《計(jì)算機(jī)控制技術(shù)》課件第7章 離散控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

第7章離散控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)7.1離散系統(tǒng)分析基礎(chǔ)7.2離散系統(tǒng)性能分析7.3數(shù)字控制器直接設(shè)計(jì)7.4大林(Dahlin)算法7.5數(shù)字控制器D(z)算法實(shí)現(xiàn)7.1離散系統(tǒng)分析基礎(chǔ)

在連續(xù)系統(tǒng)分析中，應(yīng)用拉氏變換作為數(shù)學(xué)工具，將系統(tǒng)的微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，建立了以傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)的復(fù)域分析法，使得問(wèn)題得以大大簡(jiǎn)化。那么在離散系統(tǒng)的分析中是否也有類似的途徑呢？答案是肯定的，在離散系統(tǒng)中，采用Z變換法，也可以將差分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，同樣可以建立以Z傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)的復(fù)域分析法。7.1.1Z變換及性質(zhì)

1.Z變換定義

Z變換是拉氏變換的一種變形，是由采樣函數(shù)的拉氏變換演變而來(lái)的。連續(xù)信號(hào)e(t)的拉氏變換式E(s)是復(fù)變量s的有理函數(shù)。在一定條件下，微機(jī)控制系統(tǒng)中的采樣可假設(shè)為理想采樣。將連續(xù)信號(hào)e(t)通過(guò)采樣周期為T(mén)的理想采樣后可得到采樣信號(hào)e*(t)，它是一組理想加權(quán)脈沖序列，每一個(gè)采樣時(shí)刻的脈沖強(qiáng)度等于該采樣時(shí)刻的連續(xù)函數(shù)值，其表達(dá)式為

(7―1)

對(duì)式(7―1)進(jìn)行拉氏變換，得(7―2)

式中含有無(wú)窮多項(xiàng)，且每一項(xiàng)中含有e-kTs,它是s的超越函數(shù)，而不是有理函數(shù)，為了運(yùn)算方便，引入新的變量z，令z=eTs，則式(7―2)可改寫(xiě)為(7―3)

在式(7―3)中E(z)稱為e*(t)的Z變換。記作：

Z［e*(t)］=E(z)

因?yàn)閆變換只對(duì)采樣點(diǎn)上的信號(hào)起作用，所以也可寫(xiě)為：

Z［e(t)］=E(z)

將式(7―3)展開(kāi)，得

E(z)=e(0)z-0+e(1)z-1+e(2)z-2+…+e(m)z-m+…(7―4)

由此看出，采樣函數(shù)的Z變換是變量z的冪級(jí)數(shù)(或稱羅朗級(jí)數(shù))。其一般項(xiàng)e(kT)·z-k的物理意義是e(kT)表征采樣脈沖的幅值；z的冪次表征采樣脈沖出現(xiàn)的時(shí)刻。因?yàn)樗劝肆恐敌畔(kT)，又包含了時(shí)間信息z-k。

2.Z變換的計(jì)算方法求任意函數(shù)e(t)的Z變換，通常分三步進(jìn)行：①e(t)被理想采樣器采樣，給出離散采樣函數(shù)e*(t)；②求e

*(t)的拉氏變換，給出③在E

*(s)中用z替換eTs,給出1)級(jí)數(shù)求和法級(jí)數(shù)求和法是根據(jù)Z變換的定義式求函數(shù)e(t)的Z變換。嚴(yán)格說(shuō)來(lái)，時(shí)間函數(shù)或級(jí)數(shù)可以是任何函數(shù)，但是只有當(dāng)E(z)表達(dá)式的無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂時(shí)，它才可表示為封閉形式。下面通過(guò)典型信號(hào)的Z變換式來(lái)說(shuō)明如何應(yīng)用級(jí)數(shù)求和法計(jì)算Z變換。【例7―1】求單位階躍函數(shù)的Z變換解設(shè)e(t)=1，求Z變換E(z)。由定義可得：(7―5)

這是一個(gè)公比為z-1的等比級(jí)數(shù)，當(dāng)|z-1|<1亦即|z|＞1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，則式(7―5)可寫(xiě)成閉合形式：(7―6)【例7―2】求單位理想脈沖序列的Z變換。解設(shè)求Z變換E(z)，則(7―7)其中：|z|>1。

比較式(7―6)和式(7―7)可以看出，不同的e(t)，可以得到相同的E(z)。這是由于階躍信號(hào)采樣后e*(t)與理想脈沖串是一樣的。所以Z變換只是對(duì)采樣點(diǎn)上的信息有效只要ｅ*(t)相同，E(z)就相同，但采樣前的e(t)可以是不同的?！纠?―3】單位斜坡信號(hào)。解設(shè)e(t)=t，求Z變換E(z)，則(7―8)【例7―4】指數(shù)函數(shù)。解設(shè)e(t)=e-at，求Z變換E(z),a為實(shí)常數(shù)，則(7―9)

這是一個(gè)公比為e-aT·z-1的等比級(jí)數(shù)，當(dāng)|e-aT·z-1|<1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，則式(7―9)可寫(xiě)成閉合形式:(7―10)2)部分分式展開(kāi)法用部分分式展開(kāi)法求Z變換，即已知時(shí)間函數(shù)e(t)的拉氏變換E(s)，求該時(shí)間函數(shù)e(t)的Z變換。它是通過(guò)s域和時(shí)間域之間的關(guān)系，來(lái)建立s域和z域之間的關(guān)系的。其解法的具體步驟是：己知E(s)，將之分解成部分分式之和，查變換表求時(shí)間函數(shù)e(t)＝L-1［E(s)］，利用式(7―3)或查Z變換表求出E(z)。設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)ｅ(t)的拉氏變換E(s)為有理分式函數(shù)(7―11)

式(7―11)中，M(s)和N(s)分別為復(fù)變量ｓ的有理多項(xiàng)式。當(dāng)E(s)沒(méi)有重根時(shí)，即E(s)沒(méi)有重極點(diǎn)，可將E(s)展開(kāi)成部分分式和的形式，即(7―12)

式(7―12)中,pi是拉氏變換式E(s)的第i個(gè)極點(diǎn)，即N(s)的零點(diǎn)；Ai是第i項(xiàng)系數(shù)，可用待定系數(shù)法求得，即當(dāng)N(s)已分解為因式乘積時(shí)(7―13)

式(7―14)中N′(s)是N(s)對(duì)s的導(dǎo)數(shù)。由拉氏變換知道，與Ai/(s-pi)相對(duì)應(yīng)的時(shí)間函數(shù)為Aiepit。根據(jù)式(7―10)便可求得與Ai/(s-pi)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的Z變換為

或者當(dāng)N(s)未分解為因式乘積時(shí)(7―14)

因此，函數(shù)ｅ(t)的Z變換便可由E(s)求得，并可寫(xiě)作(7―15)【例7―5】已知,求它的Z變換E(z)。解先對(duì)E(s)進(jìn)行部分分式分解:查表得3)留數(shù)計(jì)算法若己知連續(xù)時(shí)間函數(shù)e(t)的拉氏變換式E(s)及其全部極點(diǎn)pi(i＝1，2，…，n)，則e(t)的Z變換還可以通過(guò)下列留數(shù)計(jì)算求得，即(7―16)

式中,n為全部極點(diǎn)數(shù),ri為極點(diǎn)ｓ＝pi的重?cái)?shù),T為采樣周期。因此，在已知連續(xù)函數(shù)e(t)的拉氏變換式E(s)全部極點(diǎn)pｉ的條件下，可采用式(7―16)求e(t)的Z變換式。【例7―6】已知控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

,求其Z變換式。解由傳遞函數(shù)求出的極點(diǎn)為：s1=-1,r1=1；

s2=-4,r2=1。Z變換式為【例7―7】求連續(xù)時(shí)間函數(shù)對(duì)應(yīng)的Z變換式。解e(t)的拉氏變換為則s1,2=-a,r1,2=2。用式(7―16)對(duì)它進(jìn)行變換后，得

