奧本海姆《信號(hào)與系統(tǒng)》（第2版）課后習(xí)題（下冊(cè)）

第7章采樣

第8章通信系統(tǒng)

第9章拉普拉斯變換

第10章Z變換

第11章線性反饋系統(tǒng)

第7章采樣

基本題

7.1已知實(shí)值信號(hào)x(t),當(dāng)采樣頻率僚時(shí)，x(t)能用它的樣本值唯一確

定。問、…在什么⑴值下保證為零？

解：對(duì)于「因其為實(shí)函數(shù).故是偶函數(shù)。由題意及采樣定理知……的最大角

頻率

"即當(dāng)-T寸，

7.2連續(xù)時(shí)間信號(hào)x⑴從一個(gè)截止頻率為的理想低通濾波器的輸出得到，如果對(duì)

x(t)完成沖激串采樣，那么下列采樣周期中的哪一些可能保證x⑴在利用一個(gè)合適的

低通濾波器后能從它的樣本中得到恢復(fù)？

r=o.5xio'

(b)r=2

(?)r3io?

解：因?yàn)閤(l)是某個(gè)截止頻率■M-，的理想低通濾波器的輸出信號(hào)，所

以x(I)的最大頻率就為'=1000Z由采樣定理知，若對(duì)其進(jìn)行沖激采樣且欲由其采樣

點(diǎn)恢復(fù)出x⑴，需采樣頻率

，，，---'-即采樣時(shí)間間隔-'從而有(a)和

(c)兩種采樣時(shí)間間隔均能保證x(t)由其采樣點(diǎn)恢復(fù)，而(b)不能。

7.3在采樣定理中，采樣頻率必須要超過的那個(gè)頻率稱為奈奎斯特率。試確定下列

各信號(hào)的奈奎斯特率：

(ht.⑴=包惻吟

Kt

,f4in(40(XH/7y

解：(a)x(t)的頻譜函數(shù)為

義而r2^?0r；;癡&-21向舊)

?r)一)k3

由此可見\“衣?，〃

故奈奎斯特頻率為

(b)x(t)的頻譜函數(shù)為由此可見

故奈奎斯特頻率為

(c)x(t)的頻譜函數(shù)為

由此可見，當(dāng)

故奈奎斯特頻率為

7.4設(shè)x⑴是一個(gè)奈奎斯特率為的信號(hào)，試確定下列各信號(hào)的奈奎斯特率：

解：(a)因?yàn)椴灰?的傅里葉變換為一三1可見x⑴的最大頻率也

是一；的最大頻率，故二1三的奈奎斯特頻率為空。

(b)因?yàn)榈母道锶~變換為總可見x(t)的最大頻率也是的最大頻

率.故的奈奎斯特頻率仍為--0

(c)因?yàn)榈母道锶~變換蔓可見1的最大頻率是x⑴的2

倍。從而知x2(t)的奈奎斯特頻率為2?

(d)因?yàn)橐坏母道锶~變換為x(t)的最大頻率為

:，故一］向己的最大頻率為：,從而可推知其奈至斯特頻率為

7.5設(shè)K⑴是一個(gè)奈奎斯特率為。)0的信號(hào)，同時(shí)設(shè)其中。

當(dāng)某一濾波器以Y⑴為輸入，x(t)為輸出時(shí)，試給出該濾波器頻率響應(yīng)的模和相

位特性上的限制。

解：P⑴是一沖激串，間隔對(duì)x⑴用p(t-1)進(jìn)行沖激采樣。先分別求出

P⑴和P(t-1)的頻譜函數(shù)：

注意％是,⑴的奈奎斯特頻率,這意味著,⑴的最大頻率為左，當(dāng)以

對(duì)X(t)進(jìn)行采樣時(shí)，頻譜無混疊發(fā)生。由Y(石)的表達(dá)式可見，Y(石)是x

()平移且復(fù)指數(shù)函數(shù)加權(quán)之后的疊加，且此采

樣使中的每個(gè)的復(fù)制項(xiàng)均有不同的相移若想輸入、

⑴,而輸出為X(t)，濾波

器的截止頻率應(yīng)選擇在至之間。因當(dāng)一時(shí)故濾波器的幅度

^■1

頻譜只需設(shè)置為常數(shù)T,相位頻譜為。即可，即濾波器的頻率響應(yīng)為

7.6在如圖7-1所示系統(tǒng)中，有兩個(gè)時(shí)間函數(shù)xl(t)和x2(t)相乘，其乘積W

(t)由一沖激串采樣，Xi(t)帶限于sl,x2(t)帶限于s2,即

L.1

O

試求最大的采樣間隔T,以使W⑴通過某一理想低通濾波器能從3P(t)中恢復(fù)出

來，

圖7-1

解：因!從而有又因

即W⑴的最大角頻率為于是由采樣定理知，對(duì)W(t)采樣的最小角頻率為

從而可求得最大采樣時(shí)間間隔T二

7.7信號(hào)x⑴生采樣周期T經(jīng)過一個(gè)零階保持的處理產(chǎn)生一個(gè)信號(hào)xO⑴，設(shè)

