廣東省茂名市高州市2024年高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷

廣東省茂名市高州市2024年高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三四總分評(píng)分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合A={x|x2+2x?8<0}，B={x||x|≤2}A．(?4,?2) B．(?2,2) C．2．已知z=2?i1+i（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知x≠0,n∈N*，則“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件4．Gompertz曲線用于預(yù)測(cè)生長(zhǎng)曲線的回歸預(yù)測(cè)，常見的應(yīng)用有：代謝預(yù)測(cè)，腫瘤生長(zhǎng)預(yù)測(cè)，有限區(qū)域內(nèi)生物種群數(shù)量預(yù)測(cè)，工業(yè)產(chǎn)品的市場(chǎng)預(yù)測(cè)等等，其公式為：f(x)=kab?x（其中k>0,b>0，a為參數(shù)）．某研究員打算利用該函數(shù)模型預(yù)測(cè)公司新產(chǎn)品未來的銷售量增長(zhǎng)情況，發(fā)現(xiàn)a=e．若x=1表示該新產(chǎn)品今年的年產(chǎn)量，估計(jì)明年(x=2)的產(chǎn)量將是今年的eA．5?12 B．5+12 C．5．已知cos(α+π)=?2sinα，則sinA．?1 B．?25 C．456．已知Tn為正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的乘積，且A．16 B．32 C．64 D．1287．已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，直線lA．12 B．22 C．348．曲線y=lnx與曲線y=x2+2axA．(?∞,?12] B．[?1二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知圓C:A．圓C的圓心坐標(biāo)為(?1B．圓C的周長(zhǎng)為2C．圓M:(x+3)2D．圓C截y軸所得的弦長(zhǎng)為310．中秋節(jié)起源于上古時(shí)代，普及于漢代，定型于唐代，如今逐漸演化為賞月、頌月等活動(dòng)，以月之圓兆人之團(tuán)圓，為寄托思念故鄉(xiāng)，思念親人之情，祈盼豐收、幸福，成為豐富多彩、彌足珍貴的文化遺產(chǎn)．某校舉行與中秋節(jié)相關(guān)的“中國(guó)傳統(tǒng)文化”知識(shí)競(jìng)賽，隨機(jī)抽查了100人的成績(jī)整理后得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列結(jié)論正確的是（）A．樣本的眾數(shù)為75B．樣本的71%分位數(shù)為75C．樣本的平均值為68.5D．該校學(xué)生中得分低于60分的約占20%11．已知函數(shù)f(x)定義域?yàn)镽，且f(x+2)+f(x)=0,A．f(x)是奇函數(shù) B．f(2024)=1C．f(x)的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱 D．k=112．如圖，已知圓錐頂點(diǎn)為P，其軸截面△PAB是邊長(zhǎng)為2的為等邊三角形，球O內(nèi)切于圓錐（與圓錐底面和側(cè)面均相切），Q是球O與圓錐母線PB的交點(diǎn)，M是底面圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A．球O的體積為4B．三棱錐A?QBM體積的最大值為3C．MA+MQ的最大值為3D．若M為AB中點(diǎn)，則平面PMQ截球O的截面面積為π三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．有一座六層高的商場(chǎng)，若每層所開燈的數(shù)量都是下面一層的兩倍，一共開了1890盞，則底層所開燈的數(shù)量為盞．14．如圖，△ABC在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，則AB?AC15．已知雙曲線C:x2?y23=1，直線l:y=kx+1分別與C的左、右支交于M,16．已知函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(0,1)，其導(dǎo)函數(shù)f'(x)=Acos(2x+φ)(A>0,0<φ<π2)四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．17．在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是（1）求B的大?。唬?）若D是AC邊的中點(diǎn)，且BD=2，求△ABC面積的最大值．18．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S5（1）求數(shù)列{a（2）求數(shù)列{an+1SnS19．近幾年，隨著新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革孕育興起，新能源汽車產(chǎn)業(yè)進(jìn)入了加速發(fā)展的階段，我國(guó)的新能源汽車產(chǎn)業(yè)，經(jīng)過多年的持續(xù)努力，技術(shù)水平顯著提升、產(chǎn)業(yè)體系日趨完善、企業(yè)競(jìng)爭(zhēng)力大幅增強(qiáng)，呈現(xiàn)市場(chǎng)規(guī)模、發(fā)展質(zhì)量“雙提升”的良好局面．某汽車廠為把好質(zhì)量關(guān)，對(duì)送來的某個(gè)汽車零部件進(jìn)行檢測(cè)．（1）若每個(gè)汽車零部件的合格率為0.9，從中任取3個(gè)零部件進(jìn)行檢測(cè)，求至少有1個(gè)零部件是合格的概率；（2）若該批零部件共有20個(gè)，其中有4個(gè)零部件不合格，現(xiàn)從中任取2個(gè)零部件，求不合格零部件的產(chǎn)品數(shù)X的分布列及其期望值．20．如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=2，BB1=6，B（1）當(dāng)M為中點(diǎn)時(shí)，求證：MN∥平面BCC（2）當(dāng)CM=23時(shí)，求直線MN與平面21．已知拋物線C:y2=2px(p>0)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，P,Q其為準(zhǔn)線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若線段PF,QF分別交拋物線C于點(diǎn)A,B，記△PQF的面積為S1，△ABF的面積為S22．設(shè)函數(shù)f(x)=ex+asinx（1）當(dāng)a=?1時(shí)，f(x)≥bx+1在[0,+∞)上恒成立，求實(shí)數(shù)（2）若a>0,f(x)在[0,

