全國統(tǒng)考高考數(shù)學復習專題2函數(shù)與導數(shù)-

④若函數(shù)y=f(x)滿足fa+x=?fb?x，則函數(shù)fx的圖象關于直線對稱．5．函數(shù)的零點問題（1）函數(shù)F(x)=f(x)?g(x)的零點就是方程f(x)=g(x)的根，即函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=g(x)的圖象交點的橫坐標．（2）確定函數(shù)零點的常用方法：①直接解方程法；②利用零點存在性定理；③數(shù)形結合，利用兩個函數(shù)圖象的交點求解．二、導數(shù)1．導數(shù)的幾何意義函數(shù)y=fx在x=x0處的導數(shù)f'x0就是曲線（1）曲線y=fx在點x0，（2）過點x0，y0作曲線y=fx切點不確定時，一般先設切點坐標，由導數(shù)得到切線斜率，寫出切線方程后，再利用條件來確定切點坐標，從而得到切線的方程．2．單調性與導數(shù)的關系設函數(shù)y=fx在區(qū)間a（1）如果在a，b內，恒有f'（2）如果在a，b內，恒有f'（3）如果在a，b內，恒有f'3．利用導數(shù)判斷函數(shù)單調性的步驟（1）確定定義域（易錯點：漏寫定義域）；（2）求導函數(shù)f'（3）解f'x>0（4）在定義域范圍內取補集，得到減（增）區(qū)間．4．極值的定義（1）函數(shù)y=fx在點x=a的函數(shù)值比它在點x=a附近的函數(shù)值都小，則把a叫做fx的極小值點，fa叫做fx的極小值．若y=fx在點x=a處可導，f'x是其導數(shù)，就可以用導數(shù)描述函數(shù)在極小值點附近的特征：f（2）函數(shù)y=fx在點x=b的函數(shù)值比它在點x=b附近的函數(shù)值都大，則把b叫做fx的極大值點，fb叫做fx的極大值．若y=fx在點x=b處可導，f'x是其導數(shù)，就可以用導數(shù)描述函數(shù)在極大值點附近的特征：f注意：極值點指x的取值，極值指相應的fx的取5．求可導函數(shù)極值的步驟（1）求函數(shù)的定義域；（2）求導數(shù)，并判斷函數(shù)的單調性；（3）畫表判斷函數(shù)的極值．6．求函數(shù)fx在區(qū)間a（1）求函數(shù)y=fx在a（2）比較函數(shù)y=fx的各極值與端點處的函數(shù)值f最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．7．定積分的性質（1）；（2）；（3）．8．常用定積分公式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）．9．的幾何意義（1）當fx在區(qū)間a，b上大于0時，表示直線x=a，a≠b，y=0和曲線y=f（2）當fx在區(qū)間a，b上小于0時，表示直線x=a，a≠b，y=0和曲線y=f（3）當fx在區(qū)間a，b上有正有負時，等于位于x軸上方的曲邊梯形的面積減去位于進階練習一、選擇題．1．已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(2?x)=f(x)，且f(x)在(?1，0)上遞減．若b=f(?ln2)，，則a，b，A． B． C． D．【答案】A【解析】因為定義在R上的偶函數(shù)，所以f(?x)=f(x)，因為f(2?x)=f(x)，所以f(2?x?2)=f(x+2)，即f(?x)=f(2+x)=f(x)，所以f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，又f(x)在(?1，0)上遞減，所以在，b=f(?ln2)=f(ln因為，f(x)在(0，1)所以，，即a<c<b，故選A．【點評】本題考查了函數(shù)的基本性質，對于抽象函數(shù)，要靈活掌握并運用圖象與奇偶性、單調性、周期性、對稱性等性質，要注意定義域，還應該學會解決的基本方法與技巧，如對于選擇題，可選用特殊值法、賦值法、數(shù)形結合等，應用分析、邏輯推理、聯(lián)想類比等數(shù)學思想方法．2．已知a=log56，b=log35，c=log23，，則A．b<a<d<c B．a<b<c<d C． D．a<b<d<c【答案】D【解析】，，，∵64=1296<55∵54=625>35因此，a<b<d<c，故選D．【點評】解答比較函數(shù)值大小問題，常見的思路有兩個：（1）判斷各個數(shù)值所在的區(qū)間；（2）利用函數(shù)的單調性直接解答．3．