5.3誘導(dǎo)公式【三大必考點(diǎn)+七大秒殺招+六大題型+分層訓(xùn)練】高一數(shù)學(xué)題型歸類（解析版）

5.3誘導(dǎo)公式【三大必考點(diǎn)+七大秒殺招+六大題型+分層訓(xùn)練】知識精講知識精講知識點(diǎn)01角的對稱(1)角π＋α的終邊與角α的終邊關(guān)于原點(diǎn)對稱，如圖(a)；(2)角－α的終邊與角α的終邊關(guān)于x軸對稱，如圖(b)；(3)角π－α的終邊與角α的終邊關(guān)于y軸對稱，如圖(c)．知識點(diǎn)02誘導(dǎo)公式公式二sin(π＋α)＝－sinαcos(π＋α)＝－cosαtan(π＋α)＝tanα公式三sin(－α)＝－sinαcos(－α)＝cosαtan(－α)＝－tanα公式四sin(π－α)＝sinαcos(π－α)＝－cosαtan(π－α)＝－tanα(1)公式一、二、三、四都叫做誘導(dǎo)公式，它們可概括如下：①記憶方法：2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α的三角函數(shù)值，等于α的同名函數(shù)值，前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號，可以簡單地說成“函數(shù)名不變，符號看象限”．②解釋：“函數(shù)名不變”是指等式兩邊的三角函數(shù)同名；“符號”是指等號右邊是正號還是負(fù)號；“看象限”是指假設(shè)α是銳角，要看原三角函數(shù)是取正值還是負(fù)值，如sin(π＋α)，若把α看成銳角，則π＋α在第三象限，正弦在第三象限取負(fù)值，故sin(π＋α)＝－sinα.(2)利用誘導(dǎo)公式一和三，還可以得到如下公式：sin(2π－α)＝－sinα，cos(2π－α)＝cosα，tan(2π－α)＝－tanα.知識點(diǎn)03誘導(dǎo)公式五、六(1)公式五、六中的角α是任意角．(2)誘導(dǎo)公式一～六中的角可歸納為k·eq\f(π,2)±α的形式，可概括為“奇變偶不變，符號看象限”．①“變”與“不變”是針對互余關(guān)系的函數(shù)而言的．②“奇”“偶”是對誘導(dǎo)公式k·eq\f(π,2)±α中的整數(shù)k來講的．③“象限”指k·eq\f(π,2)±α中，將α看成銳角時，k·eq\f(π,2)±α所在的象限，根據(jù)“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的符號規(guī)律確定原函數(shù)值的符號．(3)利用誘導(dǎo)公式五、六，結(jié)合誘導(dǎo)公式二，還可以推出如下公式：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝－cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝－sinα，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝－cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝sinα.解題大招解題大招大招01利用誘導(dǎo)公式求任意角的三角函數(shù)值的步驟(1)“負(fù)化正”——用公式一或三來轉(zhuǎn)化；(2)“大化小”——用公式一將角化為0°到360°間的角；(3)“小化銳”——用公式二或四將大于90°的角轉(zhuǎn)化為銳角；(4)“銳求值”——得到銳角的三角函數(shù)后求值．大招02給式(值)求值1、解決條件求值問題的策略(1)解決條件求值問題，首先要仔細(xì)觀察條件與所求式之間的角、函數(shù)名稱及有關(guān)運(yùn)算之間的差異及聯(lián)系．(2)可以將已知式進(jìn)行變形向所求式轉(zhuǎn)化，或?qū)⑺笫竭M(jìn)行變形向已知式轉(zhuǎn)化．2、解答此類題目的關(guān)鍵在于利用數(shù)學(xué)中化歸的思想來探究兩個角(或整體)之間的關(guān)系，當(dāng)尋找到角與角之間的聯(lián)系后，未知角這一整體的三角函數(shù)值可以通過已知角的三角函數(shù)值和有關(guān)的三角公式求得，這是三角函數(shù)解題技巧之一.大招03三角函數(shù)式化簡的常用方法(1)依據(jù)所給式子合理選用誘導(dǎo)公式將所給角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為另一個角的三角函數(shù)．(2)切化弦：一般需將表達(dá)式中的切函數(shù)轉(zhuǎn)化為弦函數(shù)．(3)注意“1”的應(yīng)用：1＝sin2α＋cos2α＝taneq\f(π,4).(4)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡時，若遇到kπ±α的形式，需對k進(jìn)行分類討論，然后再運(yùn)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡．大招04三角函數(shù)式的化簡注意:(1)利用誘導(dǎo)公式將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù);(2)常用“切化弦”法，即通常將表達(dá)式中的切函數(shù)化為弦函數(shù);(3)注意“1”的變形應(yīng)用.大招05由已知角求未知角的三角函數(shù)值①觀察已知角與未知角之間的關(guān)系，運(yùn)用誘導(dǎo)公式將會不同名的函數(shù)化為同名的函數(shù)，將不同的角化為相同的角是解決問題的關(guān)鍵;②對于有條件的三角函數(shù)求值題，求解的一般方法是從角的關(guān)系上尋求突破，找到所求角與已知角之間的關(guān)系，結(jié)合誘導(dǎo)公式，進(jìn)而把待求式轉(zhuǎn)化到已知式完成求值;③當(dāng)所給的角是復(fù)合角時，不易看出已知角與所求角的聯(lián)系，可將已知角看成一個整體，用這個整體去表示所求角，便可發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系.