xl⑴是在x⑴的樣本上經(jīng)過一階保持處理的結(jié)果，即

其中E⑴是如圖7-2所示的函數(shù)。試給出一個(gè)濾波器的頻率響應(yīng)，當(dāng)輸入為X。

⑴時(shí)，該濾波器產(chǎn)生的輸出為xi⑴。

解：

7.8有一實(shí)值且為奇函數(shù)的周期信號(hào)x(t),它的傅里葉級(jí)數(shù)表示為

令"代表用采樣周期T:0.2的周期沖激串對(duì)x⑴進(jìn)行采樣的結(jié)果。

(a)混疊會(huì)發(fā)生嗎？

(b)若通過一個(gè)截止頻率為兀燈和通帶增益為T的理想低通濾波器，求輸出信

號(hào)g⑴的傅里葉級(jí)數(shù)表示。

解：(a)由題意知，x(t)的傅里葉級(jí)數(shù)為x⑴

故X⑴的頻譜函數(shù)為

X(>)如圖7-3所示，可見x(t)的最大角頻率也二5。

1

圖7-3

當(dāng)采樣時(shí)間間隔T=0.2時(shí)，采樣角頻率二一―造成的頻譜函數(shù)

如圖7-4所示'什〃(Iw:"「處由于出現(xiàn)混疊，相互抵消

由圖7-4可知，當(dāng)T=().2時(shí)，采樣會(huì)造成頻譜出現(xiàn)混疊。

圖7-4

(b)若x(t)通過一截止頻率.通帶增益為T=0.2的理想低通濾波器，由

圖7-4易知，輸出信號(hào)g(I)的頻譜函數(shù)為

從而可知g⑴的傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式為

7.9考慮信號(hào)x(t)為，現(xiàn)想用采樣頻率，對(duì)x⑴進(jìn)行采樣，以得到一個(gè)信號(hào)g

(t),其傅里葉變換為G(js)。為確保

求0)0的最大值，其中X(j3)為X⑴的傅里葉變換；

解：因?yàn)?/p>

故有

即X⑴的最大角頻率=100兀

又因

即有

顯然，由于一頻譜發(fā)生混疊，為了保證當(dāng)

二最大只能等于

7.10判斷下面每一種說法是否正確。

(a)只要采樣周期二信號(hào)的沖激串采樣就不會(huì)有

混疊。

(b)只要采樣周期nRfcl傅里葉變換為的信號(hào)x

(t)的沖激串采樣就不會(huì)有混疊。

(c)只要采樣周期傅里葉變換為的信號(hào)x(t)

的沖激串采樣就不會(huì)有混疊。

答：(a)因?yàn)樾盘?hào)--的頻譜函數(shù)為

,即不是帶限信號(hào).所以無論采樣頻率多高，采樣

的時(shí)間間隔多么小，采樣必然會(huì)導(dǎo)致頻譜的混疊。這個(gè)論斷是錯(cuò)誤的。

(b)因?yàn)閦(￡)的頻譜函數(shù)為口，■二=一三一說明x(t)是帶限

的，且最高頻率為'「，那么根據(jù)采樣定理知，只要采樣頻率I,即采樣時(shí)間間隔

上一一I就可以保證無混疊發(fā)生。這個(gè)論斷是正確的。

(c)設(shè)對(duì)x⑴進(jìn)行沖激串采樣得到信號(hào)a⑴，易知

===I

現(xiàn)已知如圖7.5所示。若采樣時(shí)間間隔卜二，那么

.、此時(shí)如圖7-6所示，可見并無混疊發(fā)生。那么，當(dāng)I時(shí)，就更不會(huì)出

現(xiàn)混疊了。所以此論斷是正確的。

*2.3

圖7-5圖7-6

7.11設(shè)是一連續(xù)時(shí)間信號(hào)，它的傅里葉變換具有如下特點(diǎn)：

■■—1

某一離散時(shí)間信號(hào)經(jīng)由"丁而得到。試對(duì)下列每一個(gè)有關(guān)

的傅里葉變換

Gr所給限制，確定在上的相應(yīng)限制：

(a)牙二為實(shí)函數(shù)

(b)對(duì)所有M「的最大值是I

解：將連續(xù)時(shí)間信號(hào)進(jìn)行離散化處理

_________~~--

(a)要讓I1為實(shí)函數(shù)，則-為實(shí)函數(shù)

(b)對(duì)所有(0,1的最大值是1

此時(shí)應(yīng)滿足

又由題目可知

綜上所述：(d)

7.12有一離散時(shí)間信號(hào)其傅里葉變換具有如下性質(zhì)：

現(xiàn)該信號(hào)被轉(zhuǎn)換為一連續(xù)時(shí)間信號(hào)為

其中確定&⑴的傅里葉變換■保證為零的s值.

