四川省瀘州市瀘縣第五中學(xué)高三上學(xué)期第一次診斷性考試（一模）數(shù)學(xué)試題

瀘縣五中高2022級(jí)高三上期第一次診斷性考試數(shù)學(xué)試題本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.第I卷1至2頁(yè)，第II卷3至4頁(yè).共150分.考試時(shí)間120分鐘.第I卷（選擇題共58分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.已知全集，集合，或，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)并集、補(bǔ)集的定義進(jìn)行計(jì)算得出結(jié)果.【詳解】由或得，又，所以.故選：B.2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，準(zhǔn)確改寫(xiě)，即可求解.【詳解】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，可得：命題“，”的否定是“，”.故選：D.3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由正弦展開(kāi)式和三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值得出.【詳解】，所以，所以，解得．故選：D4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用二倍角公式，結(jié)合正余弦齊次式法計(jì)算即得.【詳解】由，得.故選：C5.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的一條對(duì)稱軸方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換及誘導(dǎo)公式結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可判定.【詳解】由題意得顯然由，當(dāng)時(shí)，是其一條對(duì)稱軸，而B(niǎo)、C、D三項(xiàng)，均不存在整數(shù)滿足題意.故選：A6.為等差數(shù)列，若，，那么取得最小正值時(shí)，的值（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，從而得，由，結(jié)合條件得到，即可求解．【詳解】因?yàn)椋?，所以，故等差?shù)列的公差，又，又，，得到，，所以取得最小正值時(shí)，的值為，故選：C.7.如圖，在正方形中，為的中點(diǎn)，是以為直徑的半圓弧上任意一點(diǎn)，設(shè)，則的最小值為（）A. B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用坐標(biāo)法將用點(diǎn)坐標(biāo)表示，即可求出的最小值.【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，，半圓的方程為，所以，，，因?yàn)?，即，所以，即，所以，又是半圓上的任意一點(diǎn)，所以，，，所以，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查二元變量的最值求法，關(guān)鍵是根據(jù)已知把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，把有關(guān)點(diǎn)與向量用坐標(biāo)表示，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問(wèn)題得到解決.8.已知函數(shù)，若有兩個(gè)極值點(diǎn)，記過(guò)點(diǎn)，的直線的斜率為，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，求導(dǎo)，根據(jù)有兩個(gè)極值點(diǎn)可得，由奇函數(shù)的定義可得為奇函數(shù)，不妨設(shè)，則有，所以，.由直線的斜率公式的表達(dá)式，可得，令，利用導(dǎo)數(shù)可得在上單調(diào)遞增，又由，根據(jù)單調(diào)性可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，由函數(shù)由兩個(gè)極值點(diǎn)得.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.故當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極小值點(diǎn)為.當(dāng)時(shí)，則，則，同理當(dāng)時(shí)，也有，故為奇函數(shù).不妨設(shè)，則有，所以，可得，由直線的斜率公式可得，又，所以設(shè)，得，所以在上單調(diào)遞增，又由，由，得，所以.故選:A.【點(diǎn)睛】對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點(diǎn)處的切線方程；(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問(wèn)題，同時(shí)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知關(guān)于的不等式的解集為，則（）A.且B.不等式的解集是C.D.不等式的解集為【答案】ACD【解析】【分析】由題意可知a>0且和2是方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根,根據(jù)韋達(dá)定理可得，由此易判斷A,將替換成，由此可求B、D，結(jié)合二次函數(shù)的圖象可以判斷C.