第六章平面向量及其應(yīng)用

第六”平直囪量及其座用

|DILIUZHANG/

6.1平面向量的概念

6.1.1向量的實(shí)際背景與概念

6.1.2向量的幾何表示

6.1.3相等向量與共線向量

新課程標(biāo)準(zhǔn)新學(xué)法解讀

1.向量是一個(gè)既有大小又有方向的量，方向和

1通.過對力、速度、位移等物理量的分析，了大小是向量的兩個(gè)要素，這一點(diǎn)必須注意.

解平面向量的實(shí)際背景.2.在向量的表示法中，字母表示向量要注意書

2.理解平面向量的幾何表示和基本要素.寫規(guī)范，等長且同向的有向線段表示同一個(gè)

3.了解平面向量共線和向量相等的含義.向量.

3注.意向量共線與線段共線的不同.

共同基礎(chǔ)-系統(tǒng)落實(shí)課前自主學(xué)習(xí)，基穩(wěn)才能樓高

GONGTONGJICHUXITONGLUOSHI

［思考發(fā)現(xiàn)］

1.有下列物理量：①質(zhì)量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥功.

其中，不是向量的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2

C.3D.4

解析：選C質(zhì)量、路程、功只有大小，沒有方向不是向量，而速度、力、加速度均是

既有大小又有方向的物理量.故選C.

2.已知向量a如圖所示，下列說法不正確的是（）

a

MN

A.也可以用MN表示

B.方向是由M指向N

C.起點(diǎn)是M

D.終點(diǎn)是M

解析：選D由向量的幾何表示知，A、B、C正確，D不正確.故選D.3.下列說法正確

的個(gè)數(shù)為（）

①零向量沒有方向；

②向量的模一定是正數(shù)；

③與非零向量a共線的單位向量是唯一的.

A.0B.1

C.2D.3

解析：選A①錯(cuò)誤.零向量有方向，它的方向是任意的；②錯(cuò)誤.|0|=0:③錯(cuò)誤.與

非零向量a共線的單位向量有兩個(gè)，一個(gè)與a同向，一個(gè)與a反向.故選A.

4.設(shè)。為△ABC外接圓的圓心，則而，B0,。3是（）

A.相等向量B.平行向量

C.模相等的向量D.起點(diǎn)相同的向量

解析：選C根據(jù)圓的性質(zhì)可知/萬，~BOt丘5是模相等的向量.故選C.

5.已知A,B,C是不共線的三點(diǎn)，向量m與向量A8是平行向量，與BC是共線向量,

貝Im=.

解析：因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)不共線，所以左與正不共線，又因?yàn)閙〃/萬且m〃鋌，

所以m=0.

答案：0

［系統(tǒng)歸納］

1.對向量概念的認(rèn)識(shí)

向量是既有大小又有方向的一種量,因此，在學(xué)習(xí)時(shí)要注意思維方式的改變，既要考慮

數(shù)量的大小，又要考慮方向的影響.

2.有向線段與向量的區(qū)別和聯(lián)系

從定義上看，向量有大小和方向兩個(gè)要素,而有向線段有起點(diǎn)、方向、長度三個(gè)要

區(qū)別素.因此,這是兩個(gè)不同的量.在空間中，有向線段是固定的線段,而向量是可以

自由平移的

有向線段是向量的表示，并不是說向量就是有向線段，每?條有向線段對應(yīng)著?個(gè)

聯(lián)系

向量,但每一個(gè)向量對應(yīng)著無數(shù)多條有向線段

3.關(guān)注兩個(gè)“特殊”向量

定義中的零向零和單位向晟都是火限制大小,沒有確定方向，我們規(guī)定零向量的方向是

任意的;單位向量有無數(shù)個(gè)，它們大小相等，但方向不一定相同.

4.對相等向量與共線向量的理解

⑴理解平行向量的概念時(shí)，需注意平行向量和平行直線是有區(qū)別的，平行直線不包括重

合的情況，而平行向量是可以重合的.

（2）共線向量就是平行向量,其中“共線”的含義不是平面幾何中“共線”的含義?實(shí)際

上，共線向量（平行向量）有以下四種情況：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相

反且模相等；方向相反且模不等.這樣，也就找到了共線向量與相等向量的關(guān)系，即共線向

量不一定是相等向量，而相等向量一定是共線向量.

⑶向量相等具有傳遞性,即@=卜b=c,則@=仁而向量的平彳亍不具有傳遞性,說a"

b,b〃c,未必有a〃c.因?yàn)榱阆蛄科叫杏谌我庀蛄?

