高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題六幾何第5講定點(diǎn)(定直線)問題含答案及解析

第5講定點(diǎn)(定直線)問題（新高考專用）目錄目錄【真題自測(cè)】 2【考點(diǎn)突破】 2【考點(diǎn)一】定點(diǎn)(定直線)問題 2【專題精練】 4考情分析：解析幾何中的定點(diǎn)問題是高考考查的熱點(diǎn)，難度較大，是高考的壓軸題，其類型一般為直線過定點(diǎn)與圓過定點(diǎn)等.真題自測(cè)真題自測(cè)一、解答題1．（2023·全國·高考真題）已知橢圓的離心率是，點(diǎn)在上．(1)求的方程；(2)過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)分別為，證明：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)．2．（2022·全國·高考真題）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、y軸，且過兩點(diǎn)．(1)求E的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足．證明：直線HN過定點(diǎn)．考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)一】定點(diǎn)(定直線)問題一、單選題1．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)橢圓的離心率等于，拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，A、B分別是橢圓的左右頂點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P、Q為橢圓上異于A、B兩點(diǎn)，設(shè)直線、的斜率分別為，且．則（

）A．的斜率可能不存在，且不為0B．點(diǎn)縱坐標(biāo)為C．直線的斜率D．直線過定點(diǎn)2．（2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線：，過直線：上的動(dòng)點(diǎn)可作的兩條切線，記切點(diǎn)為，則直線（

）A．斜率為2 B．斜率為 C．恒過點(diǎn) D．恒過點(diǎn)二、多選題3．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l過拋物線C：的焦點(diǎn)F且與C交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），，l為C的準(zhǔn)線，，垂足為M，，則下列說法正確的是（

）A．B．的最小值為C．若，則D．x軸上存在一點(diǎn)N，使為定值4．（2024·安徽安慶·二模）拋物線的焦點(diǎn)為，經(jīng)過點(diǎn)F且傾斜角為的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)A、點(diǎn)B作拋物線C的切線，兩切線相交于點(diǎn)E，則（

）A．當(dāng)時(shí)，B．面積的最大值為2C．點(diǎn)E在一條定直線上D．設(shè)直線傾斜角為，為定值三、解答題5．（2024·浙江杭州·二模）已知是橢圓的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)與橢圓上的點(diǎn)的距離的最小值為1.(1)求點(diǎn)的坐標(biāo).(2)過點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)（與不重合），連接，交于點(diǎn).（?。┳C明：點(diǎn)在定直線上；（ⅱ）是否存在點(diǎn)使得，若存在，求出直線的斜率；若不存在，請(qǐng)說明理由.6．（2024·浙江·二模）已知雙曲線左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線上，且點(diǎn)到雙曲線兩條漸近線的距離乘積為，過分別作兩條斜率存在且互相垂直的直線，，已知與雙曲線左支交于，兩點(diǎn)，與左右兩支分別交于，兩點(diǎn).(1)求雙曲線的方程；(2)若線段，的中點(diǎn)分別為，，求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).7．（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知雙曲線G的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為，左、右頂點(diǎn)分別為A?4,0，B4,0(1)求的方程；(2)過右焦點(diǎn)的直線l與G的右支交于M，N兩點(diǎn)，若直線與交于點(diǎn)．（i）證明：點(diǎn)在定直線上：（ii）若直線與交于點(diǎn)，求證：PF2⊥QF8．（23-24高二上·遼寧大連·期末）已知雙曲線，點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)M的直線交雙曲線C于不同的兩點(diǎn)A、B，過點(diǎn)A，B分別作雙曲線C的切線，兩切線交于點(diǎn)E．（二次曲線在曲線上某點(diǎn)處的切線方程為）(1)求證：點(diǎn)E恒在一條定直線L上；(2)若兩直線與L交于點(diǎn)N，，求的值；(3)若點(diǎn)A、B都在雙曲線C的右支上，過點(diǎn)A、B分別作直線L的垂線，垂足分別為P、Q，記，，的面積分別為，問：是否存在常數(shù)m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．規(guī)律方法：動(dòng)線過定點(diǎn)問題的兩大類型及解法(1)動(dòng)直線l過定點(diǎn)問題，解法：設(shè)動(dòng)直線方程(斜率存在)為y＝kx＋t，由題設(shè)條件將t用k表示為t＝mk，得y＝k(x＋m)，故動(dòng)直線過定點(diǎn)(－m,0)．(2)動(dòng)曲線C過定點(diǎn)問題，解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對(duì)參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點(diǎn)．專題精練專題精練一、單選題1．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓上異于的點(diǎn)，為平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，過點(diǎn)作直線的垂線與直線交于點(diǎn)，則（

）A．12 B．16 C．24 D．322．（2024·甘肅定西·一模）已知橢圓的離心率為是上任意一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，到軸的距離為，則（

）A．為定值 B．為定值C．為定值 D．為定值3．（2024·湖北黃石·三模）已知為雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，，，直線：與雙曲線的兩條漸近線交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），與在同一條漸近線上，則的最小值為（

）A． B． C．0 D．4．（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線，過動(dòng)點(diǎn)作兩條相互垂直的直線，分別與拋物線相切于點(diǎn)，則面積的最小值是（

