3.3冪函數(shù)【三大必考點(diǎn)+六大秒殺招+九大題型+分層訓(xùn)練】高一數(shù)學(xué)題型歸類（解析版）

3.3冪函數(shù)【三大必考點(diǎn)+六大秒殺招+九大題型+分層訓(xùn)練】知識精講知識精講知識點(diǎn)01冪函數(shù)的概念一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．注意：冪函數(shù)的特征(1)xα的系數(shù)是1；(2)xα的底數(shù)x是自變量；(3)xα的指數(shù)α為常數(shù)．只有滿足這三個條件，才是冪函數(shù)．對于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函數(shù)都不是冪函數(shù)．知識點(diǎn)02一些常用冪函數(shù)的圖象同一坐標(biāo)系中，冪函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的圖象(如圖)．知識點(diǎn)03一些常用冪函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)特征性質(zhì)y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1定義域RRR[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增在[0，＋∞)上單調(diào)遞增在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增在[0，＋∞)上單調(diào)遞增在(0，＋∞)上單調(diào)遞減在(－∞，0]上單調(diào)遞減在(－∞，0)上單調(diào)遞減注意：冪函數(shù)的性質(zhì)(1)所有的冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義，并且圖象都過點(diǎn)(1,1)；(2)如果α＞0，那么冪函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，并且在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增；(3)如果α＜0，那么冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減，在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向于原點(diǎn)時，圖象在y軸右方無限接近y軸，當(dāng)x從原點(diǎn)趨向于＋∞時，圖象在x軸上方無限接近x軸；(4)在(1，＋∞)上，隨冪指數(shù)的逐漸增大，圖象越來越靠近y軸．解題大招解題大招大招01判斷一個函數(shù)是否為冪函數(shù)的方法判斷一個函數(shù)是否為冪函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為y＝xα(α為常數(shù))的形式，即函數(shù)的解析式為一個冪的形式，且需滿足：(1)指數(shù)為常數(shù)；(2)底數(shù)為自變量；(3)系數(shù)為1.大招02依據(jù)圖象高低判斷冪指數(shù)大小，相關(guān)結(jié)論為：在(0,1]上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為指大圖低)；在[1，＋∞)上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸(簡記為指大圖高)．大招03求冪函數(shù)的定義域和值域冪函數(shù)的定義域和值域要根據(jù)解析式來確定，要保證解析式有意義，值域要在定義域范圍內(nèi)求解.冪函數(shù)的定義域由冪指數(shù)a確定：①當(dāng)冪指數(shù)取正整數(shù)時，定義域?yàn)镽；②當(dāng)冪指數(shù)取零或負(fù)整數(shù)時，定義域?yàn)?一∞,0)(0,+∞)；③當(dāng)冪指數(shù)取分?jǐn)?shù)時，可以先化成根式(在第四章會學(xué)到)，再根據(jù)根式的要求求定義域.大招04比較冪大小的三種常用方法:大招05利用冪函數(shù)單調(diào)性比較大小時要注意的問題:比較大小的兩個實(shí)數(shù)必須在同一函數(shù)的同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi),否則無法比較大小.大招06利用冪函數(shù)解不等式的步驟利用冪函數(shù)解不等式，實(shí)質(zhì)是已知兩個函數(shù)值的大小，判斷自變量的大小，常與冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等綜合命題．求解步驟如下：(1)確定可以利用的冪函數(shù)；(2)借助相應(yīng)的冪函數(shù)的單調(diào)性，將不等式的大小關(guān)系，轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系；(3)解不等式(組)求參數(shù)范圍，注意分類討論思想的應(yīng)用．題型分類題型分類題型01對冪函數(shù)的概念的理解【例1】下列函數(shù)是冪函數(shù)的是（）A．y=2x B．y=2x?1C．y=(x+1)2 【解題思路】根據(jù)冪函數(shù)的定義即可得解.【解答過程】根據(jù)冪函數(shù)的定義，A、B、C均不是冪函數(shù)，只有D選項(xiàng)y=3x2=x故選：D.【變式1-1】下列結(jié)論正確的是（