大招06解決條件求值問題的策略(1)解決條件求值問題，首先要仔細(xì)觀察條件與所求式之間的角、函數(shù)名稱及有關(guān)運(yùn)算之間的差異及聯(lián)系．(2)可以將已知式進(jìn)行變形向所求式轉(zhuǎn)化，或?qū)⑺笫竭M(jìn)行變形向已知式轉(zhuǎn)化．大招07誘導(dǎo)公式綜合應(yīng)用要“三看”一看角：①化大為??；②看角與角間的聯(lián)系，可通過相加、相減分析兩角的關(guān)系．二看函數(shù)名稱：一般是弦切互化．三看式子結(jié)構(gòu)：通過分析式子，選擇合適的方法，如分式可對分子分母同乘一個式子變形．題型分類題型分類題型01三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式【例1】已知sinα?3π4=A．223 B．?223 【解題思路】利用同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系和誘導(dǎo)公式計算可得結(jié)果.【解答過程】易知cosπ故選：D.【變式1-1】與sin(θ?π2A．sin(3πC．cos(2π?θ)【解題思路】利用誘導(dǎo)公式化簡已知函數(shù)，再利用誘導(dǎo)公式逐項(xiàng)化簡判斷.【解答過程】依題意，sin(θ?對于A，sin(對于B，cos(θ?對于C，cos(2對于D，sin(θ+故選：A.【變式1-2】求值：sin300°+tan600°=A．32 B．?32 C．3【解題思路】利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡求值即可.【解答過程】sin=sin故選：A.題型02三角函數(shù)的化簡、求值——誘導(dǎo)公式【例2】求下列各三角值：(1)sin1320°(2)cos?(3)sin2【解題思路】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式即可求解；（2）根據(jù)誘導(dǎo)公式即可求解；（3）根據(jù)誘導(dǎo)公式即可求解；【解答過程】（1）sin（2）cos（3）sin2150°+sin【變式2-1】化簡：(1)cos?α(2)sin1400°+α【解題思路】（1）利用誘導(dǎo)公式和同角關(guān)系式中的商數(shù)關(guān)系化簡即可；（2）利用誘導(dǎo)公式化簡即可.【解答過程】（1）原式=cos（2）原式==sin【變式2-2】計算(1)tan(2)tan(3)cos【解題思路】（1）（2）（3）利用誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值求解即得.【解答過程】（1）tan（2）tan1200°+3（3）cos(?120°)題型03三角函數(shù)恒等式的證明——誘導(dǎo)公式【例3】證明：tan(2【解題思路】利用誘導(dǎo)公式化簡即可.【解答過程】左邊=?所以tan(2【變式3-1】（1）求證：tan(2π?α)（2）設(shè)tan(α+8π7【解題思路】（1）（2）應(yīng)用誘導(dǎo)公式化簡等式中結(jié)構(gòu)復(fù)雜的一側(cè)，即可證結(jié)論.【解答過程】（1）左邊=tan(?α)sin(?α)cos(?α)（2）方法1：左邊=sin[π+(8π7+α)]+3cos[(α+方法2：由tan(α+8π7所以，等式左邊=sin[2π+(π7+α)]+3cos【變式3-2】已知A、B、C為△ABC的三個內(nèi)角，求證：sin【解題思路】利用三角形的內(nèi)角和定理可得出B+C2【解答過程】證明：在△ABC中，A+B+C=π，則B+C所以，cos=sin故原等式得證.題型04誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用【例4】已知角α的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)1,?2，則sinα+3πA．10?55 B．10+55 C．【解題思路】先根據(jù)三角函數(shù)的定義，求出角α的三角函數(shù)值，再結(jié)合誘導(dǎo)公式求值.【解答過程】由題知，sinα=?25，cos所以sin=?1故選：B.【變式4-1】已知α角的始邊與x軸非負(fù)半軸重合，P?2,3是α角終邊上一點(diǎn)，則tan?πA．?4712 B．4712 C．31【解題思路】運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡，結(jié)合三角函數(shù)定義可解.【解答過程】tan=sin根據(jù)三角函數(shù)定義sinα==?1故選：D.【變式4-2】已知α角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸正半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)P(?4,3).(1)求sinα,(2)求f(α)=cos【解題思路】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義，即可求出結(jié)果；（2）利用誘導(dǎo)公式對原式進(jìn)行化簡，代入sinα，cos【解答過程】（1）因?yàn)榻铅恋慕K邊經(jīng)過點(diǎn)P(?4,3)，由三角函數(shù)的定義知sinα=cosα=tan（2）由誘導(dǎo)公式，得f(α)=cosπ2題型05誘導(dǎo)公式在三角形中的應(yīng)用【例5】已知A,B,C為△ABC的三個內(nèi)角，下列各式不成立的是（