3.Z變換基本定理與拉氏變換類似，在Z變換中有一些基本定理，它們可以使Z變換變得簡(jiǎn)單和方便。

1)線性定理若已知e1(t)和e2(t)有Z變換分別為E1(z)和E2(z)，且a1和a2為常數(shù)，則

Z［a1e1(t)±a2e2(t)］=a1E1(z)±a2E2(z)(7―17)2)右移位定理若Z［e(t)］=E(z),則

Z［e(t-nT)］=z-nE(z)(7―18)

其中，n為正整數(shù)。說(shuō)明：該定理表明，“t”域中的采樣信號(hào)e*(t)時(shí)間上延遲k步，則對(duì)應(yīng)于在“z”域中ｅ*(t)的Z變換E(z)乘以k步時(shí)遲因子z-k。3)左移位定理若Z［e(t)］=E(z),則(7―19)其中,n為正整數(shù)?！纠?―8】求被延遲一個(gè)采樣周期T的單位階躍函數(shù)的Z變換。解應(yīng)用右移(延遲)定理，有4)復(fù)位移定理若函數(shù)e(t)有Z變換E(z)，則(7―20)式中,a是常數(shù)。5)初值定理若Z［e(t)］=E(z),且極限存在，則當(dāng)t=0時(shí)的采樣信號(hào)e*(t)的初值e(0)取決于的極限值，即(7―21)6)終值定理若Z［e(t)］=E(z),且(1-z-1)E(z)在單位圓上和單位圓外無(wú)極點(diǎn)(該條件確保e

*(t)存在有界終值)，則有(7―22)

根據(jù)初值定理和終值定理，可以直接由Z變換式E(z)獲得相應(yīng)的采樣時(shí)間序列e(kT)的初值和終值。【例7―9】已知Z變換為

,其中|a|<1。求序列e(kT)的初值和終值。解(1)由初值定理，得e(kT)的初值為(2)因極點(diǎn)|a|<1，在單位圓內(nèi)，故可以利用終值定理求終值，即

7.1.2Z反變換

1.長(zhǎng)除法通常E(z)是z的有理函數(shù)，可表示為兩個(gè)z的多項(xiàng)式之比，即(7―23)

對(duì)式(7―23)用分母除分子，并將商按z-1的升冪排列，有(7―24)

式(7―24)恰為Z變換的定義式，其系數(shù)ck(k=0，1，2，…)就是e(t)在采樣時(shí)刻t=kT時(shí)的值e(kT)。此法在實(shí)際中應(yīng)用較為方便，通常計(jì)算有限n項(xiàng)就夠了，缺點(diǎn)是要得到e(kT)的一般表達(dá)式較為困難?！纠?―10】已知試求其Z反變換。解

應(yīng)用上面的長(zhǎng)除法，可得

E(z)=10z-1+30z-2+70z-3+…

所以

e*(t)=0+10δ(t-T)+30δ(t-2T)+70δ(t-3T)+…【例7―11】已知，試求其Z反變換。解

應(yīng)用長(zhǎng)除法可得

E(z)=(1-e-aT)z-1+(1-e-2aT)z-2+(1-e-3aT)z-3+…

所以e*(t)=(1-e-aT)δ(t-T)+(1-e-2aT)δ(t-2T)+(1-e-3aT)δ(t-T)+…2.部分分式展開(kāi)法

Z變換函數(shù)E(z)可用部分分式展開(kāi)的方法將其變成分式和的形式，然后通過(guò)Z變換表(見(jiàn)附錄)找出展開(kāi)式中每一項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的時(shí)間函數(shù)e(t)，并將其轉(zhuǎn)變?yōu)椴蓸有盘?hào)e*(t)。

在進(jìn)行部分分式展開(kāi)時(shí)，Z變換和拉氏變換稍有不同。參照Z(yǔ)變換表可以看到，所有Z變換函數(shù)E(z)在其分子上都有因子z。因此，我們可以先把E(z)除以z，并將E(z)/z展開(kāi)成部分分式，然后將所得結(jié)果的每一項(xiàng)都乘以z，即得E(z)的部分分式展開(kāi)式。下面按E(z)的特征方程有、無(wú)重根兩種情況舉例說(shuō)明。1)特征方程無(wú)重根【例7―12】給定Z變換式中a是常數(shù)，用部分分式法求E(z)的Z反變換e*(t)。解E(z)的特征方程式為(z-1)(z-e-aT)=0,解之得

z1=1,z2=e-αT將E(z)/z展成部分分式可得所以查Z變換表得所以采樣函數(shù)為2)特征方程有重根

【例7―13】已知Z變換解E(z)的特征方程式為，求其Z反變換。

解得z1,2=1為兩重根。設(shè)可得為求A2,先將方程兩邊同乘(z-1)2，得再將上式兩端對(duì)z求導(dǎo),得所以故查表得所以采樣函數(shù)為3.留數(shù)計(jì)算法對(duì)Z變換定義式兩端同乘zm-1(m為正整數(shù)),得(7―25)

式(7―25)兩邊取沿封閉曲線Γ逆時(shí)針的積分(Γ為包圍E(z)zm-1的所有極點(diǎn)的封閉曲線),得

根據(jù)復(fù)變函數(shù)柯西定理知互換積分與和式次序，有(7―26)

這樣，式(7―26)的右邊只存在m=k的一項(xiàng)，其余項(xiàng)均為零，于是式(7―26)變成(7―27)

所以

式(7―27)就是Z的反變換公式，由于Γ內(nèi)包圍了E(z)zm-1所有極點(diǎn)，根據(jù)復(fù)變函數(shù)的留數(shù)理論，式(7―27)右端的積分又等于Γ內(nèi)所包含各極點(diǎn)留數(shù)之和，即

在Γ內(nèi)極點(diǎn)的留數(shù)］或?qū)懽?/p>

式中,n是E(z)zk-1的極點(diǎn)數(shù)；Res[E(z)zk-1]z=zi表示E(z)zk-1在E(z)極點(diǎn)zi上的留數(shù)，當(dāng)zi為非重極點(diǎn)時(shí)，當(dāng)zi為ri重極點(diǎn)時(shí)，【例7―14】已知Z變換試用留數(shù)計(jì)算其Z反變換。解E(z)的兩個(gè)極點(diǎn)是z1=1,z2=e-aT，則

采樣函數(shù)為【例7―15】已知Z變換

試用留數(shù)計(jì)算其Z反變換。

解E(z)的兩個(gè)極點(diǎn)z1,2=0.5,則采樣函數(shù)為說(shuō)明：用留數(shù)計(jì)算法求出的Z反變換式是閉合形式。7.1.3用Z變換解差分方程用Z變換求解差分方程與連續(xù)系統(tǒng)用拉氏變換求解微分方程類似。離散系統(tǒng)中用Z變換求解差分方程，是將求解運(yùn)算變換為以z為變量的代數(shù)方程進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算。這種變換主要用Z變換的超前定理和滯后定理。這是一種在給定初始條件下采用Z變換的方法，先求出差分方程的以z為變量的代數(shù)方程，再通過(guò)逆Z變換，求出它的時(shí)間響應(yīng)的。

差分方程解的形式與微分方程解相似。非齊次差分方程全解是由通解加特解組成的。通解表示方程描述的離散系統(tǒng)在輸入為零情況下(即無(wú)外界作用)由系統(tǒng)非零初始值所引起的自由運(yùn)動(dòng)，它反映系統(tǒng)本身所固有的動(dòng)態(tài)特性；特解表示方程描述的離散系統(tǒng)在外界輸入作用下所產(chǎn)生的強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)，它既與系統(tǒng)本身的動(dòng)態(tài)特性有關(guān)，又與外界輸入作用有關(guān)，但與系統(tǒng)初始值無(wú)關(guān)。