解：由連續(xù)時(shí)間信號(hào)與離散時(shí)間處理知：連續(xù)時(shí)間信號(hào)&和離散時(shí)間信號(hào)頻率w的關(guān)

系為：，"

|『一年

所以當(dāng)連續(xù)時(shí)間信號(hào)為一，離散時(shí)間信號(hào)的頻率為：

7.13參照如圖7?7所示的濾波方法，假定所用的采樣周期為T,輸入xc(t)為帶

限，而有

若整個(gè)系統(tǒng)具有試求圖7-7中離散時(shí)間濾波器的單位脈沖響應(yīng)

同理可由yc(0可得對(duì)應(yīng)的離散時(shí)間信號(hào)序列yd(n)

由上式可得當(dāng)n=2時(shí)，等式右邊恒為0,當(dāng)/2時(shí),利用洛比達(dá)法則可得上式的極限

為七，故

所以此濾波器的脈沖響應(yīng)為：

7.14假定在上題中有重做習(xí)題7.13.

解：令,則總輸出

由Xc⑴可得離散時(shí)間序列Xd(n)

同理可由yc(t)可得離散時(shí)間序列yd(n)

恒成立，故

所以此濾波器的脈沖響應(yīng)為：

7.15對(duì)進(jìn)行脈沖串采樣，得到若

試確定當(dāng)采樣時(shí)保證不發(fā)生混疊的最大采樣間隔N。

解：

7.16關(guān)于及其傅里葉變換

給出下列條件：

(1)「為實(shí)序列

⑵

求’。解題時(shí)注意到：4滿足其中為兩個(gè)條件是有用的。

解■滿足第一個(gè)和第一個(gè)兩個(gè)條件，但是不滿足第三個(gè)條件。

因?yàn)榇诵盘?hào)的傅里葉變換是矩形波，當(dāng)E之時(shí)，傅里葉變換為0,

符合前兩個(gè)條件，在時(shí)是一個(gè)矩形，顯然滿足

第三個(gè)條件。綜上所求的為

7.17考慮理想離散時(shí)間帶阻濾波器，其單位脈沖響應(yīng)為頻率響應(yīng)在條件下為,求單位

脈沖響應(yīng)為h[2n]的濾波器的頻率響應(yīng)。

解：抽樣分兩步進(jìn)行，第一步進(jìn)行脈沖抽樣，得到：

由’『三可得抽樣頻率。

的傅里葉變換為：

,J______________

1______________

圖7-9

故h[2n]理想低通濾波器，截止頻率為兀2通帶增益為1

7.18假設(shè)截止頻率為nil的一個(gè)理想離散時(shí)間低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)是用于

內(nèi)插的，以得到一個(gè)2倍的增采樣序列，求對(duì)應(yīng)于這個(gè)增采樣單位脈沖響應(yīng)的頻率響應(yīng)。

圖7-10

解：兩倍的內(nèi)插會(huì)導(dǎo)致頻率響應(yīng)被壓縮兩倍，內(nèi)插的脈沖響應(yīng)相當(dāng)于一個(gè)截止頻率為

n/4,通帶增益為2的理想低通濾波器

7.19考慮如圖7?11所示的系統(tǒng)，輸入為x[n],輸出為零值插入系統(tǒng)在每一序

列x[n]值之間插入兩個(gè)零值點(diǎn)，抽取系統(tǒng)定義為其中W[n]是抽取系統(tǒng)的輸入序列。若輸入

x[n]為試確定下列el值時(shí)的輸出y[nl:

圖7-11

解：設(shè)x[n]經(jīng)零值插入后得輸出z[n]o

(a)各部分輸出信號(hào)如圖7-12(a)所示

(b)各部分輸出信號(hào)如圖7-12(b)所示

圖7-12

7.20有兩個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)S1和S2用于實(shí)現(xiàn)一個(gè)截止頻率為TT/4的理想低通濾波

