新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)對(duì)點(diǎn)題型第27講高考題中的填空題解法（學(xué)生版）

第27講高考題中的填空題解法雙空題—eq\a\vs4\al(擴(kuò)考查寬度，增得分“容易度”)新高考在填空題中引入一題雙空題，其考查初衷一是增加試題考查的覆蓋面，從一定程度上防猜題押題；二是兩個(gè)空的總分值仍是5分，考生答對(duì)其中一空得部分分?jǐn)?shù)的概率明顯提高，這有利于提高一般考生的得分，也有利于區(qū)分選拔高水平考生．一、雙空填空題常見的兩種類型類型(一)并列型并列型雙空填空題，即各空所填的內(nèi)容是題干的并列結(jié)論，相互之間沒有必然的邏輯關(guān)系．1．(2022·新高考Ⅱ卷)曲線y＝ln|x|過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為________，________.2．(2019·北京高考)設(shè)函數(shù)f(x)＝ex＋ae－x(a為常數(shù))．若f(x)為奇函數(shù)，則a＝________；若f(x)是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是________．3．四面體ABCD的每個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，AB，AC，AD兩兩垂直，且AB＝1，AC＝2，AD＝3，則四面體ABCD的體積為________，球O的表面積為________．[題型技法]此種類型雙空題的特點(diǎn)是：兩空的設(shè)問相當(dāng)于一個(gè)題目背景下的兩道小填空題，兩問之間沒什么具體聯(lián)系，各自成題，是對(duì)于多個(gè)知識(shí)點(diǎn)或某知識(shí)點(diǎn)的多個(gè)角度的考查；兩問之間互不干擾，不會(huì)其中一問，照樣可以答出另一問．所采取的解題策略是缺“問”解答或跳“問”解答，考場上切勿心浮氣躁、全盤放棄．類型(二)相關(guān)型相關(guān)型雙空填空題，即兩空所填內(nèi)容之間存在邏輯關(guān)系，一空填錯(cuò)會(huì)影響另一空的對(duì)錯(cuò)．1．(2022·北京高考)若函數(shù)f(x)＝Asinx－eq\r(3)cosx的一個(gè)零點(diǎn)為eq\f(π,3)，則A＝________；feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)))＝________.2．已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，過F且被拋物線截得的弦長為2的直線有且僅有兩條，寫出一個(gè)滿足條件的拋物線的方程________，此時(shí)該弦中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為________．3．(2022·浙江高考)若3sinα－sinβ＝eq\r(10)，α＋β＝eq\f(π,2)，則sinα＝________，cos2β＝________.[題型技法]此種類型雙空題的特點(diǎn)是：兩空之間有著一定聯(lián)系，一般是第二空需要借助第一空的結(jié)果再進(jìn)行作答，第一空往往是整個(gè)題的切入點(diǎn)也是難點(diǎn)，只要第一空會(huì)做并且做對(duì)，第二空便可順勢(shì)解答．二、解答填空題常用的四種方法方法(一)直接法直接從題目的條件出發(fā)，利用概念、定理、公式、法則等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)得出答案，然后按照要求將最后結(jié)果填入空位處．填空題的直接法更像做解答題，但由于填空題不需要過程，因而可以跳過一些步驟，大跨度前進(jìn)．為了節(jié)省時(shí)間還可手寫與心算相結(jié)合，力求快速，避免“小題大做”．[例1](1)(2021·新高考Ⅰ卷)函數(shù)f(x)＝|2x－1|－2lnx的最小值為________．(2)(2021·浙江高考)在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，M是BC的中點(diǎn)，AM＝2eq\r(3)，則AC＝________，cos∠MAC＝________.方法(二)特例法當(dāng)填空題暗示答案是一個(gè)“定值”或具“定性”特征時(shí)，我們可以取特殊數(shù)值、特殊圖形、特殊位置或特殊結(jié)構(gòu)來確定這個(gè)“定值”“定性”，以節(jié)省推理論證的過程．我們把這些解填空題的方法統(tǒng)稱為特例法．對(duì)于解答題，特例常常只是提供論證的方向，而對(duì)填空題來說，往往不需要過程，就成為答案了．當(dāng)題目的條件是從一般性的角度給出時(shí)，特例法尤為有效．[例2]設(shè)(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，則a4＝________；a1＋a3＋a5＝________.