)x、y滿意則（）A.有最小值2，最大值3 B.有最小值2，無(wú)最大值C.有最小值3，無(wú)最大值 D.既無(wú)最小值，也無(wú)最大值【答案】B【解析】【分析】先作出不等式的可行域，再利用數(shù)形結(jié)合分析得解.【詳解】由題得不等式的可行域如圖所示，由題知，直線的縱截距為z,當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線的縱截距z最小，聯(lián)立，得，所以z最小2，由于縱截距沒有最大值，所以z沒有最大值.故選：B.3.命題“若，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】利用特稱命題的否定可得出結(jié)論.【詳解】命題“若，”為特稱命題，該命題的否定為“，”.故選：C.4.已知斜率為1的直線與圓相切于點(diǎn)P，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且與垂直的直線的方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由與垂直可求出直線的斜率為，由于過(guò)切點(diǎn)且與切線垂直，所以可知直線過(guò)圓心，從而可求出直線的方程【詳解】圓的圓心為，因?yàn)榕c垂直，直線的斜率為1，所以直線的斜率為，因?yàn)橹本€與圓相切于點(diǎn)P，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且與垂直的直線為，所以直線過(guò)圓心，所以直線的方程為，即，故選：A5.籃球競(jìng)賽中，張英皓同學(xué)投球三次，設(shè)事務(wù)A為“三次投球全不是三分球”，事務(wù)B為“三次全是三分球”，事務(wù)C為“三次投球不全是三分球”，則下列結(jié)論正確的是（）A.A與C對(duì)立 B.B與C對(duì)立 C.任兩個(gè)均對(duì)立 D.任兩個(gè)均不對(duì)立【答案】B【解析】【分析】依據(jù)對(duì)立事務(wù)的定義推斷可得；【詳解】解：籃球競(jìng)賽中，張英皓同學(xué)投球三次，設(shè)事務(wù)為“三次投球全不是三分球”，事務(wù)為“三次全是三分球”，事務(wù)為“三次投球不全是三分球”，對(duì)于，事務(wù)與事務(wù)能同時(shí)發(fā)生，不是對(duì)立事務(wù)，故錯(cuò)誤；對(duì)于，事務(wù)與事務(wù)是對(duì)立事務(wù)，故正確；對(duì)于，事務(wù)與事務(wù)能同時(shí)發(fā)生，不是對(duì)立事務(wù)，故錯(cuò)誤；對(duì)于，事務(wù)與事務(wù)是對(duì)立事務(wù)，故錯(cuò)誤．故選：．6.在正方體中，AC與BD的交點(diǎn)為M.設(shè)則下列向量與相等的向量是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，推出的向量表示，可得答案.【詳解】，故選：C7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出S的值為0.9，則推斷框內(nèi)可填入的條件是（）A.i<10 B.i>10 C.i<9 D.i<8【答案】A【解析】【分析】依據(jù)程序功能計(jì)算時(shí)值，然后確定循環(huán)條件．【詳解】由程序框圖知，，解得，由于計(jì)算S后，賦值，因此循環(huán)條件是，故選：A．8.若動(dòng)點(diǎn)分別在直線上移動(dòng)，則的中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值是(）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先確定的中點(diǎn)軌跡，再依據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求最小值.【詳解】因?yàn)?所以的中點(diǎn)軌跡為直線：，，因此到原點(diǎn)的距離的最小值是，選A.【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)到直線距離公式，考查基本求解實(shí)力.9.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB＝1,AC＝2,BC＝,D,E分別是AC1和BB1的中點(diǎn),則直線DE與平面BB1C1C所成的角為A.30° B.45°C.60° D.90°【答案】A【解析】【詳解】取AC的中點(diǎn)F,連接DF,BF,因?yàn)镈,E分別是AC1和BB1的中點(diǎn),所以DF=BE,且DF//BE,所以四邊形DEBF是平行四邊形,所以DE//BF,過(guò)點(diǎn)F作FG垂直于BC，交BC于點(diǎn)G，由題意得等于直線DE與平面BB1C1C所成的角,因?yàn)锳B＝1,AC＝2,BC＝,所以，CF=FA=FB=1,所以∠FBG=30°.