）A．6 B．9 C．12 D．185．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)點(diǎn)，，是拋物線上3個(gè)不同的點(diǎn)，且，若拋物線上存在點(diǎn)，使得線段總被直線平分，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題6．（2024·河北滄州·三模）已知橢圓的上頂點(diǎn)、左頂點(diǎn)為為橢圓上異于點(diǎn)的兩個(gè)不同點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若直線的斜率之和為，則直線恒過定點(diǎn)B．若直線的斜率之積為，則直線恒過定點(diǎn)C．若直線的斜率之和為，則直線恒過定點(diǎn)D．若直線的斜率之積為.則直線恒過定點(diǎn)7．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)M，N在直線：上，且，線段，分別交C于P，Q兩點(diǎn)，過P作的垂線，垂足為.設(shè)的面積為，的面積為，則（

）A．的最小值為 B．C．為定值 D．的最小值為8．（2024·廣西南寧·一模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過作兩條互相垂直的直線，與交于、Q兩點(diǎn)，與交于、N兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為，則（

）A．當(dāng)時(shí)， B．的最小值為18C．直線過定點(diǎn) D．的面積的最小值為4三、填空題9．（2024·安徽合肥·三模）已知曲線的方程為，過作直線與曲線分別交于兩點(diǎn)．過作曲線的切線，設(shè)切線的交點(diǎn)為．則的最小值為．10．（23-24高三上·云南昆明·階段練習(xí)）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在的左支上，，，延長交的右支于點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線上任意一點(diǎn)（異于兩點(diǎn)），則直線與的斜率之積.四、解答題11．（23-24高二上·上海浦東新·期中）如圖，D為圓O：上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D分別作x軸，y軸的垂線，垂足分別為A，B，連接并延長至點(diǎn)W，使得，點(diǎn)W的軌跡記為曲線．(1)求曲線C的方程；(2)若過點(diǎn)的兩條直線，分別交曲線C于M，N兩點(diǎn)，且，求證：直線MN過定點(diǎn)；(3)若曲線C交y軸正半軸于點(diǎn)S，直線與曲線C交于不同的兩點(diǎn)G，H，直線SH，SG分別交x軸于P，Q兩點(diǎn)．請(qǐng)?zhí)骄浚簓軸上是否存在點(diǎn)R，使得？若存在，求出點(diǎn)R坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．12．（2024·廣東韶關(guān)·二模）已知橢圓的離心率為，長軸長為4，是其左、右頂點(diǎn)，是其右焦點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，的角平分線與直線交于點(diǎn)．①求點(diǎn)的軌跡方程；②若面積為，求．13．（2024·貴州貴陽·一模）已知雙曲線的方程為，虛軸長為2，點(diǎn)在上.(1)求雙曲線的方程；(2)過原點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，已知直線和直線的斜率存在，證明：直線和直線的斜率之積為定值；(3)過點(diǎn)的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)分別為，求證：的中點(diǎn)為定點(diǎn).14．（2023·湖北·二模）已知雙曲線C：的離心率為，過點(diǎn)的直線l與C左右兩支分別交于M，N兩個(gè)不同的點(diǎn)（異于頂點(diǎn)）．(1)若點(diǎn)P為線段MN的中點(diǎn)，求直線OP與直線MN斜率之積（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；(2)若A，B為雙曲線的左右頂點(diǎn)，且，試判斷直線AN與直線BM的交點(diǎn)G是否在定直線上，若是，求出該定直線，若不是，請(qǐng)說明理由15．（23-24高二下·四川瀘州·階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，且.(1)求的方程；(2)過點(diǎn)且斜率存在的直線與交于不同的兩點(diǎn)，且點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，直線與軸交于點(diǎn).（i）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（ii）求與的面積之和的最小值.16．（23-24高三下·湖北武漢·階段練習(xí)）已知拋物線，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，設(shè)拋物線在點(diǎn)處的切線分別為和，已知與軸交于點(diǎn)與軸交于點(diǎn)，設(shè)與的交點(diǎn)為.(1)證明：點(diǎn)在定直線上；(2)若面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若四點(diǎn)共圓，求點(diǎn)的坐標(biāo).