器。系統(tǒng)S1如圖(a)所示，系統(tǒng)S2如圖7?13(b)所示。在這些圖中，SA相應(yīng)于

一個(gè)零值插入系統(tǒng)，在每一個(gè)輸入樣本之后插入一個(gè)零值點(diǎn)；而SB相應(yīng)于一個(gè)抽取系

統(tǒng)，在其輸入中每?jī)蓚€(gè)取一個(gè)。

(a)Si相應(yīng)于所要求的理想低通濾波器嗎？(b)S2相應(yīng)于所要求的理想低通濾波器

嗎？

圖7-13

解：(a)假設(shè)如圖7-14所示，則傅里葉變換一是的輸出信號(hào)，傅里葉

變換能是低通濾波器的輸出，-:是的輸出，如圖7-14所示。顯然Si實(shí)現(xiàn)了

理想低通濾波器的功能。

(b)假設(shè)上如圖7-14所示，則傅里葉變換是的輸出，傅里葉變換

謔第一個(gè)低通濾波器的輸出，?是的輸出信號(hào)，傅里葉變換r是第二

個(gè)低通濾波器的輸出，如圖7-14所示.顯然S?不能實(shí)現(xiàn)理想低通濾波器的功能。

圖7-14

基本題

7.21一信號(hào)x(t),其傅里葉變換為X(js),對(duì)x(t)進(jìn)行沖激串采樣，產(chǎn)生為

其中

關(guān)于X⑴和/或X(j(D,)進(jìn)行下列一組限制中的每一種，采樣定理能保證X⑴可完

全從中恢復(fù)嗎？

解：采樣時(shí)間間隔則采樣頻率

(a)由所給條件知，x⑴的奈奎斯特頻率為：，因采樣頻

率“故由采樣定理知，x(t)能夠由Xp(t)恢復(fù)得到。

(b)由所給條件知的奈奎斯特頻率一―一=〕而采樣頻率

故由采樣定理知，x(I)無法由Xp(I)恢復(fù)得到。

(c)雖然已知當(dāng)i時(shí)】-—，但不知當(dāng)‘一一-

「是否也為()，故無法確定信號(hào)x(t)的奈奎斯特頻率，所以無法保證能由Xp

⑴恢復(fù)x⑴。_

(d)因?yàn)閤(t)是實(shí)信號(hào)，所以二二是偶函數(shù)即當(dāng)二-，則可

推知當(dāng)時(shí)，：—也等于0,從而可知x(t)的奈奎斯特頻率

采樣頻率故由采樣定理知，x⑴可由Xp⑴恢

復(fù)得到。_______

(e)與(d)同理，由已知條件可知x(I)的奈奎斯特頻率X-1

I,由于采樣頻率

------故由采樣定理知，x(t)無法由Xp⑴恢復(fù)得至ij0

(0因?yàn)槿舢?dāng)時(shí)，)」一］；貝IJ當(dāng):aw一時(shí),方：,in—。所以由

已知條件可推知，當(dāng)

■1-1時(shí),即x(t)的奈奎斯特頻率日

于采樣頻率

】故由采樣定理知，X(t)可由Xp⑴恢復(fù)得到。

(g)雖然已知當(dāng)「時(shí)，二—，但不知當(dāng)一時(shí)是否

也等于0.故無法確定X⑴的奈奎斯特頻率，即無法保證能由Xp⑴恢復(fù)x⑴。

7.22信號(hào)Y(t)由兩個(gè)均為帶限的信號(hào)xl⑴和x2(t)卷積而成，即

晨現(xiàn)對(duì)Y(t)進(jìn)

行沖激串采樣，以得到

試給出y(t)保證能從yp⑴中恢復(fù)出來的采樣周期T的

范圍。

又當(dāng)^一時(shí)，

于是當(dāng)

由采樣定理知，若采樣頻率即時(shí)，y⑴能

夠由Yp⑴恢復(fù)。

7.23如圖7-15所示是一個(gè)用交替符號(hào)沖激串來采樣信號(hào)的系統(tǒng)。輸入信號(hào)的傅里

葉變換X(jw)如圖7?15(c)所示。

(a)對(duì)于-I,畫出Xp(t)和Y(t)的傅里葉變換。

(b)對(duì)于確定一個(gè)能從xp⑴中恢復(fù)x⑴的系統(tǒng)。

(c)對(duì)于‘三當(dāng)，確定一個(gè)能從Y(t)中恢復(fù)x⑴的系統(tǒng)。

(d)

圖7-15

解：(a)由圖7-15(a)所示系統(tǒng)知，xp(t)=x(t)p⑴，從而有

P(t)是個(gè)周期信號(hào)，周期為22i,其傅里葉系數(shù)為

故其傅里葉變換為

于是得

圖7-16

因H(丁夕)是一帶通濾波器，上、下截止頻率分別為f和廠所以易得Yg如圖

7-17所示。

圖7-17

(b)如圖7-18所示系統(tǒng)，可實(shí)現(xiàn)用xp⑴回復(fù)x(t)的波形。其中,

說明：因

即

圖7-18圖7-19

(c)如圖7-19所示系統(tǒng)，可完成由y(t)重建x(t)的任務(wù)。其中，

—n-u-aaijjy產(chǎn)?

一一J-------」說明:因

故~■

即L-O

(d)由圖7-16和圖7-17所示的XpU°)和Y(J?)可見，要能由xp(t)或y

(t)重建x⑴，必須有

即4的最大值

7.24如圖7?20所示是一個(gè)將輸入信號(hào)乘以一個(gè)周期方波的系統(tǒng)，S⑴的周期是

T,輸入信號(hào)是帶限的，且為

(a)對(duì)于N5^利用com確定T的最大值，以使在W(jco)中x(jco)的重復(fù)部分

之間沒有混疊。

(b)對(duì)于明用⑴m確定T的最大值，以使在w(j(D)中XG(o)的重復(fù)部分

之間沒有混疊。

圖7-20

解：如圖7-20所示的s⑴可以表示為s(t)=g(t)-1,其中g(shù)(t)如圖7-21所

不，易知

于是

圖7-21

-：(■)

5,2-7----”3)

工匕，“小專

S(J0)如圖7-22所示。

1

1：

圖7-22

又因?yàn)楱D-二,故

可見，W(jw)是被油樣函數(shù)(Sa函數(shù))幅度加權(quán)且平移了的X(jw)疊加而成的,

平移量為2kmT,若要想K發(fā)生頻域混疊，應(yīng)有

從而得到在這種情況下的T的最大值

(b)則

s(jw)如圖7-23所示。

圖7-23

由圖7-23可見，當(dāng)二時(shí)，S(jw)=0,這意味著W(jw)中，兩個(gè)