[技法展示]這是“計(jì)算型雙空填空題”，由二項(xiàng)式定理系數(shù)公式得a4＝Ceq\o\al(4,5)24＝80.第二個(gè)空可以分別計(jì)算a1＝10，a3＝80，a5＝32，相加得a1＋a3＋a5＝122.也可以令x＝±1(特例法)，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(35＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，,－15＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5，))兩式相減，得a1＋a3＋a5＝eq\f(1,2)(35＋1)＝122.可見，兩個(gè)空之間沒有必然的邏輯聯(lián)系，是并列關(guān)系．方法(三)圖解法由于填空題不用寫出論證過程，因而畫出輔助圖示進(jìn)行直觀分析便可填上最后答案．?dāng)?shù)學(xué)上的數(shù)軸、韋恩圖、函數(shù)的圖象、方程的曲線、三角函數(shù)、復(fù)數(shù)、向量等，本身就具有數(shù)形結(jié)合的特征．使用圖解法特別要用好坐標(biāo)系，要善于進(jìn)行幾何結(jié)構(gòu)的分析，還要學(xué)會(huì)構(gòu)造圖形．[例3](1)(2021·北京高考)已知f(x)＝|lgx|－kx－2，給出下列四個(gè)結(jié)論：①若k＝0，則f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)；②?k＜0，使得f(x)有一個(gè)零點(diǎn)；③?k＜0，使得f(x)有三個(gè)零點(diǎn)；④?k＞0，使得f(x)有三個(gè)零點(diǎn)．以上正確結(jié)論的序號(hào)是__________．(2)設(shè)直線l：y＝kx＋b(k＞0)，圓C1：x2＋y2＝1，C2：(x－4)2＋y2＝1，若直線l與C1，C2都相切，則k＝______；b＝________.[技法展示](1)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來分析．令f(x)＝|lgx|－kx－2＝0，可轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)y1＝|lgx|，y2＝kx＋2的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題．對(duì)于①，當(dāng)k＝0時(shí)，y1＝|lgx|，y2＝2，如圖1所示，兩圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，①正確；對(duì)于②，如圖2所示，存在k＜0，使得y1＝|lgx|與y2＝kx＋2相切，故②正確；對(duì)于③，如圖2所示，若k＜0，y1＝|lgx|與y2＝kx＋2的圖象最多有兩個(gè)交點(diǎn)，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，當(dāng)k＞0時(shí)，過點(diǎn)(0,2)存在函數(shù)g(x)＝lgx(x＞1)圖象的切線，此時(shí)共有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)直線斜率稍微小于相切的斜率時(shí)，就會(huì)有3個(gè)交點(diǎn)，如圖3所示，故④正確．(2)法一：直接法由直線l與兩圓都相切知，兩圓心(0,0)，(4,0)到直線l：y＝kx＋b的距離都等于1，由點(diǎn)到直線的距離公式，有eq\f(|b|,\r(1＋k2))＝eq\f(|4k＋b|,\r(1＋k2))＝1(k＞0)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|b|＝|4k＋b|，,|b|＝\r(1＋k2)，))k>0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2k＋b＝0，,b2＝1＋k2，))k>0.解得k＝eq\f(\r(3),3)，b＝－eq\f(2\r(3),3).兩個(gè)幾何參數(shù)k，b表面上是并列的，實(shí)際上存在內(nèi)在聯(lián)系，一個(gè)算錯(cuò)影響另一個(gè)的計(jì)算．法二：圖解法依題意可作圖如圖，由直線l與兩圓相切知，直線經(jīng)過兩圓連心線的中點(diǎn)A(2,0)，|OA|＝2.又單位圓的半徑|OB|＝1，故在Rt△ABO中，∠OAB＝30°，從而在Rt△AOC中，|OC|＝eq\f(|OA|,\r(3))＝eq\f(2\r(3),3)，tan∠DAx＝tan30°＝eq\f(\r(3),3).解得k＝eq\f(\r(3),3)，b＝－eq\f(2\r(3),3).[答案](1)①②④(2)eq\f(\r(3),3)－eq\f(2\r(3),3)方法(四)猜想法猜想是根據(jù)部分理由而得出結(jié)論的合情推理，一個(gè)完整的數(shù)學(xué)解題過程常常要經(jīng)歷“先猜后證”的兩個(gè)階段，猜想也是一種能力．