第5講定點(diǎn)(定直線)問題（新高考專用）目錄目錄【真題自測(cè)】 2【考點(diǎn)突破】 5【考點(diǎn)一】定點(diǎn)(定直線)問題 5【專題精練】 20考情分析：解析幾何中的定點(diǎn)問題是高考考查的熱點(diǎn)，難度較大，是高考的壓軸題，其類型一般為直線過定點(diǎn)與圓過定點(diǎn)等.真題自測(cè)真題自測(cè)一、解答題1．（2023·全國·高考真題）已知橢圓的離心率是，點(diǎn)在上．(1)求的方程；(2)過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)分別為，證明：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)．2．（2022·全國·高考真題）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、y軸，且過兩點(diǎn)．(1)求E的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足．證明：直線HN過定點(diǎn)．參考答案：1．(1)(2)證明見詳解【分析】（1）根據(jù)題意列式求解，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）設(shè)直線的方程，進(jìn)而可求點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理驗(yàn)證為定值即可.【詳解】（1）由題意可得，解得，所以橢圓方程為.（2）由題意可知：直線的斜率存在，設(shè)，聯(lián)立方程，消去y得：，則，解得，可得，因?yàn)?，則直線，令，解得，即,同理可得，則，所以線段的中點(diǎn)是定點(diǎn).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解定值問題的三個(gè)步驟（1）由特例得出一個(gè)值，此值一般就是定值；（2）證明定值，有時(shí)可直接證明定值，有時(shí)將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)(某些變量)無關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值；（3）得出結(jié)論．2．(1)(2)【分析】（1）將給定點(diǎn)代入設(shè)出的方程求解即可；（2）設(shè)出直線方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，分情況討論斜率是否存在，即可得解.【詳解】（1）解：設(shè)橢圓E的方程為，過，則，解得，，所以橢圓E的方程為：.（2），所以，①若過點(diǎn)的直線斜率不存在，直線.代入，可得，，代入AB方程，可得，由得到.求得HN方程：，過點(diǎn).②若過點(diǎn)的直線斜率存在，設(shè).聯(lián)立得，可得，，且聯(lián)立可得可求得此時(shí)，將，代入整理得，將代入，得顯然成立，綜上，可得直線HN過定點(diǎn)【點(diǎn)睛】求定點(diǎn)、定值問題常見的方法有兩種：①從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值.考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)一】定點(diǎn)(定直線)問題一、單選題1．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)橢圓的離心率等于，拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，A、B分別是橢圓的左右頂點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P、Q為橢圓上異于A、B兩點(diǎn)，設(shè)直線、的斜率分別為，且．則（

）A．的斜率可能不存在，且不為0B．點(diǎn)縱坐標(biāo)為C．直線的斜率D．直線過定點(diǎn)2．（2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線：，過直線：上的動(dòng)點(diǎn)可作的兩條切線，記切點(diǎn)為，則直線（

）A．斜率為2 B．斜率為 C．恒過點(diǎn) D．恒過點(diǎn)二、多選題3．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l過拋物線C：的焦點(diǎn)F且與C交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），，l為C的準(zhǔn)線，，垂足為M，，則下列說法正確的是（

）A．B．的最小值為C．若，則D．x軸上存在一點(diǎn)N，使為定值4．（2024·安徽安慶·二模）拋物線的焦點(diǎn)為，經(jīng)過點(diǎn)F且傾斜角為的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)A、點(diǎn)B作拋物線C的切線，兩切線相交于點(diǎn)E，則（

