2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中+期末高效復(fù)習課第三章圓錐曲線的方程章節(jié)綜合檢測新高考題型基錯含解析

Page1第三章圓錐曲線的方程章節(jié)綜合檢測（新高考版基礎(chǔ)卷）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．（2024·北京·高三開學(xué)考試）拋物線W：的焦點為F.對于W上一點P，若P到直線的距離是P到點F距離的2倍，則點P的橫坐標為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【詳解】由題意得：，準線方程為，設(shè)點P的橫坐標為，，由拋物線的定義可知：則，解得：或（舍去），從而點P的橫坐標為1故選：A2．（2024·全國·高二課時練習）已知雙曲線（，）的離心率為，雙曲線上的點到焦點的最小距離為，則雙曲線C的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由已知可得，，可得，，則，所以雙曲線的方程為．故選：A．3．（2024·全國·高二課時練習）黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值為，把稱為黃金分割數(shù)．已知雙曲線的實軸長與焦距的比值恰好是黃金分割數(shù)，則m的值為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【詳解】由題意得，在雙曲線中，，∴．∵雙曲線的實軸長與焦距的比值為黃金分割數(shù)，∴，∴，即，解得．故選：A．4．（2024·山東·汶上縣第一中學(xué)高三開學(xué)考試）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，圓與的一條漸近線的一個交點為.若，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖所示，由已知得，，，且，則，在中，由余弦定理，得，即，整理得，所以，故，故選：B.5．（2024·云南·高三階段練習）已知拋物線的焦點為，準線為，點在上，過點作準線的垂線，垂足為，若，則（

）A．2 B． C． D．4【答案】D【詳解】由題知，準線，設(shè)與軸的交點為，點在上，由拋物線的定義及已知得，則為等邊三角形，解法1：因為軸，所以直線斜率，所以，由解得，舍去，所以.解法2：在中，，則.解法3：過作于點，則為的中點，因為，則.故選：D.6．（2024·全國·高二課時練習）已知，是橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，且，則的內(nèi)切圓的半徑（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【詳解】解：橢圓中，，，則，、∴，，∴．∵，，∴，∵，∴，解得．故選：C．7．（2024·全國·高二課時練習）如圖，、是雙曲線：與橢圓的公共焦點，點A是、在第一象限的公共點，設(shè)的方程為，則下列命題中錯誤的是（

）．A．B．的內(nèi)切圓與x軸相切于點（1，0）C．若，則的離心率為D．若，則橢圓方程為【答案】A【詳解】對于A：由可得，所以，即選項A錯誤；對于B：設(shè)的內(nèi)切圓的圓心為I，且圓與邊、、相切于N、M、K，可得，，，又因為，所以，又，解得，．可得M的橫坐標為1，即I的橫坐標為1，即選項B正確；對于C：在橢圓中，，，則．由，得，解得a＝3．則的離心率，即選項C正確；對于D：因為，，則，．若，則．又c＝2，，解得，．則橢圓的方程為，即選項D正確．故選：A.8．（2024·山東濟南·模擬預(yù)料）已知雙曲線的離心率為分別為的左、右焦點，過的直線與的左支交于兩點，若的最小值為4，則周長的最小值為（

）A．8 B．12 C．16 D．24【答案】C【詳解】因為雙曲線的離心率為，所以，得，所以，，所以，所以雙曲線方程為，所以，設(shè)直線為，設(shè)，由，得，所以，，所以，因為直線與的左支交于兩點，所以，得，所以令，則，所以，所以當時，取得最小值，所以，得，因為的周長為所以最小值時，的周長取得最小值，即為，故選：C二?多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9．（2024·全國·高二）已知橢圓：，：，則（

）A．，的焦點都在軸上 B．，的焦距相等C．，沒有公共點 D．離心率比離心率小【答案】BCD【詳解】因為橢圓的標準方程為，所以的焦點在y上，所以A不正確；因為橢圓的焦距為，橢圓的焦距為，所以B正確；聯(lián)立橢圓，的方程，消退，得，所以無解，故橢圓，沒有公共點，所以C正確；因為橢圓的離心率為，的離心率為，所以，所以D正確．故選：BCD.10．（2024·廣東韶關(guān)試驗中學(xué)高二階段練習）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線，O為坐標原點，一條平行于x軸的光線從點射入，經(jīng)過C上的點A反射后，再經(jīng)C上另一點B反射后，沿直線射出，經(jīng)過點Q．下列說法正確的是（