用Z變換求解差分方程的一般步驟：

(1)利用初始條件，運(yùn)用Z變換法，將差分方程變?yōu)橐詚為變量的代數(shù)方程:(2)根據(jù)x(kT)=Z-1{X(z)}，運(yùn)用逆Z變換法，求解它的時(shí)間響應(yīng)x(kT)。【例7―16】已知x(n+2)+3x(n+1)+2x(n)=0的初始條件為x(0)=0,x(1)=1，試求其時(shí)間響應(yīng)式。解根據(jù)左移定理，其差分方程的Z變換式為

z2X(z)-z2x(0)-zx(1)+3zX(z)-3zx(0)+2X(z)=0

整理后得查表得所以有

即時(shí)間響應(yīng)為

x(n)=(-1)n-(-2)nn=0,1,2,…【例7―17】用Z變換方法求差分方程

y(k+2)-1.2y(k+1)+0.32y(k)=1.2u(k+1)已知y(0)=1,y(1)=2.4,x(0)=1,u(k)=1(k)為單位序列。解對(duì)差分方程等號(hào)兩邊進(jìn)行Z變換，得

z2Y(z)-z2y(0)-zy(1)-1.2zY(z)+1.2zy(0)+0.32Y(z)=1.2zU(z)-1.2zu(0)

同類項(xiàng)合并，得

(z2-1.2z+0.32)Y(z)=1.2zU(z)+(z2-1.2z)y(0)+zy(1)-1.2zu(0)

將初始值代入整理,得

又因

,得

上式有三個(gè)單極點(diǎn)：0.8，0.4，1。用留數(shù)計(jì)算可得7.1.4脈沖傳遞函數(shù)及方框圖分析在分析線性常系數(shù)離散系統(tǒng)時(shí)，z傳遞函數(shù)是個(gè)很重要的概念。如同在分析設(shè)計(jì)線性常系數(shù)連續(xù)系統(tǒng)時(shí)用傳遞函數(shù)來(lái)描述系統(tǒng)特性一樣，在分析設(shè)計(jì)線性常系數(shù)離散系統(tǒng)時(shí)，將用z傳遞函數(shù)來(lái)描述系統(tǒng)特性。1.傳遞函數(shù)定義

z傳遞函數(shù)又稱脈沖傳遞函數(shù)。如果系統(tǒng)的初始條件為零，輸入信號(hào)為r(t)，經(jīng)采樣后r*(t)的Z變換為R(z)，連續(xù)部分輸出為c(t)，采樣后c*(t)的Z變換為C(z)，如圖7―1所示，開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)定義為輸出采樣信號(hào)的Z變換與輸入采樣信號(hào)的Z變換之比，用G(z)表示圖7―1開(kāi)環(huán)采樣系統(tǒng)

若已知系統(tǒng)的z傳遞函數(shù)G(z)及輸入信號(hào)的Z變換R(z)，則輸出的采樣信號(hào)就可求得，即

c*(t)=Z-1［C(z)］=Z-1［G(z)R(z)］因此，求解c*(t)關(guān)鍵就在于怎樣求出系統(tǒng)的Z變換函數(shù)G(z)。但是對(duì)于大多數(shù)實(shí)際系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，其輸出往往是連續(xù)信號(hào)c(t)而不是采樣信號(hào)c*(t)。在這種情況下，可在輸出端虛設(shè)一個(gè)采樣開(kāi)關(guān)，如圖7―1中虛線所示。它與輸入端采樣開(kāi)關(guān)一樣以周期T同步工作。若系統(tǒng)的實(shí)際輸出c(t)比較平滑，在采樣點(diǎn)處無(wú)跳變，則可用

c*(t)來(lái)近似描述系統(tǒng)的實(shí)際輸出c(t)。

2.開(kāi)環(huán)系統(tǒng)(環(huán)節(jié))的z傳遞函數(shù)設(shè)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖7―1所示，推導(dǎo)z傳遞函數(shù)的思路是：先求出連續(xù)部分在理想脈沖序列作用下的連續(xù)輸出，即從r*(t)求出c(t)，然后再對(duì)c(t)采樣求出c*(t)及其Z變換，最后得出G(z)=C(z)/R(z)。因?yàn)閷?duì)線性定常系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，在δ(t-kT)(k=0,1,2,…)單位脈沖函數(shù)作用下的輸出是脈沖響應(yīng)函數(shù)g(kT)(k=0,1,2,…)。根據(jù)系統(tǒng)的線性性質(zhì)，在強(qiáng)度為r(kT)(k=0,1,2,…)的脈沖r(kT)δ(t-kT)作用下，其輸出應(yīng)是r(kT)g(t-kT)。

依據(jù)疊加原理，系統(tǒng)在輸入脈沖序列r*(t)作用下的連續(xù)輸出應(yīng)是取任意時(shí)刻t=kT,式(7―28)成為

c(kT)=r(0)g(kT)+r(T)g(kT-T)+r(2T)g(kT-2T)+…(7―29)(7―28)

上式兩端同乘z-k，并對(duì)k取和式,得(7―30)上式右端各項(xiàng)可分別寫(xiě)為第一項(xiàng)：第二項(xiàng)：因?yàn)楫?dāng)t<0時(shí)，g(t)=0,所以g(-T)=0,第二項(xiàng)為同理,第三項(xiàng)為下面各項(xiàng)依次類推，將上面各項(xiàng)代入式(7―30)，整理后得

上式左端就是c(z)，右端就是G(z)R(z),即C(z)=G(z)R(z)，故有(7―32)這就是開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的z傳遞函數(shù)，由式(7―32)知(7―33)

所以，z傳遞函數(shù)G(z)就是連續(xù)系統(tǒng)脈沖響應(yīng)函數(shù)g(t)經(jīng)采樣后g*(t)的Z變換。因此，離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)G(z)的求取步驟為：

(1)先求出系統(tǒng)連續(xù)部分的傳遞函數(shù)G(s)。

(2)對(duì)G(s)進(jìn)行拉氏反變換，求出連續(xù)系統(tǒng)脈沖響應(yīng)函數(shù)g(t)=L-1［G(s)］。

(3)對(duì)g(t)采樣，求出離散系統(tǒng)脈沖響應(yīng)函數(shù)(4)求離散系統(tǒng)脈沖響應(yīng)函數(shù)g*(t)的Z變換，即求出z傳遞函數(shù)G(z)為將G(s)進(jìn)行部分分式展開(kāi)，通過(guò)查表可得G(z)?！纠?―18】設(shè)連續(xù)對(duì)象的傳遞函數(shù)為，試求其z傳遞函數(shù)。解系統(tǒng)的連續(xù)部分應(yīng)包括零階保持器，因此傳遞函數(shù)為其z傳遞函數(shù)為3.串聯(lián)環(huán)節(jié)的z傳遞函數(shù)串聯(lián)環(huán)節(jié)的z傳遞函數(shù)求法與連續(xù)傳遞函數(shù)求法類似,不過(guò)離散環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)傳遞函數(shù)的求法更復(fù)雜些，此時(shí),有三種情況需要考慮，如圖7―2所示。圖7―2三種環(huán)節(jié)串聯(lián)形式

圖7―2(a)為兩個(gè)已經(jīng)離散的環(huán)節(jié)串聯(lián)，其總的脈沖傳遞函數(shù)G(z)等于兩個(gè)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)的乘積，即G(z)=G1(z)G2(z)；圖7―2(b)為兩個(gè)連續(xù)環(huán)節(jié)串聯(lián)，其總的傳遞函數(shù)G(z)就等于兩個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)后再取Z變換，即G(z)=Z［G1(s)G2(s)］；圖7―2(c)為兩個(gè)連續(xù)環(huán)節(jié)串聯(lián)，但中間有采樣開(kāi)關(guān)，這時(shí)總的傳遞函數(shù)G(z)就等于兩個(gè)環(huán)節(jié)取Z變換后再相乘，即G(z)=Z［G1(s)］Z［G2(s)］=G1(z)G2(z)。