相鄰的

相距4兀，T,因此若想不發(fā)生混疊，只有

從而得到在這種情況下的周期T的最大值

7.25如圖7?24所示是一個(gè)采樣器緊跟著一個(gè)用于從樣本xp(t)中恢復(fù)出X⑴的

理想低通濾波器。根據(jù)采樣定理知道，若大于x⑴中存在的最高頻率的2倍，而且那么

重建信號(hào)xr⑴就一定等于x⑴。如果在x(t)的帶寬上這個(gè)條件不滿足，xr(t)就

一定不等于'⑴。本題要證明，如果那么無論選什么T,xr(t)和x⑴在采樣瞬時(shí)總

是相等的，即為了得到這一結(jié)果，將xr(t)用x(t)的樣本值表示成

上式變?yōu)?/p>

只要考慮到的a值，無須對(duì)x(I)進(jìn)行任何限制，由式證明：對(duì)任意

整數(shù)k,都有

圖7-24

證明：

7.26采樣定理表明，一個(gè)信號(hào)必須以大于它的2倍帶寬的采樣率來采樣(或者等效

為大于它的最高頻率的2倍)。這就意味著，如果有一個(gè)信號(hào)x⑴的頻譜如圖7?25

(a)所示，那么就必須用大于2s2的采樣率對(duì)x⑴進(jìn)行采樣。然而，因?yàn)檫@個(gè)信號(hào)的

大部分能量是集中在一個(gè)窄帶范圍內(nèi)的，因此似乎有理由期望能用一個(gè)低于2倍最高頻率

的采樣率來采樣。能量集中于某一頻帶范圍內(nèi)的信號(hào)往往稱為帶通信號(hào)

(bandoasssitmal)。有各種辦法來對(duì)這樣的信號(hào)進(jìn)行采樣，一般統(tǒng)稱為帶通采樣

(bandasssamoline)技術(shù)。

為了研究有可能存一個(gè)小于總帶寬的采樣率下對(duì)一個(gè)帶通信號(hào)進(jìn)行采樣，考慮如圖7-

25所示的系統(tǒng)。假定求能有的最大T值，以及常數(shù)A,(Da和劍

的值。

\-------------------------

>——.I

/

/1

/

''二

圖7-26

當(dāng)T增加時(shí),趨于0。

當(dāng)時(shí)，有混疊現(xiàn)象。

如果則當(dāng)沒有混疊.

最大的T為二此時(shí)W2為。，故=

作出此時(shí)的圖像，可得

7.27在習(xí)題7.26中討論了帶通采樣和恢復(fù)的一種方法。當(dāng)x⑴為實(shí)信號(hào)時(shí)可用

另一種方法，這種方法先將x⑴乘以一個(gè)復(fù)指數(shù)，然后再對(duì)乘積采樣。采樣系統(tǒng)如第7.

27(a)所示。由于x(t)為實(shí)函數(shù),且僅在時(shí)為非零，頻率。)0選為低通濾波器H1

(Js)的截止頻率為

(a)若XO)如圖7-27(b)所示，畫出

(b)確定最大的采樣周期T,以使可以從X。⑴中恢復(fù)x⑴。

(c)確定一個(gè)從xo(I)中恢復(fù)x(I)的系統(tǒng)。

圖7-27

解：(a)令—‘表示」的傅里葉變換。："是低通濾

波器的輸出，上-表不的傅立葉變和如圖7-28所

圖7-28

(b)的奈奎斯特率為,因此采樣周期T至少為

以使能從Xo(t)中恢復(fù)x(t)o

(c)從xo(t)中恢復(fù)x(t)的系統(tǒng)如圖7-29所示.

圖7-29

7.28如圖7-30所示的系統(tǒng)將一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)轉(zhuǎn)換為一個(gè)離散時(shí)間信號(hào)。輸入x

⑴是周期的，周期為0.1s,x(t)的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)是。低通濾波器H(jw)的頻率響

應(yīng)如圖7?30(b)所示，采樣周期

(a)證明x[n]是一個(gè)周期序列，并確定它的周期.

(b)確定x[n]的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)。

圖7-30

解：⑶因?yàn)閤(t)的周期T°=0.1s,故其基頻

則其傅里葉變換為

其中

低通濾波器的截止頻率金；因而xc(l)的博里葉變換為

注意到

則可求出Xp(jw)

Xc(jw)和Xp(jw)分別如圖和31(a)、(b)所示。

J

圖7-31

注意：由于采樣時(shí)間間隔，采樣頻率，因而在構(gòu)成Xp(jw)