）．A．若，則B．若，則C．若，則PB平分D．若，延長AO交直線于點M，則M，B，Q三點共線【答案】ACD【詳解】對于選項，若，則拋物線,的焦點為,由已知條件得，直線的方程為，可得，，選項正確；對于選項,若，則拋物線,的焦點為,由已知條件得，直線的方程為，可得，，選項不正確；對于選項,時，∵，∴，又∵，∴平分，選項正確；對于選項，若，則拋物線,的焦點為,延長交直線于點，則，由選項可知，則M，B，Q三點共線，故正確；故選：．11．（2024·全國·高二單元測試）泰戈爾說過一句話：世界上最遠的距離，不是樹枝無法相依，而是相互眺望的星星，卻沒有交匯的軌跡；世界上最遠的距離，不是星星之間的軌跡，而是縱然軌跡交匯，卻在轉(zhuǎn)瞬間無處尋找．已知點，直線l：，若某直線上存在點P，使得點P到點M的距離比到直線l的距離小1，則稱該直線為“最遠距離直線”，則（

）A．點P的軌跡是一條線段B．點P的軌跡與直線：是沒有交匯的軌跡（即兩個軌跡沒有交點）C．不是“最遠距離直線”D．是“最遠距離直線”【答案】BCD【詳解】由點P到點M的距離比到直線l的距離小1，可得點P到點M的距離等于到直線：的距離，故點P的軌跡是以為焦點，直線：為準線的拋物線，其方程是，故A錯誤．由上述可知點P的軌跡與直線沒有交點，即兩者是沒有交匯的軌跡，故B正確．易知“最遠距離直線”與拋物線有交點，把代入拋物線方程，消去y并整理得．因為，方程無解，所以不是“最遠距離直線”，故C正確．把代入拋物線方程，消去y并整理得．因為，方程有解，所以是“最遠距離直線”，故D正確．故選：BCD．12．（2024·湖北·高三開學(xué)考試）已知橢圓的左?右焦點分別為，長軸長為4，點在橢圓外，點在橢圓上，則（

）A．橢圓的離心率的取值范圍是B．當橢圓的離心率為時，的取值范圍是C．存在點使得D．的最小值為1【答案】BCD【詳解】解：由題意得，又點在橢圓外，則，解得，所以橢圓的離心率，即橢圓的離心率的取值范圍是，故A不正確；當時，，，所以的取值范圍是，即，故B正確；設(shè)橢圓的上頂點為，，，由于，所以存在點使得，故C正確；，當且僅當時，等號成立，又，所以，故D正確．故選：BCD三?填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，其次空3分.）13．（2024·上海·華師大二附中高三開學(xué)考試）雙曲線的虛軸長為___________.【答案】【詳解】雙曲線的虛軸長為故答案為：14．（2024·上?！とA東師范高校附屬東昌中學(xué)高二期末）已知為雙曲線的兩個焦點，過點且垂直于x軸的直線交雙曲線于點P，且，則此雙曲線的漸近線方程為___________.【答案】【詳解】設(shè)，所以，，由雙曲線定義可知：，所以雙曲線的漸近線方程為.故答案為：.15．（2024·全國·高三專題練習）如圖，已知拋物線：的焦點為，過且斜率為1的直線交于，兩點，線段的中點為，其垂直平分線交軸于點，軸于點．若四邊形的面積等于7，則的方程為________.【答案】【詳解】易知，直線的方程為，四邊形為梯形，且．設(shè)，，，則，所以，所以．作軸于點，則．因為直線的斜率為1，所以為等腰直角三角形，故，所以，，所以四邊形的面積為，解得，故拋物線的方程為.故答案為：16．（2024·遼寧朝陽·高二期末）設(shè)分別為橢圓的左?右焦點，點是橢圓上異于頂點的兩點，，則___________，若點還滿意，則的面積為___________.【答案】

