動態(tài)規(guī)劃算法入門

演講人：日期：動態(tài)規(guī)劃算法入門延時符Contents目錄引言動態(tài)規(guī)劃的基本原理動態(tài)規(guī)劃算法的設計與實現動態(tài)規(guī)劃算法的優(yōu)化技巧動態(tài)規(guī)劃算法的應用案例動態(tài)規(guī)劃算法的復雜度分析動態(tài)規(guī)劃算法的擴展與變種延時符01引言動態(tài)規(guī)劃（DynamicProgramming，DP）是一種在數學、計算機科學和經濟學中使用的，通過把原問題分解為相對簡單的子問題的方式來求解復雜問題的方法。動態(tài)規(guī)劃的背景可以追溯到20世紀50年代初，由美國數學家貝爾曼（R.Bellman）等人提出，用于解決多階段決策過程的優(yōu)化問題。動態(tài)規(guī)劃的核心思想是將復雜問題分解為若干個子問題，子問題和原問題在結構上相同或類似，只不過規(guī)模不同。通過解決子問題，再合并子問題的解決方案，從而達到解決原問題的目的。動態(tài)規(guī)劃的定義與背景運籌學是一門研究如何有效組織和管理各種資源的學科，旨在為管理人員提供科學依據，實現有效管理、正確決策和現代化管理。動態(tài)規(guī)劃是運籌學的一個重要分支，是解決優(yōu)化問題的一種數學方法。它通過對問題的分解和狀態(tài)的定義，尋找問題的最優(yōu)解。運籌學中的許多問題，如線性規(guī)劃、整數規(guī)劃、網絡流等，都可以采用動態(tài)規(guī)劃的思想和方法進行求解。運籌學與動態(tài)規(guī)劃的關系動態(tài)規(guī)劃的應用領域如電路設計、控制系統優(yōu)化、信號處理等；如生產經營問題、資源分配問題、金融投資問題等；如算法優(yōu)化、背包問題、字符串匹配等；如生物信息學中的序列比對問題，自然語言處理中的文本生成問題等。工程技術領域經濟領域計算機科學領域其他領域延時符02動態(tài)規(guī)劃的基本原理大問題的最優(yōu)解可以由小問題的最優(yōu)解推出。大問題化小無后效性最優(yōu)子結構某階段狀態(tài)一旦確定，則此后過程的演變不再受此前各狀態(tài)及決策的影響。大問題的最優(yōu)解只由各個小問題的最優(yōu)解組合得到，不需要再考慮子問題之間的關系。030201最優(yōu)化原理問題的起點或終點，通常作為遞推關系的起點。邊界描述了子問題之間是如何轉化的，即一個問題的解與其子問題的解之間的關系。狀態(tài)轉移方程通過狀態(tài)轉移方程，可以自底向上地推出原問題的解。遞推關系邊界與狀態(tài)轉移方程自底向上計算從邊界條件出發(fā)，利用狀態(tài)轉移方程逐步遞推求解，直至得到原問題的解。推導狀態(tài)轉移方程根據相鄰兩階段各狀態(tài)之間的關系，確定決策變量和狀態(tài)轉移方程。找出問題的邊界條件即問題的起點和終點。劃分階段將原問題劃分為若干個相互聯系的階段，以便按次序去求每階段的解。確定狀態(tài)變量描述問題的過程，根據過程確定狀態(tài)變量。動態(tài)規(guī)劃的基本思想延時符03動態(tài)規(guī)劃算法的設計與實現劃分階段按照問題的時間或空間特征，把問題分為若干個階段。在劃分階段時，注意劃分后的階段一定要是有序的或者是可排序的，否則問題就無法求解。確定狀態(tài)和狀態(tài)變量將問題發(fā)展到各個階段時所處于的各種客觀情況用不同的狀態(tài)表示出來。當然，狀態(tài)的選擇要滿足無后效性。動態(tài)規(guī)劃算法的設計步驟確定決策并寫出狀態(tài)轉移方程因為決策和狀態(tài)轉移有著天然的聯系，狀態(tài)轉移就是根據上一階段的狀態(tài)和決策來導出本階段的狀態(tài)。所以如果確定了決策，狀態(tài)轉移方程也就可寫出。但事實上常常是反過來做，根據相鄰兩段各狀態(tài)之間的關系來確定決策。尋找邊界條件給出的狀態(tài)轉移方程是一個遞推式，需要一個遞推的起點，因此，邊界條件（即遞推起點）是可少的。動態(tài)規(guī)劃算法的設計步驟狀態(tài)變量的選擇狀態(tài)變量是能夠表示問題狀態(tài)的變量，通常選擇對問題求解有影響的因素作為狀態(tài)變量。