關(guān)鍵能力-重點(diǎn)培優(yōu)課堂講練設(shè)計(jì)，舉一能通類題

GUANJIANNENGLIZHONGDIANPEIYOI

□xa向量的有關(guān)概念

［例1］下列說法中正確的有（）

①單位向量的長度大于零向量的長度；

②零向量與任一單位向量平行；

③因?yàn)槠叫邢蛄恳步凶鞴簿€向量，所以平行向量所在的直線也一定共線；

④因?yàn)橄嗟认蛄康南嗟汝P(guān)系具有傳遞性，所以平行向量的平行關(guān)系也具有傳遞性；

⑤因?yàn)橄嗟认蛄恳欢ㄊ瞧叫邢蛄?，所以平行向量也一定是相等向?

A.①②B.①②④

C.①?@D.①②③

［解析］①正確，因?yàn)閱挝幌蛄康拈L度為1,零向量的長度為0.②正確.③錯(cuò)誤，平行

向量所在的直線可能不共線.④錯(cuò)誤，平行向量的平行關(guān)系不具有傳遞性.⑤錯(cuò)誤，平行向

量不一定是相等向量.

［答案］A

解決與向量概念有關(guān)問題的方法

解決與向量概念有關(guān)題目的關(guān)鍵是突出向量的核心——方向和長度，如：

共線向量的核心是方向相同或相反，長度沒有限制；

相等向量的核心是方向相同且長度相等；

單位向量的核心是方向沒有限制，但長度都是一個(gè)單位長度；

零向量的核心是方向沒有限制，長度是0;

規(guī)定零向量與任一向量平行.

只有緊緊抓住概念的核心才能順利解決與向量概念有關(guān)的問題.

I變式訓(xùn)練］

下列說法正確的是()

A.若a與b平行，b與c平行，則a與c一定平行

B.共線向量一定在同一直線上

C.若則a>b

D.單位向量的長度為1

解析：選DA中，因?yàn)榱阆蛄颗c任意向量平行，若b=0,則a與c不一定平行.B中，

共線向量不一定在同一直線上.C中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比較大小.顯

然D正確.故選D.

nrrai向量的表示

［例2］(1)如圖，B,C是線段A。的三等分點(diǎn)，分別以圖中各點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)，可以寫

出個(gè)向量.

ABCD

(2)在如圖所示的坐標(biāo)紙上(每個(gè)小方格邊長為1),用宜尺和圓規(guī)畫出下列向量:

①。4〉,使I&TFWL點(diǎn)力在點(diǎn)O北偏東45。；

②7萬，使|商|=4,點(diǎn)8在點(diǎn)4正東；

③就，使|B|=6,點(diǎn)C在點(diǎn)4北偏東30。.

［解析］(1)由向量的幾何表示可知，可以寫出12個(gè)向量，它們分別是萬，~AC,~AD,

~BC,~BDt~CD,~BA,~CAt~DA,~CB,~DBt~DC.

(2)①由于點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45。處，所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)A距點(diǎn)。的橫向小方格數(shù)與縱向

小方格數(shù)相等.又|04|=4、R,小方格邊長為1,所以點(diǎn)A距點(diǎn)0的橫向小方格數(shù)與縱向小

方格數(shù)都為4,于是點(diǎn)A位置可以確定，畫出向量次如圖所示.

②由于點(diǎn)B在點(diǎn)A正東方向處，且|AB1=4,所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)B距點(diǎn)4的橫向小方格

數(shù)為4,縱向小方格數(shù)為0,于是點(diǎn)B位置可以確定，畫出向量AB如圖所示.

③由于點(diǎn)。在點(diǎn)8北偏東30。處，且|隹|=6,依據(jù)勾股定理可得：在坐標(biāo)紙上點(diǎn)。距

點(diǎn)B的橫向小方格數(shù)為3,縱向小方格數(shù)為3小y5.2,于是點(diǎn)C位置可以確定，畫出向量鋌

如圖所示.

［答案］(1)12(2)圖見解析

CXD??

向量的兩種表示方法

(1)幾何表示法：先確定向量的起點(diǎn)，再確定向量的方向，最后根據(jù)向量的長度確定向量

的終點(diǎn).

(2)字母表示法：為了便于運(yùn)算可用字母a,b,c表示，為了聯(lián)系平面幾何中的圖形性質(zhì)，

可用表示向量的有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)表示向量，如71,F,后等.

［變式訓(xùn)練］

在如圖的方格紙上，已知向量a,每個(gè)小正方形的邊長為1.

(1)試以B為起點(diǎn)畫一個(gè)向量b,使b=a；

(2)在圖中畫一個(gè)以4為起點(diǎn)的向量c,使期=小，并說出向量c的終點(diǎn)的軌跡是什么.

解：(1)根據(jù)相等向量的定義，所作向量與向量a平行，且長度相等.如圖中的b即為所

作向量.