由此可以得出結(jié)論：

(1)當(dāng)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)由兩個(gè)線性環(huán)節(jié)串聯(lián)而環(huán)節(jié)之間無(wú)采樣開(kāi)關(guān)隔開(kāi)時(shí),開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的z傳遞函數(shù)等于兩個(gè)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)乘積的相應(yīng)Z變換。顯然這個(gè)結(jié)論也可以推廣到n個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)而無(wú)采樣開(kāi)關(guān)隔開(kāi)的情況，這里整個(gè)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的z傳遞函數(shù)等于每個(gè)環(huán)節(jié)的z傳遞函數(shù)乘積，即

G(z)=Z［G1(s)G2(s)…Gn(s)］=G1G2…Gn(z)G1(z)G2(z)…Gn(z)≠G1G2…Gn(z)(2)當(dāng)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)由兩個(gè)線性環(huán)節(jié)串聯(lián)而環(huán)節(jié)之間有采樣開(kāi)關(guān)時(shí)，開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的z傳遞函數(shù)等于兩個(gè)環(huán)節(jié)的z傳遞函數(shù)之乘積,這一點(diǎn)也可以推廣到n個(gè)線性單元串聯(lián)，每個(gè)中間都有采樣開(kāi)關(guān)隔開(kāi)，其ｚ傳遞函數(shù)為4.并聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)圖7―3(a)為離散環(huán)節(jié)并聯(lián)，總的脈沖傳遞函數(shù)為G(z)=G1(z)+G2(z)；圖7―3(b)為連續(xù)環(huán)節(jié)并聯(lián)，但輸入輸出帶采樣開(kāi)關(guān)，其總的脈沖傳遞函數(shù)為G(z)=Z［G1(s)+G2(s)］=G1(z)+G2(z)；圖7―3(c)為分別帶采樣開(kāi)關(guān)的連續(xù)環(huán)節(jié)并聯(lián)，其總的脈沖傳函為

G(z)=Z［G1(s)］+Z［G2(s)］=G1(z)+G2(z)。圖7―3三種環(huán)節(jié)并聯(lián)形式【例7―19】已知

,分別將它連成圖7-]2(b)、(c)形式,試分別求它們各自的傳遞函數(shù)G(z)。解①按圖7―2(b)的結(jié)構(gòu)②按圖7―2(c)的結(jié)構(gòu)

說(shuō)明：由例7―19可知，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不同，G(z)值就不一樣。這一結(jié)論對(duì)環(huán)節(jié)作并聯(lián)時(shí)也適用。5.閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)在連續(xù)系統(tǒng)中，閉環(huán)傳遞函數(shù)與相應(yīng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)之間有著確定的關(guān)系，所以可以用一種典型的結(jié)構(gòu)圖來(lái)描述一個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)。而在采樣系統(tǒng)中，由于采樣開(kāi)關(guān)在系統(tǒng)中所設(shè)置的位置不同，可以有多種結(jié)構(gòu)形式，如圖7―4所示。

圖7―4兩種環(huán)節(jié)并聯(lián)形式

圖7―4(a)為采樣開(kāi)關(guān)在比較器的后面(誤差通道上)，采樣開(kāi)關(guān)都同步工作。前向通道上的連續(xù)部分傳遞函數(shù)為G(s),連續(xù)反饋通道傳遞函數(shù)為H(s)。R(s)和C(s)是系統(tǒng)輸入輸出拉氏變換，而R*(s)和C*(s)是輸入輸出采樣脈沖序列的拉氏變換，其對(duì)應(yīng)的Z變換為R(z)和C(z)，系統(tǒng)閉環(huán)z傳遞函數(shù)就為

如圖7―4(a),列寫(xiě)出信號(hào)的基本關(guān)系式為

E(s)=R(s)-B(s)，離散化后為E*(s)=R*(s)-B

*(s)，取Z變換后為E(z)=R(z)-B(z)。同理可得到反饋信號(hào)、輸出信號(hào)的關(guān)系式為

B(s)=［G(s)H(s)］E*(s)(取Z變換后為B(z)=GH(z)E(z))C(s)=G(s)E*(s)(相應(yīng)的Z變換為C(z)=G(z)E(z))聯(lián)立誤差、反饋、輸出的信號(hào)關(guān)系式，有

即可得到閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)和誤差脈沖傳遞函數(shù)分別為若為單位反饋，即H(s)=1,則有閉環(huán)和誤差傳遞函數(shù)為

圖7―4(b)是誤差通道和反饋通道都有采樣開(kāi)關(guān)，同樣可推導(dǎo)出圖7―4(b)的傳遞函數(shù)，基本關(guān)系式為：

E(s)=R(s)-B(s)B(s)=H(s)C*(s)C(s)=G(s)E*(s)

對(duì)上式采樣，得

E*(s)=R*(s)-B*(s)B*(s)=H*(s)C*(s)C*(s)=G*(s)E*(s)

其Z變換為

E(z)=R(z)-B(z)B(z)=H(z)C(z)C(z)=G(z)E(z)

整理式(7―34)，可得到閉環(huán)傳遞函數(shù)和誤差傳遞函數(shù)為(7―34)

通過(guò)對(duì)以上典型閉環(huán)采樣系統(tǒng)脈沖函數(shù)的推導(dǎo)，可找到一些規(guī)律：

(1)將輸入R(s)也作為系統(tǒng)的一個(gè)環(huán)節(jié)看待。

(2)把未被采樣開(kāi)關(guān)(不包括虛擬采樣開(kāi)關(guān))分割的所有環(huán)節(jié)的s域傳遞函數(shù)相乘作為一個(gè)獨(dú)立環(huán)節(jié)，則閉環(huán)系統(tǒng)的輸出Z變換為C(z)=前向通道所有獨(dú)立環(huán)節(jié)Z變換的乘積1+環(huán)路所有獨(dú)立環(huán)節(jié)Z變換的乘積【例7―20】一個(gè)計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖7―5所示，試求該系統(tǒng)的閉環(huán)z傳遞函數(shù)。圖7―5計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

解由圖可知幾種信號(hào)的關(guān)系如下：C(s)=Gh(s)Go(s)U*(s)=G(s)D*(S)E*(s)(其Z變換式為C(z)=G(z)D(z)E(z))E(s)=R(s)-H(s)G(s)D*(s)E*(s)(其Z變換式為E(z)=R(z)-HG(z)D(z)E(z))所以

C(z)=D(z)G(z)R(z)-D(z)HG(z)C(z)故閉環(huán)傳遞函數(shù)為7.2離散系統(tǒng)性能分析

與連續(xù)系統(tǒng)一樣，離散系統(tǒng)同樣也有穩(wěn)定性問(wèn)題。連續(xù)系統(tǒng)中，對(duì)線性定常系統(tǒng)，通常用s域(s平面)研究系統(tǒng)穩(wěn)定性等問(wèn)題，而離散系統(tǒng)中，用z域研究系統(tǒng)穩(wěn)定性。因?yàn)閆變換是從s變換推廣而來(lái)，所以首先應(yīng)從s域和z域的關(guān)系開(kāi)始研究。

7.2.1s域到z域的變換根據(jù)Z變換的定義有

z=esT

其中,T為采樣周期，值為T(mén)=2π/ωs；s是復(fù)數(shù)，值為s=σ+jω;ωs為采樣角頻率。所以

z=esT=e(σ+jω)T=eσTejωT=eσT(cosωT+jsinωT)(7―35)|z|=eσT∠z=Ωt(7―36)