）A．冪函數(shù)的圖象一定過原點(diǎn)B．α=1,3,12時，冪函數(shù)C．冪函數(shù)的圖象會出現(xiàn)在第四象限D(zhuǎn)．y=2x【解題思路】利用冪函數(shù)的簡單性質(zhì)判斷即可．【解答過程】解：冪函數(shù)圖象不一定過原點(diǎn)，例如y=x?1，函數(shù)的圖象不經(jīng)過原點(diǎn)，故當(dāng)α=1,3,12時，冪函數(shù)y=x，y=x由函數(shù)的定義及冪函數(shù)在第一象限均有圖象可知，冪函數(shù)的圖象不會出現(xiàn)在第四象限，故C不正確；函數(shù)y=2x2是二次函數(shù)，但是不是冪函數(shù)，冪函數(shù)得形如故選：B.【變式1-2】下列函數(shù)中冪函數(shù)的是（

）A．y=3x B．y=x2+2 C．y=【解題思路】根據(jù)冪函數(shù)的定義直接得出結(jié)果.【解答過程】A：函數(shù)y=3x為一次函數(shù)，故A不符合題意；B：函數(shù)y=xC：函數(shù)y=(x+1)D：函數(shù)y=x故選：D.題型02求冪函數(shù)的值、解析式【例2】已知冪函數(shù)fx的圖象過點(diǎn)3,19，則fA．-4 B．-3 C．14 【解題思路】先用待定系數(shù)法求出冪函數(shù)解析式fx=x【解答過程】設(shè)冪函數(shù)fx=x得19=3所以fx則f2故選：C．【變式2-1】已知冪函數(shù)fx的圖象過點(diǎn)4,12A．fx=18x B．fx【解題思路】設(shè)冪函數(shù)fx【解答過程】設(shè)冪函數(shù)fx=xa，將點(diǎn)4,12代入所以冪函數(shù)的解析式為fx故選：B.【變式2-2】已知fx=k2+2k+2A．3 B．23 C．6 D．【解題思路】由冪函數(shù)的定義得出結(jié)果即可.【解答過程】由題知k2+2k+2=1，解得k=?1，且m?3=0，解得故選：D.題型03根據(jù)函數(shù)是冪函數(shù)求參數(shù)值【例3】已知冪函數(shù)fx=xn，若函數(shù)fx的圖象過點(diǎn)1A．0 B．12 C．?12【解題思路】把給定點(diǎn)的坐標(biāo)代入冪函數(shù)解析式求解即得.【解答過程】冪函數(shù)fx=xn的圖象過點(diǎn)14,2，則故選：C.【變式3-1】已知冪函數(shù)fx=xα，且f(2)=8f(1)，則A．?2 B．2 C．3 D．4【解題思路】將x=2,x=1代入方程f(2)=8f(1)，解含α的方程即可.【解答過程】因?yàn)閒x=xα，且解得α=3，故選：C．【變式3-2】已知冪函數(shù)y=(m2?m?1)xmA．2 B．?2或1 C．?1或2 D．?1【解題思路】根據(jù)冪函數(shù)的概念求出m，再由函數(shù)圖象不經(jīng)過第二象限得出即可．【解答過程】解：因?yàn)閥=m2?m?1xm是冪函數(shù)，所以m當(dāng)m=?1時，y=x當(dāng)m=2時，y=x綜上，m=?1．故選：D．題型04求冪函數(shù)的定義域【例4】下列函數(shù)中定義域?yàn)镽的是（

）A．y=x12C．y=x23【解題思路】將分?jǐn)?shù)指數(shù)冪化為根式，再根據(jù)冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)即可得到答案.【解答過程】y=x12y=x54y=x23y=x?1故選：C.【變式4-1】給出5個冪函數(shù)：①y=x?2；②y=x45；③y=x14；④A．①② B．②③ C．②④ D．③④【解題思路】根據(jù)冪函數(shù)的定義域求得正確答案.【解答過程】①y=x?2=②y=x45③y=x14④y=x23⑤y=x?4所以符合的是②④.故選：C.【變式4-2】若冪函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(4,2)，則y=f(2?|x|)f(x)的定義域是（A．(?2,0) B．(0,2] C．[0,2] D．(?2,2)【解題思路】設(shè)fx=xα，根據(jù)冪函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(4,2)求出α的值，即可求出【解答過程】設(shè)fx=xα，依題意可得4α所以fx的定義域?yàn)?,+∞，值域?yàn)?,+∞對于函數(shù)y=f(2?|x|)f(x)，則2?x即函數(shù)y=f(2?|x|)f(x)的定義域是故選：B.題型05冪函數(shù)的值域問題【例5】已知冪函數(shù)f(x)=xα的圖像過點(diǎn)(8,4)，則f(x)=xA．?∞,0 B．?∞,0C．0,+∞ D．0,+∞【解題思路】先求出冪函數(shù)解析式，根據(jù)解析式即可求出值域.【解答過程】∵冪函數(shù)f(x)=xα的圖像過點(diǎn)∴8α=4∴f(x)=x∴f(x)的值域是0,+∞.故選：D.【變式5-1】下列函數(shù)中，值域?yàn)?,+∞的是（