在選擇狀態(tài)變量時，要注意滿足無后效性，即當前狀態(tài)只與前一個狀態(tài)有關，而與之前的狀態(tài)無關。狀態(tài)空間的構建狀態(tài)空間是由所有可能的狀態(tài)構成的集合。在構建狀態(tài)空間時，需要確定狀態(tài)變量的取值范圍和約束條件，以便將問題的所有可能狀態(tài)都包含進來。狀態(tài)變量的選擇與狀態(tài)空間的構建狀態(tài)轉移方程描述了問題從一個狀態(tài)轉移到另一個狀態(tài)時的變化規(guī)律。在推導狀態(tài)轉移方程時，需要根據問題的實際情況和狀態(tài)變量的選擇來確定。通?？梢酝ㄟ^分析相鄰兩個狀態(tài)之間的關系來推導出狀態(tài)轉移方程。狀態(tài)轉移方程的推導在得到狀態(tài)轉移方程后，需要對其進行求解以得到問題的最優(yōu)解。求解方法通常包括迭代法、遞歸法等。在求解過程中，需要注意邊界條件的處理和計算復雜度的優(yōu)化。狀態(tài)轉移方程的求解狀態(tài)轉移方程的推導與求解延時符04動態(tài)規(guī)劃算法的優(yōu)化技巧記憶化搜索通過存儲已經計算過的子問題的結果，避免在后續(xù)計算中重復計算相同的子問題，從而提高算法效率。避免重復計算記憶化搜索通常采用遞歸的方式實現，將問題的解拆分為更小的子問題的解，并自底向上地逐步求解。遞歸實現記憶化搜索適用于具有重疊子問題和最優(yōu)子結構性質的問題，如斐波那契數列、矩陣鏈乘法等。適用場景記憶化搜索

滾動數組優(yōu)化空間優(yōu)化滾動數組通過循環(huán)使用數組空間，將原本需要二維或更高維度的數組空間壓縮至一維或更低維度，從而節(jié)省空間復雜度。時間復雜度不變雖然滾動數組優(yōu)化了空間復雜度，但時間復雜度并未改變，因為算法的計算量并未減少。適用場景滾動數組適用于具有固定轉移方程和狀態(tài)表示的動態(tài)規(guī)劃問題，如01背包、完全背包等。狀態(tài)壓縮技巧通常使用二進制數來表示狀態(tài)，將原本需要使用大量空間存儲的狀態(tài)信息壓縮到一個或幾個整數中。二進制表示狀態(tài)狀態(tài)壓縮后，需要使用位運算操作來實現狀態(tài)的轉移和計算，如按位與、按位或、異或等。位運算操作狀態(tài)壓縮技巧適用于具有大量離散狀態(tài)且狀態(tài)之間轉移關系簡單的動態(tài)規(guī)劃問題，如旅行商問題、狀壓DP等。適用場景狀態(tài)壓縮技巧延時符05動態(tài)規(guī)劃算法的應用案例問題描述01給定一組物品，每種物品都有一定的重量和價值，背包的總承重有限。問題是如何選擇物品放入背包，使得背包內物品的總價值最大。動態(tài)規(guī)劃思路02定義狀態(tài)數組dp[i][j]，表示前i個物品在總重量不超過j的情況下能達到的最大價值。通過狀態(tài)轉移方程dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]]+value[i])來求解。應用場景03貨物裝載、投資決策、項目選擇等。背包問題問題描述企業(yè)在一定時期內，需要安排生產計劃，使得在滿足市場需求和生產能力的前提下，總成本最小或總利潤最大。動態(tài)規(guī)劃思路定義狀態(tài)數組dp[i][j]，表示前i個時期生產j個單位產品時的最小成本或最大利潤。通過狀態(tài)轉移方程dp[i][j]=min/max(dp[i-1][j-k]+cost[i][k])來求解，其中k表示第i個時期的生產量。應用場景生產計劃制定、庫存管理、資源調度等。生產經營問題問題描述動態(tài)規(guī)劃思路應用場景資金管理問題投資者在一定時期內，需要將資金分配給不同的投資項目，以使得總收益最大或總風險最小。定義狀態(tài)數組dp[i][j]，表示前i個時期投資j個單位資金時的最大收益或最小風險。通過狀態(tài)轉移方程dp[i][j]=max/min(dp[i-1][j-k]+profit[i][k])來求解，其中k表示第i個時期的投資量。投資組合優(yōu)化、風險控制、資金管理策略制定等。問題描述在多個任務或項目之間分配有限的資源（如人力、物力、資金等），以使得整體效益最大或成本最小。