理論力學(xué)課件 第三章 分析力學(xué)2

理論力學(xué)ClassicalMechanics2024第三章分析力學(xué)最速降線：路徑選擇登上歷史舞臺(tái)3.1運(yùn)動(dòng)解釋：選擇作用量最小的路徑3.2動(dòng)力學(xué)方程：從拉格朗日函數(shù)出發(fā)3.3對(duì)稱操作：如何尋找系統(tǒng)的守恒量3.433.3動(dòng)力學(xué)方程：從拉格朗日函數(shù)出發(fā)3.3動(dòng)力學(xué)方程：從拉格朗日函數(shù)出發(fā)不考慮時(shí)間的直接影響，所以我們把拉格朗日函數(shù)里面的時(shí)間依賴給去掉注意，相鄰時(shí)刻之間的時(shí)間間隔dt，要非常短。作用量的形式把作用量給算出來(lái)，涉及時(shí)間的復(fù)雜的積分，怎么辦呢？首先把連續(xù)的時(shí)間，處理成離散的時(shí)刻，用整數(shù)n來(lái)標(biāo)記。13.3動(dòng)力學(xué)方程：從拉格朗日函數(shù)出發(fā)L對(duì)時(shí)間的積分就可以用求和替代:將時(shí)間離散化處理后，作用量里面的關(guān)鍵元素和計(jì)算就可以被離散的處理了。2

3.3動(dòng)力學(xué)方程：從拉格朗日函數(shù)出發(fā)總的作用量的離散化公式:對(duì)于質(zhì)點(diǎn)的位置x，我們需要找到一個(gè)可以代表整個(gè)小區(qū)間的位置點(diǎn)3

3.3動(dòng)力學(xué)方程：從拉格朗日函數(shù)出發(fā)哈密頓原理告訴我們，要通過(guò)調(diào)整物體的運(yùn)動(dòng)軌跡使得作用量S最小;現(xiàn)在軌跡被離散化成了一個(gè)一個(gè)的點(diǎn),所以調(diào)軌跡就簡(jiǎn)化成了調(diào)這些點(diǎn).第8個(gè)點(diǎn)對(duì)總作用量的貢獻(xiàn)只有兩項(xiàng):

3.3動(dòng)力學(xué)方程：從拉格朗日函數(shù)出發(fā)

3.3動(dòng)力學(xué)方程：從拉格朗日函數(shù)出發(fā)第一項(xiàng):第二項(xiàng):把兩項(xiàng)合起來(lái)，所以的結(jié)果是:

-----歐拉-拉格朗日方程3.3動(dòng)力學(xué)方程：從拉格朗日函數(shù)出發(fā)讓拉格朗日函數(shù)等于粒子的動(dòng)能減去粒子的勢(shì)能:代入前面得到的微分方程：繼續(xù)往下算：

3.3動(dòng)力學(xué)方程：從拉格朗日函數(shù)出發(fā)當(dāng)取廣義坐標(biāo)時(shí)，對(duì)于每一個(gè)自由度，推導(dǎo)完全一致，有廣義坐標(biāo)下的方程

在廣義坐標(biāo)下，對(duì)于保守力系下的多質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)，其拉格朗日量可寫為簡(jiǎn)寫為3.3動(dòng)力學(xué)方程：從拉格朗日函數(shù)出發(fā)

解:如圖所示，小環(huán)的坐標(biāo)為取廣義坐標(biāo)為可得坐標(biāo)變換于是，小環(huán)的動(dòng)能為3.3動(dòng)力學(xué)方程：從拉格朗日函數(shù)出發(fā)由于在水平面上，小環(huán)的勢(shì)能為零，有拉格朗日函數(shù)為將其帶入歐拉-格朗日方程可得關(guān)于廣義坐標(biāo)的方程3.3動(dòng)力學(xué)方程：從拉格朗日函數(shù)出發(fā)其通解為代入初始邊界條件可得小環(huán)的運(yùn)動(dòng)方程為33.4對(duì)稱操作：如何尋找系統(tǒng)的守恒量3.4對(duì)稱操作：如何尋找系統(tǒng)的守恒量繼續(xù)來(lái)挖掘歐拉-拉格朗日方程方程的潛力從哈密頓原理出發(fā)歐拉-拉格朗日方程基于歐拉-拉格朗日方程得到了牛頓第二定律3.4對(duì)稱操作：如何尋找系統(tǒng)的守恒量操作與對(duì)稱把這個(gè)結(jié)果帶入，歐拉-拉格朗日方程：孤立質(zhì)點(diǎn)所處的時(shí)空是對(duì)稱的，那這意味著什么呢？拉格朗日函數(shù)中不包括坐標(biāo)和時(shí)間項(xiàng)。拉格朗日量是速度大小的函數(shù)拉氏量對(duì)位置的求導(dǎo)3.4對(duì)稱操作：如何尋找系統(tǒng)的守恒量若某量的時(shí)間導(dǎo)數(shù)為0，則該量隨時(shí)間不變，即該量守恒。對(duì)上述方程進(jìn)行積分不顯式出現(xiàn)的坐標(biāo)稱為循環(huán)坐標(biāo)，對(duì)應(yīng)一個(gè)守恒的循環(huán)3.4對(duì)稱操作：如何尋找系統(tǒng)的守恒量對(duì)于自由質(zhì)點(diǎn)，代入具體的拉格朗日函數(shù)形式，我們得到通過(guò)歐拉-拉格朗日方程及系統(tǒng)的對(duì)稱性，我們導(dǎo)出了動(dòng)量守恒原理。3.4對(duì)稱操作：如何尋找系統(tǒng)的守恒量考慮由地球和太陽(yáng)組成的二質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)當(dāng)我們對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行整體平移，即得到3.4對(duì)稱操作：如何尋找系統(tǒng)的守恒量拉格朗日函數(shù)具有平移對(duì)