A．fx=xC．fx=1【解題思路】根據(jù)函數(shù)的定義域、冪函數(shù)的性質(zhì)、以及基本不等式可直接求得選項(xiàng)中各函數(shù)的值域進(jìn)行判斷即可.【解答過程】由已知f(x)=x值域?yàn)?,+∵x>0，∴fx=x+1f(x)=1x+1因?yàn)槎x域?yàn)閤∈?1,+∞，f(x)=1?1x(x>1)，1x∈故選：C.【變式5-2】已知冪函數(shù)fx①fx在0,+②對?x∈R，都有f求同時滿足①②的冪函數(shù)fx的解析式，并求出x∈1,4時，【解題思路】利用冪函數(shù)的性質(zhì)及題設(shè)條件可確定fx【解答過程】因?yàn)閒x在0,+∞上為增函數(shù)，所以?m又?2<m<2,m∈Z，所以，m=?1或m=0又因?yàn)閒?x=fx，所以f當(dāng)m=?1時，?m2?2m+3=4滿足題意；當(dāng)m=0所以fx又因?yàn)閒x=x4在1,4上遞增，所以故x∈1,4時，fx的值域是題型06冪函數(shù)圖象的判斷及應(yīng)用【例6】如圖的曲線是冪函數(shù)y=xn在第一象限內(nèi)的圖象.已知n分別取?2,?12,