【詳解】關(guān)于的的不等式的解集為,且和2是方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根，對(duì)，故A正確.對(duì)可化為,解的,不等式的解集為，故B錯(cuò)誤.對(duì)，1和2是方程ax2+bx+c=0且二次函數(shù)y=ax2當(dāng)x=-1時(shí)，，即，故C正確.對(duì)D，不等式可化為,,即，解得不等式的的集為，故D正確.故選：ACD10.已知函數(shù)，若，，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】作出函數(shù)的圖象，根據(jù)，，結(jié)合函數(shù)圖象逐項(xiàng)判斷.【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖所示：因?yàn)?，，由圖象可知：，故A正確；B錯(cuò)誤；由，得，即，所以，即，所以，故C正確；因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因，所以，所以取不到等號(hào)，故D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是將轉(zhuǎn)化為而得解.11.已知數(shù)列滿足，，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】先證明是遞增數(shù)列，且各項(xiàng)均為正，由遞推公式求得發(fā)現(xiàn)A錯(cuò)誤，然后由遞推關(guān)系利用基本不等式變成不等式，讓依次減1進(jìn)行歸納得出B正確，由遞推式適當(dāng)放縮得，這樣對(duì)進(jìn)行歸納得出，此不等式兩邊取以2為底的對(duì)數(shù)可證明選項(xiàng)D，對(duì)由指數(shù)冪運(yùn)算法則變形為，然后證明，再結(jié)合是正整數(shù)可得證C．【詳解】，∴，是遞增數(shù)列，又，所以，，，，，A顯然錯(cuò)誤；，∴，B正確；對(duì)選項(xiàng)C，，∴，依此類推：，，下證，時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，假設(shè)時(shí)，成立，，則時(shí)，，所以對(duì)任意不小于3的正整數(shù)，，所以，又是正整數(shù)，所以，C正確；對(duì)選項(xiàng)D，由選項(xiàng)C得，所以，D正確．故選：BCD．第II卷（非選擇題共92分）注意事項(xiàng)：（1）非選擇題的答案必須用0.5毫米黑色簽字筆直接答在答題卡上，作圖題可先用鉛筆繪出，確認(rèn)后再用0.5毫米黑色簽字筆描清楚，答在試題卷和草稿紙上無(wú)效.（2）本部分共8個(gè)小題，共92分.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分.12.已知函數(shù)則______.【答案】1【解析】【分析】結(jié)合分段函數(shù)解析式，由內(nèi)向外計(jì)算即可.【詳解】由題意得，.所以，故答案為：1.13.計(jì)算：____________【答案】【解析】【分析】切化弦，通分后結(jié)合二倍角和兩角和差正弦公式可化簡(jiǎn)求得結(jié)果.【詳解】.故答案為：.14.已知函數(shù)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)．若，則的最小值是______.【答案】【解析】【分析】求導(dǎo)后可知是方程在上的兩根，結(jié)合韋達(dá)定理可得，；將化為，令，利用導(dǎo)數(shù)可求得，從而得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，令，因?yàn)?，有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以是方程在上的兩根，所以，，所以，，所以，設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以，即的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)最值的問(wèn)題；本題求解最值的基本思路是將多個(gè)變量統(tǒng)一為關(guān)于一個(gè)變量的函數(shù)的形式，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的求解問(wèn)題.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù)（其中，）的最小正周期為，且___________.①點(diǎn)在函數(shù)的圖象上；②函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為；③的一個(gè)增區(qū)間為.請(qǐng)你從以上三個(gè)條件選擇一個(gè)（如果選擇多個(gè)，則按選擇的第一個(gè)給分），補(bǔ)充完整題目，并求解下列問(wèn)題：（1）求的解析式；（2）用“五點(diǎn)作圖法”畫(huà)出函數(shù)一個(gè)周期內(nèi)的圖象.【答案】（1）無(wú)論選哪個(gè)條件，函數(shù)的解析式均為.（2）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）若選①，則，若選②，則，若選③，則，由此求出分別求出即可得解.（2）直接用“等距法”按照五點(diǎn)畫(huà)圖的步驟作圖即可.【小問(wèn)1詳解】由題意最小正周期為，解得，所以，若選①，則，所以，又，所以，所以函數(shù)的解析式為；若選②，則，所以，又，所以，所以函數(shù)的解析式為；若選③，即的一個(gè)增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，，又，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，只能，，所以函數(shù)解析式為；綜上所述，無(wú)論選哪個(gè)條件，函數(shù)的解析式均為.