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2025屆四川省天府名校高三最后一模數(shù)學(xué)試題請(qǐng)考生注意:1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.函數(shù),,的部分圖象如圖所示,則函數(shù)表達(dá)式為()A. B.C. D.2.復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位),則的虛部為()A. B. C. D.3.設(shè)分別是雙線的左、右焦點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),以為直徑的圓與該雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)(位于軸右側(cè)),且四邊形為菱形,則該雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.4.已知集合,,則中元素的個(gè)數(shù)為()A.3 B.2 C.1 D.05.若2m>2n>1,則()A. B.πm﹣n>1C.ln(m﹣n)>0 D.6.已知拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,是上一點(diǎn),是直線與拋物線的一個(gè)交點(diǎn),若,則()A. B.3 C. D.27.記的最大值和最小值分別為和.若平面向量、、,滿足,則()A. B.C. D.8.等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),且,則()A.12 B.10 C.8 D.9.函數(shù)的大致圖象是()A. B.C. D.10.已知函數(shù)()的部分圖象如圖所示.則()A. B.C. D.11.在中所對(duì)的邊分別是,若,則()A.37 B.13 C. D.12.阿基米德(公元前287年—公元前212年)是古希臘偉大的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家,他和高斯、牛頓并列被稱(chēng)為世界三大數(shù)學(xué)家.據(jù)說(shuō),他自己覺(jué)得最為滿意的一個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)就是“圓柱內(nèi)切球體的體積是圓柱體積的三分之二,并且球的表面積也是圓柱表面積的三分之二”.他特別喜歡這個(gè)結(jié)論,要求后人在他的墓碑上刻著一個(gè)圓柱容器里放了一個(gè)球,如圖,該球頂天立地,四周碰邊,表面積為的圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑,則該球的體積為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別是,,,,則該四面體的外接球的體積為_(kāi)_________.14.設(shè)函數(shù)滿足,且當(dāng)時(shí),又函數(shù),則函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)__________.15.為了抗擊新型冠狀病毒肺炎,某醫(yī)藥公司研究出一種消毒劑,據(jù)實(shí)驗(yàn)表明,該藥物釋放量與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為(如圖所示),實(shí)驗(yàn)表明,當(dāng)藥物釋放量對(duì)人體無(wú)害.(1)______;(2)為了不使人身體受到藥物傷害,若使用該消毒劑對(duì)房間進(jìn)行消毒,則在消毒后至少經(jīng)過(guò)______分鐘人方可進(jìn)入房間.16.在面積為的中,,若點(diǎn)是的中點(diǎn),點(diǎn)滿足,則的最大值是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)[選修4-5:不等式選講]設(shè)函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)已知關(guān)于的不等式在上有解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)如圖,直角三角形所在的平面與半圓弧所在平面相交于,,,分別為,的中點(diǎn),是上異于,的點(diǎn),.(1)證明:平面平面;(2)若點(diǎn)為半圓弧上的一個(gè)三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn))求二面角的余弦值.19.(12分)已知等差數(shù)列an,和等比數(shù)列b(I)求數(shù)列{an}(II)求數(shù)列n2an?a20.(12分)已知函數(shù),,若存在實(shí)數(shù)使成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.(12分)如圖,在中,已知,,,為線段的中點(diǎn),是由繞直線旋轉(zhuǎn)而成,記二面角的大小為.(1)當(dāng)平面平面時(shí),求的值;(2)當(dāng)時(shí),求二面角的余弦值.22.(10分)已知的內(nèi)角,,的對(duì)邊分別為,,,且.(1)求;(2)若的面積為,,求的周長(zhǎng).