A．2,12,?12,?2 B．2,?2,?【解題思路】由冪函數(shù)的單調(diào)性可判斷選項(xiàng).【解答過程】由冪函數(shù)的單調(diào)性可知曲線C1、C2、故選：A.【變式6-1】已知函數(shù)fx的圖象如圖所示，則fx的解析式可能是（A．y=x12 B．y=x?1【解題思路】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.【解答過程】對于A：函數(shù)y=x12對于B：函數(shù)y=x?1對于C：函數(shù)y=x3的定義域?yàn)镽，又但是y=x3在對于D：y=x13=3且y=x13故選：D.【變式6-2】如圖，已知冪函數(shù)y=xa,y=xbA．c<b<a B．a(chǎn)<c<bC．c<a<b D．a(chǎn)<b<c【解題思路】由冪函數(shù)在0,+∞【解答過程】由題意結(jié)合圖象可知a<0<c<1<b.故選：B.題型07由冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)求參數(shù)【例7】冪函數(shù)y=xm2?2m?3m∈Z的圖象關(guān)于y軸對稱，且在A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】首先根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性，確定m得到取值，再回代函數(shù)確定函數(shù)的奇偶性，即可求解.【解答過程】因?yàn)閮绾瘮?shù)y=xm2?2m?3，所以m2?2m?3<0，解得：因?yàn)閙∈Z，得m=0,1,2當(dāng)m=0時，函數(shù)y=x?3是奇函數(shù)，不關(guān)于當(dāng)m=1時，函數(shù)y=x?4是偶函數(shù)，關(guān)于當(dāng)m=2時，函數(shù)y=x?3是奇函數(shù)，不關(guān)于所以m=1.故選：A.【變式7-1】“m=?1或m=4”是“冪函數(shù)fx=m2?3m?3A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)分析判斷【解答過程】因?yàn)閒x=m所以m2?3m?3=1m因?yàn)楫?dāng)m=?1或m=4時，m不一定等于?1，而當(dāng)m=?1時，m=?1或m=4成立，所以“m=?1或m=4”是“冪函數(shù)fx=m故選：B.【變式7-2】已知冪函數(shù)f(x)=m2?2m?2xm?1(m∈R)是偶函數(shù)，且f(x)在A．?2 B．?1 C．0 D．3【解題思路】利用冪函數(shù)的定義與性質(zhì)即可得解.【解答過程】因?yàn)閒(x)=(m所以m2?2m?2=1，解得m=3或又f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù)，則m?1<0，即所以m=?1，此時f(x)=x故選：B.題型08比較冪值的大小【例8】已知a=243A．a(chǎn)<b<c B．c<b<a C．b<c<a D．c<a<b【解題思路】利用冪函數(shù)的單調(diào)性判定即可．【解答過程】由y=x則可知c=3由y=x又b15=所以b<c<a．故選：C．【變式8-1】已知冪函數(shù)fx=x12A．fa2<fC．fa2<f【解題思路】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及1a【解答過程】因?yàn)?2>0，所以fx又因?yàn)?<a<b<1，所以1a所以f1故選：C.【變式8-2】若a=1323，b=1523，c=4A．a(chǎn)<b<c B．c<a<b C．b<c<a D．b<a<c【解題思路】利用冪函數(shù)y=x23【解答過程】因?yàn)閍=1323，又y=x23所以1523故選：D.題型09利用冪函數(shù)的性質(zhì)解不等式【例9】若冪函數(shù)fx=xα圖象過點(diǎn)12,1A．?∞,2 B．2,+∞ C．?2,2【解題思路】由已知條件求出α的知，分析函數(shù)fx在R上的單調(diào)性，由fa+2<f【解答過程】由已知條件可得f12=12所以，函數(shù)fx在R由fa+2<f2a可得a+2<2a故選：B.【變式9-1】已知冪函數(shù)f(x)=a2?2a?2xa(a∈RA．(?∞,?5)∪(1,+∞) B．(?∞,?1)∪(5,+【解題思路】根據(jù)冪函數(shù)的定義及性質(zhì)求出a的值，然后判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性即可求解不等式的解集.【解答過程】解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=a2?2a?2xa(a∈R)為冪函數(shù)，所以又冪函數(shù)f(x)=a2?2a?2所以a=3，此時f(x)=x因?yàn)閒(x+5)<fx2?3x，所以x+5<x2所以不等式f(x+5)<fx2?3x故選：B.【變式9-2】已知冪函數(shù)y=fx的圖像經(jīng)過點(diǎn)4,(1)求此冪函數(shù)的表達(dá)式和定義域；(2)若fa+1≤f4?2a【解題思路】（1）根據(jù)冪函數(shù)定義借助待定系數(shù)法計算即可得其解析式，計算即可得其定義域；（2）結(jié)合函數(shù)單調(diào)性與定義域要求計算即可得.【解答過程】（1）設(shè)fx=xm，則有故fx=x?1（2）由fx=x?1故有a+1>04?2a>0a+1≥4?2a，即a>?1a<2分層分層訓(xùn)練【基礎(chǔ)過關(guān)】1．下列函數(shù)既是冪函數(shù)又是奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用冪函數(shù)及函數(shù)的奇偶性的定義，結(jié)合各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】對于A，由冪函數(shù)的定義知是冪函數(shù)，由題意可知的定義域?yàn)?，所以是奇函數(shù)，符合題意；故A正確；對于B，由冪函數(shù)的定義知是冪函數(shù)，由題意可知的定義域?yàn)?，所以是偶函數(shù)，不符合題意；故B錯誤；對于C，由冪函數(shù)的定義知不是冪函數(shù)，不符合題意；故C錯誤；對于D，由冪函數(shù)的定義知不是冪函數(shù)，不符合題意；故D錯誤；故選：A.2．若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A．16 B． C．64 D．【答案】D【分析】根據(jù)冪函數(shù)圖象所過點(diǎn)的坐標(biāo)，求出解析式，再求函數(shù)值即可.【詳解】設(shè)，則，得，所以.故選：D.3．已知函數(shù)，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】利用分段函數(shù)的概念計算即可.【詳解】由題意知.故選：D4．下列結(jié)論正確的是（