(2)由平面幾何知識(shí)可知所有這樣的向量c的終點(diǎn)的軌跡是以A為圓心，半徑為小的圓(作

圖略).

相等向量與共線向量

［例3］如圖所示，。是正六邊形ABCDE尸的中心，且/=a,

=b,OC=c.

(1)與a的長度相等、方向相反的向量有哪些？

(2)與a共線的向量有哪些？

(3)請一一列出與a,b,c相等的向量.

［解］⑴與a的長度相等、方向相反的向量有7)方，BC,~AOf~FE.

(2)與a共線的向量有后，^C,Z萬，~FE,3,D6,~AOf萬T,ILD.

(3)與a相等的向量有EF"DOtCB>;與b相等的向量有￡>/.EOf杼C;與c相

等的向量有下方，~EDt~AB.

尋找共線向量或相等向量的方法

(1)尋找共線向量：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再構(gòu)造同向與反

向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點(diǎn)為起點(diǎn)，起點(diǎn)為終點(diǎn)的向量.

(2)尋找相等向量：先找與表示已知向量的有向線段長度相等的向量，再確定哪些是與已

知向量方向相同的向量.

［變式訓(xùn)練］

1.［變設(shè)問］本例條件不變，試寫出與向量正相等的向量.

解：與向量相等的向量有為方，~AO,~FE.

2.［變條件，變設(shè)問］在本例中，若間=1,則正六邊形的邊長如何？

解：由正六邊形性質(zhì)知，△尸04為等邊三角形，所以邊長A/=|a|=L

夯基提能?落實(shí)素養(yǎng)課后層級(jí)訓(xùn)練，步步提升能力

HANGJITINENGLUOSHISUYANG

A級(jí)——學(xué)考合格性考試達(dá)標(biāo)練

1.下列說法中正確的個(gè)數(shù)是()

①身高是一個(gè)向量；②/A08的兩條邊都是向量；③溫度含零上和零下溫度，所以溫度

是向量；④物理學(xué)中的加速度是向量.

A.0B.1

C.2D.3

解析：選B身高只有大小，沒有方向，故①不是向量，同理③不是向量；對②，ZAOB

的兩條邊只有方向，沒有大小，不是向量：④是向量.故選B.

2.下列說法正確的是（）

A.若|a|=|b|,則a=±b

B.零向量的長度是0

C.長度相等的向量叫相等向量

D.共線向量是在同一條直線上的向量

解析：選B對A,當(dāng)|a|=|b|時(shí)，由于a,b方向是任意的，a=±b未必成立，所以A錯(cuò)

誤；對B,零向量的長度是0,正確；對C,長度相等的向量方向不一定相同，故C錯(cuò)誤；

對D,共線向量不一定在同一條直線上，故D錯(cuò)誤.故選B.

3.汽車以120km/h的速度向西走了2h,摩托車以45km/h的速度向東北方向走了2h,

則下列命題中正確的是（）

A.汽車的速度大于摩托車的諫度

B.汽車的位移大于摩托車的位移

C.汽車走的路程大于摩托車走的路程

D.以上都不對

解析：選C速度和位移是向量，由向量不能比較大小可知A、B錯(cuò)；汽車走的路程為

240km,摩托車走的路程為90km,故C正確.故選C.

4.如圖，在矩形4BCO中，可以用同一條有向線段表示的向量是（）

A.7r和瓦

C.不？和鋌D./和/A1------------------'B

解析：選B萬/和「48》方向相同且長度相等，是相等向量，故可以用同一條有向線段

表示.故選B.

5.若|京|=|而|且右＞=~CD,則四邊形4BC。的形狀為（）

A.平行四邊形B.矩形

C.菱形D.等腰梯形

解析：選C'：~BA=~CD,，四邊形A6C。為平行四邊形.又萬|=|7K|,

???平行四邊形ABCD相鄰兩邊相等，故四邊形ABCD為菱形.故選C.

6.下列敘述：

（1）單位向量都相等；

（2）若一個(gè)向量的模為0,則該向量的方向不確定；

（3）共線的向量，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)一定不同；

(4)方向不同的兩個(gè)向量一定不平行.

其中正確的有.(填所有正確的序號(hào))

解析：(1)錯(cuò)誤.單位向量模恭相等，但是方向不一定相同.

(2)正確.若一個(gè)向量的模為0,則該向量是零向量，其方向不確定，是任意的.

(3)錯(cuò)誤.共線的向量，若起點(diǎn)不同，但終點(diǎn)有可能相同.

(4)錯(cuò)誤.方向相反的兩個(gè)向量一定平行.

答案：Q)

7.若a為任一非零向量，b為單位向量，下列各式：

(l)|a|>|b|；(2)a〃b；(3)|a|>0；(4)|b|=±l；

(5)若刖是與a同向的單位向量，則ao=b.