即直線DE與平面BB1C1C所成的角為30°.故選A．10.唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩(shī)中隱含帶一個(gè)好玩的數(shù)學(xué)問(wèn)題—“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處動(dòng)身，先到河邊飲馬后再回軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)?，若將軍從點(diǎn)處動(dòng)身，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達(dá)軍營(yíng)所在區(qū)域即回到軍營(yíng)，則“將軍飲馬回首”的最短總路程為A.4 B.5 C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，再求得點(diǎn)Q到圓心O的距離減去半徑即可.詳解】如圖所示：設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，交點(diǎn)，所以，點(diǎn)Q到圓心O的距離為，所以“將軍飲馬回首”的最短總路程為4故選：A11.已知直線，其中為常數(shù)且．有以下結(jié)論：①直線的傾斜角為；②無(wú)論為何值，直線總與肯定圓相切；③若直線與兩坐標(biāo)軸都相交，則與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積不小于1；④若是直線上的隨意一點(diǎn)，則．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】依據(jù)直線的性質(zhì)及直線與圓的關(guān)系對(duì)選項(xiàng)一一推斷即可.【詳解】對(duì)于①，直線的傾斜角的取值范圍為，與角a的不同，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，點(diǎn)到直線的距離為，則無(wú)論為何值，直線總與相切，故②正確；對(duì)于③，若直線與兩坐標(biāo)軸都相交，則截距分別為，，則與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，故③正確；對(duì)于④，由②知直線總與相切，則直線l上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離大于等于1，即，故④正確；綜上所述，②③④共3個(gè)正確；故選：C12.已知圓與直線，過(guò)l上隨意一點(diǎn)P向圓C引切線，切點(diǎn)為A，B，若線段長(zhǎng)度的最小值為，則實(shí)數(shù)m的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，則，則由題意可求得，從而可得，而的最小值是圓心到直線的距離，然后列方程可求出實(shí)數(shù)m的值【詳解】圓，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，又，所以，又，所以，即，又，所以．故選：D．二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.搖兩次骰子，將結(jié)果記為，，則為整數(shù)的概率是___________.【答案】【解析】【分析】先列出兩次骰子的全部可能結(jié)果，在列出相除為整數(shù)的結(jié)果，最終相除可得結(jié)果.【詳解】記搖兩次骰子的結(jié)果為，則共有共36種狀況，為整數(shù)的有：共14種狀況.為整數(shù)的概率為=故答案為：14.如圖，奧運(yùn)五環(huán)由5個(gè)奧林匹克環(huán)套接組成，環(huán)從左到右相互套接，上面是藍(lán)、黑、紅環(huán)，下面是黃，綠環(huán)，整個(gè)造形為一個(gè)底部小的規(guī)則梯形．為迎接北京冬奧會(huì)召開，某機(jī)構(gòu)定制一批奧運(yùn)五環(huán)旗，已知該五環(huán)旗的5個(gè)奧林匹克環(huán)的內(nèi)圈半徑為1，外圈半徑為1．2，相鄰圓環(huán)圓心水平距離為2．6，兩排圓環(huán)圓心垂直距離為1．1，則相鄰兩個(gè)相交的圓的圓心之間的距離為___________．【答案】##【解析】【分析】依據(jù)題意作出協(xié)助線干脆求解即可.【詳解】如圖所示，由題意可知，在中，取的中點(diǎn)，連接，所以，，又因?yàn)?，所以，所以．即相鄰兩個(gè)相交的圓的圓心之間的距離為.故答案為：15.張華和李明相約周日早上8：00～9：00到市圖書大廈門口見面，規(guī)定先到的同學(xué)等候20分鐘，若還沒有等到，則可以離去，則他們兩個(gè)可以見面的概率為________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意設(shè)全部狀況構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?