廣東省廣州市天河區(qū)2025屆高三上學(xué)期模擬數(shù)學(xué)試卷

數(shù)學(xué)本卷滿分150分，考試時間120分鐘．注意事項：1.答卷前，考生必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的學(xué)校、姓名、班級、座位號和考生號填寫在答題卡相應(yīng)的位置上，再用2B鉛筆把考號的對應(yīng)數(shù)字涂黑．2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；不能答在試卷上．3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆或涂改液．不按以上要求作答的答案無效．4.考生必須保證答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若全集，集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)補集的定義可得，再由并集的定義求解即可.【詳解】解：因為，，所以，所以.故選：A.2.已知數(shù)據(jù)，且滿足，若去掉，后組成一組新數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)相比，有可能變大的是（）A.平均數(shù) B.中位數(shù) C.極差 D.方差【答案】A【解析】【分析】根據(jù)極差，中位數(shù)以及方差的定義即可排除BCD，舉反例即可求解A.【詳解】由于，所以原來的極差為，新數(shù)據(jù)的極差為，故極差變小，原來和新數(shù)據(jù)的中位數(shù)均為，故中位數(shù)不變，去掉，后，數(shù)據(jù)波動性變小，故方差變小，因此可能變大的是平均數(shù)，比如，原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6.6，去掉1和12后，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，但，故A正確.故選：A3.若，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分別求解不等式，再由充分條件以及必要條件的定義，即可判斷.【詳解】因為在上單調(diào)遞增，由可得，即，所以，但無法保證，故不一定成立，充分性不滿足；由可得，所以一定成立，故必要性滿足；所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B4.已知為第一象限角，為第四象限角，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正切的差角公式可得，即可結(jié)合角的范圍，根據(jù)同角關(guān)系求解.【詳解】因為，，所以，故，又是第一象限角，為第四象限角，故，因此，因此，由于，則，故.故選：C.5.大西洋鮭魚每年都要逆游而上游回產(chǎn)地產(chǎn)卵.研究鮭魚的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)鮭魚的游速（單位：）可以表示為，其中表示鮭魚的耗氧量的單位數(shù).若一條鮭魚游速為時耗氧量的單位數(shù)為，游速為時耗氧量的單位數(shù)為，則（）A.3 B.6 C.9 D.12【答案】C【解析】【分析】利用對數(shù)的運算法則計算即可.【詳解】根據(jù)題意可得，，兩式相減得，所以，所以，所以.故選：C.6.數(shù)列中，，，若是數(shù)列的前項積，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得，然后求得的表達式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得正確答案.【詳解】依題意，，，所以，所以，所以，函數(shù)的開口向下，對稱軸為，所以當(dāng)或時，取得最大值為.故選：D7.在平面直角坐標(biāo)系中，以軸非負半軸為始邊作角和角，，它們的終邊分別與單位圓交于點，，設(shè)線段的中點的縱坐標(biāo)為，若，則角的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由點的坐標(biāo)可得，結(jié)合恒等變換公式化簡，然后求解三角函數(shù)不等式，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，，則，由可得，即，解得，即，又，則時，.故選：B8.已知函數(shù)，若存在唯一的零點，且，則的取值范圍是（）A.(1,+∞) B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通過對進行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)零點的存在性定理，判斷出函數(shù)在定義域上的零點，進而得出結(jié)果．【詳解】因為，所以當(dāng)時，由，解得或，且有，，當(dāng)，f'x>0，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)，f'x<0，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈0,+∞，f'x又因為，，,所以，存在一個負數(shù)零點，所以符合題意；當(dāng)時，令，解得或，且有，當(dāng)，f'x<0，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)，f'x>0，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)，f'x<0，在區(qū)間上單調(diào)遞減；又因為，,所以存在一個負數(shù)零點，要使存在唯一的零點，則滿足，解得，又因為，所以，綜上，的取值范圍是或．