其中正確的是.(填序號(hào))

解析：對(1),不一定有|a|>|b|;對(2),a與b方向不一定相同或相反：對⑶,非零向量

的模必大于0,即|a|>0;對(4),向量的模非負(fù)；對(5),刖與b方向不一定相同.綜上可知(3)

正確.

答案：(3)

8.已知|命|=1,|工？|=2,若NA5C=90。，則尸.

解析：由勾股定理可知，BC=7AC2-AB?=小,所以|記|=小.

答案：小

9.如圖是4X3的矩形(每個(gè)小方格的邊長都是1),在起點(diǎn)和終R

點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)處的向量中，與向量右平行且模為明的向量目4~~~~

共有幾個(gè)？與向量右方向相同且模為外△的向量共有幾個(gè)？Ar~

解：(1)依題意，每個(gè)小方格的兩條對角線中，有一條對角線對

應(yīng)的向量及其相反向量都和二方平行且模為6.

因?yàn)楣灿?2個(gè)小方格，所以滿足條件的向量共有24個(gè).

(2)易知與向量H方向相同且模為3出的向量共有2個(gè).

10.已知四邊形A8CO中，且|商|=|賓tan￡>=、e，判斷四邊形ABC。

的形狀.

解：??,在四邊形48CO中，~\B=~DC,

:.四邊形ABCD是平行四邊形.

VtanD=V3,<8=0=60。.

=.??△48C是等邊三角形.

：.AB=BC,J四邊形ABCD是菱形.

B級(jí)——面向全國卷高考高分練

1.已知在平面內(nèi)點(diǎn)。固定，且|畫|=2,則A點(diǎn)構(gòu)成的圖形是（）

A.一個(gè)點(diǎn)B.一條直線

C.一個(gè)圓D.不能確定

解析：選C由于|萬屋|=2,所以A點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)以。為圓心，半徑為2的圓.故選C.

A

2.已知D為平行四邊形ABPC兩條對角線的交點(diǎn)，則絲與1的值為（）

\AD\

A.￡B.；

C.ID.2

解析：選C因?yàn)樗倪呅蜛6PC是平行四邊形，。為對角線8c與AP的交點(diǎn)，所以力

>

為外的中點(diǎn)，所以If0?的值為1.故選C.

\AD\

3.［多選］如圖，在菱形ABC。中，ND48=120。，則以下說法正確的是（）

A.與相等的向量只有一個(gè)（不含AB）

B.與^萬的模相等的向量有9個(gè)（不含封）

C.前的模恰好為由的模的小倍

D.W濟(jì)與~5彳不共線

解析：選ABC與AB相等的向量只有DC,A正確；由已知條件

可得|又才|=|后|=|2r|=|商|=|73|=|畫|=|虎『P?萬尸|前|

=1^40|,B正確；如圖，過點(diǎn)8隹￡）4的垂線交D4的延長線于瓦固為

ND48=120°,四邊形A5c。為菱形，所以N8QE=NABE=30°,在RtZkBEO中，|￡>8|=

r5rl,在RtZkAEB中，|西|=；|商|=,而I,所以|"5萬|==小|DA|,C正確;

cos30°

2

宿與次方向相同，大小相等，故7咨=歷>,言與'5T共線，D錯(cuò)誤.故選A、B、

C.

4.給出下列命題：①若|a|=0,則a=0；②若|a|=|b|,則a=b；③若a〃b,則|a|=|b|.

其中，正確的命題有()

A.0個(gè)B.1個(gè)

C.2個(gè)D.3個(gè)

解析：選A①忽略了0與0的區(qū)別，a=0:②混淆了兩個(gè)向量的模相等和與兩個(gè)向量

相等的概念，|a|=|b|只能說明它們的長度相等，它們的方向并不確定；③兩個(gè)向量平行，可

以得出它們的方向相同或相反，未必得到它們的模相等.故選A.

5.四邊形A38滿足於=下落且|3|=|同|,則四邊形力5c。是______(填四

邊形ABCO的形狀).

解析：9：~AD=~BC,J.AD//BC|=|~?C|,二四邊形A8CO是平行四邊形.

又|AC|=|BD|知該平行四邊形對角線相等，故四邊形ABCD是矩形.

答案：矩形

6.如圖所示，每個(gè)小正方形的邊長都是1,在其中標(biāo)出了6個(gè)向量，在這6個(gè)向量中:

(1)有兩個(gè)向量的模相等，這兩個(gè)向量是，它們的模都等

于.

(2)存在著共線向量，這些共線的向量是，它們的模的和

等于.

解析：結(jié)合圖形可知，(i)ikFi=i仄Ei=J而.