，滿意條件的事務(wù)為，結(jié)合圖象，利用幾何概型的概率公式計(jì)算即可.【詳解】由題意得，如圖，設(shè)張華到的時(shí)間為x，李明到的時(shí)間為y，可以看成平面中的點(diǎn)，全部狀況構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?，則對(duì)應(yīng)的面積為1；兩人見面所包含的基本領(lǐng)件構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椋海瑒t，所以的面積為，則事務(wù)P對(duì)應(yīng)的集合表示的面積為，由幾何概型概率公式，得，所以兩人見面的概率為.故答案為：.16.設(shè)，圓，若動(dòng)直線與圓交于點(diǎn)A、C，動(dòng)直線與圓交于點(diǎn)B、D，則的最大值是________．【答案】【解析】【分析】求出圓圓心和半徑，求出兩條直線位置關(guān)系和經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)，作出圖像，設(shè)圓心到其中一條直線的距離為d，依據(jù)幾何關(guān)系表示出，利用基本不等式即可求出其最大值.【詳解】，圓心M(1，3)，半徑r＝，過(guò)定點(diǎn)E(2,1)，過(guò)定點(diǎn)E(2,1)，且⊥，如圖，設(shè)AC和BD中點(diǎn)分別為F、G，則四邊形EFMG為矩形，設(shè)，，則，則＝，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào).故答案為：.三、解答題（本題共6小題，共計(jì)70分，解答過(guò)程應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）17.如圖，在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC邊的中點(diǎn)M在y軸上，BC的中點(diǎn)N在x軸上．(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)求邊上的中線所在直線方程．【答案】（1）(－5，－3)；（2）7x－22y－31＝0.【解析】【詳解】試題分析：（1）依據(jù)題意得到可設(shè)設(shè)M(0，a)，N(b,0)，C(m，n)，∵A(5，－2)，B(7,3)，依據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）依據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到點(diǎn)的坐標(biāo)為，由兩點(diǎn)式得到AB中線所在直線的方程.解析：（1）設(shè)M(0，a)，N(b,0)，C(m，n)，∵A(5，－2)，B(7,3)，又M是AC的中點(diǎn)，∴5＋m＝0，m＝－5，N是BC的中點(diǎn)，∴3＋n＝0，n＝－3，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(－5，－3)，（2）設(shè)AB的中點(diǎn)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為由兩點(diǎn)式得AB邊中線所在直線方程為整理得：7x－22y－31＝0.18.已知命題p：，命題．(1)若命題p是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若p∨q是真命題，p∧q是假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）依據(jù)命題為真命題，分類探討a是否為0；再依據(jù)開口及判別式即可求得a的取值范圍．（2）依據(jù)復(fù)合命題的真假關(guān)系，得出p,q一個(gè)為真命題，一個(gè)為假命題，然后進(jìn)行求解可得范圍.【詳解】依據(jù)復(fù)合命題真假，探討p真q假，p假q真兩種狀況下a的取值范圍．（1）命題是真命題時(shí)，在范圍內(nèi)恒成立，∴①當(dāng)時(shí)，有恒成立；②當(dāng)時(shí)，有，解得：；∴的取值范圍為：.（2）∵是真命題，是假命題，∴，中一個(gè)為真命題，一個(gè)為假命題，由為真時(shí)得由，解得，故有：①真假時(shí)，有或，解得：；②假真時(shí)，有或，解得：；∴的取值范圍為：.【點(diǎn)睛】本題考查了命題真假及復(fù)合命題真假的簡(jiǎn)潔應(yīng)用，求參數(shù)的取值范圍，屬于基礎(chǔ)題．19.“一切為了每位學(xué)生的發(fā)展”是新課程改革的核心理念．新高考取消文理分科，采納選科模式，給予了學(xué)生充分的自由選擇權(quán)．