高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題05 立體幾何中的距離問題(解析版)

第三篇立體幾何專題05立體幾何中的距離問題常見考點(diǎn)考點(diǎn)一點(diǎn)面、線面、面面距離典例1．如圖，四棱錐中，底面是平行四邊形，，，，，平面平面，E，F(xiàn)分別是PD，AB中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若CE與平面PCF成角為30°，求點(diǎn)B到平面CEF的距離d.【答案】(1)證明過程見解析(2)【解析】【分析】（1）作出輔助線，構(gòu)造平行四邊形，證明線線平行，進(jìn)而證明線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量進(jìn)行求解.(1)取PC中點(diǎn)G，連接EG，BG，因?yàn)镋是PD中點(diǎn)，所以EG是三角形PCD的中位線，所以EG∥CD且EG=CD，又因?yàn)镕是AB中點(diǎn)，四邊形ABCD是平行四邊形，所以BF∥CD，BF=AB，故EG∥BF，EG=BF，所以四邊形BFEG是平行四邊形，所以EF∥BG，因?yàn)镋F平面PBC，BG平面PBC，所以平面.(2)因?yàn)?，F(xiàn)是AB中點(diǎn)，所以PF⊥AB，因?yàn)槠矫嫫矫?，交線為AB，所以PF⊥平面ABCD，因?yàn)?，所以以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)C所在直線為x軸，過點(diǎn)F平行于BC的直線為y軸，F(xiàn)P所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，則，，，，設(shè)（），則，，其中平面PCF的法向量設(shè)為，則，解得：，，設(shè)平面CEF的法向量為，則，解得：，設(shè)，則，所以，則變式1-1．如圖，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，，側(cè)棱，D、E分別是和的中點(diǎn).(1)求證：平面平面；(2)求點(diǎn)到平面ADE的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量證明，然后可證；（2）求出法向量，然后根據(jù)點(diǎn)到平面的距離向量公式可得.(1)易知、、兩兩垂直，于是如圖建立空間直角坐標(biāo)系則、、、、、所以、、、、因?yàn)?，所以又因?yàn)槠矫?，平面所以平面又平面所以平面平?2)設(shè)平面的法向量為則，取得則點(diǎn)到平面ADE的距離變式1-2．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面平面，，，在棱上取點(diǎn)，使得平面.(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)求直線到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理證得結(jié)論成立.（2）判斷出點(diǎn)的位置，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得平面與平面夾角的余弦值.（3）利用向量法求得直線到平面的距離.(1)由于平面平面，且交線為，平面，，所以平面.(2)設(shè)，連接，由于平面，平面，平面平面，所以，由于是的中點(diǎn)，所以是的中點(diǎn).由于平面，所以，故兩兩垂直，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，，設(shè)平面的法向量為，所以，故可設(shè)，平面的法向量為，平面與平面夾角為，則.(3)由于平面，則到平面的距離，即到平面的距離.,到平面的距離為.即直線到平面的距離為.變式1-3．如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)在棱上，，，，分別為，，的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）求平面與平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證得平面.（2）利用向量法證得平面平面.（3）利用向量法求得平面與平面的距離.【詳解】（1）設(shè)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，，所以，即，所以平面.（2），，即，所以平面.所以平面平面.（3）由（2）可知平面平面，平面，平面.，所以平面與平面的距離為.考點(diǎn)二點(diǎn)線、線線距離典例2．如圖，在棱長為1的正方體中，E為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段的中點(diǎn)．（1）求點(diǎn)到直線的距離；（2）求直線到直線的距離；（3）求點(diǎn)到平面的距離；（4）求直線到平面的距離．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】【分析】（1）建立坐標(biāo)系，求出向量在單位向量上的投影，結(jié)合勾股定理可得點(diǎn)到直線的距離；（2）先證明再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離求解；（3）求解平面的法向量，利用點(diǎn)到平面的距離公式進(jìn)行求解；（4）把直線到平面的距離轉(zhuǎn)化為到平面的距離，利用法向量進(jìn)行求解.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則（1）因?yàn)?，所?所以點(diǎn)到直線的距離為.（2）因?yàn)樗裕此渣c(diǎn)到直線的距離即為直線到直線的距離.所以直線到直線的距離為（3）設(shè)平面的一個法向量為，.由令，則，即.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，即點(diǎn)到平面的距離為.（4）因?yàn)樗云矫?，所以直線到平面的距離等于到平面的距離.，由（3）得平面的一個法向量為，所以到平面的距離為，所以直線到平面的距離為.變式2-1．在如圖所示的多面體中，且.，且，且，平面ABCD，.(1)求點(diǎn)F到直線EC的距離；(2)求平面BED與平面EDC夾角的余弦值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，代入即可；（2）求出平面與平面的法向量，再利用向量的夾角公式即可得解.(1)因?yàn)槠矫妫矫?，平面，所以，且，因?yàn)椋鐖D所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，所以，，所以求點(diǎn)F到直線EC的距離為.