時(shí)，Xp(jw)在處有疊加。而且由圖7-31(b)可看出，Xp

(jw)既具有周期性，又都是由沖激串組成的。在圖7-31(a)所示系統(tǒng)中，將沖激串X。

(t)變?yōu)殡x散序列x[n],只是一個(gè)頻率變換過程。也就是說，x[n]的頻譜與木⑴的頻譜

一樣，是周期性的沖激串，因而x[n]是周期的，因?yàn)橹芷陔x散信號(hào)的傅里葉變換就是同期

的沖激串。

下面求x[n]的周期。不難知&(t)的傅里葉級(jí)數(shù)為

因三」n,即

可將上式右端作為周期序列x[n]的傅里葉級(jí)數(shù)。因有

nr

而,其中N為x[n]的周期，故x[n]的周期

(b)在(a)中已得到x[n]的傅里葉級(jí)數(shù)為

因?yàn)楫?dāng)k=-10時(shí)；當(dāng)k=10時(shí),

所以此傅里葉級(jí)數(shù)也可寫為

即x[n]的傅里葉系數(shù)為

7.29如圖7?32(a)所示系統(tǒng)利用離散時(shí)間濾波器過濾連續(xù)時(shí)間信號(hào)。若和如圖7?

32(b)所示，以畫出和。

圖7-32

解：&(t)經(jīng)過沖激串采樣得到xo⑴，采樣頻率

易知采樣后信號(hào)的頻譜

Xn(jw)如圖7-33(a)所示。

由沖激串xp(t)轉(zhuǎn)換為序列x[n],在頻域中進(jìn)行了頻率歸一化，即若將Xp(jw)表

示為Xp(jC),而x[n]的頻譜函數(shù)用X?"')表示，貝IJ

X(小)如圖7-33(b)所示。

x[n]通過截止頻率為x/4的低通濾波器得到y(tǒng)[n],易知

Y(/)如圖7-33(c)所示。

由序列y[n]轉(zhuǎn)換為沖激串yp(t),若yp(t)的頻譜函數(shù)用Yp(jQ)表示，則

Yp(jQ)如圖7?33(d)所示(圖中C換成為⑹。

通帶增益為T的低通濾波器，得到y(tǒng)c⑴，

yP⑴再通過截止頻率為

易知

如圖7.33(e)所示。

圖7-33

7.30如圖7?34所示系統(tǒng)由一個(gè)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)接一個(gè)采樣器，轉(zhuǎn)換為一

個(gè)序列，再后接一個(gè)離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)。該連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)是因果的，且

滿足如下線性常系數(shù)微分方程：

輸入是一個(gè)單位沖激函數(shù)

(a)確定Yc⑴。

(b)確定頻率響應(yīng)一一和單位脈沖響應(yīng)使得有

圖7-34

解：(a)因?yàn)檫B續(xù)LTI系統(tǒng)的輸入-輸出方程為

可得其系統(tǒng)函數(shù)為

又因該系統(tǒng)是因果的，不難得其沖激響應(yīng)為當(dāng)輸入n,不難

得出

(b)由于y[n]是對(duì)於(t)進(jìn)行沖激串采樣得到的序列，故

于是有

且

7.31如圖7-35所示系統(tǒng)利用一個(gè)數(shù)字濾波器h[n]來處理連續(xù)時(shí)間信號(hào)，該數(shù)字濾

波器是線性的，因果的且滿足如下差分方程：

r圖

7-35

對(duì)于帶限輸入的信號(hào)，即圖中的系統(tǒng)等效為一個(gè)連續(xù)時(shí)間LTI

系統(tǒng)。確定從輸入r(t)到輸出孔(t)的整個(gè)系統(tǒng)的等效頻率響應(yīng)He(jw)。

解：為了區(qū)分?jǐn)?shù)字頻率和模擬頻率，以下過程中用⑴表示模擬頻率，用。表示數(shù)字頻

率。由于采樣時(shí)間間隔為「而當(dāng)疑Ml時(shí),Xc(jw)=0,所以x[n]的頻譜函數(shù)為

對(duì)于數(shù)字濾波器，由其輸入-輸出方程可知其頻率響應(yīng)為

于是得y[n]的頻譜函數(shù)為

從而得等價(jià)連續(xù)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為

7.32信號(hào)x[n]的傅里葉變換在時(shí)為零，另一信號(hào),試給出一個(gè)低通濾波器的頻率響應(yīng)

使得當(dāng)該濾波器的輸入為時(shí)，輸出等于

解：令

如圖7-36所示

圖7-36

顯然為了得到‘l，低通濾波器的截止頻率為通帶增益為4。即

4.|<O|<M/4

0,?這H

7.33傅里葉變換為x(ejw)的信號(hào)x[n]具有如下性質(zhì)：

一個(gè)截止頻率為匚通帶增益為3的理想低通濾波器的脈沖響應(yīng)為

要使對(duì)中的r＞的采樣相互不會(huì)混疊,則'-1則有

7.34一個(gè)實(shí)值離散時(shí)間信號(hào)x|nj,其傅里葉變換在時(shí)為零，可首先利用增采樣L

倍，然而再減采樣M倍的辦法將的非零部分占滿到的區(qū)域，試求L和M的值。

解：要使的非零部分占滿到的區(qū)域、,必須減采樣倍.又因?yàn)樾?/p>

號(hào)不能直接減采樣一個(gè)非整數(shù)倍.因此需要先增采樣3倍，再減采樣倍。即

7.35考慮一個(gè)離散時(shí)間序列x[n],由x[n]形成兩個(gè)新序列xp[n]和zd[n],其中

xp[n]相應(yīng)于以采樣周期為2對(duì)x[n]采樣而得，而xd[n]則以2對(duì)x[n]進(jìn)行抽取而得，即

(a)若x[n]如圖7-37(a)所示，畫出序列I鬧一

(b)若?'寺如圖7-37(b)所示，畫出上叁1和二

I

圖7-37

解：(a)序列『一和如圖7-38(a)所示

(b)序列和丁如圖7-38(b)所示

(b)