）A．當(dāng)時(shí)，B．面積的最大值為2C．點(diǎn)E在一條定直線上D．設(shè)直線傾斜角為，為定值三、解答題5．（2024·浙江杭州·二模）已知是橢圓的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)與橢圓上的點(diǎn)的距離的最小值為1.(1)求點(diǎn)的坐標(biāo).(2)過點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)（與不重合），連接，交于點(diǎn).（?。┳C明：點(diǎn)在定直線上；（ⅱ）是否存在點(diǎn)使得，若存在，求出直線的斜率；若不存在，請(qǐng)說明理由.6．（2024·浙江·二模）已知雙曲線左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線上，且點(diǎn)到雙曲線兩條漸近線的距離乘積為，過分別作兩條斜率存在且互相垂直的直線，，已知與雙曲線左支交于，兩點(diǎn)，與左右兩支分別交于，兩點(diǎn).(1)求雙曲線的方程；(2)若線段，的中點(diǎn)分別為，，求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).7．（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知雙曲線G的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為，左、右頂點(diǎn)分別為A?4,0，B4,0(1)求的方程；(2)過右焦點(diǎn)的直線l與G的右支交于M，N兩點(diǎn)，若直線與交于點(diǎn)．（i）證明：點(diǎn)在定直線上：（ii）若直線與交于點(diǎn)，求證：PF2⊥QF8．（23-24高二上·遼寧大連·期末）已知雙曲線，點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)M的直線交雙曲線C于不同的兩點(diǎn)A、B，過點(diǎn)A，B分別作雙曲線C的切線，兩切線交于點(diǎn)E．（二次曲線在曲線上某點(diǎn)處的切線方程為）(1)求證：點(diǎn)E恒在一條定直線L上；(2)若兩直線與L交于點(diǎn)N，，求的值；(3)若點(diǎn)A、B都在雙曲線C的右支上，過點(diǎn)A、B分別作直線L的垂線，垂足分別為P、Q，記，，的面積分別為，問：是否存在常數(shù)m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．參考答案：題號(hào)1234答案DDABDCD1．D【分析】A選項(xiàng)，求出F0,1，得到，由離心率得到橢圓方程，求出，若的斜率不存在，則重合，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，設(shè)出直線，聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之和，得到，進(jìn)而得到；C選項(xiàng)，求出，聯(lián)立拋物線方程，得到，結(jié)合，同理得到，從而得到當(dāng)時(shí)，滿足要求；D選項(xiàng)，在C選項(xiàng)基礎(chǔ)上，分與兩種情況，求出直線的方程，判斷其過定點(diǎn).【詳解】A選項(xiàng)，由題意得F0,1，故，因?yàn)?，且，解得，故橢圓方程為，故，若的斜率不存在，則重合，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P、Q為橢圓上異于A、B兩點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P、Q為橢圓上異于A、B兩點(diǎn)，所以直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線，聯(lián)立得，，則，故，故，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，直線，聯(lián)立得，，則，故，則，因?yàn)?，所以，，若，則，，，，此時(shí)不與重合，兩者也不重合，滿足要求，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，若，此時(shí)，故直線與軸垂直，且過點(diǎn)；若，由于，，故，故直線方程為，令得.故直線過定點(diǎn)，綜上，直線過定點(diǎn)，D正確.故選：D【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：（1）確定題目中的核心變量（此處設(shè)為），（2）利用條件找到與過定點(diǎn)的曲線的聯(lián)系，得到有關(guān)與的等式，（3）所謂定點(diǎn)，是指存在一個(gè)特殊的點(diǎn)，使得無論的值如何變化，等式恒成立，此時(shí)要將關(guān)于與的等式進(jìn)行變形，直至找到，①若等式的形式為整式，則考慮將含的式子歸為一組，變形為“”的形式，讓括號(hào)中式子等于0，求出定點(diǎn)；②若等式的形式是分式，一方面可考慮讓分子等于0，一方面考慮分子和分母為倍數(shù)關(guān)系，可消去變?yōu)槌?shù).2．D【分析】設(shè)，求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)幾何意義得到切線方程，設(shè)，將其代入兩切線方程，得到直線的方程為，得到過定點(diǎn).【詳解】設(shè)，則，，由于，故過點(diǎn)的切線方程為，即，即，同理可得過點(diǎn)的切線方程為，設(shè)，過點(diǎn)的兩切線交于點(diǎn)，故，整理得，同理，整理得，故直線的方程為，斜率不為定值，AB錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，，恒過點(diǎn)，C錯(cuò)誤，D正確.故選：D3．ABD【分析】對(duì)于A項(xiàng)，利用過焦點(diǎn)的弦長最短時(shí)是通徑的結(jié)論即得；對(duì)于B項(xiàng)，利用拋物線上點(diǎn)的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化再結(jié)合圖象，三點(diǎn)共線時(shí)，對(duì)應(yīng)線段和最小即得；對(duì)于C項(xiàng)，由條件推理得點(diǎn)A的坐標(biāo)，得到直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立求得兩點(diǎn)即得；對(duì)于D項(xiàng)，設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，得到韋達(dá)定理，將所求式代入化簡，分析推理即得.