式(7―35)建立了s平面和z平面的聯(lián)系，即復(fù)s平面與復(fù)z平面之間的映射關(guān)系。

當(dāng)σ=0，在s平面相當(dāng)于虛軸；在z平面，由式(7―36)可知，|z|=eσT=1是以原點(diǎn)為圓心的單位圓。也就是說(shuō)，在s平面當(dāng)ω從-∞變到+∞時(shí)，映射到z平面的軌跡是以原點(diǎn)為圓心的單位圓，只是z平面上相應(yīng)的點(diǎn)已經(jīng)沿著單位圓轉(zhuǎn)過(guò)無(wú)窮圈。因?yàn)閦是采樣角頻率ωs的周期函數(shù)，當(dāng)s平面上σ不變，角頻率ω由0變到∞時(shí)，z的模不變，只是相角作周期性變化。

當(dāng)σ<0時(shí)，在s平面為位于左半平面的點(diǎn)，與之對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于z平面上以原點(diǎn)為圓心的單位圓內(nèi)，即

|z|=e-σT,|z|＜1。當(dāng)σ＞0時(shí)，在s平面為位于右半平面的點(diǎn)，與之對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于z平面上以原點(diǎn)為圓心的單位圓外，即|z|=eσT,|z|＞1。當(dāng)σ=ω=0時(shí)，該點(diǎn)為s平面的原點(diǎn)，映射到z平面，相應(yīng)的點(diǎn)為z=1。

要注意，上述結(jié)論是根據(jù)式(7―35)從s平面到z平面的映射得到。反之，當(dāng)考慮從z平面到s平面的映射時(shí)，就不是惟一的，是多值變換，即在z平面的每個(gè)已知點(diǎn)，在s平面有無(wú)窮個(gè)數(shù)值與其對(duì)應(yīng)。因?yàn)閮蓚€(gè)時(shí)間函數(shù)只要在采樣點(diǎn)(即t=kT,k=0,1,2,…)時(shí)是相等的，這兩個(gè)函數(shù)就有相同的Z變換。這點(diǎn)由式(7―35)可以清楚地看出。7.2.2離散系統(tǒng)穩(wěn)定性及穩(wěn)定條件由連續(xù)系統(tǒng)控制理論可知，線性時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，系統(tǒng)的特征方程的所有特征根，亦即系統(tǒng)傳遞函數(shù)W(s)的所有極點(diǎn)，都分布在左半s平面，或者說(shuō)，系統(tǒng)所有特征根具有負(fù)實(shí)部，σi＜0。s的左半平面是系統(tǒng)特征根(或極點(diǎn))分布的穩(wěn)定區(qū)域，s平面的虛軸是穩(wěn)定邊界，如圖7―6(a)所示。圖7―6連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)及極點(diǎn)分布穩(wěn)定區(qū)域

若系統(tǒng)有一個(gè)或一個(gè)以上的特征根分布于s平面的右半平面，則系統(tǒng)就不穩(wěn)定；若有特征根位于虛軸上，則系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定，工程上也稱為不穩(wěn)定。按照s平面與z平面的映射關(guān)系，s平面左半面在Z變換下映射到z平面上，是z平面的單位圓內(nèi)部；s平面的虛軸在Z變換下映射到z平面上，是z平面單位圓周；s平面的右半面在Z變換下映射到z平面上，是z平面的單位圓外部。由此可以推斷，線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的穩(wěn)定條件是：系統(tǒng)特征方程的所有根，亦即系統(tǒng)z傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)都分布于單位圓內(nèi)部，或者說(shuō)系統(tǒng)所有特征根的模|pi|＜1。

z平面的單位圓內(nèi)部是離散系統(tǒng)特征根(或極點(diǎn))分布的穩(wěn)定域，單位圓周為穩(wěn)定邊界，如圖7―6(b)所示。若系統(tǒng)有一個(gè)或一個(gè)以上的特征根分布于單位圓外，則系統(tǒng)就不穩(wěn)定；若有特征根位于單位圓上，則系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定，工程上也稱為不穩(wěn)定。離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性還可以用脈沖響應(yīng)序列說(shuō)明。設(shè)離散系統(tǒng)z傳遞函數(shù)為(7―37)

若系統(tǒng)輸入R(z)=Z［δ(t)］=1，則系統(tǒng)輸入的Z變換為(7―38)

設(shè)閉環(huán)z傳遞函數(shù)Φ(z)有n個(gè)相異極點(diǎn)zi(i=1,2,…,n),對(duì)式(7―38)進(jìn)行部分分式展開(kāi)后得

求式(7―40)的Z反變換，又查表得(7―39)(7―40)其中，Ai(i=1,2,…,n)是常數(shù)，由式(7―39)得(7―41)

若系統(tǒng)對(duì)δ(t)函數(shù)的輸出響應(yīng)c(k)隨k的增加衰減為零，即(7―42)

則離散系統(tǒng)是穩(wěn)定的。由此得離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件的另一種表示形式是輸出響應(yīng)的每一分量都要衰減為零，即(7―43)

為此每一個(gè)根的模|zi|＜1,如果有一個(gè)根的模|zi|＞1，則系統(tǒng)就不穩(wěn)定，有一個(gè)根的模|zi|=1，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。7.2.3參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性影響

1.開(kāi)環(huán)增益對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性影響【例7―21】當(dāng)K變化時(shí)，分析對(duì)象的穩(wěn)定性。解由題意可得系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為

z2+(0.368K-1.368)z+0.368+0.264=0

對(duì)其作雙線性變換得特征方程為

0.632Kw2+(1.264-0.528K)w+2.736-0.104K=0

若使該系統(tǒng)穩(wěn)定，必須保證上面方程各系數(shù)為正，即0.632K>01.264-0.528K>02.736-0.104K>0

由上式可知，當(dāng)0<K<2.4，該系統(tǒng)穩(wěn)定。上述結(jié)果表明，K增大時(shí)系統(tǒng)可能就變得不穩(wěn)定，即增大K對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定不利。2.采樣周期對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性影響

【例7―22】在例7―22中，若采樣周期為T(mén)s，用零階保持器聯(lián)系對(duì)象與控制器，討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解系統(tǒng)的廣義脈沖傳遞函數(shù)為其特征方程為整理后得

當(dāng)Ts=2時(shí),特征方程為

z2+(1.135K-1.135)z+(0.595K+0.135)=0

對(duì)上式作雙線性變換，得

1.73w2+(1.73-1.19K)w+(2.27-0.54K)=0

要使系統(tǒng)穩(wěn)定，上式各項(xiàng)系數(shù)必須大于0，即0<K<1.45。當(dāng)Ts=0.5時(shí)，可以算出，要使系統(tǒng)穩(wěn)定K應(yīng)滿足0<K<4.36。

由以上分析可以看出：Ts從1s增大到2s，臨界開(kāi)環(huán)比例系數(shù)從原來(lái)的2.4減小到1.45，而當(dāng)減小到0.5s時(shí)，臨界開(kāi)環(huán)比例系數(shù)增大到4.36。這說(shuō)明增大采樣周期對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定不利，而減小采樣周期對(duì)穩(wěn)定有利，當(dāng)Ts→0，采樣系統(tǒng)就成為連續(xù)系統(tǒng)了。這就說(shuō)明，穩(wěn)定的連續(xù)系統(tǒng)經(jīng)采樣構(gòu)成數(shù)字系統(tǒng)后不一定穩(wěn)定。7.2.4采樣系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性分析通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，我們知道了采樣系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是其閉環(huán)特征方程的全部根，也就是閉環(huán)系統(tǒng)的全部極點(diǎn)都位于z平面的單位圓內(nèi)。但工程上不僅要求系統(tǒng)是穩(wěn)定的，而且還希望它具有良好的動(dòng)態(tài)品質(zhì)。與連續(xù)系統(tǒng)類似，采樣系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)在z平面的分布對(duì)系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)起著決定的作用，因此要分析采樣系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性必須研究它們與脈沖響應(yīng)的關(guān)系。1.實(shí)軸上的單實(shí)極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的脈沖響應(yīng)如果系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)有一個(gè)是位于實(shí)軸上a處的單極點(diǎn)，那么在輸出C(z)中必然含有形如的項(xiàng)。其中，A是將C(z)作部分分式展開(kāi)的系數(shù)，在單位脈沖作用下對(duì)應(yīng)于這一項(xiàng)的輸出序列為