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：已知集合A={x|x2+2x?8<0}，B={x||x|≤2}，

所以A={x|x∴A∩B={x|?2≤x<2}.故答案為：C.【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法以及絕對(duì)值不等式化簡(jiǎn)集合A，B，再利用交集含義即可求解.2．【答案】A【解析】【解答】解：因?yàn)閦=2?i所以zi?z=zi?1所以復(fù)數(shù)zi?z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(1故答案為：A.【分析】利用復(fù)數(shù)的乘除法法則化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z，從而求得zi?z=1+2i，最后判斷點(diǎn)所在象限即可.3．【答案】A【解析】【解答】解：(2x3+1x)n的通項(xiàng)公式為：Cnk若(2x設(shè)二項(xiàng)式的通項(xiàng)為Tr+1且存在常數(shù)項(xiàng)，則3n?4r=0，r=3n4，所以n能被4整除.所以“n=8”是“(2x故答案為：A.【分析】先求出(2x4．【答案】A【解析】【解答】解：由題意得，因?yàn)閍=e，

所以f(x)=k?e∴當(dāng)x=1時(shí)，f(1)=k?e當(dāng)x=2時(shí)，f(2)=ke依題意，明年(x=2)的產(chǎn)量將是今年的e倍，得：ke∴1b2?1∵b>0，∴b=5故答案為：A.【分析】理解題意，分別代入x=1、x=2，得到f(1)和f(2)的值，進(jìn)而得到ke5．【答案】D【解析】【解答】解：由誘導(dǎo)公式可得：cos(α+π)=-cosα，

因?yàn)閏os(α+π)=?2sinα，則cosα=2sinα，

則tanα=1所以sin故答案為：D【分析】由誘導(dǎo)公式可得cosα=2sinα，求出tanα6．【答案】B【解析】【解答】解：已知Tn為正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的乘積，

因?yàn)門n2=an等式兩邊取對(duì)數(shù)得nlgan+1=(n+1)lg則lgann=lga11=故答案為：B【分析】利用遞推公式得Tn+12=7．【答案】B【解析】【解答】解：由題意得，直線l:y=kx經(jīng)過原點(diǎn)0,0，