(2)次？與訴共線，I萬Zf|=2吸，I/|=3啦，故|衣T|+|訴|=5啦.

答案：(1)方Z,~AE遮(2)-DG,~HF5^2

7.如圖，D,E,尸分別是正三角形A8C各邊的中點(diǎn).八/I

(1)寫出圖中所系與向量"5日長度相等的向量；nZ\ir

(2)寫出圖中所示與向量竊相等的向量；/\/\

BEC

(3)分別寫出圖中所示向量與向量力廣，F(xiàn)fT共線的向量.

解：(1)與無長度相等的向量是后，~TD,才，-FC,~BD,-5Z,~CE,~EB.

(2)與FD相等的向量是CE,EB.

(3)與石紊共線的向量是次,~AFt~FC\與同共線的向量是百，年，~CB.

C級(jí)——拓展探索性題目應(yīng)用練

在直角坐標(biāo)系中畫出下列向量，使它們的起點(diǎn)都是原點(diǎn)0,并求終點(diǎn)的坐標(biāo).

(l)|a|=2,a的方向與x軸正方向的夾角為60。，與)，軸正方向的夾角為30。；

（2）|a|=4,a的方向與x軸正方向的夾角為30。,與y軸正方向的夾角為120。；

（3）|a|=4、”，a的方向與x軸正方向、），軸正方向的夾角都是135。.

解：如圖所示.

6.2平面向量的運(yùn)算

6.2.1向量的加法運(yùn)算

新課程標(biāo)準(zhǔn)新學(xué)法解讀

向量的加法運(yùn)算可類比實(shí)數(shù)的加法運(yùn)算，以

借助實(shí)例和平面向量的幾何表示，掌握平面

位移合成、力的合成兩個(gè)物理模型為背景引

向量加法運(yùn)算，理解其幾何意義.

入來理解.

共同基礎(chǔ)?系統(tǒng)落實(shí)課前自主學(xué)習(xí)，基穩(wěn)才能樓高

GONGTONQJICHUXITONGLUOSHI

［思考發(fā)現(xiàn)］

1.在△A8C中，=a,~Jc=b,則a+b等于（）

ATCAB.^BC

C^ABD^AC

解析：選DAB>+8}=4}.故選D.

2.下列等式中不正確的是（）

A.a+0=aB.a-l-b=b+a

C.|a+b|=|a|+|b|D.^AC=~DC+~~BD

解析：選C當(dāng)a與b方向不同時(shí)，|a+b|#|a|+|b|.故選C.

3.已知正方形48co的邊長等于1,則等于（）

A.IB.2小

C.3D.R

解析：選B原式=2|3|=26.故選B.

^TAB+~BC+~CD=.

解析：AB+CD=7c+^CD=~AD.

答案：AD

5.在矩形ABCD中，AB+AD=.

解析：根據(jù)向量加法的平行醺邊形法則知，~AB^~AD=~AC.

答案："AC

［系統(tǒng)歸納］

1.對向量加法的三角形法則的兩點(diǎn)說明

(1)適用范圍：任意向量.

(2)注意事項(xiàng)：

①兩個(gè)向量一定首尾直連;

②和向量的始點(diǎn)是第一個(gè)向量的始點(diǎn)，終點(diǎn)是第二個(gè)向量的終點(diǎn):

③當(dāng)多個(gè)向量相加時(shí),可以使用三角形法則?

2.對向量加法的平行四邊形法則的三點(diǎn)說明

(1)適用范圍：任意兩個(gè)非零向量,且不共線.

(2)注意事項(xiàng)：

①兩個(gè)非零向零一定要有相同的始點(diǎn);

②平行四邊形中的一個(gè)對角線所對應(yīng)的向量為和向量；

③方法與步驟：

第一步：先把兩個(gè)已知向量a與b的始點(diǎn)平移到同一點(diǎn);

第二步：以這兩個(gè)已知向量為鄰邊作平行四邊形.

3.向量加法交換律的運(yùn)用

向量的加法滿足交換律，因此在進(jìn)行多個(gè)向量的加法運(yùn)算時(shí)，可以按照任意的次序和任

意的組合去進(jìn)行.

關(guān)鍵能力-重點(diǎn)培優(yōu)課堂講練設(shè)計(jì)，舉一能通類題

GUANJIANNENGLIZHONGDIANPEIYOI

求作向量的和

［例1］(1)如圖①，利用向量加法的三角形法則作出a+b；

(2)如圖②，利用向量加法的平行四邊形法則作出a+b.

［解］⑴如圖a所示，設(shè)。4=a,Va與b有公共點(diǎn)A,故過4點(diǎn)作AB=b,連接OB

即為a+b.

⑵如圖b,設(shè)OA=a,過O點(diǎn)、作OB=b,則以04,OB為鄰邊作。O4C8,連接OC,

則碇=0A+~0B=a+b.