【詳解】如圖，對(duì)于A項(xiàng)，因直線經(jīng)過點(diǎn),故當(dāng)且僅當(dāng)為通徑時(shí)，最短，即，即，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，由拋物線定義知，故，由圖知，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，即,故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，因,在中，由可得：,即得點(diǎn)，于是代入中，整理得：，解得：，即得，故,即C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，設(shè)直線，代入中，整理得：，設(shè)，則得：，設(shè)在x軸上存在一點(diǎn)，則，故當(dāng)時(shí)，，即存在點(diǎn)使得為定值0.故D項(xiàng)正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題主要考查直線與拋物線相交有關(guān)的最值、弦長和定值問題,屬于難題.求解直線與拋物線相交有關(guān)的最值的思路，一般是從拋物線定義轉(zhuǎn)化線段，結(jié)合圖象，從三點(diǎn)共線角度考慮；對(duì)于相關(guān)的定值問題，經(jīng)常需要直線與拋物線方程聯(lián)立得出韋達(dá)定理，并將所求式進(jìn)行代入消元整理，再觀察分析可得.4．CD【分析】由焦點(diǎn)為可得拋物線方程，聯(lián)立直線與曲線方程，可得關(guān)于的一元二次方程，即可得與有關(guān)韋達(dá)定理，對(duì)A：利用韋達(dá)定理與弦長公式計(jì)算即可得；對(duì)B：利用韋達(dá)定理與弦長公式及面積公式計(jì)算即可得；對(duì)C：借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得與的方程，即可得點(diǎn)坐標(biāo)，即可得解；對(duì)D：由，故可得.【詳解】由拋物線的焦點(diǎn)為，故，即，由題意可知，直線斜率存在，設(shè)，Ax1,y聯(lián)立，有，，，，對(duì)A：，當(dāng)時(shí)，即有，故，即，即或，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：，故，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：由Ax1,y1，，即故，又，故，同理可得，設(shè)點(diǎn)，則有，有，，由，，故，，故點(diǎn)E在一條定直線上且該直線為，故C正確；對(duì)D：由，，則，故有，即，故為定值且該定值為，故D正確.故選：CD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.5．(1)；(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）存在，【分析】（1）設(shè)Px0,y0（2）（?。┰O(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立方程，結(jié)合韋達(dá)定理得，寫出直線，的方程，進(jìn)而求解即可；（ⅱ）由題意點(diǎn)在以為直徑的圓上，代入圓的方程求得，寫出直線的方程，與橢圓聯(lián)立，求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而可得答案.【詳解】（1）設(shè)Px0,因?yàn)?，①若，解得（舍去），②若，解得（舍去）或，所以點(diǎn)的坐標(biāo)位.（2）（ⅰ）設(shè)直線，由，得，所以，所以，①由，得或，易知直線的方程為y=y1直線的方程為，③聯(lián)立②③，消去，得，④聯(lián)立①④，消去，則，解得，即點(diǎn)在直線上；（ⅱ）由圖可知，，即，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，設(shè)，則，所以，即.故直線的方程為，直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，得，因?yàn)?所以，所以,故.6．(1)(2)證明見解析，【分析】（1）根據(jù)題意，列出的方程組求出得解；（2）設(shè)直線的方程為，可得的方程，分別與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求出點(diǎn)的坐標(biāo)，表示直線的方程，令求得是定值.【詳解】（1）設(shè)雙曲線的兩漸近線方程分別為，，點(diǎn)到雙曲線兩漸近線的距離乘積為，由題意可得：，解得，，所以雙曲線的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，由，互相垂直得的方程，聯(lián)立方程得，消得，成立，所以，，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，聯(lián)立方程得，所以，，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)對(duì)稱性判斷知定點(diǎn)在軸上，直線的方程為，則當(dāng)時(shí)，，所以直線恒過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是采用設(shè)線法再聯(lián)立雙曲線方程從而解出點(diǎn)的坐標(biāo)，再得到直線的方程，最后令即可得到其定點(diǎn)坐標(biāo).7．(1)(2)證明見解析【分析】（1）由點(diǎn)，的坐標(biāo)可知，結(jié)合離心率可得，即可得，即可得雙曲線方程；（2）設(shè)出Mx1,y1，Nx2,y2，可表示出直線與的方程，借助聯(lián)立直線l與【詳解】（1）由點(diǎn)，的坐標(biāo)可知，離心率為，故，所以b=c2?所以雙曲線方程為；（2）（ⅰ）設(shè)直線為：x=my+5，聯(lián)立雙曲線得x=my?5x216消去得：9m2根據(jù)題意得：，Δ=8100設(shè)Mx1,y1，Nx1+x2=直線：y=y1x1+4x+4，因?yàn)樵谥本€：y=9x1?416y令9x可得9=81解得，故點(diǎn)在直線上；（ⅱ）由雙曲線對(duì)稱性可知，點(diǎn)也在直線上，設(shè)P165,y3，Q165點(diǎn)在直線ANy=y2xF==8125+【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為x1,y（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.8．(1)證明見解析(2)0(3)存在【分析】（1）設(shè)，由題意可證得點(diǎn)A，B都在直線上，直線l過點(diǎn)，可得，即可證明點(diǎn)E恒在定直線上．（2）法一：設(shè)，由可得，將其帶入雙曲線方程可得，同理可得，由根與系數(shù)的關(guān)系可得．法二：由題意知，設(shè)l的方程：，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，設(shè)，由可得，同理，將韋達(dá)定理代入即可得出答案.（3）設(shè)，與聯(lián)立，設(shè)，表示出，將韋達(dá)定理代入化簡即可得出答案.【詳解】（1）證明：設(shè)，由題意得：切線EA的方程為：，將點(diǎn)E帶入得：，同理可得：，易知點(diǎn)A，B都在直線上，所以直線l的方程為：，因?yàn)橹本€l過點(diǎn)，所以，