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
根據(jù)圖像的最值求出,由周期求出,可得,再代入特殊點(diǎn)求出,化簡(jiǎn)即得所求.【詳解】由圖像知,,,解得,因?yàn)楹瘮?shù)過(guò)點(diǎn),所以,,即,解得,因?yàn)?,所以?故選:A【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)圖像求正弦型函數(shù)的解析式,三角函數(shù)誘導(dǎo)公式,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】
,分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】由已知,,故的虛部為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力,是一道基礎(chǔ)題.3、B【解析】
由于四邊形為菱形,且,所以為等邊三角形,從而可得漸近線的傾斜角,求出其斜率.【詳解】如圖,因?yàn)樗倪呅螢榱庑?,,所以為等邊三角形,,兩漸近線的斜率分別為和.故選:B【點(diǎn)睛】此題考查的是求雙曲線的漸近線方程,利用了數(shù)形結(jié)合的思想,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】
集合表示半圓上的點(diǎn),集合表示直線上的點(diǎn),聯(lián)立方程組求得方程組解的個(gè)數(shù),即為交集中元素的個(gè)數(shù).【詳解】由題可知:集合表示半圓上的點(diǎn),集合表示直線上的點(diǎn),聯(lián)立與,可得,整理得,即,當(dāng)時(shí),,不滿足題意;故方程組有唯一的解.故.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查集合交集的求解,涉及圓和直線的位置關(guān)系的判斷,屬基礎(chǔ)題.5、B【解析】
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合特殊值進(jìn)行辨析.【詳解】若2m>2n>1=20,∴m>n>0,∴πm﹣n>π0=1,故B正確;而當(dāng)m,n時(shí),檢驗(yàn)可得,A、C、D都不正確,故選:B.【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)指數(shù)冪的大小關(guān)系判斷參數(shù)的大小,根據(jù)參數(shù)的大小判定指數(shù)冪或?qū)?shù)的大小關(guān)系,需要熟練掌握指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),結(jié)合特值法得出選項(xiàng).6、D【解析】
根據(jù)拋物線的定義求得,由此求得的長(zhǎng).【詳解】過(guò)作,垂足為,設(shè)與軸的交點(diǎn)為.根據(jù)拋物線的定義可知.由于,所以,所以,所以,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的定義,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】
設(shè)為、的夾角,根據(jù)題意求得,然后建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè),,,根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得出點(diǎn)的軌跡方程,將和轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)距離,利用數(shù)形結(jié)合思想可得出結(jié)果.【詳解】由已知可得,則,,,建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè),,,由,可得,即,化簡(jiǎn)得點(diǎn)的軌跡方程為,則,則轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離,,,,轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離,,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查和向量與差向量模最值的求解,將向量坐標(biāo)化,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最值問(wèn)題是解答的關(guān)鍵,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,屬于中等題.8、B【解析】
由等比數(shù)列的性質(zhì)求得,再由對(duì)數(shù)運(yùn)算法則可得結(jié)論.【詳解】∵數(shù)列是等比數(shù)列,∴,,∴.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì),考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則,掌握等比數(shù)列的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.9、A【解析】
用排除B,C;用排除;可得正確答案.【詳解】解:當(dāng)時(shí),,,所以,故可排除B,C;當(dāng)時(shí),,故可排除D.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象,屬基礎(chǔ)題.10、C【解析】
由圖象可知,可解得,利用三角恒等變換化簡(jiǎn)解析式可得,令,即可求得.【詳解】依題意,,即,解得;因?yàn)樗?,?dāng)時(shí),.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了由三角函數(shù)的圖象求解析式和已知函數(shù)值求自變量,考查三角恒等變換在三角函數(shù)化簡(jiǎn)中的應(yīng)用,難度一般.11、D【解析】
直接根據(jù)余弦定理求解即可.【詳解】解:∵,∴,∴,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理解三角形,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】
設(shè)球的半徑為R,根據(jù)組合體的關(guān)系,圓柱的表面積為,解得球的半徑,再代入球的體積公式求解.【詳解】設(shè)球的半徑為R,根據(jù)題意圓柱的表面積為,解得,所以該球的體積為.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查組合體的表面積和體積,還考查了對(duì)數(shù)學(xué)史了解,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
