協(xié)作機器人-感知、交互、操作與控制技術(shù) 課件 -2-動力學

協(xié)作機器人動力學1機器人動力學模型基于拉格朗日公式的機器人動力學建模基本思想:將拉格朗日方程應用于機器人動力學建模。拉格朗日方程:其中，(拉格朗日函數(shù))。i.e.

K

和

P

分別代表機器人系統(tǒng)動能和勢能，并且

=機器人第i個廣義坐標值=機器人第i個廣義力/力矩(1)2動力學概念3什么是機器人廣義坐標和廣義力/力矩?

廣義坐標:一組完整地描述了機器人位置（位置以及姿態(tài)）的坐標。動力學概念4*存在各種廣義坐標集合:（1）（2）*廣義坐標的一個常見而自然的選擇是使用關節(jié)變量，對于旋轉(zhuǎn)關節(jié)對于平動關節(jié)動力學概念5

廣義力:廣義力的定義取決于廣義坐標的選擇。如果選擇關節(jié)變量作為廣義坐標，則廣義力（或扭矩）是關節(jié)i處的作用力或扭矩。(2)動能求解6

關節(jié)速度:其中，

。

第i個坐標系相對于第i-1個坐標系的齊次變換矩陣。(3)(4)動能求解7(=0)(5)動能求解8注意:(6)(7)(8)9其中:

的一般形式(Fu,etal)旋轉(zhuǎn)關節(jié)平動關節(jié)動能求解10的定義旋轉(zhuǎn)關節(jié)平動關節(jié)動能求解11動能(關節(jié)速度)

令為第i個連桿相對于基座的動能。(10)（對于質(zhì)量dm來說）動能求解12

注意

，

，

，

獨立于第i個連桿的位置。由關節(jié)速度表達式可知：(11)(12)動能求解13

對所有分量進行積分可得：

(13)動能求解14總動能

(14)動能求解15其中，(15)(16)動能求解16

----第i個連桿質(zhì)量----第i個連桿質(zhì)心(17)動能求解17

動能可以表示成如下的二次形式：

其中，。(18)動能求解18

證明:

定義(19)動能求解19(20)(21)動能求解20勢能

對于連桿i來說,

總勢能

:質(zhì)心位置:第i個連桿質(zhì)量g:重力矢量,(22)(23)勢能求解21注意：對于水平系統(tǒng)來說對于空間機器人而言，需要根據(jù)具體情況對g進行設置。(24)勢能求解22拉格朗日函數(shù)：拉格朗日方程：(25)(26)拉格朗日函數(shù)求解23因此,(27)(28)(29)拉格朗日方程求解24拉格朗日方程求解25應用拉格朗日方程:令則機器人動力學方程可以寫成如下所示：

k=1,...,n(30)(31)(32)(33)拉格朗日方程求解26注意：

克里斯托弗形式交換第二項的求和順序(34)(35)拉格朗日方程求解機器人動力學方程27

科氏力離心力矢量

關節(jié)變量矢量

重力矢量機器人動力學方程：(36)(37)機器人動力學方程28

其他等價形式:

(38)(39)機器人動力學方程29考慮摩擦力和外力：以上只考慮了剛體力學中的那些力，而沒有考慮摩擦力和接觸外力等情況。粘性摩擦：庫倫摩擦：同時考慮兩者：最后考慮接觸外力：更加完整的機器人動力學方程如下所示：(63)(64)(65)(66)(67)機器人動力學方程30慣量矩陣D(q)具有如下特性：對稱性 DT=D正定性Q=xTDx>0,

為什么??

(動能)

是的平方形式；G(q)僅僅是q的函數(shù)；對于每一個自由度都有一個獨立的控制輸入。機器人動力學方程特性：機器人動力學方程315) 動力學的參數(shù)線性特性(參數(shù)線性動力學)所有關注的常數(shù)參數(shù)，如連桿質(zhì)量、轉(zhuǎn)動慣量等，都以廣義坐標系的已知函數(shù)系數(shù)的形式出現(xiàn)。

通過將系數(shù)定義為參數(shù)向量，我們得到：

(40)機器人動力學方程326) 矩陣

是斜對稱的:

如果,則

證明:

N矩陣的第

kj個元素是

(41)(42)(43)機器人動力學方程33同樣：(44)機器人動力學算例34關節(jié)變量:連桿質(zhì)量:連桿參數(shù):對于旋轉(zhuǎn)關節(jié)已知

機器人動力學算例35假設：機器人動力學算例36因為

可以定義如下：獨立于(45)37機器人動力學算例38矩陣形式如下所示：注意(47)(46)(48)(49)機器人動力學算例39令則動力學方程可以表示成如下所示：acc.vel.(50)機器人動力學算例40

令

，尋找

使得其中，課堂練習：機器人動力學算例41步驟1:分解上述方程習題答案：機器人動力學算例42步驟2:建立參數(shù)線性模型機器人動力學算例笛卡爾空間動力學43機器人關節(jié)空間動力學可以表示成如下：令

其中h(q)表示一般非線性變換。盡管y(t)可以是任何感興趣的點的笛卡爾位置，這里我們將其視為末端執(zhí)行器的笛卡爾位置或任務空間位置（即末端執(zhí)行器在基坐標系中的位置和姿態(tài)）。笛卡爾空間機器人動力學方程：同時，建立了笛卡爾空間速度和關節(jié)空間速度之間的關系。(51)(52)(53)44假定在感興趣的區(qū)域中雅可比矩陣滿足條件，則:這就是“逆加速度”變換。(54)(55)(56)笛卡爾空間動力學45因此，

回憶,其中

F

是

笛卡爾空間力矢量(Cartesianforcevector)。因此,或者其中，(57)(58)(59)(60)笛卡爾空間動力學46注意:

只要非奇異，關節(jié)空間動力學所列出的所有性質(zhì)都可以移植到笛卡爾空間動力學方程。

對稱正定；

是斜對稱的；參數(shù)線性性質(zhì)在笛卡爾空間同樣滿足：其中笛卡爾空間方程表示成如下所示：并且是機械臂參數(shù)矢量。，其中，

是已知常數(shù)；,表示重力參數(shù)有界。

(61)(62)笛卡爾空間動力學機器人動力學仿真47動力學仿真：

(68)(69)(70)含柔性機器人動力學48含柔性關節(jié)動力學：對于具有較大的關節(jié)/傳動彈性的多自由度串聯(lián)機械臂，當考慮電機和連桿側(cè)的粘性摩擦項以及關節(jié)的彈簧阻尼時，機器人關節(jié)空間的動力學模型可以改寫為如下所示：(71)(72)含柔性機器人動力學49含柔性連桿動力學：針對柔性連桿變形的描述問題，首先需要對柔性連桿進行空間離散化。常見的針對連桿的離散化方案有：集中質(zhì)量法、有限段法、有限元法和假設模態(tài)法等。集中質(zhì)量法是將柔性連桿總質(zhì)量按設定的規(guī)則集中于一定數(shù)量的離散節(jié)點上，并且將整個柔性連桿所受外力載荷等效分布在各個節(jié)點上。有限段法將柔性連桿離散為一定數(shù)量剛性