假設(shè)在k<0時(shí)，c(k)=0，當(dāng)a位于z平面不同位置時(shí)所對(duì)應(yīng)的脈沖響應(yīng)序列如圖7―7(a)、(b)所示。圖7―7單實(shí)極點(diǎn)位置及其對(duì)應(yīng)的響應(yīng)序列

由7―7(a)、(b)圖可知：當(dāng)a<-1時(shí)，c(k)是交替變號(hào)的發(fā)散脈沖序列；a=-1時(shí)，c(k)是交替變號(hào)的等幅脈沖序列；-1<a<0時(shí)，c(k)是交替變號(hào)的衰減脈沖序列；0<a<1時(shí)，c(k)是單調(diào)衰減正脈沖序列，且a越接近0，衰減越快；a=1時(shí)，c(k)是等幅正脈沖序列；a>1時(shí)，c(k)是發(fā)散正脈沖序列。2.共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的脈沖響應(yīng)假設(shè)系統(tǒng)具有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)p1,p2=ae±θ，于是有(z-p1)(z-p2)=z2-2(acosθ)z+a2

查Z反變換表可知，這一對(duì)復(fù)數(shù)極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的c(k)取aksin(kθ+φ)之形。當(dāng)|a|＞1時(shí)，一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)在單位圓外，c(k)為發(fā)散振蕩序列。當(dāng)|a|＜1時(shí)，一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)在單位圓內(nèi)，c(k)為衰減振蕩序列，且a的模愈小，衰減愈快;當(dāng)|a|=1時(shí)，一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)在單位圓上，為等幅振蕩序列。如圖7―8(a)、(b)所示。圖7―8共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)位置及其對(duì)應(yīng)的響應(yīng)序列3.閉環(huán)附加零點(diǎn)和極點(diǎn)對(duì)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響閉環(huán)零點(diǎn)以及主導(dǎo)極點(diǎn)(即位于單位圓內(nèi)而最接近圓周的一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn))以外的其他極點(diǎn)對(duì)瞬態(tài)響應(yīng)的影響也有與連續(xù)系統(tǒng)類似的結(jié)論：閉環(huán)零點(diǎn)使動(dòng)態(tài)響應(yīng)加快，但會(huì)使超調(diào)增加；附加極點(diǎn)使動(dòng)態(tài)響應(yīng)變慢但使超調(diào)減小。當(dāng)然也可以仿照連續(xù)系統(tǒng)中的研究方法，找出閉環(huán)零點(diǎn)或極點(diǎn)與超調(diào)量和過(guò)渡過(guò)程時(shí)間的一些近似關(guān)系作為工程應(yīng)用的參考。對(duì)于采樣系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性分析也可仿照連續(xù)系統(tǒng)中的根軌跡法，在z平面中畫(huà)出閉環(huán)特征方程根的軌跡。其繪制方法與連續(xù)系統(tǒng)中的繪制方法完全相同，這里不再重復(fù)。7.3數(shù)字控制器直接設(shè)計(jì)法

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)就是根據(jù)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)和動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)，在已知被控制對(duì)象的前提下，確定控制器的數(shù)學(xué)模型?？刂破髟O(shè)計(jì)分為模擬化設(shè)計(jì)和直接數(shù)字化設(shè)計(jì)兩種方法。模擬化設(shè)計(jì)方法的主要缺點(diǎn)是采樣周期的值不能取得過(guò)大，否則，會(huì)使系統(tǒng)性能變差。而直接數(shù)字化設(shè)計(jì)方法就克服了這個(gè)缺點(diǎn)。本章主要介紹控制器的直接數(shù)字化設(shè)計(jì)方法。7.3.1直接數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)圖7―9是數(shù)字控制系統(tǒng)的原理框圖。圖7―9計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)原理圖D(z)——數(shù)字控制器；Gh(s)——保持器(本書(shū)用零階保持器)；Go(s)——控制對(duì)象傳遞函數(shù)；Φ(z)——系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)；R(z)——輸入信號(hào)的Z變換；C(z)——輸出信號(hào)的Z變換。由圖7―9可求得系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為(7―44)

也可求得控制器的傳遞函數(shù)為(7―45)這就是我們分析和設(shè)計(jì)數(shù)字控制器的基礎(chǔ)和基本模型。7.3.2最少拍有波紋控制器設(shè)計(jì)最少拍控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)，也稱為時(shí)間最佳系統(tǒng)設(shè)計(jì)，是計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)最有效的方法。所謂最少拍，是指在典型輸入作用下，系統(tǒng)在有限個(gè)采樣周期(有限拍)內(nèi)，就能達(dá)到穩(wěn)態(tài)。但只保證在采樣點(diǎn)處無(wú)誤差。系統(tǒng)的性能指標(biāo)是調(diào)整時(shí)間最短。下面討論最少拍控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)及其局限性。1.最少拍控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)最少拍控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，已經(jīng)在上節(jié)中得到，即式(7―44)，這里將其作變形如下：(7―46)同時(shí)由圖7―9可求出系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)為(7―47)(7―48)

由式(7―47)可導(dǎo)出數(shù)字控制器的傳遞函數(shù)為(7―49)

由此可看出，數(shù)字控制器及被控對(duì)象及誤差z傳遞函數(shù)有關(guān)。由式(7―44)得系統(tǒng)誤差的Z變換為

E(z)=Φe(z)R(z)(7―50)

根據(jù)Z變換的定義(7―51)

最少拍控制器設(shè)計(jì)要求系統(tǒng)在k≥N(N為正整數(shù))時(shí)，e(k)=0(或e(k)=常數(shù))，這樣E(z)只有有限項(xiàng)。設(shè)計(jì)時(shí)，要求N盡可能小，即最少拍。下面介紹誤差傳遞函數(shù)與系統(tǒng)輸入類型的關(guān)系。典型的輸入信號(hào)一般為：?jiǎn)挝浑A躍輸入：?jiǎn)挝恍逼螺斎耄簡(jiǎn)挝患铀俣容斎耄?/p>

由上面三種輸入的Z變換可以看出，它們都可用下式表示：(7―52)

其中：A(z)為不含(1-z-1)的z-1多項(xiàng)式。所以誤差可表示為(7―53)

為使E(z)有盡可能少的有限項(xiàng)，要選擇適當(dāng)?shù)摩礶(z)。利用Z變換的終值定理，穩(wěn)態(tài)誤差為

當(dāng)要求穩(wěn)態(tài)誤差為零時(shí)，由于A(z)中無(wú)(1-z-1)的因子，所以Φe(z)必須含有(1-z-1)m，則Φe(z)有下列形式:Φe(z)=(1-z-1)mF(z)(7―54)

式中,F(z)是z-1的有限多項(xiàng)式，即

F(z)=1+f1z-1+f2z-2+…+fnz-n(7―55)

由式(7―48)求出閉環(huán)z傳遞函數(shù)，即

所以，在z=0處Φ(z)僅有極點(diǎn)。Φ(z)具有z-1的最高冪次,為p=m+n，這表明系統(tǒng)的閉環(huán)響應(yīng)經(jīng)過(guò)p個(gè)采樣周期(p拍)，在采樣點(diǎn)的值達(dá)到穩(wěn)態(tài)。當(dāng)F(z)=1，即n取最小值n=0時(shí)，系統(tǒng)采樣點(diǎn)的輸出達(dá)到穩(wěn)態(tài)，即有限拍(m拍)內(nèi)達(dá)到穩(wěn)態(tài)。(7―56)