(2)，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，有，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，有，設(shè)平面和平面的夾角為，，所以平面和平面的夾角的余弦值為．變式2-2．如圖，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝2，點(diǎn)E為CC1中點(diǎn)，點(diǎn)F為BD1中點(diǎn)．（1）求異面直線BD1與CC1的距離；（2）求直線BD1與平面BDE所成角的正弦值；（3）求點(diǎn)F到平面BDE的距離．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，由?0，?0，知EF為BD1與CC1的公垂線，再計算||，即可；（2）求得平面BDE的法向量，設(shè)直線BD1與平面BDE所成角為θ，由sinθ＝|cos，|，即可得解；（3）點(diǎn)F到平面BDE的距離為，代入相關(guān)數(shù)據(jù)，進(jìn)行運(yùn)算即可得解．【詳解】（1）以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B（1，1，0），D1（0，0，2），C（0，1，0），C1（0，1，2），E（0，1，1），F(xiàn)（，，1），∴（﹣1，﹣1，2），（0，0，2），（，，0），∴?0，?0，∴BD1⊥EF，CC1⊥EF，即EF為BD1與CC1的公垂線，而||，∴異面直線BD1與CC1的距離為．（2）由（1）知，（1，1，0），（0，1，1），（﹣1，﹣1，2），設(shè)平面BDE的法向量為（x，y，z），則，即，令y＝1，則x＝﹣1，z＝﹣1，∴（﹣1，1，﹣1），設(shè)直線BD1與平面BDE所成角為θ，則sinθ＝|cos，|＝||＝||，故直線BD1與平面BDE所成角的正弦值為．（3）由（1）知，（，，1），由（2）知，平面BDE的法向量為（﹣1，1，﹣1），∴點(diǎn)F到平面BDE的距離為||．變式2-3．如圖，三棱柱中，側(cè)面底面，是邊長為2的正三角形，已知點(diǎn)滿足.（1）求二面角的大??；（2）求異面直線與的距離；（3）直線上是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，請確定點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）（3）存在點(diǎn)，其坐標(biāo)為，即恰好為點(diǎn)【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量和平面的法向量，計算出二面角的余弦值，由此求得其大小.（2）求得異面直線與的公垂線的方向向量，并由此計算出異面直線與的距離.（3）根據(jù)求得點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)、與平面的法向量垂直列方程組，解方程組求得點(diǎn)的坐標(biāo)，由此判斷出存在點(diǎn)符合題意.【詳解】（1）側(cè)面底面，又均為正三角形，取得中點(diǎn)，連接，，則底面，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸、軸、軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)平面的法向量為取，可得又平面的一個法向量為由圖知二面角為銳角，故二面角的大小為.（2）異面直線與的公垂線的方向向量，則易得，異面直線與的距離（3），而又，點(diǎn)的坐標(biāo)為假設(shè)存在點(diǎn)符合題意，則點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為平面為平面的一個法向量，由，得.又平面，故存在點(diǎn)，使平面，其坐標(biāo)為，即恰好為點(diǎn).【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用空間向量法計算二面角、異面直線公垂線段的長，考查利用空間向量法研究線面平行的條件，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查空間想象能力，屬于中檔題.鞏固練習(xí)練習(xí)一點(diǎn)面、線面、面面距離1．如圖，直三棱柱中，，，，且.(1)求平面BDC與平面所成角的余弦值；(2)求點(diǎn)到平面BDC距離.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）以C為原點(diǎn).的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求得平面BDC的法向量與平面的法向量，利用數(shù)量積公式計算即可得出結(jié)果.（2）利用向量公式計算即可得出結(jié)果.(1)依題意兩兩互相垂直，以C為原點(diǎn).的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)平面BDC的一個法向量為，則令，則得，此時.設(shè)平面的一個法向量為則令則得此時因?yàn)?所以平面BDC與平面所成角的余弦值為.(2)因?yàn)?點(diǎn)到平面BDC距離為.2．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形且，側(cè)面底面ABCD，且側(cè)面PAD是正三角形，E?F分別是AD，PB的中點(diǎn).(1)求證：平面PCE；(2)求直線CF與平面PCE所成角的正弦值；(3)求點(diǎn)F到平面PCE的距離.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【解析】【分析】（1）作出輔助線，證明線線平行，進(jìn)而證明出線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解線面角；（3）在第二問的基礎(chǔ)上求解點(diǎn)面距離.(1)取PC的中點(diǎn)M，連接MF，ME，因?yàn)镕是PB的中點(diǎn)，所以MF是三角形PBC的中點(diǎn)，所以MF∥BC，且，因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，E是AD的中點(diǎn)，所以AE∥BC，，所以∥，且MF=AE，所以四邊形AFME是平行四邊形，故AF∥ME，因?yàn)槠矫鍼CE，平面PCE，所以平面PCE(2)因?yàn)閭?cè)面PAD是正三角形，E是AD的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)閭?cè)面底面ABCD，交線為，所以底面，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，取BC中點(diǎn)H，EH所在直線為y軸，EP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，解得：，令得：，所以，，設(shè)直線CF與平面PCE所成角為，故；所以直線CF與平面PCE所成角的正弦值為.