故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的部分分，有選錯的得0分.9.以下說法正確的是（）A.兩個變量的樣本相關(guān)系數(shù)越大，它們的線性相關(guān)程度越強B.殘差點分布在以橫軸為對稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi)，該區(qū)域越窄，擬合效果越好C.根據(jù)分類變量與的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到，則依據(jù)的獨立性檢驗，可以認為“與沒有關(guān)聯(lián)”D.若隨機變量，，則【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合相關(guān)系數(shù)的概念，以及獨立性檢驗的概念和正態(tài)分布的概率公式，逐項判斷即可求解.【詳解】對于A，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義，當(dāng)時，表明兩個變量正相關(guān)；當(dāng)時，表明兩個變量負相關(guān)，其中，且當(dāng)越接近1時，相關(guān)程度越大；當(dāng)越接近0時，相關(guān)程度越小，故A錯誤.對于B，殘差點分布越窄，說明大部分預(yù)測值與實際值的偏離越小，擬合效果較好，故B正確.對于C，獨立性檢驗的判斷標(biāo)準(zhǔn)是，若計算得出的值大于臨界值，則拒絕獨立性假設(shè)，說明變量與存在關(guān)聯(lián)。因此，，意味著拒絕“與沒有關(guān)聯(lián)”的零假設(shè)，故C錯誤.對于D，對于，則，所以，對于，則，所以，又，所以，故D正確故選：BD.10.設(shè)函數(shù)，已知在區(qū)間有且僅有個對稱中心，則（）A.在區(qū)間有且僅有2個極大值點 B.在區(qū)間有且僅有3個極小值點C.在區(qū)間單調(diào)遞減 D.的取值范圍是【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)在區(qū)間上對稱中心的個數(shù)求得的取值范圍，根據(jù)極大值、極小值、單調(diào)性等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】由，得，由于在區(qū)間有且僅有5個對稱中心，所以，解得，所以D選項錯誤.由上述分析可知，所以對于A選項，由或，即或時，取得極大值，所以A選項正確.對于B選項，當(dāng)時，，由或，即或時，取得極小值，即只有個極小值，所以B選項錯誤.對于D選項，由上述分析可知，所以當(dāng)時，，所以在區(qū)間單調(diào)遞減，C選項正確.故選：AC11.已知函數(shù)定義域為，集合，在使得的所有中，下列成立的是（）A.存在，當(dāng)時有 B.存在是增函數(shù)C.存在是奇函數(shù) D.存在，使恒大于0【答案】ACD【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)可判斷AD；根據(jù)增函數(shù)定義即集合的含義可判斷B；構(gòu)造函數(shù)可判斷C.【詳解】對A，構(gòu)造函數(shù)，圖象如圖所示：此時，顯然存在時，，A正確；對D，由A中函數(shù)可知，存在，使恒大于0，D正確；對B，若是增函數(shù)，則對任意，都有時，則，所以B錯誤；對C，構(gòu)造函數(shù)，圖象如下圖：易知，是奇函數(shù)，且，故C正確.故選：ACD【點睛】關(guān)鍵點睛：本題關(guān)鍵在于理解集合的含義，根據(jù)選項構(gòu)造相應(yīng)函數(shù).三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)，若曲線y=f(x)在x=1處的切線的斜率為，則實數(shù)【答案】【解析】【分析】求導(dǎo)，即可根據(jù)切線斜率求解.【詳解】由可得，由于曲線y=f(x)故，解得，故答案為：13.若的展開式中，項的系數(shù)為-8，則的最大值為____.【答案】##0.125【解析】【分析】根據(jù)二項式展開式的特征，可得項的系數(shù)為為，即可根據(jù)求解.【詳解】,又，故，可由分別提供得到，或者提供得到，或者提供得到，故項的系數(shù)為為，故，即，要使最大，則需為正數(shù)，因此，故，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故答案為：14.袋子里有四張卡片，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，從袋子中有放回地依次隨機抽取四張卡片并記下卡片上數(shù)字，則有兩張卡片數(shù)字之和為5概率是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)分類加法計數(shù)原理，將兩張卡片數(shù)字之和不為5的分為5種情況有：即可根據(jù)組合數(shù)求解,結(jié)合對立事件的概率公式即可求解.【詳解】根據(jù)題意可知：有放回地依次隨機抽取四張卡片可得所有情況有種，任意兩張卡片數(shù)字之和不為5的情況有：①1111，2222，3333，4444，都各有1種，②1112，1122，1222，有種，③1113，1133，1333，有種，④2224，2244，2444有種，⑤3334，3344，3444有種，故總的情況有，故有兩張卡片數(shù)字之和為5的概率是，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列的前項和公式為，數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的通項公式.