解填空題除了要重點(diǎn)掌握好直接法、特例法、圖解法外，也可輔以猜想法．新高考出現(xiàn)了開放性填空題，意味著考生在掌握基礎(chǔ)知識(shí)的前提下，能先猜后證．[例4](1)(2021·新高考Ⅱ卷)寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)f(x)：__________________.①f(x1x2)＝f(x1)f(x2)；②當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f′(x)>0；③f′(x)是奇函數(shù)．(2)寫出一個(gè)滿足a1a2＝2a3的等比數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的通項(xiàng)公式an＝________.[題型技法]答案不唯一的填空題可以大致分為兩種：(1)舉例子；(2)求題目中參數(shù)滿足的關(guān)系式，并取其中一個(gè)特殊參數(shù)作為答案．對(duì)于第(1)種，要求學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)，聯(lián)想題目中的條件可以對(duì)應(yīng)自己學(xué)過的哪些內(nèi)容；對(duì)于第(2)種，需要把題目條件轉(zhuǎn)化得到關(guān)系式，取滿足條件的其中一個(gè)結(jié)果即可．針對(duì)訓(xùn)練一、填空題1．已知數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)SKIPIF1<0，則其前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0_________．2．SKIPIF1<0的展開式中的第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，那么正整數(shù)n的值是___________．3．一個(gè)總體含有100個(gè)個(gè)體，以簡單隨機(jī)抽樣方式從該總體中抽取一個(gè)容量為5的樣本，則指定的某個(gè)個(gè)體被抽到的概率為_________．二、雙空題4．已知A，B，C三點(diǎn)在球心為O，半徑為R的球面上，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，那么A，B兩點(diǎn)的球面距離為___________，球心到平面SKIPIF1<0的距離為___________.5．已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為________，SKIPIF1<0的值為_____．6．從0，1，2，3這四個(gè)數(shù)中選三個(gè)不同的數(shù)作為函數(shù)SKIPIF1<0的系數(shù)，可組成不同的一次函數(shù)共有____________個(gè)，不同的二次函數(shù)共有____________個(gè)．（用數(shù)字作答）7．橢圓SKIPIF1<0的離心率是____________，準(zhǔn)線方程是____________．8．已知n次式項(xiàng)式SKIPIF1<0．如果在一種算法中，計(jì)算SKIPIF1<0的值需要SKIPIF1<0次乘法，計(jì)算SKIPIF1<0的值共需要9次運(yùn)算（6次乘法，3次加法），那么計(jì)算SKIPIF1<0的值共需要______次運(yùn)算．下面給出一種減少運(yùn)算次數(shù)的算法：SKIPIF1<0．利用該算法，計(jì)算SKIPIF1<0的值共需要6次運(yùn)算．計(jì)算SKIPIF1<0的值共需要_______次運(yùn)算．9．已知函數(shù)SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的定義域是___________；（2）若SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________．10．將楊輝三角中的每一個(gè)數(shù)SKIPIF1<0都換成分?jǐn)?shù)SKIPIF1<0，就得到一個(gè)如下圖所示的分?jǐn)?shù)三角形，稱為萊布尼茨三角形，從萊布尼茨三角形可看出SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0_____________，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_____________．11．設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0及SKIPIF1<0軸所圍成圖形的面積稱為函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的面積，已知函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的面積為S