【小問(wèn)2詳解】列表如下：00100描點(diǎn)、連線（光滑曲線）畫(huà)出函數(shù)一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示：16.已知定義在上的函數(shù)（且）.（1）判斷函數(shù)奇偶性，并說(shuō)明理由；（2）若，試判斷函數(shù)的單調(diào)性并加以證明；并求在上有解時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）為奇函數(shù)，理由見(jiàn)解析（2）為減函數(shù)，證明見(jiàn)解析；【解析】【分析】（1）先判斷函數(shù)的奇偶性，再利用定義證明即可.（2）求出參數(shù)值得到原函數(shù)，再轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)問(wèn)題求解參數(shù)范圍即可.【小問(wèn)1詳解】為奇函數(shù)對(duì)任意，都有，且該函數(shù)的定義域?yàn)椋@然關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可得.為奇函數(shù).【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，可得，解得，此時(shí)在上為嚴(yán)格減函數(shù)，證明如下：任取，且，則，，，，在上為嚴(yán)格減函數(shù)，而，在上的值域?yàn)?，要使在上有零點(diǎn)，此時(shí)等價(jià)于與在上有交點(diǎn)，而當(dāng)時(shí)，可得故.17.在中，已知.（1）求；（2）記為的重心，過(guò)的直線分別交邊于兩點(diǎn)，設(shè).（i）求的值；（ii）若，求和周長(zhǎng)之比的最小值.【答案】（1）（2）（i）（ii）【解析】【分析】（1）借助三角形內(nèi)角關(guān)系及兩角和的正切公式化簡(jiǎn)并計(jì)算即可得；（2）（i）設(shè)為的中點(diǎn)，結(jié)合重心的性質(zhì)及向量運(yùn)算可得，再利用三點(diǎn)共線定理即可得解；（ii）由題意可得為等邊三角形，可設(shè)其邊長(zhǎng)為1，則可用表示兩三角形周長(zhǎng)之比，結(jié)合（i）中所得與基本不等式即可得解.【小問(wèn)1詳解】由題可知，又，所以；【小問(wèn)2詳解】（i）設(shè)為的中點(diǎn)，則，又因?yàn)?，所以，因三點(diǎn)共線，所以，所以；（ii）由，，可得為等邊三角形，設(shè)的邊長(zhǎng)為1，與周長(zhǎng)分別為，則，，所以，所以，由可得，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），解得，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以和的周長(zhǎng)之比的最小值為.18.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，成等差數(shù)列，且滿足，等差數(shù)列數(shù)列bn的前項(xiàng)和.（1）求數(shù)列和bn的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)的前項(xiàng)和，求證：．（3）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，等差數(shù)列bn的公差為，根據(jù)題意，列出方程組，分別求得的值，即可求得數(shù)列和bn的通項(xiàng)公式；（2）由（1）求得，結(jié)合裂項(xiàng)法求和，求得數(shù)列的前項(xiàng)和，即可得證；（3）根據(jù)題意，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式和乘公比錯(cuò)位法求和，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：由等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，設(shè)公比為，因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，且滿足，可得，即，即，解得，所以，設(shè)等差數(shù)列bn的公差為，因?yàn)椋傻?，解得，所以，即?shù)列bn的通項(xiàng)公式為.【小問(wèn)2詳解】證明：由（1）知，，可得，則，因?yàn)?，所以，?【小問(wèn)3詳解】解：因?yàn)?，可得，則數(shù)列的前項(xiàng)和，令，令，則，兩式相減得，所以，所以數(shù)列的前項(xiàng)和.19.已知函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若在定義域內(nèi)恒成立，求的取值范圍；（3）求證：.【答案】（1）（2）1（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)兩函數(shù)關(guān)于對(duì)稱求解析式即可；（2）先探求時(shí)成立，再證明當(dāng)時(shí)恒成立，證明過(guò)程利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)極大值即可；（3）根據(jù)（2）可得，轉(zhuǎn)化為，再由，累加相消即可得證.【小問(wèn)1詳解】設(shè)圖象上任意一點(diǎn)，則其關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，由題