）A．冪函數(shù)的圖象一定過原點(diǎn)B．時，冪函數(shù)是增函數(shù)C．冪函數(shù)的圖象會出現(xiàn)在第四象限D(zhuǎn)．既是二次函數(shù)，又是冪函數(shù)【答案】B【分析】利用冪函數(shù)的簡單性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：冪函數(shù)圖象不一定過原點(diǎn)，例如，函數(shù)的圖象不經(jīng)過原點(diǎn)，故A不正確；當(dāng)時，冪函數(shù)，，在定義域內(nèi)均為增函數(shù)，故B正確；由函數(shù)的定義及冪函數(shù)在第一象限均有圖象可知，冪函數(shù)的圖象不會出現(xiàn)在第四象限，故C不正確；函數(shù)是二次函數(shù)，但是不是冪函數(shù)，冪函數(shù)得形如，故D不正確.故選：B.5．下列關(guān)于冪函數(shù)的描述中，正確的是（

）A．冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)和；B．冪函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三象限；C．若冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則它的圖象也經(jīng)過點(diǎn).D．當(dāng)指數(shù)取1，3，時，冪函數(shù)是其定義域上的嚴(yán)格增函數(shù)；【答案】D【分析】利用冪函數(shù)的性質(zhì)判斷每個選項(xiàng)即可.【詳解】選項(xiàng)A，當(dāng)時，冪函數(shù)不過原點(diǎn)，故A錯誤；選項(xiàng)B，當(dāng)時，冪函數(shù)過第三象限，故B錯誤；選項(xiàng)C，若冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則，所以冪函數(shù)為，當(dāng)時，此時，故C錯誤.選項(xiàng)D，當(dāng)，冪函數(shù)為，在定義域單調(diào)遞增，當(dāng)，冪函數(shù)為，在定義域單調(diào)遞增，當(dāng)，冪函數(shù)為，在定義域單調(diào)遞增，故D正確；故選：D6．若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則下列判斷正確的是（

）A．為偶函數(shù) B．的值域?yàn)?,1C．方程的實(shí)根為 D．在0,+∞上為增函數(shù)【答案】A【分析】先代點(diǎn)求出冪函數(shù)的解析式，然后判斷冪函數(shù)的性質(zhì)即可.【詳解】設(shè)，代入點(diǎn)可得，所以，所以，因?yàn)?，所以，即函?shù)的定義域?yàn)?，對于A：因?yàn)榈亩x域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱，且，所以為偶函數(shù)，故A正確；對于B：因?yàn)?，所以，所以，所以的值域?yàn)椋蔅錯誤；對于B：令，所以，解得，所以方程的實(shí)根為，故C錯誤；對于D：因?yàn)椋栽谏蠟闇p函數(shù)，故D錯誤.故選：A.7．若冪函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】D【分析】利用冪函數(shù)概念可知系數(shù)為1，再檢驗(yàn)是否為奇函數(shù)即可.【詳解】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得或,當(dāng)時，的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，符合題意；當(dāng)時，的圖象關(guān)于軸對稱，不符合題意.故選：D.8．已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，下列說法正確的是（

）A． B．的定義域是C．在上為減函數(shù) D．為奇函數(shù)【答案】C【分析】由冪函數(shù)圖象上的點(diǎn)，求出解析式，利用解析式分析函數(shù)性質(zhì).【詳解】設(shè)冪函數(shù)，由，解得，由，A選項(xiàng)錯誤；的定義域是，B選項(xiàng)錯誤；在上為減函數(shù)，C選項(xiàng)正確；由定義域可知，函數(shù)為非奇非偶，D選項(xiàng)錯誤.故選：C9．若冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，根據(jù)冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)求出的值，即可求出的定義域，再根據(jù)抽象函數(shù)的定義域計算規(guī)則得到，解得即可.【詳解】設(shè)，依題意可得，解得，所以，所以的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，且，對于函?shù)，則，解得，即函數(shù)的定義域是.故選：B10．已知冪函數(shù)，滿足，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)冪函數(shù)的概念求得，結(jié)合冪函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.【詳解】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，因此，所以是定義在上的增函數(shù)，又因?yàn)?，所以，解得，故選：A.11．（多選）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A．的圖象經(jīng)過點(diǎn) B．在內(nèi)的值域?yàn)镃．在定義域上單調(diào)遞減 D．的圖象關(guān)于軸對稱【答案】AB【分析】代入已知點(diǎn)坐標(biāo)求得函數(shù)解析式，然后根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)判斷．【詳解】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，可得，則，對A，當(dāng)，，所以的圖象經(jīng)過點(diǎn)，A正確；根據(jù)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，在定義域上不具有單調(diào)性，函數(shù)在內(nèi)的值域?yàn)椋蔆D錯誤，B正確，故選：AB．12．（多選）某小組在研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)：函數(shù)不全為0的圖象可由反比例函數(shù)的圖象通過平移得到．已知函數(shù)，則（