將四面體補(bǔ)充為長(zhǎng)寬高分別為的長(zhǎng)方體,體對(duì)角線即為外接球的直徑,從而得解.【詳解】采用補(bǔ)體法,由空間點(diǎn)坐標(biāo)可知,該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)長(zhǎng)方體上,該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為,長(zhǎng)方體的外接球即為該四面體的外接球,外接球的直徑即為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線,所以球半徑為,體積為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了四面體外接球的常用求法:補(bǔ)體法,通過(guò)補(bǔ)體得到長(zhǎng)方體的外接球從而得解,屬于基礎(chǔ)題.14、1【解析】
判斷函數(shù)為偶函數(shù),周期為2,判斷為偶函數(shù),計(jì)算,,畫(huà)出函數(shù)圖像,根據(jù)圖像到答案.【詳解】知,函數(shù)為偶函數(shù),,函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)。,故函數(shù)為周期為2的周期函數(shù),且。為偶函數(shù),,,當(dāng)時(shí),,,函數(shù)先增后減。當(dāng)時(shí),,,函數(shù)先增后減。在同一坐標(biāo)系下作出兩函數(shù)在上的圖像,發(fā)現(xiàn)在內(nèi)圖像共有1個(gè)公共點(diǎn),則函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題,確定函數(shù)的奇偶性,對(duì)稱(chēng)性,周期性,畫(huà)出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵.15、240【解析】
(1)由時(shí),,即可得出的值;(2)解不等式組,即可得出答案.【詳解】(1)由圖可知,當(dāng)時(shí),,即(2)由題意可得,解得則為了不使人身體受到藥物傷害,若使用該消毒劑對(duì)房間進(jìn)行消毒,則在消毒后至少經(jīng)過(guò)分鐘人方可進(jìn)入房間.故答案為:(1)2;(2)40【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的應(yīng)用,屬于中檔題.16、【解析】
由任意三角形面積公式與構(gòu)建關(guān)系表示|AB||AC|,再由已知與平面向量的線性運(yùn)算、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算轉(zhuǎn)化,最后由重要不等式求得最值.【詳解】由△ABC的面積為得|AB||AC|sin∠BAC=,所以|AB||AC|sin∠BAC=,①又,即|AB||AC|cos∠BAC=,②由①與②的平方和得:|AB||AC|=,又點(diǎn)M是AB的中點(diǎn),點(diǎn)N滿足,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào),即的最大值是為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查平面向量中由線性運(yùn)算表示未知向量,進(jìn)而由重要不等式求最值,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】
(1)零點(diǎn)分段去絕對(duì)值解不等式即可(2)由題在上有解,去絕對(duì)值分離變量a即可.【詳解】(1)不等式,即等價(jià)于或或解得,所以原不等式的解集為;(2)當(dāng)時(shí),不等式,即,所以在上有解即在上有解,所以,.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式解法,不等式有解求參數(shù),熟記零點(diǎn)分段,熟練處理不等式有解問(wèn)題是關(guān)鍵,是中檔題.18、(1)詳見(jiàn)解析;(2).【解析】
(1)由直徑所對(duì)的圓周角為,可知,通過(guò)計(jì)算,利用勾股定理的逆定理可以判斷出為直角三角形,所以有.由已知可以證明出,這樣利用線面垂直的判定定理可以證明平面,利用面面垂直的判定定理可以證明出平面平面;(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以垂直于平面向上的方向、向量所在方向作為軸、軸、軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),求出平面的一個(gè)法向量和平面的法向量,利用空間向量數(shù)量積運(yùn)算公式,可以求出二面角的余弦值.【詳解】解:(1)證明:因?yàn)榘雸A弧上的一點(diǎn),所以.在中,分別為的中點(diǎn),所以,且.于是在中,,所以為直角三角形,且.因?yàn)椋?所以.因?yàn)椋?,,所以平?又平面,所以平面平面.(2)由已知,以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以垂直于、向量所在方向作為軸、軸、軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,.設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則即,取,得.設(shè)平面的法向量,則即,取,得.所以,又二面角為銳角,所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了利用線面垂直判定面面垂直、利用空間向量數(shù)量積求二面角的余弦值問(wèn)題.19、(I)an=2n-1,bn=【解析】
(I)直接利用等差數(shù)列,等比數(shù)列公式聯(lián)立方程計(jì)算得到答案.(II)n2【詳解】(I)a1=b解得d=2q=3,故an=2n-1(II)n=14+【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列,等比數(shù)列,裂項(xiàng)求和,意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.20、【解析】試題分析:先將問(wèn)題“存在實(shí)數(shù)使成立”轉(zhuǎn)化為“求函數(shù)的最大值”,再借助柯西不等式求出的最大值即可獲解.試題解析:存在實(shí)數(shù)使成立,等價(jià)于的最大值大于,因?yàn)椋煽挛鞑坏仁剑?,所以,?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”,故常數(shù)的取值范圍是.考點(diǎn):柯西不等式即運(yùn)用和轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用.21、(1);(2).【解析】
(1)平面平面,建立坐標(biāo)系,根據(jù)法向量互相垂直求得;(2)求兩個(gè)平面的法向量的夾角.【詳解】(1)如圖,以為原點(diǎn),在平面內(nèi)垂直于的直線為軸所在的直線分別為軸,軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則,設(shè)為平面的一個(gè)法向量,由得,取,則因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為由平面平面,得所以即.(2)設(shè)二面角的大小為,當(dāng)平面
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