）A．sinA=sinB+CC．sinA2=【解題思路】利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，結(jié)合三角形的內(nèi)角和為π，逐個去分析即可選出答案．【解答過程】由題意知，在△ABC中，A+B+C=π對A選項(xiàng)，sinC+B對B選項(xiàng)，cosA+C對C選項(xiàng)，cosC+B對D選項(xiàng)，sinA+C故選：D.【變式5-1】已知角A,B,C為△ABC的三個內(nèi)角，若sinA+B?C2=sinA?B+CA．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．鈍角三角形【解題思路】根據(jù)誘導(dǎo)公式以及內(nèi)角和定理得出B=C，從而判斷三角形的形狀.【解答過程】因?yàn)閟in所以sinπ可得cosC=又因?yàn)锽,C∈0,π所以B=C，則AC=AB，所以△ABC一定是等腰三角形．故選：C．【變式5-2】在△ABC中，試判斷下列關(guān)系是否成立，并說明理由.（1）cos(A+B)=（2）sin(A+B)=（3）sinA+B（4）cosA+B【解題思路】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，結(jié)合誘導(dǎo)公式逐一判斷即可.【解答過程】解：（1）不成立，∵cos∴cos（2）成立，∴sin（3）不成立.∵sin（4）不成立∵cos題型06同角基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用【例6】已知角α∈?π2,0，且tan2A．154 B．14 C．?3【解題思路】切化弦，然后可得cosα【解答過程】因?yàn)閠an2所以sin2因?yàn)棣痢?π2所以1cos2α?3因?yàn)棣痢?π2,0，可得所以得1cosα=4，可得cos所以sinα+2023故選：A．【變式6-1】在平面直角坐標(biāo)系中，角θ的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在直線y=?3x上，則sin(A．2+3 B．2?3 C．3 【解題思路】根據(jù)給定條件，利用正切函數(shù)的定義求出tanθ【解答過程】顯然點(diǎn)(1,?3),(?1,3)都在直線所以sin(故選：B.【變式6-2】已知函數(shù)f(1)化簡fα(2)若fα=?15，求(3)若α∈?π6【解題思路】（1）由誘導(dǎo)公式化簡即可得出答案；（2）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可得出答案；（3）由已知求出sinα+π6=1【解答過程】（1）fα（2）因?yàn)閒α=sin當(dāng)α為第三象限角時，cosα=?當(dāng)α為第四象限角村，cosα=（3）因?yàn)閒α=sincoscos因?yàn)棣痢?π6故cos5因此cos2分層分層訓(xùn)練【基礎(chǔ)過關(guān)】1．若，則（

）A． B．1 C． D．或【答案】C【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式可得，化弦為切即可求解.【詳解】由題意得，，則.故選:.2．已知，（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)和1的大小，結(jié)合的正負(fù)判斷即可.【詳解】因?yàn)?，?又，且，故，則.故選：B3．若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用三角函數(shù)同角基本關(guān)系式求得，然后利用誘導(dǎo)公式求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，，所以，故選：B4．求值：（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡求值即可.【詳解】，故選：A5．若是任意實(shí)數(shù)，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由誘導(dǎo)公式化簡可得．【詳解】由三角函數(shù)誘導(dǎo)公式得．故選：C．6．“”是“為第一象限角”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】利用誘導(dǎo)公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合充分、必要條件的定義判定選項(xiàng)即可.【詳解】易知，所以為第一象限角、第二象限角或終邊落在縱軸正半軸上的角，顯然不滿足充分性，滿足必要性.故選：B7．若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系化簡可得結(jié)果.【詳解】.故選：C.8．若，則=（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由誘導(dǎo)公式化簡條件即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，故選：B9．已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由誘導(dǎo)公式求解．【詳解】，故選：B．10．已知角以為始邊，它的終邊與單位圓相交于點(diǎn)，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義，結(jié)合誘導(dǎo)公式化簡計算即可.【詳解】角以為始邊，它的終邊與單位圓相交于點(diǎn)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，所以，所以.故選：C．11．（多選）已知角的終邊經(jīng)過，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求解，，，結(jié)合誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】由于角的終邊經(jīng)過，故，，，，，故AD錯誤，BC正確，故選：BC12．（多選）在△ABC中，下列關(guān)系式恒成立的有（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理和誘導(dǎo)公式，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【詳解】對于A中，由，所以A正確；對于B中由，所以B正確；對于C中，由，所以C正確；對于D中，，所以D錯誤．故選：ABC.13．（多選）給出下列四個結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（