）A．是增函數(shù) B．的值域?yàn)镃．沒有對稱軸 D．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱【答案】BD【分析】通過常數(shù)分離法找到可平移的反比例函數(shù)，結(jié)合反比例函數(shù)知識可得．【詳解】，所以的圖象可由反比例函數(shù)向左平移1個單位，再向上平移2個單位得到，的定義域是，它在和上是增函數(shù)，值域是，直線和都是它的對稱軸，關(guān)于原點(diǎn)對稱，經(jīng)過平移可知，在和上是增函數(shù)，在定義域內(nèi)不是增函數(shù)，值域是，直線和都是它的對稱軸，的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故選：BD．13．（多選）已知，則函數(shù)的大致圖象可能為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】ABC【分析】利用冪函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，且，所以圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故B正確；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，且，所以圖象關(guān)于軸對稱，故A正確；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，故D錯誤；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，，且，所以圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，與C不符合，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，，且，所以圖象關(guān)于軸對稱，故C正確.故選：ABC14．已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)(1)求函數(shù)的解析式;(2)用定義證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；(3)求不等式的解集.【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）設(shè)出的解析式，根據(jù)圖象所過點(diǎn)求得的解析式.（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義來證得結(jié)論成立.（3）根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性化簡所求不等式，進(jìn)而求得不等式的解集.【詳解】（1）設(shè)，將代入上式得.（2）任取，由于，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.（3）的定義域?yàn)椋允瞧婧瘮?shù)，由（2）可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減.由得，，所以不等式的解集為.15．已知冪函數(shù)在單調(diào)增，.(1)求函數(shù)的解析式；(2)如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求的取值范圍；(3)求關(guān)于的不等式解集(其中).【答案】(1)(2)(3)答案見解析【分析】（1）依題意可得，解得即可；（2）由（1）知，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得；（3）因式分解可得，再分、、三種情況討論，分別求出不等式的解集.【詳解】（1）由題意可得，或，又因?yàn)樵趩握{(diào)增，，，所以.（2）由（1）知，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，，，即的取值范圍為.（3）不等式轉(zhuǎn)化為，則.當(dāng)時，解得或，即不等式的解集為或，當(dāng)時，解得或，即不等式的解集為或，當(dāng)時，解得，即不等式的解集為.綜上可得當(dāng)時，不等式的解集為或，當(dāng)時，不等式的解集為或，當(dāng)時，不等式的解集為.

【能力提升】1．下列關(guān)于冪函數(shù)的描述中，正確的是（

）A．冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)和B．冪函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三象限C．當(dāng)指數(shù)取1，3，時，冪函數(shù)是其定義域上的增函數(shù)D．冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則【答案】C【分析】根據(jù)冪函數(shù)的圖象性質(zhì)分別判斷每個選項(xiàng)即可.【詳解】對于A，當(dāng)時，冪函數(shù)在處無定義，故圖象不會經(jīng)過點(diǎn)，選項(xiàng)A錯誤；對于B，當(dāng)時，冪函數(shù)都有意義，且，故冪函數(shù)的圖象不經(jīng)過第四象限，選項(xiàng)B錯誤；對于C，當(dāng)時，，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，定義域?yàn)?，且在上單調(diào)遞增，選項(xiàng)C正確；對于D，冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，即，所以，即，所以，選項(xiàng)D錯誤；故選：C.2．“或”是“冪函數(shù)在上是減函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)可求參數(shù)的值，從而可判斷兩者之間的關(guān)系【詳解】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)且在上是減函數(shù)，故，故，故“或”是“冪函數(shù)在上是減函數(shù)”的必要不充分條件，故選：B.3．“或”是“冪函數(shù)在上是減函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】求出冪函數(shù)為上減函數(shù)充要條件，再由充分條件，必要條件概念得解.【詳解】由是冪函數(shù)可知，解得或，由冪函數(shù)在上是減函數(shù)可知，所以滿足不等式，不滿足不等式，綜上知，冪函數(shù)在上是減函數(shù)的充要條件為，因?yàn)榛蚴堑谋匾怀浞謼l件，所以“或”是“冪函數(shù)在上是減函數(shù)”的必要不充分條件，故選：C4．已知冪函數(shù)是上的偶函數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間[2，4]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由冪函數(shù)列出系數(shù)的等式，解方程得的兩個值，由偶函數(shù)，確定的值得到函數(shù)，代入得到解析式，由對稱軸得出單調(diào)區(qū)間，列出不等式，求出的范圍.【詳解】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，所以或，又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以時，是奇函數(shù)，舍去；時，是偶函數(shù)，所以，所以關(guān)于對稱，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，所以.故選：A.5．下列命題中正確的是（