所以點(diǎn)E恒在定直線上．（2）法一：設(shè)，因?yàn)椋哉淼靡驗(yàn)辄c(diǎn)Ax1,整理得，同理可得，所以，是關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)根，所以．法二：由題意知，l的斜率存在，設(shè)l的方程：，聯(lián)立得：，所以，設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，同理，所?（3）設(shè)，與聯(lián)立得：，，因?yàn)橹本€L的方程為，所以，所以，同理，所以，故存在，使得．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；（3）求證直線過定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來證明.規(guī)律方法：動(dòng)線過定點(diǎn)問題的兩大類型及解法(1)動(dòng)直線l過定點(diǎn)問題，解法：設(shè)動(dòng)直線方程(斜率存在)為y＝kx＋t，由題設(shè)條件將t用k表示為t＝mk，得y＝k(x＋m)，故動(dòng)直線過定點(diǎn)(－m,0)．(2)動(dòng)曲線C過定點(diǎn)問題，解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對(duì)參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點(diǎn)．專題精練專題精練一、單選題1．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓上異于的點(diǎn)，為平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，過點(diǎn)作直線的垂線與直線交于點(diǎn)，則（

）A．12 B．16 C．24 D．322．（2024·甘肅定西·一模）已知橢圓的離心率為是上任意一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，到軸的距離為，則（

）A．為定值 B．為定值C．為定值 D．為定值3．（2024·湖北黃石·三模）已知為雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，，，直線：與雙曲線的兩條漸近線交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），與在同一條漸近線上，則的最小值為（

）A． B． C．0 D．4．（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線，過動(dòng)點(diǎn)作兩條相互垂直的直線，分別與拋物線相切于點(diǎn)，則面積的最小值是（