應(yīng)用三角形法則和平行四邊形法則應(yīng)注意的問題

(I)三角形法則可以推廣到〃個(gè)向量求和，作圖時(shí)要求“首尾相連”，即〃個(gè)首尾相連的

向量的和對應(yīng)的向量是第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第〃個(gè)向量的終點(diǎn)的向量.

(2)平行四邊形法則只適用于不共線的向量求和，作圖時(shí)要求兩個(gè)向量的起點(diǎn)重合.

(3)求作三個(gè)或三個(gè)以上的向量的和時(shí)，用三角形法則更簡單.

［變式訓(xùn)練］

如圖所不，已知向量a,b,c不共線，作向量a+b+c.\X/C

解:法一(三角形法則)：如圖(1),在平面內(nèi)作7l=b,則

OB=a+b：再作BC=c,則0C=a+b+c.

圖(1)四(2)

法二(平行四邊形法則)：如圖⑵，在平面內(nèi)作0B>=b,以04與08為鄰邊

作平行四邊形Q4OB,則OD=a+b；再作0C=c,以0。與0C為鄰邊作平行四邊形0DEC,

則OE=a+b+c.

rrret向量加法及運(yùn)算律的應(yīng)用

［例2］化簡：(1)(7萬+-。1)+(譴+萬昌；

(2)78*+/+方+BC+啟.

［解］（1）法一：（N亍+-5?）+（司+/）=（左+鋌）+（司+/）=3+

CB=AB.

法二：（常+~DB）+（CD~^~BC）=~AB-\~CBC+-CD+萬？）=/萬+0='.

（2fAB+^57+-CD-\-~BC-~FA=（AB+）5）+（司+/+后）=*+/

=0.

CXD?@

向量加法運(yùn)算的幾個(gè)注意點(diǎn)

（1）解決該類題目要靈活應(yīng)用向量加法運(yùn)算律，注意各向量的起、終點(diǎn)及向量起、終點(diǎn)字

母排列順序，特別注意勿將。寫成0.

（2）運(yùn)用多邊形法則進(jìn)行向量加法求和時(shí)，在圖中表示“首尾相接”時(shí)，其和向量是從第

一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn).

［變式訓(xùn)練］

1.在平行四邊形A8CO中，商+a+而等于（）

A.ABB.BA

C.~BCDTCD

解析：選D原式=/+灰+萬萬=7日.故選D.

2.如圖，在正六邊形A8CD"中，。是其中心.

則：①二濟(jì)+,=；

?AB+~AF-\-~BC=；

@OC+~OD-\-~EF=.

解析：①常+,=常+謁=而.

②71+7萬+BC=1。＞+BC=AOOD=~AD.

③碇+~OD-\-~EF=~OC-V~OD+~OA=~OC.

答案：①1萬②育③出？

mH向量加法的實(shí)際應(yīng)用

［例3］一架執(zhí)行任務(wù)的飛機(jī)從4地按北偏西30。的方向飛行300km后到達(dá)B地，然后

向。地飛行，已知。地在A地東偏北30。的方向處，且A,C兩地相距300km,求飛機(jī)從8

地到C地飛行的方向及B,C間的距離.

［解］如圖所示，~BC=~BAA-~AC,NBAC=90。，\~^B\=\~AC\

=300km,所以|"^|=30麗km.

又因?yàn)镹ABC=45°,且A地在B地的東偏南60°的方向處，可知C

地在8地的東偏南15。的方向處.

故飛機(jī)從3地向C地飛行的方向是東偏南15°,B,C兩地間的距離為300&km.

CID?0

利用向量的加法解決實(shí)際應(yīng)用題的三個(gè)步驟

［變式訓(xùn)練］

1.若a表示“向東走8km”,b表示"向北走8km"，則|a+b|=,a+b的方

向是.

解析：如圖所示，設(shè)AB*=a,BC=b,則4d=a+b,且△ABCc

為等腰直角三角形，則|京|=8/km,ZBAC=45°.

答案：8也km北偏東45。

2.某人在靜水中游泳，速度為46km/h,如要他向垂直于河對

岸的方向游向河對岸，水的流速為4km/h,他實(shí)際沿_______方向前進(jìn)，速度為.

0

OA

解析：?；O8=4S，04=4,??.OC=8,???/。。4=60。.即他實(shí)標(biāo)沿與水流方向成60。的

方向前進(jìn)，速度為8km/h.