）A．，成立的條件是是銳角B．若，則．C．若，則D．若，則，【答案】CD【分析】由誘導(dǎo)公式判斷選項(xiàng)A錯誤；對分類討論得到選項(xiàng)B錯誤；利用同角商數(shù)關(guān)系和誘導(dǎo)公式證明選項(xiàng)C正確；由得或．再證明選項(xiàng)D正確.【詳解】由誘導(dǎo)公式二，知時，，所以A錯誤．當(dāng)（）時，，此時，當(dāng)（）時，，此時，所以B錯誤．若（），則，所以C正確．將等式兩邊平方，得，所以或．若，則，此時；若，則，此時，故，所以D正確．故選：CD14．已知.(1)求的值；(2)若，是方程的兩個根，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式化簡，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，即可得解；（2）利用韋達(dá)定理得到，從而得到，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，解得；?）因?yàn)?，是方程的兩個根，所以，∴，又，∴．15．已知．(1)化簡,并求的值;(2)若,且,求的值．【答案】(1);(2)【分析】(1)先根據(jù)誘導(dǎo)公對進(jìn)行化簡,再將代入進(jìn)算出結(jié)果即可;(2)將代入可求,根據(jù)的正負(fù)及,可判斷正負(fù),從而判斷正負(fù),對平方再開方,代入即可得所求.【詳解】（1）解:由題知,;（2）,,,且,,故.

【能力提升】1．函數(shù)的部分圖象大致為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由分母不為零確定函數(shù)的定義域，再由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和確定函數(shù)為奇函數(shù)，最后討論和時的正負(fù)可得結(jié)果；【詳解】由可得函數(shù)的定義域?yàn)椋遥驗(yàn)?，所以為奇函?shù)．因?yàn)?，所以?dāng)時，，當(dāng)時，，排除A，C，D，故選：B.2．已知，則“(k∈Z)，是“”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【答案】A【分析】分別判斷當(dāng)時的值，以及當(dāng)時的取值情況.【詳解】判斷充分性當(dāng)時，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)，.所以由能推出，充分性成立.判斷必要性當(dāng)時，，滿足的不只是，還有情況.所以由不能推出，必要性不成立.是的充分非必要條件.故選：A.3．已知函數(shù)，若，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再比較各自變量的大小即可.【詳解】由題意可知，的定義域?yàn)?，設(shè)，則，因?yàn)?，，，所以，所以在上是增函?shù)；又因?yàn)?，，所以，，，所以，故選：A4．已知角，且，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】切化弦，然后可得，再結(jié)合平方關(guān)系式和誘導(dǎo)公式可得.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以，解得或，因?yàn)?，可得，，所以得，可得，可得，所以．故選：A．5．若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由兩邊同時平方，從而利用可以實(shí)現(xiàn)角α的弦切互化，【詳解】由兩邊同時平方，可得，，解得..故選：C.6．在△ABC中，設(shè)甲：，乙：，則以下判斷正確的是（

）．A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】A【分析】利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式與基本關(guān)系式，結(jié)合充要條件的判斷方法即可得解.【詳解】當(dāng)時，取，滿足要求，但，則甲不是乙的必要條件；當(dāng)即時，，則，所以，則甲是乙的充分條件；綜上，甲是乙的充分條件但不是必要條件.故選：A.7．已知，，則“”是“存在使得”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】根據(jù)充分條件，必要條件的定義，以及誘導(dǎo)公式即可判斷.【詳解】(1)當(dāng)存在使得時，則；即不能推出.(2)當(dāng)時，或，,所以對第二種情況，不存在時，使得成立，故“”是“存在使得”的既不充分不必要條件.故選：D8．已知是第四象限角，終邊與單位圓O交于點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用任意角三角函數(shù)定義結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】根據(jù)任意角三角函數(shù)定義知，由，得，所以，所以或．又是第四象限角，所以，所以，即．故選：C．9．已知，關(guān)于等式，以下兩個命題：①對任意的，總存在，使得等式成立；②對任意的，總存在，使得等式成立.則下列判斷正確的是（

）A．①與②都正確 B．①正確，②不正確C．①不正確，②正確 D．①與②都不正確【答案】B【分析】結(jié)合誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值，舉例判斷即可.【詳解】①任意的，當(dāng)時，，，滿足，故①正確；②當(dāng)時，，，則不存在，使得等式成立，故②不正確.故選：B.10．函數(shù)的圖象大致是（

）A．

B．

C． D．【答案】B【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)