圖7-38

深入題

7.36設(shè)x⑴為一帶限信號(hào)，

(a)若x(t)用采樣周期T對(duì)其采樣.試確定一個(gè)內(nèi)插函數(shù)g(t),使得有

(b)函數(shù)g(t)是唯一的嗎？

解：(a)設(shè)x(t)的導(dǎo)數(shù)為,一，則

因?yàn)榈哪慰固仡l率為：,所以可以從中恢復(fù)信號(hào)。從7.2小節(jié)知

設(shè),則

因此

(b)不是唯一的。

7.37只要平均采樣密度為每秒2(VV/2n)個(gè)樣本，那么一個(gè)帶限于心|<W的信號(hào)

就能夠從非均勻間隔的樣本中得到恢復(fù)。本題說明一個(gè)特殊的非均勻采樣的例子。假設(shè)在

圖7-39(A)中:

(1)X⑴是帶限的，「

(2)P⑴縣一個(gè)非均勻間隔的周期沖激串，如圖7-39(b)所示。

0)f⑴是一個(gè)周期性波形，其周期事?^1由于f⑴與一個(gè)沖激串相乘，

因而只在t=0和t=△時(shí)的值f(0)=a和f")二b才有意義。

圖7-39

(4)7是一個(gè)90“的相移器，即

"匚是

一人理想低通濾波器，即

其中K是一個(gè)常數(shù)(可能是復(fù)數(shù))。

(a)求P⑴，Yi(t),Y2(t)和丫3⑴的傅里葉變換。

(b)給出作為△的函數(shù)的a,b和K值，以使對(duì)任何帶限信號(hào)x⑴和任何△,

都有X(t)=X(t)o

解：（a）.可以寫成

其中

因此

其中

因此

又

所以

因此

當(dāng)時(shí)，有

I

7.38往往需要在示波器的屏幕上顯示出具有極短時(shí)間的一些波形部分(例如，千分

之幾毫微秒量級(jí))，由于最快的示波器的上升時(shí)間也比這個(gè)時(shí)間長(zhǎng)，因此這種波形無法直

接顯示。然而，如果這個(gè)波形是周期的，那么可以采用一種稱為取樣示波器的儀器來間接

地得到所需的結(jié)果。

圖7-40(a)就是用來對(duì)快速變化的波形x⑴進(jìn)行采樣，采樣時(shí)每個(gè)周期采一次，

但在相鄰的下一個(gè)周期內(nèi)，采樣依次推遲。增量△應(yīng)該是根據(jù)x⑴的帶寬而適當(dāng)選擇的

一個(gè)采樣間隔。如果讓所得到的沖激串通過一個(gè)合適的低通內(nèi)插濾波器，那么輸出Y(t)

將正比于減慢了的，或者在時(shí)間上被展覽了的原始快變化波形，即Y⑴正比于x

(at),其中a<!<>

若二試求出△的取值范圍，使得圖7?40(b)中的y

(t)正比于x(at),a<l；同時(shí)，用T和△確定a的值。

圖7-40

解：X(jw),P(jw)和Y(jw)的傅里葉變換如圖7-41所示

圖7-41

明顯不能得到△=(),從圖7-41可以得到

所以

福

從圖7-41還可以得到

7.39信號(hào)Xp⑴是對(duì)一個(gè)頻率等于采樣頻率＜o(jì)p一半的正弦信號(hào)x⑴進(jìn)行沖激

串采樣得到的，即

且其中

(a)求一個(gè)g⑴，使得有

(b)證明U

(c)利用前兩部分的結(jié)果證明：若xp(t)作為輸入加到截止頻率為s/2的理想住通

濾波器上，則其輸出為

解：(a)因?yàn)?/p>

所以

(b)用2n/T替換騎NT替換t,則

上式右邊在n=0,±1,±2……時(shí)為0。

(c)根據(jù)(a)和(b)可得

當(dāng)信號(hào)通過一個(gè)低通濾波器，濾除高頻部分，最終輸出為

7.40考慮一個(gè)圓盤，在該圓盤上畫有一個(gè)正弦曲線的4個(gè)周期。圓盤以近似15根

的速度旋轉(zhuǎn)，因此當(dāng)通過一個(gè)窄縫看時(shí)，正弦曲線具有60Hz的頻率。整個(gè)裝置如圖7-42

所示。設(shè)v(f)代表從窄縫看到的線的位置，因而V⑴有如下形式：

為了符號(hào)上的方便，現(xiàn)將v⑴歸一化，以使A=l。在60Hz頻率下，入的眼睛是不

可能跟蹤v⑴的變化的，現(xiàn)假定這?效果可以通過把眼睛模型化為截止頻率為20Hz的

理想低通濾波器來代替。

對(duì)正弦曲線的采樣可以用一個(gè)頻閃燈照亮圓盤來完成，因此光照度i⑴可以用一個(gè)