答案：與水流方向成60。的（答案不唯一）8km/h

夯基提能-落實(shí)索養(yǎng)課后層級(jí)訓(xùn)練，步步提升能力

HANGJITINENGLUOSHISUYANG

A級(jí)——學(xué)考合格性考試達(dá)標(biāo)練

1.在四邊形ABC。中，ABAD=AC,則四邊形48co是（）

A.梯形B.矩形

C.正方形D.平行四邊形

解析：選D由平行四邊形法則可得，四邊形48CO是以為鄰邊的平行四邊形.故

選D.

2.已知a,b?c是非零向量，則(a+c)+b,b+(a+c),b+(c+a),c+(a+b),c+(b

+a）中，與向量a+b+c相等的向量的個(gè)數(shù)為（）

A.5B.4

C.3D.2

解析：選A向量加法滿足交換律，所以五個(gè)向量均等于a+b+c.故選A.

3.向量（謁+標(biāo)）+（訪+束）+麗=（）

A.BCB.AB

C.ACD.AM

解析:選cCAB+~MB)+CBO+~BC)+~OM=CABVBO)4-(7TB4--?C)4-OW=

1方+證+說=（1萬+拓川+怖=拓7+77?=*.故選c.

4.如圖，正六邊形48CDE尸中，~BA~^~CD+~FE={）

A.0B.BE

C^ADD."CF

解析：選B連接BE,取BE中點(diǎn)O,連接OF,BF：：~CD=

~AFt則右”+,+庶=（%>+工萬）+予才=2區(qū)故選B.

5.己知向量3〃1）,且|a|>|b|>0,則向量a+b的方向（）

A.與向量a的方向相同

B.與向量a的方向相反

C.與向量b的方向相同

D.不確定

解析：選A若a和b方向相同，則它們的和的方向應(yīng)該與a（或b）的方向相同；若它們

的方向相反，而a的模大于b的模，則它們的和的方向與a的方向相同.故選A.

6.如圖所示，四邊形4BCD是梯形，AD//BC,則-01+BC+

AB=,

解析：~0A-\-~BC=~0A-\-~BC=~0C.

答案：~oc

7.在菱形A5CO中，ZDA8=60。，|A8"|=1,則十萬.

解析：如圖，|BC+DC|=|ACI,在RlZkAOB中，AB=1,NOAB

=30°,AC=2AO=2ABcos30o=-73.

答案：小

8.若|a|=|b|=2,則|a+b|的取值范圍為.,當(dāng)|a+b|取得最大值時(shí)，向量ab的方

向

解析：由||a|一|b||W|a+b|W|a|+|b|知0W|a+b|W4,當(dāng)|a+b|取得最大值時(shí)，向量a,b的

方向相同.

答案：［0,4］相同

9.如圖所示，求:

(l)a+d：(2)c+b：⑶e+c+b：

(4)c+f+b.

解：(l)a+d=d+a=DO+OA=DA;

(2)c+b=CO+OB=CB;

(3)e+c+b=e+(c+b)=e+~CB=~DC+~CB=~DB;

(4)c4-f+b=-CO+~OB+~BA=~CA.

10.如圖，點(diǎn)D,E,尸分別為AABC的三邊AB,BC,C4的中點(diǎn).求

證:

(1)^4^+~BE=~AC+~CE；

(2)EA+~FBA-DC=0.

證明：(1)由向量加法的三角形法則,

+~BE=~AE,~AC-￥~CE=^E,

：.~AB+~BE=~AC+"CE.

(2)由向量加法的平行四邊形法則,

?：~EA=~EF-\-~ED,~FB=~FE~^-~FDf~DC=~DF-\-~DEf

:.EA+FB+DC=EF+ED+FE+FD+DF+DE

=(EF4--F^)+(^D+方)+(同+-5F)

=0+04-0=0.

B級(jí)——面向全國卷高考高分練

1.如圖所示的方格紙中有定點(diǎn)O,P,Q,E,F,G,H,則OP+OQ=()

X^OHB.~d1

C.FOD.EO

解析：選C/+&=萬萬.故選C.

2.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C及平面內(nèi)一點(diǎn)尸滿足加>+￥/=隹，則下列結(jié)

論中正確的是()

A.尸在△ABC的內(nèi)部

B.P在△ABC的邊A8上

C.P在A3邊所在的直線上

D.P在△4BC的外部

解析：選D~PA+~PB=~PCt根據(jù)平行四邊形法則，如圖，町點(diǎn)六，二

P在△ABC外.故選D.

3.若在△ABC中，~7^B=a,~BC=b,且間=|b|=1,|a+b|=，5,則△ABC的形狀是()

A.正三角形B.銳角三角形

C.斜三角形D.等腰直角三角形

解析：選D由于二才=|a|=l,|-5C|=|b|=l,|I}|=|a+bl=YE,所以△ABC為等腰

直角三角形.故選D.