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系即可求解，（2）根據(jù)，利用累加法，結(jié)合錯位相減即可化簡求解.小問1詳解】由可得時，，故，當(dāng)時，也符合要求，故，【小問2詳解】由可得，故時，，則，相減可得，故，化簡可得，故，當(dāng)時，也符合要求，故16.三角形中，內(nèi)角，，對應(yīng)邊分別為，，，面積.（1）求的大小；（2）如圖，若為外一點，在四邊形中，邊長，，，求CD的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)面積公式以及余弦定理可得，即可求解，（2）根據(jù)正弦定理可得，即可根據(jù)二倍角公式化簡得，利用余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【小問1詳解】因為，即，所以，所以，因為，所以．【小問2詳解】在和中，由正弦定理可得，設(shè)，，則，故兩式相除可得，即,因此，故當(dāng)時，即時，此時取最大值1，故取最小值.17.已知函數(shù).（1）若，求證：當(dāng)x>0時，；（2）若x=0是的極大值點，求的取值范圍.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）令，再求導(dǎo)可得，即可得到在上恒成立，即可證明；（2）分類討論可得單調(diào)性，分、、、四種情況討論，判斷的單調(diào)性，即可確定極值點，從而得解；【小問1詳解】若，則，令，則，當(dāng)時，，即在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，所以，即在上單調(diào)遞增，所以.【小問2詳解】由題知，令，則，當(dāng)時，在區(qū)間單調(diào)遞增，當(dāng)時，令，解得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則當(dāng)時，，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；所以是函數(shù)的極小值點，不符合題意；當(dāng)時，，且，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；所以是函數(shù)的極小值點，不符合題意；當(dāng)時，，則當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，所以無極值點，不合題意；當(dāng)時，，且；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；所以是函數(shù)的極大值點，符合題意；綜上所述，的取值范圍是.18.小張參加某項專業(yè)能力考試.該考試有，，三類問題，考生可以自行決定三類問題的答題次序，回答問題時按答題次序從某一類問題中隨機抽取一個問題回答，若回答正確則考試通過，若回答錯誤則繼續(xù)從下一類問題中再隨機抽取一個問題回答，依此規(guī)則，直到三類問題全部答完，仍沒有答對，則考試不通過.已知小張能正確回答，，三類問題的概率分別為，，，且每個問題的回答結(jié)果相互獨立.（1）若小張按照在先，次之，最后的順序回答問題，記為小張的累計答題數(shù)目，求的分布列；（2）小張考試通過的概率會不會受答題次序的影響，請作出判斷并說明理由；（3）設(shè)，為使累計答題數(shù)目的均值最小，小張應(yīng)如何安排答題次序？并說明理由.【答案】（1）答案見解析（2）會，理由見解析（3）應(yīng)按的順序答題，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)相互獨立事件概率計算公式求得分布列.（2）計算按的順序、的順序答題時，累計答題數(shù)目的均值，從而作出判斷.（3）計算按的順序、的順序、的順序、的順序答題時，累計答題數(shù)目的均值，從而作出判斷.【小問1詳解】按的順序答題，的可能取值為，則,，，所以的分布列為：【小問2詳解】小張考試通過的概率會受答題次序的影響，理由如下：若按的順序答題，設(shè)為此時小張的累計答題數(shù)目，由（1）得.若按的順序答題，設(shè)為此時小張的累計答題數(shù)目，則，所以.，由于的值不一定為，所以不一定相等，所以小張考試通過的概率會受答題次序的影響.【小問3詳解】應(yīng)按的順序答題，理由如下：設(shè)，，.根據(jù)（2）可知.若按的順序答題，設(shè)為此時小張的累計答題數(shù)目，同理可得.若按的順序答題，設(shè)為此時小張的累計答題數(shù)目，同理可得.，若按的順序答題，設(shè)為此時小張的累計答題數(shù)目，同理可得.若按的順序答題，設(shè)為此時小張的累計答題數(shù)目，同理可得..所以累計答題數(shù)目的均值最小的，是、、中最小的一個，，，所以，，，所以，所以最小的是，所以應(yīng)按的順序答題.【點睛】方法點睛：本題涉及相互獨立事件和期望值的計算，考查考生對獨立事件概率分布及期望最小化策略的理解與應(yīng)用．題目包含了分布列的計算、不同答題順序?qū)Y(jié)果的影響，以及最優(yōu)答題順序的選擇，整體具有一定的綜合性和策略性．解答過程中使用了差比較法來進行比較，使得結(jié)論更具說服力．19.如果函數(shù)y=f(x)，滿足：對于任意，，均有（為正整數(shù)）成立，則稱函數(shù)y=f(x)在上具有“級（1）判斷在區(qū)間上是否具有“1級”性質(zhì)，并說明理由；（2）若在區(qū)間上具有“1級”性質(zhì)，求的取值范圍；（3）已知函數(shù)在定義域上具有“級”性質(zhì)，求證：對任意，，當(dāng)時，都有成立.【答案】（1）具有“1級”性質(zhì)，利用見解析（2）（3）證