區(qū)塊鏈作為一種革新的技術，已經被應用于許多領域．在區(qū)塊鏈技術中，若密碼的長度設定為256比特，則密碼一共有種可能．因此，為了破解密碼，最壞情況需要進行次運算．現(xiàn)在有一臺機器，每秒能進行次運算，假設機器一直正常運轉，那么在最壞情況下這臺機器破譯密碼所需時間大約為（）（參考數(shù)據：）A．秒 B．秒 C．秒 D．秒【答案】B【解析】設這臺機器破譯所需時間大約為x秒，則，兩邊同時取底數(shù)為10的對數(shù)，得，所以，所以，所以，所以，而，所以，，故選B．【點評】對數(shù)運算的一般思路：（1）拆：首先利用冪的運算把底數(shù)或真數(shù)進行變形，化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后利用對數(shù)運算性質化簡合并；（2）合：將對數(shù)式化為同底數(shù)的和、差、倍數(shù)運算，然后逆用對數(shù)的運算性質，轉化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪的運算．4．已知函數(shù)fx=ax?ex與函數(shù)gxA． B． C． D．【答案】A【解析】因為函數(shù)fx與gx的圖象上恰有兩對關于x軸對稱的點，所以即ex?ax=xln令，則，所以當x∈0，1時，?'(x)<0所以函數(shù)在上單調遞減，在1，+∞上單調遞增，所以在x=1處取得極小值，所以，所以a>e?1，a的取值范圍為，故選A．【點評】導數(shù)是研究函數(shù)的單調性、極值（最值）最有效的工具，函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行：（1）考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系；（2）利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，判斷單調性；已知單調性，求參數(shù)；（3）利用導數(shù)求函數(shù)的最值（極值），解決生活中的優(yōu)化問題；（4）考查數(shù)形結合思想的應用．5．已知函數(shù)fx=x2+mxA． B． C． D．【答案】C【解析】令fx=0，可得令，則．令g'x=0，解得x=1當x>1時，g'x<0；當所以gx在?∞，1上單調遞增，在1所以，令φt=t2因為函數(shù)有三個零點，設φt=t2+mt?mΔ=m2?4(?m)>0，解得m>0則t1，t（1）當，時，將帶入方程，即，解得，代入方程，即，解得，故舍去；（2）當，t2=0時，將t2=0帶入方程，則m=0，φ（3）當，t2<0時，，解得，所以，故選C．【點評】解題的關鍵令，求得g(x)的單調性，畫出圖象，可得t的范圍，再利用二次函數(shù)的性質，結合t的范圍求解，考查分析理解，分類討論的能力，綜合性較強，屬中檔題．6．（多選）假設存在兩個物種，前者有充足的食物和生存空間，而后者僅以前者為食物，則我們稱前者為被捕食者，后者為捕食者，現(xiàn)在我們來研究捕食者與被捕食者之間理想狀態(tài)下的數(shù)學模型．假設捕食者的數(shù)量以xt表示，被捕食者的數(shù)量以yt表示．下圖描述的是這兩個物種隨時間變化的數(shù)量關系，其中箭頭方向為時間增加的方向．下列說法A．若在t1、t2時刻滿足：yB．如果yt數(shù)量是先上升后下降的，那么xC．被捕食者數(shù)量與捕食者數(shù)量不會同時到達最大值或最小值D．被捕食者數(shù)與捕食者數(shù)總和達到最大值時，捕食者的數(shù)量也會達到最大值【答案】ABD【解析】由圖可知，曲線中縱坐標相等時橫坐標未必相等，故A不正確；在曲線上半段中觀察到y(tǒng)t是先上升后下降，而x捕食者數(shù)量最大時是在圖象最右端，最小值是在圖象最左端，此時都不是被捕食者的數(shù)量的最值處，同樣當被捕食者的數(shù)量最大，即圖象最上端和最小即圖象最下端時，也不是捕食者數(shù)量取最值的時候，所以被捕食者數(shù)量和捕食者數(shù)量不會同時達到最大和最小值，故C正確；當捕食者數(shù)量最大時在圖象最右端，xt∈25此時二者總和xt由圖象可知存在點xt=10，yt所以并不是被捕食者數(shù)量與捕食者數(shù)量總和達到最大值時，被捕食者數(shù)量也會達到最大值，故D錯誤，故選ABD．【點評】解決本題的關鍵在于結合圖象分析xt與yt變化的關系，著重分析xt二、填空題．7．