4.已知萬1=10,|京1=7,則|次|的取值范圍是()

A.[3,1刀B.(3,17)

C.(3,10)D.[3,10]

解析：選A利用三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊的性質(zhì)及7萬與黃

共線時(shí)的情況求解.即[48>|一「4?必|BC>|W「AC>|+|AB*|,故3W|8C>|W17.故選A.

5.在菱形ABC。中，NZM8=60。，向量|西|=1,M|-BC+_CD|=.

解析：在△ABO中，AD=AB=\fNOA8=60。，ZkABC是等邊三角形，則BO=1,則

\BC-\-~CD\=\BD\=\.

答案：1

6.如圖，已知電線A0與天花板的夾角為60。，電線AO所受拉力A

|Fi|=24N.繩8。與墻壁垂直，所受拉力|F2|=12N,則F】與F2的合

力大小為，方向?yàn)?

解析：以7江，0萬為鄰邊作平行四邊形BOAC,則FI+F2=F,

+08=OC,則ZOAC=60°,|OA|=24,

1^1=1^51=12,，NACO=90。，.,.1-OC|=12V3.

，F(xiàn)i與F2的合力大小為12小N,方向?yàn)樨Q直向上.

答案：125N豎直向上

7.如圖所示，ZAOB=ZBOC=\2Q0,\OA\=rOB\=\OC\^求百

+OB+~OC.

解：如圖所示，以O(shè)A,。8為鄰邊作平行四邊形0AQ8,由向量加

法的平行四邊形法則知

OA+OB=OD.

由|畫|=|西NAO8=12。。，

知/8。。=60。，|七8?|=|。匹.

又NCOB=120。，3AOB\=\OC\.

：.7)D+~OC=0,故為了+茜+萬不=0.

C級(jí)——拓展探索性題目應(yīng)用練

如圖，已知向量a,b,c,d.

(1)求作a+b+c+d.

(2)設(shè)|a|=2,e為單位向量，試探索|a+e|的最大值.

解：(1)在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作Q4=a,AB=b,BC=c,CD

=d,則OD=a+b+c+d.

(2)在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,

作OA=a,AB=e,

則a+e=-5Z+至萬=~OBt

因?yàn)閑為單位向量，

所以點(diǎn)8在以A為圓心的單位圓上（如圖所示）,

由圖可知當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)Bi時(shí)，印O,A,8i三點(diǎn)共線時(shí),

|a+e|最大，最大值是3.

6.2.2向量的減法運(yùn)算

新課程標(biāo)準(zhǔn)新學(xué)法解讀

向量的減法運(yùn)算是通過類比實(shí)數(shù)的減法運(yùn)算

借助實(shí)例和平面向量的幾何表示，掌握平面

來引入的，可依物理上力的分解為背景來理

向量減法運(yùn)算，理解其幾何意義.

解把握.

共同基礎(chǔ)?系統(tǒng)落實(shí)課前自主學(xué)習(xí)，基穩(wěn)才能樓高

GONGTONGJICHUXITONGLUOSHI

［思考發(fā)現(xiàn)］

1.下列等式：

?0_a=_a：②一（-a）=a：③a+（—a）=0；?a_0=a；⑤a—b=a+（—b）；⑥a+（一

a）=0.

正確的個(gè)數(shù)是（）

A.3B.4

C.5D.6

解析：選C根據(jù)向量的加減運(yùn)算易知①②③④⑤均正確.⑥錯(cuò)誤.故選C.

2.在△ABC中，若石「=a,~BC=b,則ZT=（）

A.aB.a+b

C.b—aD.a-b

解析：選D~CA=BA-BC=a-b.故選D.

3.化簡歷7一再T+而所得的結(jié)果是（）

A.和B.初

C.0D.MN

解析：選C前一麗+麗=麗+麗=0.故選c.

4.在平行四邊形A8CD中，^BC~^CD-\-~BA)

ATBCB.^AD

C^ABD^AC

解析：選A在平行四邊形ABCD中，下｝=ADt所以—4/+BA=AD-CD

+~BA=~BA+~AD-~CD=~BD-~CD='^?.故選A.

5.在四邊形A3c。中，若方=而3，且|西十潮|=|西一而I，則四邊形A4C。

的形狀是()

A.平行四邊形B.矩形

C.菱形D.正方形

解析：選B如圖，*：~AB=~DC,D_______

???四邊形A4CQ為平行四邊形.

-->>----->----->>>-------------HP/?

ABAD=ACfAB-AD=DB."

由已知|AB'+"4萬|=-AD|.

：.\AC\=\DBt

又;對角線相等的平行四邊形為矩形.故選B.

［系統(tǒng)歸納］

1.對于相反向量的兩點(diǎn)說明

(1)相反向量與相等向量一樣，從“長度”和“方向”兩方面進(jìn)行定義，相反向量必為平

行向