2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 數(shù)列 第3講　數(shù)列的遞推關(guān)系原卷版

第3講數(shù)列的遞推關(guān)系（新高考專用）目錄目錄【真題自測(cè)】 2【考點(diǎn)突破】 3【考點(diǎn)一】構(gòu)造輔助數(shù)列 3【考點(diǎn)二】利用an與Sn的關(guān)系 4【專題精練】 5考情分析：數(shù)列的遞推關(guān)系是高考重點(diǎn)考查內(nèi)容，作為兩類特殊數(shù)列——等差數(shù)列、等比數(shù)列，可直接根據(jù)它們的通項(xiàng)公式求解，但也有一些數(shù)列真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2023·北京·高考真題）已知數(shù)列滿足，則（

）A．當(dāng)時(shí)，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立B．當(dāng)時(shí)，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立C．當(dāng)時(shí)，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立D．當(dāng)時(shí)，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立2．（2022·浙江·高考真題）已知數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．3．（2021·浙江·高考真題）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（

）A． B． C． D．二、填空題4．（2022·北京·高考真題）已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和滿足．給出下列四個(gè)結(jié)論：①的第2項(xiàng)小于3；

②為等比數(shù)列；③為遞減數(shù)列；

④中存在小于的項(xiàng)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．三、解答題5．（2022·全國(guó)·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．6．（2022·全國(guó)·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)一】構(gòu)造輔助數(shù)列一、單選題1．（2024·山東濰坊·一模）已知數(shù)列an滿足，．若數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，則（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·山東青島·階段練習(xí)）若數(shù)列滿足，，則滿足不等式的最大正整數(shù)為（

）A．28 B．29 C．30 D．31二、多選題3．（2024·湖南長(zhǎng)沙·一模）小郡玩一種跳棋游戲，一個(gè)箱子中裝有大小質(zhì)地均相同的且標(biāo)有的10個(gè)小球，每次隨機(jī)抽取一個(gè)小球并放回，規(guī)定：若每次抽取號(hào)碼小于或等于5的小球，則前進(jìn)1步，若每次抽取號(hào)碼大于5的小球，則前進(jìn)2步.每次抽取小球互不影響，記小郡一共前進(jìn)步的概率為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．C．D．小華一共前進(jìn)3步的概率最大4．（2023·遼寧朝陽(yáng)·一模）已知數(shù)列滿足，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．?dāng)?shù)列為遞減數(shù)列 B．C． D．三、填空題5．（23-24高二上·廣東河源·期末）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，則.6．（2024·湖南衡陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.若，則的最小值為.規(guī)律方法：(1)形如an＋1－an＝f(n)的數(shù)列，利用累加法，即利用公式an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1(n≥2)，即可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．(2)形如eq\f(an＋1,an)＝f(n)的數(shù)列，常令n分別為1,2,3，…，n－1，代入eq\f(an＋1,an)＝f(n)，再把所得的(n－1)個(gè)等式相乘，利用an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)(n≥2)即可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．(3)形如an＋1＝eq\f(qan,pan＋q)(p，q≠0)的數(shù)列，取倒數(shù)可得eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1,an)＋eq\f(p,q)，即eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝eq\f(p,q)，構(gòu)造等差數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))求通項(xiàng)公式．(4)若數(shù)列{an}滿足an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)，構(gòu)造an＋1＋λ＝p(an＋λ)．(5)若數(shù)列{an}滿足an＋1＝pan＋f(n)(p≠0,1)，構(gòu)造an＋1＋g(n＋1)＝p[an＋g(n)]．【考點(diǎn)二】利用an與Sn的關(guān)系一、單選題1．（2024·山西晉中·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．32．（2024·江蘇·一模）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，若，則（

）A． B．1 C． D．2二、多選題3．（2024·貴州貴陽(yáng)·二模）設(shè)首項(xiàng)為1的數(shù)列前項(xiàng)和為，已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和C．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為 D．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則是等差數(shù)列B．若，則是等比數(shù)列C．若，則數(shù)列為遞增數(shù)列D．若數(shù)列為等差數(shù)列，，則最小三、填空題5．（23-24高三上·廣東東莞·期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，，則.6．（23-24高二上·寧夏石嘴山·階段練習(xí)）已知數(shù)列an滿足，設(shè)數(shù)列an的前項(xiàng)和為，則=規(guī)律方法：在處理Sn，an的式子時(shí)，一般情況下，如果要證明f(an)為等差(等比)數(shù)列，就消去Sn，如果要證明f(Sn)為等差(等比)數(shù)列，就消去an；但有些題目要求求{an}的通項(xiàng)公式，表面上看應(yīng)該消去Sn，但這會(huì)導(dǎo)致解題陷入死胡同，這時(shí)需要反其道而行之，先消去an，求出Sn，然后利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an(n≥2)．專題精練專題精練一、單選題1．畫(huà)條直線，將圓的內(nèi)部區(qū)域最多分割成（

）A．部分 B．部分C．部分 D．部分2．已知數(shù)列滿足，其中，則（

）A． B． C． D．3．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（

）A． B．C． D．4．?dāng)?shù)列滿足，（），，若數(shù)列是遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．已知數(shù)列滿足，，，則（

）A． B． C． D．6．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．17．設(shè)數(shù)列an的前項(xiàng)和為，若，且，則（

）A． B． C． D．8．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，則可以是（

）A．18 B．12 C．9 D．6二、多選題9．?dāng)?shù)列滿足，且對(duì)任意的都有，則（

）A． B．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為C．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為 D．?dāng)?shù)列的第項(xiàng)為10．已知數(shù)列滿足，，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．存在，使得C． D．11．設(shè)無(wú)窮數(shù)列an的前項(xiàng)和為，且，若存在，使成立，則（

）A．B．C．不等式的解集為D．對(duì)任意給定的實(shí)數(shù)，總存在，當(dāng)時(shí)，三、填空題12．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則.13．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則.14．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，則.四、解答題15．已知數(shù)列滿足，（）．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．16．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列滿足，令，求證：．17．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，在數(shù)列中，，，．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求的最值．18．記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，.(1)求；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．網(wǎng)球運(yùn)動(dòng)是一項(xiàng)激烈且耗時(shí)的運(yùn)動(dòng)，對(duì)于力量的消耗是很大的，這就需要網(wǎng)球運(yùn)動(dòng)員提高自己的耐力．耐力訓(xùn)練分為無(wú)氧和有氧兩種訓(xùn)練方式．某網(wǎng)球俱樂(lè)部的運(yùn)動(dòng)員在某賽事前展開(kāi)了一輪為期90天的封閉集訓(xùn)，在封閉集訓(xùn)期間每名運(yùn)動(dòng)員每天選擇一種方式進(jìn)行耐力訓(xùn)練．由訓(xùn)練計(jì)劃知，在封閉集訓(xùn)期間，若運(yùn)動(dòng)員第天進(jìn)行有氧訓(xùn)練，則第天進(jìn)行有氧