對(duì)于不同的輸入，可以選擇不同的誤差z傳遞函數(shù)Φe(z)。選定Φe(z)后，最少拍控制器可以根據(jù)式(7―49)計(jì)算確定。故在單位階躍輸入時(shí)，Φe(z)=1-z-1。由式(7―50)可得誤差和輸出為：(7―57)

由式(7―51)得時(shí)域誤差為：

e(0)=1，e(1)=e(2)=…=0

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差及輸出序列如圖7―10所示。由圖7―10可知，單位階躍輸入時(shí)系統(tǒng)的調(diào)整時(shí)間為T(mén)，只需一拍就達(dá)到了穩(wěn)態(tài)。

當(dāng)系統(tǒng)輸入為單位斜坡時(shí)，

Φe(z)=(1-z-1)2(7―58)

由式(7―50)可得誤差和輸出為：圖7―10單位階躍輸入時(shí)誤差與輸出序列

由式(7―50)得時(shí)域誤差為：

e(0)=0，e(T)=T,e(2)=e(3)=…=0

系統(tǒng)的誤差及輸出序列如圖7―11所示。此時(shí)，單位階躍輸入時(shí)系統(tǒng)的調(diào)整時(shí)間為2T，只需兩拍就達(dá)到了穩(wěn)態(tài)。(7―59)圖7―11單位斜坡輸入時(shí)誤差與輸出序列

當(dāng)系統(tǒng)輸入為單位加速度時(shí)，

Φe(z)=(1-z-1)3(7―60)

由式(7―50)可得誤差和輸出為：

由式(7―61)得時(shí)域誤差為：

系統(tǒng)的誤差及輸出序列如圖7―12所示。可見(jiàn)，單位階躍輸入時(shí)系統(tǒng)的調(diào)整時(shí)間為3T，只需三拍就達(dá)到了穩(wěn)態(tài)。對(duì)于三種典型輸入，最少拍控制系統(tǒng)的調(diào)整時(shí)間、誤差傳遞函數(shù)、閉環(huán)傳遞函數(shù)匯總于表7―1。圖7―12單位加速度輸入時(shí)誤差與輸出序列表7―1最少拍控制系統(tǒng)各參量表2.最少拍控制器的可實(shí)現(xiàn)性和穩(wěn)定性要求最少拍系統(tǒng)設(shè)計(jì)的可實(shí)現(xiàn)性是指將來(lái)時(shí)刻的誤差值，它是還未得到的值，不能用來(lái)計(jì)算現(xiàn)在時(shí)刻的控制量。也就是說(shuō)，控制器當(dāng)前的輸出信號(hào)只能與當(dāng)前時(shí)刻的輸入信號(hào)、以前的輸入信號(hào)和輸出信號(hào)有關(guān)，而與將來(lái)的輸入信號(hào)無(wú)關(guān)，即要求數(shù)字控制器的z傳遞函數(shù)D(z)，不能有z的正冪項(xiàng)zi(即不能含有超前環(huán)節(jié))。

D(z)的一般表達(dá)式為(7―62)

式(7―62)中要求n≥m,若n＜m，則分子會(huì)出現(xiàn)z的正冪項(xiàng)。另外，要求a0≠0，否則相當(dāng)于分母降了一階，也會(huì)使分子出現(xiàn)z的正冪項(xiàng)。如果被控對(duì)象含有純滯后z-p，則按式(7―49)求取的D(z)將含有zp的因子，故不能實(shí)現(xiàn)，因此，為了實(shí)現(xiàn)控制，Φ(z)必須含有zp，即要把純滯后保留下來(lái)，以抵消對(duì)象傳遞函數(shù)G(z)中的z-p因子，以避免D(z)中含有超前環(huán)節(jié)。由以上分析可知，最少拍控制中要求閉環(huán)z傳遞函數(shù)Φ(z)要在被控對(duì)象純滯后的基礎(chǔ)上加以確定，使Φ(z)分子與分母的階次差等于G(z)分子分母的階次差。這樣設(shè)計(jì)的最少拍控制系統(tǒng)才是物理可實(shí)現(xiàn)的。3.最少拍控制器的穩(wěn)定性要求在最少拍系統(tǒng)中，不但要保證輸出量在采樣點(diǎn)上的穩(wěn)定，而且要保證控制量收斂，方能使閉環(huán)系統(tǒng)在物理上真正穩(wěn)定。控制變量u對(duì)于給定的輸入量r的z傳遞函數(shù)可由式(7―44)導(dǎo)出，即(7―63)

如果被控對(duì)象G(z)的所有零極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)，那么系統(tǒng)是穩(wěn)定的;如果G(z)有單位圓上和圓外的零、極點(diǎn)，即G(z)和U(z)含有不穩(wěn)定的極點(diǎn)，則控制變量u的輸出也將不穩(wěn)定。由式(7―44)知

可以看出，在系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)中，D(z)一般總是和G(z)成對(duì)出現(xiàn)的，但不能簡(jiǎn)單地用D(z)的相關(guān)極點(diǎn)和零點(diǎn)去抵消G(z)中的單位圓上或圓外的零極點(diǎn)。因?yàn)?，若要使G(z)在單位圓上和圓外的零點(diǎn)抵消掉，D(z)分母中必然含有相應(yīng)的不穩(wěn)定的極點(diǎn)，從而使D(z)不穩(wěn)定。另外，如果D(z)抵消了G(z)的不穩(wěn)定的極點(diǎn)，則D(z)必然包含相應(yīng)的單位圓上的和單位圓外的零點(diǎn)。這樣，在理論上可得到一個(gè)穩(wěn)定的控制系統(tǒng)，但這種穩(wěn)定是建立在G(z)的不穩(wěn)定極點(diǎn)被D(z)的零點(diǎn)準(zhǔn)確抵消的基礎(chǔ)上，

在實(shí)際控制中，由于存在對(duì)系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)的誤差及參數(shù)受外界環(huán)境影響及隨時(shí)間的變化，這類抵消是不可能準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)的，從而使系統(tǒng)不能真正穩(wěn)定。因此，要使系統(tǒng)補(bǔ)償成穩(wěn)定系統(tǒng)，就必須采取其他方法，即必須在確定閉環(huán)脈沖傳函Φ(z)時(shí)增加附加條件。由可知，要避免G(z)在單位圓外或圓上的零、極點(diǎn)與D(z)的零、極點(diǎn)抵消，則必須使得：(1)當(dāng)G(z)有單位圓外或圓上的零點(diǎn)時(shí)，在Φ(z)表達(dá)式中應(yīng)把這些零點(diǎn)作為其零點(diǎn)而保留。

(2)當(dāng)G(z)有單位圓外或圓上的極點(diǎn)時(shí)，在Φe(z)表達(dá)式中應(yīng)把這些極點(diǎn)作為其零點(diǎn)而保留。這就是最少拍系統(tǒng)設(shè)計(jì)的穩(wěn)定性要求或叫穩(wěn)定性約束條件。此時(shí)，可得到最小拍系統(tǒng)控制

器設(shè)計(jì)步驟如下：

(1)根據(jù)被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型求出廣義對(duì)象的脈沖傳遞函數(shù)G(z)。

(2)根據(jù)輸入信號(hào)類型，查表7―1確定誤差脈沖傳遞函數(shù)Ge(z)。

(3)將G(z)、Ge(z)代入式(7―45)進(jìn)行Z變換運(yùn)算，即可求出數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(z)。