已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個不同的零點，則實數(shù)k的取值范圍是________．【答案】【解析】函數(shù)的圖象如圖所示：若函數(shù)有兩個不同的零點，等價于，的圖象又兩個不同的交點，由圖知：，故答案為．【點評】由函數(shù)零點或個數(shù)求參數(shù)范圍問題：若方程可解，通過解方程即可得出參數(shù)的范圍；若方程不易解或不可解，則將問題轉化為構造兩個函數(shù)，利用兩個函數(shù)圖象的關系求解，這樣會使得問題變得直觀、簡單，這也體現(xiàn)了數(shù)形結合思想的應用．8．設曲線y=alnx+x2a>0上任意一點的切線為l，若【答案】【解析】∵y=alnx+，當且僅當時等號成立，∵l的傾斜角的取值范圍是，，解得．故答案為．【點評】本題考查導數(shù)與切線的關系，解題的關系是求出導數(shù)的最小值，得出最小值為1，即可求解．三、解答題．9．已知函數(shù)fx（1）討論函數(shù)fx在區(qū)間1（2）若不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）答案見解析；（2）a≥1．【解析】（1）函數(shù)fx定義域1，+∞當a≤1時，f'x>0，f所以fx>f1=0，當a>1時，f'x=0又因為f'x在所以當1<x<x0，f'x<0fx<f1=0，所以當x>x0，f'x>0fx0<f以fx在有且僅有一個零點，綜上所述：當a≤1，函數(shù)fx在1當a>1，函數(shù)fx在1（2）由題意知在區(qū)間0，+∞設，則，，設，，所以?x在0又因為，列表如下：1+-g+-g增減所以當時x=1，gxmax=1【點評】判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法：（1）直接法：令fx（2）利用函數(shù)的零點存在性定理：利用函數(shù)的零點存在性定理時，不僅要求函數(shù)的圖象在區(qū)間a，b上是連續(xù)不斷的曲線，并且（3）圖象法：畫出函數(shù)fx的圖象，函數(shù)fx的圖象與x軸交點的個數(shù)就是函數(shù)fx的零點個數(shù)；將函數(shù)fx拆成兩個函數(shù)，?x和gx的形式，根據fx（4）利用函數(shù)的性質：若能確定函數(shù)的單調性，則其零點個數(shù)不難得到，若所考查的函數(shù)是周期函數(shù)，則需要求出在一個周期內的零點個數(shù)，根據周期性則可以得出函數(shù)的零點個數(shù)．10．己知函數(shù)．（1）若fx在R上是減函數(shù)，求m（2）如果fx有一個極小值點x1和一個極大值點x2【答案】（1）?∞，【解析】（1）由，得f'(x)=x+m?fx在R上是減函數(shù)，則恒成立．設g(x)=f'(x)=x+m?當x>0時，g'x<0，gx單調遞減；當時，g'于是gx由題意gx=m?1≤0，所以m≤1，故m的取值范圍是（2）設g(x)=f'(x)=x+m?當x>0時，g'x<0，gx單調遞減；當時，g若，則g(x)≤0，則fx在定義域內單調遞減，所以不滿足條件，故g(0)>0，所以m>1，又∵g(?m)=?e?m<0，g(0)=m?1>0設，則，所以y=2x?ex在1，+∞上單調遞減，所以當x>1所以，∴?x1∈(?m，0)∴x∈?∞，x1，g(x)<0，即，gx>0，即f'x∈x2，+∞，gx<0∵x1<0<x2又∵f(?2m)=1?e設，則y'=ex由，得x>ln2，，得0<x<ln所以y'=ex?2x則，所以y=ex?x2即x>0，ex>所以，∴由零點存在定理，得fx在?2m，x又f0=0，結合函數(shù)fx【點評】本題考查由函數(shù)單調性求參數(shù)和證明函數(shù)的零點個數(shù)，解答本題的關鍵是fx在R則恒成立，根據條件得出g(?m)=?e?m<0，g(0)=m?1>0，，所以?x1∈(?m，11．已知函數(shù)．（1）若，求fx的單調區(qū)間；（2）若fx在0，2上有兩個極值點x（i）求實數(shù)a的取值范圍；（ii）求證：x1【答案】（1）遞減區(qū)間為0，2，遞增區(qū)間為2【解析】（1），令gx=e因為x>0，，所以當x∈0，1時，g'所以當x∈1，+∞時，g所以gx所以當x∈0，2時，f'x<0fx的單調遞減區(qū)間為0，2（2）（i），要使fx在0，2上有兩個極值點x則gx=e①a≤1時，由（1）知，gx令Sx=ex?1?x，故S所以Sx>S0=0，故gx>0，故②當a≥e時，∵x∈0，2，，則gx在0，2上單調遞減，故③當1<a<e時，由（1）知所以gx在0，ln