新高考模式下，學(xué)生是否選擇物理為高考考試科目對(duì)高校專業(yè)選擇有著特別重要的意義．某校為了解高一年級(jí)600名學(xué)生物理科目的學(xué)習(xí)狀況，將他們某次物理測(cè)試成果（滿分100分）依據(jù)，，，，，分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求這600名學(xué)生中物理測(cè)試成果在內(nèi)的頻數(shù)，并且補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖；（2）學(xué)校建議本次物理測(cè)試成果不低于分的學(xué)生選擇物理為高考考試科目，若學(xué)校希望高一年級(jí)恰有65％的學(xué)生選擇物理為高考考試科目，試求的估計(jì)值．（結(jié)果精確到0.1）【答案】（1）頻數(shù)，作圖見解析（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)頻率分布直方圖的小矩形面積之和為1求得成果在內(nèi)的頻率，再求頻數(shù)，然后依據(jù)數(shù)據(jù)補(bǔ)全的頻率分布直方圖如圖；（2）依據(jù)恰有65％的學(xué)生選擇物理為高考考試科目，先確定a所在區(qū)間，再求解.【小問(wèn)1詳解】解：由頻率分布直方圖可知，成果在內(nèi)的頻率為:，所以這600名學(xué)生中物理成果在內(nèi)的頻數(shù)為，補(bǔ)全的頻率分布直方圖如圖所示：【小問(wèn)2詳解】學(xué)生物理測(cè)試成果在的頻率為，物理測(cè)試成果在的頻率為．故要使高一年級(jí)恰有65％的學(xué)生選擇物理為高考考試科目，則，且，解得．20.如圖，在梯形中，，，，四邊形為矩形，平面平面，，設(shè)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng).（1）證明：；（2）設(shè)平面與平面所成銳二面角為，求的最小值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由平面幾何學(xué)問(wèn)，余弦定理可得.，再由面面垂直、線面垂直的性質(zhì)可得證；（2）由（1）可建立分別以直線，，為軸，軸，軸的如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令，由二面角的向量求解方法可表示，由二次函數(shù)的性質(zhì)可求得最值.【詳解】（1）證明：在梯形中，因?yàn)?，，，所以，所以，所以，所?因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，因?yàn)槠矫?，所以平?所以；（2）解：由（1）可建立分別以直線，，為軸，軸，軸的如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令，則，，，.∴，.設(shè)為平面的一個(gè)法向量，由得，取，則，∵是平面的一個(gè)法向量，∴∵，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，的最小值為.【點(diǎn)睛】向量法求二面角的步驟：建、設(shè)、求、算、取.1、建：建立空間直角坐標(biāo)系.以三條相互垂直的垂線的交點(diǎn)為原點(diǎn)，沒有三垂線時(shí)需做協(xié)助線;建立右手直角坐標(biāo)系,讓盡量多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上。2、設(shè)：設(shè)所需點(diǎn)的坐標(biāo)，并得出所需向量的坐標(biāo).3、求：求出兩個(gè)面的法向量.4、算：運(yùn)用向量的數(shù)量積運(yùn)算，求兩個(gè)法向量的夾角的余弦值；5、?。阂罁?jù)二面角的范圍和圖示得出的二面角是銳角還是鈍角,再取值.21.改革開放以來(lái)，我國(guó)經(jīng)濟(jì)持續(xù)高速增長(zhǎng)．如圖給出了我國(guó)2012年至2024年其次產(chǎn)業(yè)增加值與第一產(chǎn)業(yè)增加值的差值（以下簡(jiǎn)稱為：產(chǎn)業(yè)差值）的折線圖，記產(chǎn)業(yè)差值為（單位：萬(wàn)億元）．注：年份代碼1-10分別對(duì)應(yīng)年份2012-2025．附：回來(lái)直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：，．方差：參考數(shù)據(jù)：，，．（1）求出關(guān)于年份代碼的線性回來(lái)方程；（2）結(jié)合折線，試求出除去2016年產(chǎn)業(yè)差值后剩余的9年產(chǎn)業(yè)差值的平均值及方差（精確到0．1）．【答案】（1）（2）平均值為10.8萬(wàn)億元，方差為23.5【解析】【分析】（1）依