(4)根據(jù)結(jié)果，分析控制器效果，求出輸出序列及畫(huà)出其響應(yīng)曲線?！纠?―23】已知被控對(duì)象的傳遞函數(shù)為

，設(shè)采樣周期T=0.5s時(shí)，試設(shè)計(jì)單位階躍輸入時(shí)的最小拍數(shù)字控制器D(z)(設(shè)用零階保持器連接控制器與對(duì)象)。解系統(tǒng)的廣義對(duì)象傳遞函數(shù)G(z)為

計(jì)算結(jié)果G(z)中含有z-1因子，并有單位圓外的零點(diǎn)z=-1.4815，因此，閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Φ(z)中應(yīng)包含有(1+1.4815z-1)項(xiàng)及z-1的因子，當(dāng)把G(z)的單位圓外零點(diǎn)及z-1因子作為被控對(duì)象的零點(diǎn)和因子，同時(shí)考慮到誤差脈沖傳遞函數(shù)應(yīng)選定為Ge(z)=1-z-1，以及Φ(z)、Ge(z)應(yīng)該是同階次的多項(xiàng)式后，應(yīng)有Φ(z)=1-Ge(z)=az-1(1+1.4815z-1)Ge(z)=(1-z-1)(1+bz-1)

上述方程組中a、b為待定系數(shù)，且有

(1-b)z-1+bz-2=az-1+1.4815az-2

由上式得

1-b=a

b=1.4815a

所以得a=0.403,b=0.597

故得閉環(huán)傳遞函數(shù)和誤差傳遞函數(shù)為

Φ(z)=1-Ge(z)=0.403z-1(1+1.4815z-1)Ge(z)=(1-z-1)(1+0.597z-1)

將所得結(jié)果代入式(7―45)，得最少拍控制器的脈沖傳遞函數(shù)為在單位階躍輸入時(shí)其輸出響應(yīng)為即圖7―13最少拍系統(tǒng)輸出響應(yīng)【例7―24】如圖7―14所示，已知被控對(duì)象傳遞函數(shù)為

，設(shè)計(jì)采樣周期為T(mén)=0.5s，試設(shè)計(jì)一在單位速度輸入時(shí)的數(shù)字控制器D(z)。圖7―14最少拍控制系統(tǒng)原理圖

解當(dāng)用零階保持器聯(lián)系數(shù)字控制器與被控對(duì)象時(shí)，該系統(tǒng)的廣義對(duì)象的脈沖傳遞函數(shù)G(z)為

系統(tǒng)輸入為r(t)=t，查表7―1知誤差脈沖傳遞函數(shù)選定為Ge(z)=(1-z-1)2,于是將G(z)、Ge(z)代入式(7―49),可求得數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(z)為

這樣，可得系統(tǒng)輸出序列的Z變換為上式中各項(xiàng)系數(shù)就是c(t)在各個(gè)采樣時(shí)刻的輸出數(shù)值，即c(0)=0，c(T)=0，c(2T)=2T,c(3T)=3T,c(4T)=4T,…輸出響應(yīng)曲線如圖7―15所示。圖7―15單位速度輸入時(shí)最少拍輸出序列7.3.3最少拍無(wú)波紋控制器設(shè)計(jì)前面提到的最少拍系統(tǒng)設(shè)計(jì)是以采樣點(diǎn)上誤差為零或保持恒定為基礎(chǔ)的，采用Z變換方法進(jìn)行設(shè)計(jì)并不保證采樣點(diǎn)之間的誤差也為零或保持恒定值，因此在采樣點(diǎn)之間可能存在紋波，即在采樣點(diǎn)之間有誤差存在，這就是有紋波設(shè)計(jì)。而無(wú)紋波設(shè)計(jì)是指在典型輸入信號(hào)的作用下，經(jīng)過(guò)有限拍系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)，并且在采樣點(diǎn)之間沒(méi)有紋波，輸入誤差為零。

由于系統(tǒng)在采樣點(diǎn)上是閉環(huán)控制，采樣點(diǎn)之間產(chǎn)生的紋波不能反映在采樣點(diǎn)信號(hào)上，也就是對(duì)采樣點(diǎn)之間的信號(hào)，不能形成閉環(huán)控制。在最少拍控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，雖然考慮了可實(shí)現(xiàn)性和穩(wěn)定性問(wèn)題，但是在設(shè)定Φ(z)時(shí)，考慮了被控對(duì)象G(z)在單位圓上和單位圓外的零點(diǎn)，而對(duì)G(z)單位圓內(nèi)的零點(diǎn)沒(méi)有考慮。在典型輸入下，控制器的z傳遞函數(shù)由下式可得

可見(jiàn)，G(z)在單位圓內(nèi)的零點(diǎn)成為D(z)的極點(diǎn)，位于單位圓內(nèi)的負(fù)實(shí)軸上或第二、第三象限內(nèi)，控制輸出U*(t)必有振蕩衰減。由C(z)=Φ(z)R(z)，C(z)=U(z)G(z)可得(7―64)

由以上分析可見(jiàn)，要得到最少拍無(wú)紋波系統(tǒng)設(shè)計(jì)，其閉環(huán)z傳遞函數(shù)Φ(z)必須包含被控對(duì)象G(z)的所有零點(diǎn)。設(shè)計(jì)的控制器D(z)中消除了引起紋波振蕩的所有極點(diǎn)，采樣點(diǎn)之間的紋波也就消除了。此時(shí)，系統(tǒng)的閉環(huán)z傳遞函數(shù)Φ(z)中的z-1的冪次增高，系統(tǒng)的調(diào)整時(shí)間ts增長(zhǎng)了。因此，最少拍無(wú)紋波設(shè)計(jì)，要求Φ(z)的零點(diǎn)包含G(z)的全部零點(diǎn)。這就是最少拍無(wú)紋波設(shè)計(jì)與最小拍有紋波設(shè)計(jì)惟一不同之處?！纠?―25】如圖7―14所示，已知對(duì)象傳遞函數(shù)

，采樣周期T=0.1s。要求：

(1)試設(shè)計(jì)單位階躍輸入時(shí)的最少拍無(wú)波紋數(shù)字控制器D(z)。

(2)將按單位階躍輸入時(shí)的最少拍無(wú)波紋設(shè)計(jì)的數(shù)字控制器D(z)改為按單位速度輸入時(shí)，分析其控制效果。

解(1)系統(tǒng)廣義對(duì)象的脈沖傳遞函數(shù)為因G(z)有z-1因子，零點(diǎn)z=-0.707，極點(diǎn)p1=1，p2=0.368。閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Φ(z)應(yīng)選為包含z-r因子和G(z)的全部零點(diǎn)，所以

Φ(z)=1-Ge(z)=az-1(1+0.717z-1)Ge(z)應(yīng)由輸入形式、G(z)的不穩(wěn)定極點(diǎn)和Φ(z)的階次三者來(lái)決定。所以選擇

Ge(z)=(1-z-1)(1+bz-1)

式中(1-z-1)項(xiàng)是由輸入型式?jīng)Q定的，(1+bz-1)項(xiàng)則應(yīng)由Ge(z)與Φ(z)的相同階次決定。因Ge(z)=1-Φ(z)，將上述所得Ge(z)與Φ(z)值代入后，可得

(1-z-1)(1+bz-1)=1-az-1(1+0.717z-1)

所以，解得a=0.5824，b=0.4176。于是便可求出數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)為

由U(z)可判斷所設(shè)計(jì)的D(z)是否是最少拍無(wú)波紋數(shù)字控制器系統(tǒng)，由式U(z)=D(z)Ge(z)R(z)可得圖7―16單位階躍輸入時(shí)響應(yīng)(2)將上述按單位階躍輸入時(shí)的最少拍無(wú)波紋設(shè)計(jì)的數(shù)字控制器D(z)，改為按單位速度輸入時(shí)：由Z變換定義可知：

u(0)=0，u(T)=0.1528，u(2T)=