動態(tài)規(guī)劃思路定義狀態(tài)數組dp[i][j]，表示前i個任務分配j個單位資源時的最大效益或最小成本。通過狀態(tài)轉移方程dp[i][j]=max/min(dp[i-1][j-k]+benefit[i][k])來求解，其中k表示第i個任務的資源分配量。應用場景任務調度、項目管理、資源優(yōu)化配置等。010203資源分配問題問題描述在圖論中，最短路徑問題是指尋找圖中兩個頂點之間的最短路徑，使得路徑上各邊的權值之和最小。動態(tài)規(guī)劃思路定義狀態(tài)數組dp[i][j]，表示從起點到第i個頂點，且經過的邊的權值總和不超過j時的最短路徑長度。通過狀態(tài)轉移方程dp[i][j]=min(dp[k][j-weight[k][i]]+1)來求解，其中k表示從起點到第i個頂點的中間頂點。應用場景交通網絡規(guī)劃、通信網絡優(yōu)化、物流路徑規(guī)劃等。最短路徑問題延時符06動態(tài)規(guī)劃算法的復雜度分析010203狀態(tài)轉移方程的時間復雜度動態(tài)規(guī)劃算法的時間復雜度主要取決于狀態(tài)轉移方程的計算復雜度。如果每個狀態(tài)轉移都需要常數時間，則時間復雜度為O(n)，其中n為狀態(tài)數量。如果狀態(tài)轉移涉及到較復雜的計算，則時間復雜度會相應增加。狀態(tài)數量的影響狀態(tài)數量的多少也會影響時間復雜度。如果狀態(tài)數量很大，即使每個狀態(tài)轉移的計算復雜度較低，總體時間復雜度也可能很高。邊界和初始條件的影響邊界和初始條件的處理也會對時間復雜度產生影響。如果邊界和初始條件需要特殊處理，可能會增加額外的時間開銷。時間復雜度分析狀態(tài)存儲的空間需求動態(tài)規(guī)劃算法通常需要將每個狀態(tài)的值存儲下來，以便在計算后續(xù)狀態(tài)時使用。因此，空間復雜度至少為O(n)，其中n為狀態(tài)數量。如果狀態(tài)空間很大，可能需要使用額外的數據結構來存儲狀態(tài)，進一步增加空間復雜度。狀態(tài)壓縮技術為了減少空間復雜度，可以使用狀態(tài)壓縮技術。例如，如果狀態(tài)之間存在一定的關系，可以使用滾動數組等技術來減少存儲空間的需求。但是，狀態(tài)壓縮技術可能會增加時間復雜度或使代碼實現變得復雜?？臻g復雜度分析優(yōu)化狀態(tài)轉移方程通過優(yōu)化狀態(tài)轉移方程的計算過程，可以降低時間復雜度。例如，使用更快的計算方法或避免重復計算等。使用更高效的數據結構選擇更高效的數據結構來存儲和訪問狀態(tài)值可以降低時間復雜度和空間復雜度。例如，使用哈希表來存儲狀態(tài)值可以加快查找速度，但可能會增加空間復雜度。并行計算如果問題可以并行處理，可以使用并行計算技術來加速動態(tài)規(guī)劃算法的執(zhí)行速度。但是，并行計算需要額外的硬件和軟件支持，并且可能會引入同步和通信開銷。減少狀態(tài)數量如果狀態(tài)數量很大，可以考慮減少狀態(tài)數量來降低時間復雜度和空間復雜度。例如，通過合并相似狀態(tài)或使用更緊湊的狀態(tài)表示方法。算法優(yōu)化與復雜度降低的方法延時符07動態(tài)規(guī)劃算法的擴展與變種123包括前序遍歷、中序遍歷和后序遍歷，樹形動態(tài)規(guī)劃通常基于其中一種遍歷方式進行狀態(tài)轉移。樹的遍歷方式樹形動態(tài)規(guī)劃中的狀態(tài)通常表示為某個節(jié)點為根的子樹的最優(yōu)解，狀態(tài)轉移方程則描述了子樹之間是如何轉化的。狀態(tài)表示與轉移樹形背包問題、二叉樹最大獨立集問題等。經典問題樹形動態(tài)規(guī)劃將原問題劃分為若干個小區(qū)間，通過求解小區(qū)間的最優(yōu)解來得到原問題的最優(yōu)解。區(qū)間劃分區(qū)間動態(tài)規(guī)劃中的狀態(tài)通常表示為某個區(qū)間的最優(yōu)解，狀態(tài)轉移方程則描述了相鄰區(qū)間或不同大小區(qū)間之間是如何轉化的。狀態(tài)表示與轉移矩陣連乘問題、石子合并問題等。經典問題區(qū)間動態(tài)規(guī)劃狀態(tài)機模型將問題抽象為一個有限狀態(tài)機，每個狀態(tài)表示問題的一個階段或