因?yàn)橹本€l:y=kx(k≠0)與橢圓交于A,B兩點(diǎn)，

所以設(shè)由兩點(diǎn)間的斜率公式可得kAD又∵x12a2+y∴y12?y22故答案為：B.【分析】根據(jù)題目已知條件，利用點(diǎn)差法得到斜率的表達(dá)式，化簡(jiǎn)即可得到離心率的值.8．【答案】B【解析】【解答】解：已知曲線y=lnx與曲線y=x2+2ax設(shè)y=lnx，y=x2+2ax圖象上的切點(diǎn)分別為(則過這兩點(diǎn)處的切線方程分別為y=xx1則1x1=2x2設(shè)f(x)=ex2?1?2x令g(x)所以g(x)在R則f(x)在(?∞,1)上單調(diào)遞減，在所以2a≥f(1)=?1，a≥?1故答案為：B.【分析】首先利用直線的點(diǎn)斜式方程分別求出兩曲線的切線方程，再構(gòu)造函數(shù)f(x)=ex29．【答案】B,C【解析】【解答】解：已知圓，C:x2對(duì)于AB，可得圓心的坐標(biāo)為(1,1)，半徑為5，則周長(zhǎng)為25π，可知對(duì)于C，由M(?3,?1)，|MC|=16+4對(duì)于D，令x=0，可得y2?2y?3=0，解得可得圓C截y軸所得的弦長(zhǎng)為4，可知D錯(cuò)誤.故答案為：BC.【分析】先求出圓的圓心和半徑，即可求解判斷ABC，對(duì)于D求出圓C上橫坐標(biāo)為0的點(diǎn)的縱坐標(biāo)即可判斷.10．【答案】A,C【解析】【解答】解：根據(jù)頻率分布直方圖可得，

(0.015+0.選項(xiàng)A，∵最高小矩形的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為75，∴眾數(shù)是75，故A正確.選項(xiàng)B，設(shè)樣本的71%分位數(shù)為x，又10×(0.∴0.5+(x?70)×0.選項(xiàng)C，平均數(shù)為45×0.選項(xiàng)D，樣本中得分低于60分的占(0.010+0.015)×10=25%，故答案為：AC.【分析】頻率分布直方圖中，由各組面積之和為1可求得a的值，再根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.11．【答案】A,C【解析】【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)閒(1?x)=f(1+x)，將x替換為x+1，得：f(?x)=f(2+x)，

又因?yàn)閒(x+2)+f(x)=0，即f(x+2)=?f(x)，∴f(?x)=?f(x)，∴f(x)是奇函數(shù)，選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，∵f(x+2)=?f(x)，將x替換為x+2，得：f(x+4)=?f(x+2)=f(x)，所以4為函數(shù)f(x)的周期，又因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，且函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，∴f(0)=0，∴f(2024)=f(4×506)=f(0)=0，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

對(duì)于選項(xiàng)C，f(2x+1)是偶函數(shù)，得：f(1?2x)=f(1+2x)，將x替換為所以函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=1對(duì)稱，選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，由已知f(x+2)+f(x)=0，分別代入x=1,x=2，得：f(1)+f(3)=0，f(2)+f(4)=0，同時(shí)4為f(x)的周期，∴k=1故答案為：AC.【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)的奇偶性、周期性和對(duì)稱性對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證，即可求得結(jié)果.12．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：由題意可得，如圖，

對(duì)于選項(xiàng)A，

設(shè)底面圓心為O1，則PO1⊥AB，AQ⊥PB因?yàn)椤鱌AB是邊長(zhǎng)為2的為等邊三角形，則BO1=1，Q則球O的半徑OO1=33對(duì)于選項(xiàng)B，作QD⊥AB，因?yàn)镻O1⊥面ABM所以QD⊥底面ABM，QD=1∵VA?QBM=對(duì)于選項(xiàng)C，設(shè)AM=x，x∈[0,∴cos∠MAB=AMAB=∴QM=MD2設(shè)f(x)=x+3?x22，則令當(dāng)x=0時(shí)，f'(x)>0，當(dāng)x∈(0,易知y=3x2?12在(0,2]上單調(diào)遞減，則當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，f'f(x)對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)M為AB中點(diǎn)時(shí)，MO⊥AB，由PB=PM=2，MB=2，PQ=1，得sin∠QPM=74.設(shè)點(diǎn)O到平面PMQ的距離為h，∵S△OPQ=36，VM?OPQ∴截面面積為π?[(故答案為：ACD.【分析】根據(jù)球的體積公式、基本不等式、利用導(dǎo)數(shù)即可求出其最大值以及等體積法求出O到平面PMQ的距離判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.13．【答案】30【解析】【解答】解：六層高的商場(chǎng)，每層所開燈的數(shù)量都是下面一層的兩倍，

可設(shè)從下往上每層燈的數(shù)據(jù)構(gòu)成等比數(shù)列{an}，

則公比q=2，n=6于是S6=a所以底層所開燈的數(shù)量為30盞.故答案為：30【分析】每層燈的數(shù)據(jù)構(gòu)造等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的Sn14．【答案】9【解析】【解答】解：如圖，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，