(3)點(diǎn)F到平面PCE的距離.3．如圖在直三棱柱中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，是中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)，是與的交點(diǎn).(1)求證：；(2)求證：平面；(3)求直線與平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【解析】【分析】（1）法一：通過建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量數(shù)量積證明，法二：通過線面垂直證明，法三:根據(jù)三垂線證明；（2）法一：通過建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量數(shù)量積證明，法二：通過面面平行證明線面平行；（3）法一：通過建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量方法求解，法二：運(yùn)用等體積法求解.(1)證明：法一：在直三棱柱中，因?yàn)?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向分別為軸正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?，所以，所以所以，所?法二：連接，在直三棱柱中，有面，面，所以，又，則，因?yàn)椋悦嬉驗(yàn)槊?，所以因?yàn)?，所以四邊形為正方形，所以因?yàn)?，所以面因?yàn)槊妫?法三：用三垂線定理證明：連接，在直三棱柱中，有面因?yàn)槊?，所以，又，則，因?yàn)?，所以面所以在平面?nèi)的射影為，因?yàn)樗倪呅螢檎叫危?，因此根?jù)三垂線定理可知(2)證明：法一：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)，所以?，依題意可知為重心，則，可得所以，，設(shè)為平面的法向量，則即取得則平面的一個法向量為.所以，則，因?yàn)槠矫?，所以平?法二：連接.在正方形中，為的中點(diǎn)，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以又為中點(diǎn)，所以四邊形是矩形，所以且因?yàn)榍遥?，所以四邊形為平行四邊形，所?因?yàn)椋矫嫫矫嫫矫嫫矫?，所以平面平面，平面，所以平?3)法一：由（2）知平面的一個法向量，且平面，所以到平面的距離與到平面的距離相等，，所以，所以點(diǎn)到平面的距離所以到平面的距離為法二：因?yàn)榉謩e為和中點(diǎn)，所以為的重心，所以，所以到平面的距離是到平面距離的.取中點(diǎn)則，又平面平面，所以平面，所以到平面的距離與到平面的距離相等.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由得，又，所以，所以到平面的距離是，所以到平面的距離為.4．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，M，N分別是BB1，B1C1的中點(diǎn)．(1)求直線MN到平面ACD1的距離；(2)若G是A1B1的中點(diǎn)，求平面MNG與平面ACD1的距離．【答案】(1)(2).【解析】【分析】（1）證明MN∥平面ACD1，轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)M到平面ACD1的距離，利用向量法求解即可；（2）證明平面MNG∥平面ACD1，轉(zhuǎn)化為求直線MN到平面ACD1的距離，由（1）得解.(1)以分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，故.因?yàn)橹本€MN與AD1不重合，所以MN∥AD1.又因?yàn)镸N?平面ACD1，AD1?平面ACD1，所以MN∥平面ACD1.故直線MN到平面ACD1的距離等于點(diǎn)M到平面ACD1的距離．設(shè)平面ACD1的一個法向量為，所以，令，則，所以，所以點(diǎn)M到平面ACD1的距離為，即直線MN到平面ACD1的距離為.(2)連接A1C1，因?yàn)镚，N分別為A1B1，B1C1的中點(diǎn)，所以GN∥A1C1.又因?yàn)锳1C1∥AC，所以GN∥AC.因?yàn)镚N?平面ACD1，AC?平面ACD1，所以GN∥平面ACD1.同理可得MN∥平面ACD1.因?yàn)镸N∩GN＝N，MN,GN?平面MNG，所以平面MNG∥平面ACD1，所以平面MNG與平面ACD1的距離即為直線MN到平面ACD1的距離，由(1)知其為.練習(xí)二點(diǎn)線、線線距離5．已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，，，分別是棱的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到直線的距離.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】【分析】(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量證明和即可；(2)利用向量投影即可求解.(1)∵三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，，∴以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，∵，分別是棱的中點(diǎn)，∴，,∵，，∴，，∵,平面,平面，∴平面.(2)∵，∴，,∴，∴，故點(diǎn)到直線的距離為.6．已知四棱錐中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，，，點(diǎn)M在PD上，且.(1)求的值；(2)求點(diǎn)B到直線CM的距離.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，通過坐標(biāo)運(yùn)算得到結(jié)果；（2）在棱上取點(diǎn)，使得，則長即為所求.(1)以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：則，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，2，，，0，，設(shè)，，，則，，，，即，，∴(2)在棱上取點(diǎn)，使得，設(shè)，，，則，又，∴故，因?yàn)?，則，解得，，∴∴.∴點(diǎn)B到直線CM的距離.7．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，底面ABCD，E是AB上一點(diǎn)，.已知，，.（1）求直線AD與平面PBC間的距離；（2）求異面直線EC與PB間的距離；（