1【詳解】由知，由橢圓的對稱性得關(guān)于原點對稱，所以-1.若，則四邊形為矩形，所以故答案為：，1.四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）17．（2024·四川攀枝花·高二期末（理））已知雙曲線與橢圓有公共焦點，且它的一條漸近線方程為.(1)求橢圓的焦點坐標；(2)求雙曲線的標準方程．【答案】(1)；(2).(1)由題設(shè)，，又，所以橢圓的焦點坐標為.(2)由題設(shè)，令雙曲線為，由（1）知：，可得，所以雙曲線的標準方程為.18．（2024·全國·高二課時練習）設(shè)P是拋物線上的一個動點，F(xiàn)為拋物線的焦點.（1）若點P到直線的距離為，求的最小值；（2）若，求的最小值.【答案】（1）；（2）4.【詳解】解析（1）依題意，拋物線的焦點為，準線方程為.由已知及拋物線的定義，可知，于是問題轉(zhuǎn)化為求的最小值.由平面幾何學(xué)問知，當F，P，A三點共線時，取得最小值，最小值為，即的最小值為.（2）把點B的橫坐標代入中，得，因為，所以點B在拋物線的內(nèi)部.過B作垂直準線于點Q，交拋物線于點（如圖所示）.由拋物線的定義，可知，則，所以的最小值為4.19．（2024·全國·高二課時練習）已知雙曲線C的兩條漸近線過坐標原點，且與以點為圓心，1為半徑的圓相切，雙曲線C的一個頂點與點A關(guān)于直線對稱，設(shè)直線l過點A，斜率為k．(1)求雙曲線C的方程；(2)當時，在雙曲線C的上支上求點B，使其與直線l的距離為．【答案】(1)(2)（1）因為雙曲線的焦點坐標在軸上，所以設(shè)雙曲線方程為，因為，頂點與點A關(guān)于直線對稱，所以，即，設(shè)雙曲線漸近線為，由題意得：到漸近線距離為1，即，解得：，所以雙曲線方程為.（2）設(shè)是雙曲線C上到直線的距離為的點，所以，解得：，此時，即．20．（2024·全國·高二專題練習）給定橢圓，稱圓心在原點O、半徑是的圓為橢圓C的“準圓”．已知橢圓C的一個焦點為，其短軸的一個端點到點F的距離為．(1)求橢圓C和其“準圓”的方程；(2)若點A是橢圓C的“準圓”與x軸正半軸的交點，B、D是橢圓C上的兩相異點，且軸，求的取值范圍，【答案】(1)橢圓C的方程為，其“準圓”方程為(2)（1）解：由題意知，且，可得，故橢圓C的方程為，其“準圓”方程為．（2）解：由題意，可設(shè)、，則有，又點坐標為，所以，，所以，又，所以，所以的取值范圍是．21．（2024·全國·高二單元測試）已知拋物線E：的焦點為F，直線與E相交所得線段的長為．(1)求E的方程；(2)若不過點F的直線l與E相交于A，B兩點，請從①AB中點的縱坐標為3，②的重心在直線上，③這三個條件中任選兩個作為已知條件，求直線l的方程（若因條件選擇不當而無法求出，需分析詳細緣由）．注：假如選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)；(2)答案見解析.（1）解：因為直線與拋物線相交所得線段的長為，所以拋物線過點（由拋物線的對稱性得到），則，即，所以的方程為．（2）解：當直線l的斜率不存在時，l與E相交于A，B兩點，AB中點的縱坐標為0，選①②或①③或②③均不符合題意，故直線的斜率存在．設(shè)，，，由（1）知．由，得，所以．方案一

選擇條件①③．因為AB中點的縱坐標為3，所以，則，因為，所以，則，所以．綜上，直線的方程為．方案二

選擇條件②③．因為的重心在直線上，所以，則，即．因為，所以，則，即，所以．綜上，直線的方程為．方案三

選擇條件①②．因為AB中點的縱坐標為3，所以，則．因為的重心在直線上，所以，則，即．兩個條件，都只能得出斜率，無法計算出b的值，因此不能得到直線的方程．22．（2024·江西·