小正方形組成的網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)為1，

則A(2,3)，∴AB=(?2,?3)，AC故答案為：9.【分析】數(shù)形結(jié)合，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，求出AB→，AC15．【答案】y=±【解析】【解答】解：已知雙曲線C:x2?y23=1與直線l:y=kx+1相交，如圖所示，

可將雙曲線與直線聯(lián)立方程組可得：x2?y23=1∵Δ=4k2+16(3?k2由直線過定點(diǎn)(0,1)，故∴(解得k2=2或72（舍去），∴k=±2，∴直線故答案為：y=±2【分析】理解題意畫出圖形，將雙曲線與直線聯(lián)立方程組，借助韋達(dá)定理表示△OMN的面積并計(jì)算即可得解.16．【答案】[【解析】【解答】解：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)f'(x)圖象可知，f'(x)的圖象過點(diǎn)(0,3)，

∴Acosφ=又f'(x)的圖象過點(diǎn)(π6,0)，∴cosφ=32=∴f'(x)=2cos(2x+又∵f(x)過點(diǎn)(0,1)，∴f(0)=sinπ∴f(x)=sin(2x+π令f(tx)=sin(2tx+π6)+令2tx+π6=α，∵x∈[0∵函數(shù)y=f(tx)(t>0)在[0,∴sin(2tx+π6)=12在[0,故答案為：[1【分析】數(shù)形結(jié)合，由f'(x)的圖象過點(diǎn)(0,3)，(π6,0)可求出A和φ，結(jié)合f(0)=1求得f(x)=sin(2x+π617．【答案】（1）解：∵A+B+C=π，∴sinA=sin(B+C)，∴bsinA=asinπ?B∴由正弦定理可得sinBsinA=sinAcosB∵sinB=2sinB2cos∵sinA≠0，cosB2≠0，∴sinB2（2）解：依題意，S△ABC因?yàn)閨BA+BC|=2|BD|，所以|BA+BC∴△ABC面積的最大值為12【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理的應(yīng)用進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，以及三角形內(nèi)角和A+B+C=π可得sinBsinA=sinAcosB218．【答案】（1）解：∵數(shù)列{an}由題意知5所以an（2）解：∵an+1S∵Sn=【解析】【分析】（1）利用基本量法求解已知條件的方程組即可求得其通項(xiàng)公式；（2）利用裂項(xiàng)求和得Tn=119．【答案】（1）解：記“檢測(cè)出至少有1個(gè)零部件是合格品”為事件A，則P(A)=1?P(A（2）解：由題意可知，隨機(jī)變量X的可能取值為0,P(X=0)=C162C20所以隨機(jī)變量X的分布列為X012P12323E(X)=0×12【解析】【分析】（1）理解題意，根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式和對(duì)立事件的概率計(jì)算公式即可得到答案；（2）先求出X的所有可能取值，再利用超幾何分布即可得到其分布列，從而可得數(shù)學(xué)期望.20．【答案】（1）證明：如圖，在平面ABC內(nèi)作CA的垂線CD，∵B1C⊥平面ABC，∴AC，B依題意，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CA,CD,∵AB⊥BC，AB=BC=2，∴AC=∵BC?平面ABC，B1C⊥平面ABC，∴B1C⊥BC∴當(dāng)M為AC中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,0,0)，∵AA1=B∴N(12,?1∵AB?平面ABC，B1C⊥平面ABC，又AB⊥BC，BC∩B1C=C，BC，B1C?平面BC∵AB?MN=0，（2）解：M(23,0,0)，則設(shè)平面BC1M∴13a+b=0,?53設(shè)直線MN與平面BC1M由題意可得sinα=|cos?m【解析】【分析】（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合線面垂直的判定定理以及數(shù)量積公式即可求證；（2）計(jì)算出MN，再求出平面BC21．【答案】（1）解：設(shè)x軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)為M．∵PF⊥QF,∴當(dāng)|PF|=2|QF|時(shí)，∴|PM|=2|MF|，|MF|=2|MQ|．∴|PQ|=|PM|+|MQ|=5∴拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2（2）解：依題意，直線AB的斜率不為0，∴設(shè)直線AB的解析式為x=ky+b，A(x1,聯(lián)立y2=4x,x=ky+b,消去x，得y由FA?FB=0可得(x1?