）A．當(dāng)時，函數(shù)的圖像是一條直線；B．冪函數(shù)的圖像都經(jīng)過和點(diǎn)；C．冪函數(shù)的定義域?yàn)?；D．冪函數(shù)的圖像不可能出現(xiàn)在第四象限．【答案】D【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)依次分析各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：對于A，時，函數(shù)的圖像是一條直線除去點(diǎn)，故錯誤；對于B，冪函數(shù)的圖像都經(jīng)過點(diǎn)，當(dāng)指數(shù)大于時，都經(jīng)過點(diǎn)，當(dāng)指數(shù)小于時，不經(jīng)過點(diǎn)，故B錯誤；對于C，函數(shù)，故定義域?yàn)椋叔e誤；對于D，由冪函數(shù)的性質(zhì)，冪函數(shù)的圖像一定過第一象限，不可能出現(xiàn)在第四象限，故正確.故選：D.6．已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】B【分析】依據(jù)題意設(shè)出解析式，求出解析式后求解具體函數(shù)定義域即可.【詳解】是冪函數(shù)，設(shè)，將代入解析式，得，解得，故，則，故，解得故選：B7．下列函數(shù)中，值域?yàn)榈氖牵?/p>

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域、冪函數(shù)的性質(zhì)、以及基本不等式可直接求得選項(xiàng)中各函數(shù)的值域進(jìn)行判斷即可.【詳解】由已知值域?yàn)椋蔄錯誤；時，等號成立，所以的值域是，B錯誤；因?yàn)槎x域?yàn)?，，函?shù)值域?yàn)?，故C正確；，，，所以，故D錯誤.故選：C.8．有四個冪函數(shù)：；；；.某同學(xué)研究了其中的一個函數(shù)，他給出這個函數(shù)的三個性質(zhì)：①它是偶函數(shù)；②它的值域是且；③它在上單調(diào)遞增．若他給出的三個性質(zhì)中有兩個正確、一個錯誤，則他研究的函數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合給定條件利用冪函數(shù)性質(zhì)判斷即可.【詳解】對于，它是定義在上的奇函數(shù)，值域是且，且在上單調(diào)遞減，不滿足題意.對于，它是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，值域是，且在上單調(diào)遞增，不滿足題意.對于，它是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，值域是，且在上單調(diào)遞增，不滿足題意.對于，它是定義在上的偶函數(shù)，值域是，且在上單調(diào)遞增，滿足題意．故選：D.9．已知函數(shù)既是二次函數(shù)又是冪函數(shù)，若函數(shù)，則（

）A．2024 B．2025 C．4048 D．4049【答案】D【分析】根據(jù)已知有，進(jìn)而可得、，利用對稱性求目標(biāo)式的值.【詳解】由題可知：，則，所以，且，則.故選：D10．如圖是冪函數(shù)的部分圖像，已知分別取這四個值，則與曲線相應(yīng)的依次為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)之間的關(guān)系進(jìn)行判斷即可.【詳解】當(dāng)時，冪函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，當(dāng)時，冪函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞減，并且在直線的右側(cè)，圖象自下而上所對應(yīng)的函數(shù)的冪指數(shù)依次增大，所以，所以.故選：A11．（多選）下列判斷正確的是（

）A．B．函數(shù)的最小值為C．冪函數(shù)的圖象都通過點(diǎn)D．若，則“”是“”的充要條件【答案】AC【分析】由全稱量詞命題真假判斷A；求出函數(shù)最小值判斷B；利用冪函數(shù)圖象性質(zhì)判斷C；利用充要條件的意義判斷D作答.【詳解】對于A，，A正確；對于B，令，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當(dāng)，即時，，B錯誤；對