沖激串來表示，即

其中1"是頻閃頻率(Hz)o所得到的已采樣信號(hào)是乘積一"1令

RO)、V(O)和I(jo)分別記為r⑴、v(t)和i⑴的傅里葉變換。

(a)畫出V(jco),并明確指出參量(p和co<)的影響°

(b)畫出I(j(o),并指出T的影響。

(c)根據(jù)采樣定理，利用而來表示存在一個(gè)最大的T值，使得v⑴能夠利用一個(gè)

低通濾波器從1?⑴中得到恢復(fù)。試確定這個(gè)T值和該低通濾波器的截止頻率，畫出當(dāng)了

T微微小于這個(gè)最大T值時(shí)的RQco)0

圖7-42

如果采樣周期T取得大于(c)中所確定的值，將會(huì)發(fā)生頻譜混疊。由于混疊的結(jié)

果，感覺看到的將是一個(gè)較低頻率的正弦波。

(d)假定對(duì)畫出R(jw)。用Va(t)表示看到的

線的視在位置，如果假定眼睛表現(xiàn)為一個(gè)截止頻率為20Hz并具有單位增益的理想低通濾

波器，試將Va⑴表示成如下形式：

其中Aa是Va⑴的視在振幅，Wa是Va(t)的視在頻率，生是它的視在相位。

(e)當(dāng)一一一時(shí)，重做(d)。

解：(a)V3)的傅里葉變換如圖7-43(a)所示

圖M3(b)

如圖7-43(b)所示。

(c)v(t)的奈奎斯特頻率為2?,所以

低通濾波器的截止頻率為

d)

因?yàn)槿鐖D7-43(d)

所示。

因此將r⑴通過一個(gè)截止頻率為的低通濾波器可以獲得

因此

7.41在許多實(shí)際場(chǎng)合，是在有回波的情況下記錄信號(hào)的，因而希望通過適當(dāng)?shù)奶幚?/p>

消除這些回波。例如，圖7?44(a)示意了一個(gè)系統(tǒng)，在該系統(tǒng)中接收機(jī)同時(shí)接收到信號(hào)x

(t)和一個(gè)回波，該回波是用衰減并延遲了的x(t)來表示的。于是，接收機(jī)的輸出是其

中；為了恢復(fù)x(t),先將s(t)變換成一個(gè)序列，并用合適的數(shù)字濾波器h[n]對(duì)接收機(jī)

的輸出進(jìn)行處理，如圖7?44(b)所示。

圖7-44

假定x(t)是帶限的，即

(a)若一并取采樣周期等于To(即T=T。)，試確定數(shù)字濾波器h[n]的

差分方程，以使汽(t)正比于x⑴。

(b)在(a)的假定條件下，確定該理想低通波波器的增益A,以使

—1=-1

(c)現(xiàn)在假定一二二一試選擇采樣周期T、低通濾波器增益A和數(shù)字

濾波器h[n]的頻率響應(yīng)，使得Yc(t)正比于x(t)0

解：本題中為了避免混淆，采用。表示離散時(shí)間頻率。

(a)的奈奎斯特頻率為2°因此根據(jù)抽樣定理，的抽樣頻率至少為

匕J。因?yàn)?/p>

I,所以只要y[n]=x[n],就有yc⑴二x⑴，故

為了滿足上述這些條件，需要，且當(dāng)二二時(shí)有

7.42考慮一帶限信號(hào)xc⑴，以高于奈奎斯特率對(duì)其采樣，然后將相隔T秒的各

樣本按圖7-45轉(zhuǎn)換為一個(gè)序列x[n]o

試確定序列的能量以原始信號(hào)的能量艮和采樣間隔T之間的關(guān)系。序列x[n]的能量

定義為而連續(xù)時(shí)間函數(shù)?、诺哪芰慷x為

利用抽樣定理有

當(dāng)時(shí)，上式又可以寫成

7.43如圖7-46(a)所示系統(tǒng)的輸入和輸出都是離散時(shí)間信號(hào)。離散時(shí)間輸入x[n]

轉(zhuǎn)換為一連續(xù)時(shí)間沖激串xp⑴，然后將xp⑴經(jīng)過一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)過濾產(chǎn)生輸出

yc(t),而yc(t)又被轉(zhuǎn)換成禽散時(shí)間信號(hào)y[n]。

其中輸入為xc(t)且輸出為次(t)的線性時(shí)不變系統(tǒng)是因果的，且由如下線性常系

數(shù)微分方程所表示：

整個(gè)系統(tǒng)等效為一個(gè)因果離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，如圖7