）A．6 B．9 C．12 D．185．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)點(diǎn)，，是拋物線上3個(gè)不同的點(diǎn)，且，若拋物線上存在點(diǎn)，使得線段總被直線平分，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題6．（2024·河北滄州·三模）已知橢圓的上頂點(diǎn)、左頂點(diǎn)為為橢圓上異于點(diǎn)的兩個(gè)不同點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若直線的斜率之和為，則直線恒過定點(diǎn)B．若直線的斜率之積為，則直線恒過定點(diǎn)C．若直線的斜率之和為，則直線恒過定點(diǎn)D．若直線的斜率之積為.則直線恒過定點(diǎn)7．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)M，N在直線：上，且，線段，分別交C于P，Q兩點(diǎn)，過P作的垂線，垂足為.設(shè)的面積為，的面積為，則（

）A．的最小值為 B．C．為定值 D．的最小值為8．（2024·廣西南寧·一模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過作兩條互相垂直的直線，與交于、Q兩點(diǎn)，與交于、N兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為，則（

）A．當(dāng)時(shí)， B．的最小值為18C．直線過定點(diǎn) D．的面積的最小值為4三、填空題9．（2024·安徽合肥·三模）已知曲線的方程為，過作直線與曲線分別交于兩點(diǎn)．過作曲線的切線，設(shè)切線的交點(diǎn)為．則的最小值為．10．（23-24高三上·云南昆明·階段練習(xí)）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在的左支上，，，延長交的右支于點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線上任意一點(diǎn)（異于兩點(diǎn)），則直線與的斜率之積.四、解答題11．（23-24高二上·上海浦東新·期中）如圖，D為圓O：上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D分別作x軸，y軸的垂線，垂足分別為A，B，連接并延長至點(diǎn)W，使得，點(diǎn)W的軌跡記為曲線．(1)求曲線C的方程；(2)若過點(diǎn)的兩條直線，分別交曲線C于M，N兩點(diǎn)，且，求證：直線MN過定點(diǎn)；(3)若曲線C交y軸正半軸于點(diǎn)S，直線與曲線C交于不同的兩點(diǎn)G，H，直線SH，SG分別交x軸于P，Q兩點(diǎn)．請(qǐng)?zhí)骄浚簓軸上是否存在點(diǎn)R，使得？若存在，求出點(diǎn)R坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．12．（2024·廣東韶關(guān)·二模）已知橢圓的離心率為，長軸長為4，是其左、右頂點(diǎn)，是其右焦點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，的角平分線與直線交于點(diǎn)．①求點(diǎn)的軌跡方程；②若面積為，求．13．（2024·貴州貴陽·一模）已知雙曲線的方程為，虛軸長為2，點(diǎn)在上.(1)求雙曲線的方程；(2)過原點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，已知直線和直線的斜率存在，證明：直線和直線的斜率之積為定值；(3)過點(diǎn)的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)分別為，求證：的中點(diǎn)為定點(diǎn).14．（2023·湖北·二模）已知雙曲線C：的離心率為，過點(diǎn)的直線l與C左右兩支分別交于M，N兩個(gè)不同的點(diǎn)（異于頂點(diǎn)）．(1)若點(diǎn)P為線段MN的中點(diǎn)，求直線OP與直線MN斜率之積（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；(2)若A，B為雙曲線的左右頂點(diǎn)，且，試判斷直線AN與直線BM的交點(diǎn)G是否在定直線上，若是，求出該定直線，若不是，請(qǐng)說明理由15．（23-24高二下·四川瀘州·階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，且.(1)求的方程；(2)過點(diǎn)且斜率存在的直線與交于不同的兩點(diǎn)，且點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，直線與軸交于點(diǎn).（i）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（ii）求與的面積之和的最小值.16．（23-24高三下·湖北武漢·階段練習(xí)）已知拋物線，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，設(shè)拋物線在點(diǎn)處的切線分別為和，已知與軸交于點(diǎn)與軸交于點(diǎn)，設(shè)與的交點(diǎn)為.(1)證明：點(diǎn)在定直線上；(2)若面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若四點(diǎn)共圓，求點(diǎn)的坐標(biāo).參考答案：題號(hào)12345678答案CDDBAABCBCAD1．C【分析】設(shè)坐標(biāo)為，，所以是的中點(diǎn)，可表達(dá)出坐標(biāo)，根據(jù)斜率表達(dá)出直線，直線，聯(lián)立解出點(diǎn)坐標(biāo)，在表達(dá)出與解之即可.【詳解】設(shè)坐標(biāo)為，則，根據(jù)題意知，，所以坐標(biāo)為，直線斜率為，所以直線方程為，直線斜率為，因?yàn)橹本€與直線垂直，所以直線的斜率為，所以直線方程為，聯(lián)立直線方程與方程，求得點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，所以.故選：C2．D【分析】觀察選項(xiàng)，設(shè)，從而表示出，再利用橢圓離心率的定義求得，進(jìn)而得到橢圓方程，從而配湊出關(guān)于的式子，由此得解.【詳解】依題意，設(shè)，則，因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，解得，所以的方程為，即，即，所以，故D正確，顯然ABC錯(cuò)誤.故選：D.3．D【分析】先證明線是雙曲線的切線，線段的中點(diǎn)為，再根據(jù)，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)即可得解.【詳解】因?yàn)闉殡p曲線上的動(dòng)點(diǎn)，所以，則，，聯(lián)立，消得，因?yàn)椋?，所以直線是雙曲線的切線，切點(diǎn)為，雙曲線的漸近線方程為，聯(lián)立，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，聯(lián)立，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以線段的中點(diǎn)為，雙曲線的漸近線方程為，實(shí)半軸長為，故，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），由題意可得直線的斜率大于零或不存在，故，當(dāng)且僅當(dāng)為右頂點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，所以，所以的最小值為.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：證明線是雙曲線的切線，線段的中點(diǎn)為，是解決本題的關(guān)鍵.4．B【分析】設(shè)直線與拋物線聯(lián)立方程，建立等式化簡計(jì)算可得，，同理可得，，有，設(shè)直線與拋物線聯(lián)立方程，建立等式計(jì)算可得，而Px0,y0在直線,上，建立等式計(jì)算可得，根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)作兩條相互垂直的直線，分別與拋物線相切于點(diǎn)，所以直線,斜率均存在，故設(shè)直線，則，所以，因?yàn)?，代入化簡得，得，所以直線，整理得，設(shè)直線，同理可得，所以，即，設(shè)直線，，所以，，得，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，所以設(shè)直線恒過拋物線焦點(diǎn)，而Px0,y0所以，即是方程是方程的兩實(shí)數(shù)根，所以，解得，即所以，設(shè)到直線的距離為，則，所以，當(dāng)時(shí)，面積的最小為.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵根據(jù)切線方程與拋物線建立等式計(jì)算可得，直線與拋物線建立等式可得直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)；Px0,y0在直線,上，得是方程方程的兩相異實(shí)數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系建立等式求得，最后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算可得.5．A【分析】說明直線過定點(diǎn),并求出關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)代入拋物線即可求解.【詳解】設(shè)，，，則,同理，故直線方程為：，整理得,①由得整理得,②由①②兩式得，即直線過點(diǎn),關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)即為點(diǎn)在拋物線上，代入得，解得.故選:A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查拋物線中的定點(diǎn)問題，關(guān)鍵是利用垂直得斜率的關(guān)系進(jìn)而求出定點(diǎn)坐標(biāo).6．ABC【分析】A選項(xiàng)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，得到兩根之和，兩根之積，根據(jù)得到方程，求出，得到直線恒過定點(diǎn)；B選項(xiàng)，在A選項(xiàng)基礎(chǔ)上，得到方程，求出，得到恒過定點(diǎn)；C選項(xiàng)，根據(jù)斜率公式得到方程，求出或，求出恒過定點(diǎn)；D選項(xiàng)，根據(jù)斜率之積為-1得到方程，求出直線恒過定點(diǎn).【詳解】A選項(xiàng)，易知，，設(shè)Mx1,y1依題意，設(shè)直線的方程為.，，，.聯(lián)立得.，.，，.代入整理，得.，，.直線恒過定點(diǎn)，A正確；B選項(xiàng)，，代入整理，得，解得或（舍去）.直線恒過定點(diǎn)，B正確；C選項(xiàng)，，代入整理，得，或，恒過定點(diǎn)或，由于，故舍去，C正確；D選項(xiàng)，.代入整理，得，解得或，恒過定點(diǎn)或.由于，故舍去，直線恒過定點(diǎn)，D錯(cuò)誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：處理定點(diǎn)問題（1）確定題目中的核心變量（此處設(shè)為），（2）利用條件找到與過定點(diǎn)的曲線的聯(lián)系，得到有關(guān)與的等式，（3）所謂定點(diǎn)，是指存在一個(gè)特殊的點(diǎn)，使得無論的值如何變化，等式恒成立，此時(shí)要將關(guān)于與的等式進(jìn)行變形，直至找到，①若等式的形式為整式，則考慮將含的式子歸為一組，變形為“”的形式，讓括號(hào)中式子等于0，求出定點(diǎn)；②若等式的形式是分式，一方面可考慮讓分子等于0，一方面考慮分子和分母為倍數(shù)關(guān)系，可消去變?yōu)槌?shù).7．BC【分析】由三角形相似和基本不等式，即可判斷A；代入兩點(diǎn)間距離公式，化簡后，即可判斷B；根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合B選項(xiàng)，即可判斷C；設(shè)，利用三角函數(shù)表示，再通過換元，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)的最值.【詳解】對(duì)于A，易得，設(shè)，則，設(shè)，，由三角形相似可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)Px0,y0，則，由所以，所以，故B正確；對(duì)于C，由，可得，所以，整理得，為定值，故C正確；對(duì)于D，易知，設(shè)，則，，設(shè)，則，解得，同理可得，所以，令，則，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，故的最小值為，故D錯(cuò)誤.故選：BC【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的難點(diǎn)是D選項(xiàng)的判斷，需根據(jù)，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的問題，再利用換元，轉(zhuǎn)化為一般函數(shù)問題，再利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求最值.8．AD【分析】設(shè)直線和的方程，與拋物線方程聯(lián)立，再利用焦半徑公式求解弦長，結(jié)合基本不等式判斷AB，利用兩點(diǎn)求出直線方程，求解直線恒過定點(diǎn)判斷C，將面積分割，結(jié)合韋達(dá)定理，再利用基本不等式求解最值判斷D.【詳解】對(duì)于A，由題意得F1,0，設(shè)直線方程為，則方程為，Px1,y1，Qx2,聯(lián)立直線方程與拋物線方程得.則，，同理，，又，所以，所以，所以，故A正確；對(duì)于B，由A知，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由A知，，所以直線GH：，令得，所以直線GH恒過定點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由C知直線GH恒過定點(diǎn)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故D正確；故選：AD

