河南省濟(jì)源市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題含答案

數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)為（）A. B. C. D.2.過點(diǎn)且方向向量為的直線方程為（）A. B. C. D.3.等差數(shù)列，0，，…的第20項(xiàng)為（）A. B. C. D.4.若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量共面的是（）A.，， B.，， C.，， D.，，5.拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線（，）的漸近線的距離是，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.6.我國享譽(yù)世界的數(shù)學(xué)大師華羅庚曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”告知我們把“數(shù)”與“形”，“式”與“圖”結(jié)合起來是解決數(shù)學(xué)問題的有效途徑.若，則的取值范圍為（）A. B. C. D.7.已知數(shù)列滿足，，，則數(shù)列的第2024項(xiàng)為（）A. B. C. D.8.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓：上位于軸上方的點(diǎn)，為右焦點(diǎn).延長，交橢圓于，兩點(diǎn)，，，則的值為（）A. B. C.3 D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.已知直線：，其中，則下列說法正確的有（）A.直線過定點(diǎn) B.若直線與直線平行，則C.當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角為 D.當(dāng)時(shí)，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等10.已知方程表示的曲線為，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（）A.當(dāng)或時(shí)，曲線是雙曲線 B.若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則C.當(dāng)時(shí)，曲線是橢圓 D.若曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則11.設(shè)是公差為的等差數(shù)列，是其前項(xiàng)的和，且，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.12.如圖，正三棱柱中，，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為四邊形內(nèi)（包含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則以下結(jié)論正確的是（）A.B.異面直線與所成角的余弦值為C.若平面，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長度等于D.若點(diǎn)到平面的距離等于，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為拋物線的一部分三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.若圓：與圓：只有唯一的公共點(diǎn)，則__________.14.在平面直角坐標(biāo)系中，若的坐標(biāo)，滿足方程，則點(diǎn)的軌跡是__________（填曲線的類型，填方程不給分）.15.已知數(shù)列均為正項(xiàng)，且是等差數(shù)列，，則__________.16.如圖，在四棱臺(tái)中，，，設(shè)，則的最小值為__________.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。17.（10分）已知圓關(guān)于直線對(duì)稱，且圓與直線相切于點(diǎn).（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過點(diǎn)的直線被圓截得的弦長為6，求直線的方程.18.（12分）已知數(shù)列滿足：，，設(shè).（1）求證：是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）求數(shù)列的前項(xiàng)和.19.（12分）在如圖所示的試驗(yàn)裝置中，兩個(gè)正方形框架，的邊長都是1，且它們所在的平面互相垂直，活動(dòng)彈子，分別在正方形對(duì)角線和上移動(dòng)，且和的長度保持相等，記.（1）證明：平面.（2）當(dāng)為何值時(shí)，的長最小并求出最小值；（3）當(dāng)?shù)拈L最小時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值；20.（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，.（1）求拋物線的方程；（2）不過原點(diǎn)的直線：與拋物線交于不同兩點(diǎn)，，若，求的值.21.（12分）如圖，已知四棱錐的底面是菱形，對(duì)角線，交于點(diǎn)，，，，底面，，分別為側(cè)棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)在上且.（1）求證：，，，四點(diǎn)共面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離.22.（12分）已知橢圓：的離心率為，點(diǎn)在橢圓上，，，的面積為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若直線斜率為，直線斜率為，且.證明的面積為定值，并求此定值.

數(shù)學(xué)答案一、單選題：1-5BDCDA 6-8DCB二、多選題：9.AC 10.ABD 11.AB 12.BCD三、填空題：13.或25 14.直線 15.100 16.四、解答題：17.解：（1）過點(diǎn)與直線垂直的直線的斜率為，所以直線的方程為，即.由，解得圓心.所以半徑.故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）①若斜率存在，設(shè)過點(diǎn)的直線斜率為，則直線方程為：，即，所以圓心到直線的距離，又因?yàn)椋?，解?此時(shí)直線的方程為.②若斜率不存在，直線方程為，弦心距為2，半徑，弦長為，符合題意.綜上，直線的方程為或.18.（1）證明：由，，可得.因?yàn)椋矗?所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列.（2）由（1）可得：，即，所以.（3）由（2）可知：，則，可得，兩式相減可得：.所以.19.解：如圖，以為原點(diǎn)，為單位正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，因?yàn)?，所以?（1），平面的法向量為.因?yàn)?，所?又平面，所以平面.（2），其中.，當(dāng)時(shí)，最小，最小值為.（3）由（2）可知，當(dāng)，為中點(diǎn)時(shí)，最短，此時(shí)，取得中點(diǎn)，連接，，則，因?yàn)椋?，所以，，所以或其補(bǔ)角為所求的角.因?yàn)?，，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.20.解：（1）由拋物線過點(diǎn)，且，得，.所以拋物線方程為.（2）由不過原點(diǎn)的直線：與拋物線交于不同兩點(diǎn)，，設(shè)，.聯(lián)立得.所以，所以，所以.因?yàn)?，所以，則.，即，解得或.又當(dāng)時(shí)，直線與拋物線的交點(diǎn)中有一點(diǎn)與原點(diǎn)重合，不符合題意，故舍去.所以.21.解：（1）因?yàn)槠矫媸橇庑危?，又因?yàn)榈酌?，所以，，所以，，兩兩垂?以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在的直線分別為軸、軸和軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系：因?yàn)?，，，則，，，，，因?yàn)?，分別為側(cè)棱，的中點(diǎn)，所以，.因?yàn)?，所?所以，，.所以.由向量共面的充要條件可知，，，共面.又，，過同一點(diǎn)，從而，，，四點(diǎn)共面.（2）由點(diǎn)坐標(biāo)可得，，，又因?yàn)椋裕?設(shè)平面的法向量，則，取，可得，，所以，設(shè)直線與平面所成角為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.（3）由空間直角坐標(biāo)系，可得，可得，所以與平面所成角的正弦值為，則到平面的距離.22.解：（1）由題意可得，可得，.所以橢圓的方程