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：1.直線與圓錐曲線相交問題時(shí)，有時(shí)需要考查斜率不存在和存在兩種情況，斜率存在的情況經(jīng)常和曲線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系解決幾何問題；2.一般涉及三角形面積問題時(shí)，采用面積分割法，結(jié)合韋達(dá)定理，利用基本不等式法求解范圍或最值.9．5【分析】根據(jù)題意，寫出過兩點(diǎn)的切線方程，根據(jù)其都過，進(jìn)而求得方程，結(jié)合其過點(diǎn)，求得，即為的軌跡方程，再求目標(biāo)式的最小值即可.【詳解】設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)為，故過點(diǎn)的切線方程為：，又其過點(diǎn)，則；同理，過點(diǎn)的切線方程為：，又其過點(diǎn)，則；由以及可得，方程為：，根據(jù)題意可得，過點(diǎn)，則，即，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為：；則，當(dāng)且僅當(dāng)取得等號(hào).下證：過拋物線上的一點(diǎn)x1,y1當(dāng)時(shí)，，也即過原點(diǎn)作拋物線切線，顯然其為，滿足；當(dāng)時(shí)，對(duì)求導(dǎo)可得，即，故過點(diǎn)x1,y則過點(diǎn)x1,y1的切線方程為：又，則切線方程為：；綜上所述：過拋物線上的一點(diǎn)x1,y1故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵，一是，能夠準(zhǔn)確寫出過拋物線上一點(diǎn)的切線方程，在小題中可直接使用二級(jí)結(jié)論，從而加快解題速度；二是，根據(jù)題意，求出切點(diǎn)弦方程，進(jìn)而求得點(diǎn)的軌跡方程；屬綜合困難題.10．2【分析】先利用平面向量加法的法則和雙曲線的性質(zhì)求出和的邊長，再分別利用余弦定理聯(lián)立可得，最后根據(jù)斜率公式求解即可.【詳解】依題意，設(shè)雙曲線的半焦距為，則，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，故由得，又因?yàn)?，所以，在中，，在中，，所以，解得，所以，所以雙曲線方程為，則，設(shè)，，，所以，

故答案為：211．(1)(2)證明見解析，(3)存在，【分析】（1）設(shè)，求得D點(diǎn)并代入，化簡求得曲線C的方程；（2）設(shè)的方程為，直線的方程為，將直線的方程與曲線C的方程聯(lián)立，求得M，N的坐標(biāo)，對(duì)進(jìn)行分類討論，由此證得直線過定點(diǎn)并求得定點(diǎn)坐標(biāo)；（3）假設(shè)存在點(diǎn)使得，先求得，設(shè)出G，H的坐標(biāo)，由直線SH和直線SG的方程求得P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合G在曲線C上求得R點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）設(shè)，，則，由題意知，所以，得(，所以，因?yàn)?，得，故曲線C的方程為．（2）由題意可知，直線不平行坐標(biāo)軸，則可設(shè)的方程為：，此時(shí)直線的方程為．由，消去得：，解得：或(舍去)，所以，所以，同理可得：．當(dāng)時(shí)，直線的斜率存在，，則直線的方程為，所以直線過定點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，直線斜率不存在，此時(shí)直線方程為：，也過定點(diǎn)，綜上所述：直線過定點(diǎn)．（3）假設(shè)存在點(diǎn)R使得，設(shè)，因?yàn)?，所以，即，所以，所以，直線與曲線C交于不同的兩點(diǎn)G、H，易知G、H關(guān)于軸對(duì)稱，設(shè)，易知點(diǎn)，直線方程是，令得點(diǎn)P橫坐標(biāo)，直線方程是，令得點(diǎn)Q橫坐標(biāo)，由，得，又在橢圓上，所以，所以，解得，所以存在點(diǎn)，使得成立．12．(1)(2)①；②【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率和長軸的概念建立方程組，解之即可求解；（2）①易知當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，利用兩點(diǎn)表示斜率公式和點(diǎn)斜式方程表示出直線、方程，聯(lián)立方程組，化簡計(jì)算求出點(diǎn)T的坐標(biāo)，即可求解點(diǎn)T的軌跡方程；②利用面積公式建立關(guān)于的方程，化簡計(jì)算即可求解.【詳解】（1）由題意知，，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）①：由（1）知，，設(shè)，則，易知當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，由，解得，即；當(dāng)時(shí)，，，設(shè)直線的斜率為，則，所以直線方程為，又直線方程為，